---
title: "Арифметический корень натуральной степени на профильном ЕГЭ"
description: "Арифметический корень n-й степени — это неотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a. Разбор для ЕГЭ, задание 8."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень n-й степени — это неотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a; для каждого такого a оно ровно одно. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там находят значение выражения с корнями и степенями с дробным показателем. Для базового уровня: [арифметический корень на базовом ЕГЭ, задания 14 и 16](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/).

Арифметический корень всегда неотрицателен — и почти вся тема вырастает из этого одного слова. Отсюда и знаменитое «корень из квадрата равен модулю», и оговорки «при a ≥ 0» у каждого свойства, и запрет дробного показателя у отрицательного основания. Разбираем определение, свойства вместе с их условиями и связку «корень — дробная степень», без которой задание 8 просто не считается.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Что такое арифметический корень n-й степени?

В слове «арифметический» спрятано всё содержание темы. **Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a** называют такое **неотрицательное** число b, что $b^n = a$. Здесь n — натуральное число, не меньше 2:

$$
\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a, \qquad a \geqslant 0,\ \ b \geqslant 0,\ \ n \in \mathbb{N},\ n \geqslant 2
$$

Два условия в этой строчке — не украшение, а половина темы. **Подкоренное выражение неотрицательно** — иначе корень не определён. И **сам корень неотрицателен** — всегда, без исключений. Знак $\sqrt{\phantom{a}}$ без указанного показателя означает n = 2, это привычный квадратный корень; число n называют показателем корня, а выражение под знаком — подкоренным.

Такое число b существует, и оно ровно одно. Это не пустая формальность, а следствие того, что функция $y = x^n$ на промежутке от нуля до бесконечности возрастает: она принимает каждое неотрицательное значение ровно один раз. Поэтому $\sqrt{9} = 3$ — и никак иначе.

**Корень чётной и корень нечётной степени ведут себя по-разному, и это надо развести сразу.** Для чётного показателя (2, 4, 6, …) подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: среди действительных чисел нет такого, которое в чётной степени даёт −16, поэтому $\sqrt[4]{-16}$ смысла не имеет.

Для нечётного показателя (3, 5, 7, …) всё иначе: уравнение $b^n = a$ имеет ровно одно решение при любом a, в том числе отрицательном, и его тоже записывают знаком корня:

$$
\sqrt[3]{-8} = -2, \qquad \sqrt[5]{-32} = -2, \qquad \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}
$$

Здесь k — любое натуральное число, поэтому 2k — это любой чётный показатель, а 2k+1 — любой нечётный; так удобно записывать свойство сразу для всех степеней одного типа. Строго говоря, $\sqrt[3]{-8}$ — уже не арифметический корень: тот определён только для неотрицательных чисел. Обозначение то же, а определение другое. Запомни границу: **под чётным корнем — только неотрицательное, под нечётным — что угодно**.

И последнее в этом блоке, но по частоте ошибок первое. **«Арифметический корень» и «корень уравнения» — разные вещи, просто слово совпало.** Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: 3 и −3. А $\sqrt{9}$ — это одно конкретное число 3, потому что арифметический корень по определению неотрицателен. Запись «$\sqrt{9} = \pm 3$» неверна: слева стоит число, а не множество. Знак ± появляется при решении уравнения, а не при извлечении корня.

![Куб и квадратная сетка с выделенным ребром показывают, что извлечение корня возвращает неотрицательную длину](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni-1.png)

*Корень восстанавливает длину ребра по площади или объёму; Миша указывает на связь между степенью и мерой.*

## Почему корень из квадрата равен модулю?

Из «корень неотрицателен» немедленно следует самое дорогое равенство темы. Возьми x = −5 и посчитай честно, шаг за шагом: $(-5)^2 = 25$, дальше $\sqrt{25} = 5$. На входе было −5, на выходе получилось +5. Значит:

$$
\sqrt{x^2} = |x| \qquad \text{для любого действительного } x
$$

Не x. Именно модуль. Возведение в квадрат стирает знак, а корень его не восстанавливает — он обязан вернуть неотрицательное число и возвращает.

Правило обобщается на любой показатель, и здесь снова расходятся чётный и нечётный случаи:

$$
\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \quad (\text{чётная степень}), \qquad \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a \quad (\text{нечётная степень})
$$

Нечётный корень знак сохраняет, поэтому модуль там не нужен: $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$. А вот $\sqrt[4]{(-2)^4} = \sqrt[4]{16} = 2$ — знак потерян безвозвратно.

**Не путай две похожие записи.** $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ — сначала корень, потом квадрат; такая запись вообще существует только при a ≥ 0, поэтому модуль не нужен. А $\sqrt{a^2} = |a|$ — сначала квадрат, потом корень; здесь a любое, и модуль обязателен. Порядок действий решает.

Понадобится это далеко за пределами задания 8. Как только в задаче появляется корень чётной степени из выражения с переменной, вопрос «а модуль тут раскрыт правильно?» становится вопросом про баллы. Если знак выражения под квадратом неизвестен, модуль так и оставляют — раскрывать его без разбора случаев нельзя.

*Рисунок: Возведение в квадрат стирает знак, а арифметический корень его не возвращает: оба числа дают 5*

## Какие свойства у корней и когда они не работают?

Свойств немного, и все они однотипны: корень «проходит сквозь» умножение, деление и возведение в степень. Ниже **a ≥ 0, b ≥ 0**, а в дроби ещё и **b ≠ 0**; показатели n и m — натуральные, не меньше 2:

$$
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
$$

$$
\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a
$$

**Оговорка про неотрицательность — не формальность.** Проверь на числах, что будет без неё: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ «по свойству» равнялось бы $\sqrt{36} = 6$. Но левая часть не существует вовсе: ни $\sqrt{-4}$, ни $\sqrt{-9}$ не определены среди действительных чисел. Произведение подкоренных выражений вышло положительным. Но это не то же самое, что неотрицательность каждого множителя по отдельности — а свойство требует именно второго.

Рабочее применение первого свойства — **вынесение множителя из-под знака корня**. Разбиваешь подкоренное число на точный квадрат и остаток: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$. Тот же приём с буквами требует осторожности:

$$
\sqrt{a^2 b} = |a| \cdot \sqrt{b} \qquad (b \geqslant 0)
$$

Модуль здесь появляется ровно по той же причине, что и раньше: $\sqrt{a^2} = |a|$. Написать $a\sqrt{b}$ можно, только если отдельно известно, что a ≥ 0.

**Чего среди свойств нет — важнее того, что есть.** Корень не раскладывается по сумме и разности. Никакого «$\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$» не существует, и убедиться в этом можно за десять секунд: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Пять и семь — разные числа. Складывать корни можно только как подобные слагаемые: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$, а $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ так и остаётся суммой.

## Корень и дробный показатель — одна и та же вещь

До сих пор мы говорили на языке корней. Но настоящее задание 8 почти всегда просит посчитать что-нибудь вроде $16^{3/4}$ или $27^{2/3}$ — и вот тут выясняется, зачем нужен весь предыдущий разговор. **Степень с дробным показателем определяется через арифметический корень, а не наоборот.**

$$
a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a > 0,\ \ m \in \mathbb{Z},\ \ n \in \mathbb{N},\ n \geqslant 2
$$

Читай это равенство как мост, по которому ходят в обе стороны. Слева — язык степеней, где показатели складывают и перемножают. Справа — язык корней. Умение мгновенно переходить туда и обратно и есть то, что проверяет задание 8.

Смотри, как мост работает. $16^{3/4}$: разложи основание на степень простого, $16 = 2^4$, и перемножь показатели:

$$
16^{3/4} = \left(2^4\right)^{3/4} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8
$$

То же самое, но короче, чем через корень: $16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3}$ — и попробуй теперь без калькулятора найти 16³. Поэтому **первое движение всегда одно: разложить основание на степень простого числа**. Держи наготове 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125 — из этих чисел собрана добрая половина заданий 8 на степени и корни.

Отрицательный показатель — просто переворот дроби, а не смена знака у числа. $a^{-p} = 1/a^p$, поэтому:

$$
\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-2/3} = 27^{2/3} = \left(3^3\right)^{2/3} = 3^2 = 9
$$

**Почему в определении стоит a > 0, а не «любое a».** Это не придирка, а необходимость. Одно и то же рациональное число записывается дробями по-разному: $\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}$. Если бы дробный показатель разрешили отрицательному основанию, у $(-8)^{1/3}$ было бы два разных значения:

$$
\sqrt[3]{-8} = -2 \qquad \text{и} \qquad \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2
$$

Минус два и плюс два. Степень перестала бы быть функцией, и все привычные правила посыпались бы. Поэтому договорились: **дробный показатель — только у положительного основания** (и у нуля, если показатель положительный: $0^{m/n} = 0$). Записи $(-8)^{2/3}$ в школьной математике нет. Если отрицательное основание встретилось, работай с ним через корень: $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ — тут всё честно и однозначно.

## Свойства корней в одной таблице

*Формулы арифметического корня и условия, без которых они ложны*

| Правило | Формула | Когда верно |
| --- | --- | --- |
| Определение | $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$ | a ≥ 0, b ≥ 0, n — натуральное, не меньше 2 |
| Нечётный корень | $\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$ | Под нечётным корнем — любое число, под чётным — только неотрицательное |
| Корень из квадрата | $\sqrt{x^2} = \|x\|$ | Для любого x; для нечётной степени модуль не нужен: ³√((−2)³) = −2 |
| Квадрат корня | $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ | Запись существует только при a ≥ 0 |
| Произведение и частное | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ | a ≥ 0 и b ≥ 0 каждое по отдельности; в дроби ещё b ≠ 0 |
| Степень и корень из корня | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ | a ≥ 0; так же (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) |
| Вынесение множителя | $\sqrt{a^2 b} = \|a\| \cdot \sqrt{b}$ | b ≥ 0; писать a√b можно, только если известно, что a ≥ 0 |
| Дробный показатель | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ | a > 0; основание сначала раскладывают на степень простого числа |
| Корень суммы | $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ | Складывают только подобные корни: 2√3 + 5√3 = 7√3 |

## Разбор: считаем выражение как в задании 8

**Условие.** Найди значение выражения (√12 − √3)² + 81^(1/4) · 8^(2/3).

**Решение.**

- Разберём по кускам. Сначала скобка. Складывать и вычитать корни можно только как подобные слагаемые, а $\sqrt{12}$ и $\sqrt{3}$ пока непохожи. Вынесем множитель: 12 = 4·3, и оба множителя неотрицательны — свойство применимо.
- $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
- Теперь слагаемые подобны, и скобка сворачивается:
- $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
- Возводим в квадрат. Здесь именно $\left(\sqrt{3}\right)^2$ — сначала корень, потом квадрат, — а не корень из квадрата. Модуль не нужен: под корнем стояла тройка, она неотрицательна.
- $\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3$
- Дальше степени. Раскладываем основания на степени простых: 81 = 3⁴, 8 = 2³. И перемножаем показатели.
- $81^{1/4} = \left(3^4\right)^{1/4} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$
- $8^{2/3} = \left(2^3\right)^{2/3} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$
- Собираем всё вместе, не забыв про порядок действий: умножение раньше сложения.
- $3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15$
- Формат сошёлся: ответ — целое число, как и требует бланк № 1, куда задание 8 принимает только целое число или конечную десятичную дробь. Если бы на выходе получилось что-нибудь вроде $8 - 4\sqrt{3}$, это был бы сигнал вернуться и перепроверить арифметику.

**Ответ:** 15.

## Разбор: корень из квадрата, когда знак заранее не виден

**Условие.** Найди значение выражения √((√5 − 3)²) + √5.

**Решение.**

- Рука тянется «сократить» корень с квадратом и написать $\sqrt{5} - 3 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 3$. Ответ получился бы иррациональным — уже подозрительно для задания 8. И он неверен.
- Работает правило $\sqrt{x^2} = |x|$, где роль x играет всё выражение целиком:
- $\sqrt{\left(\sqrt{5} - 3\right)^2} = \left|\sqrt{5} - 3\right|$
- Чтобы раскрыть модуль, нужно знать знак того, что внутри. Сравним $\sqrt{5}$ и 3, не вынимая калькулятор: оба числа неотрицательны, поэтому сравнение сохранится при возведении в квадрат. 5 меньше 9, значит $\sqrt{5} < 3$.
- Выражение под модулем отрицательно, поэтому модуль раскрывается со сменой знака:
- $\left|\sqrt{5} - 3\right| = -\left(\sqrt{5} - 3\right) = 3 - \sqrt{5}$
- Теперь досчитываем:
- $\left(3 - \sqrt{5}\right) + \sqrt{5} = 3$
- Иррациональность ушла сама, ответ целый. Это типичное устройство задания 8: неудобное на вид выражение обязано свернуться в хорошее число. Не свернулось — ищи ошибку, и первым делом там, где раскрывался модуль.

**Ответ:** 3.

## Как считать выражения с корнями и степенями в задании 8?

1. **Разложи каждое основание на степень простого числа.** 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 27 = 3³, 81 = 3⁴, 125 = 5³. Пока это не сделано, считать нечего: калькулятора на экзамене нет, а 16³ в уме не нужно никому.
2. **Переведи корни в дробные показатели.** $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. После этого выражение живёт по правилам степеней: они короче и привычнее правил для корней.
3. **Сверни показатели.** При возведении степени в степень показатели **перемножаются**: $\left(2^4\right)^{3/4} = 2^3$. При умножении степеней с одинаковым основанием — складываются.
4. **Проверь знаки и область применимости.** Под чётным корнем чётная степень выражения — пиши модуль. Основание отрицательное — дробный показатель запрещён, возвращайся к записи через корень. Свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ применяй, только убедившись, что оба числа неотрицательны.
5. **Досчитай до числа и сверь формат.** Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь, десятичный разделитель — запятая. Осталось что-то иррациональное — вернись и перечитай условие: скорее всего, где-то потерялось преобразование.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где эта тема ломается. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равно значение выражения √((−7)²)?
   - −7
   - 7 — **верный ответ**
   - 49
   - Выражение не определено

   *Пояснение:* Считаем по действиям: (−7)² = 49, затем √49 = 7. Арифметический корень неотрицателен по определению, поэтому вернуть −7 он не может. Общее правило: √(x²) = |x|, а |−7| = 7. Подкоренное выражение здесь равно 49 — оно неотрицательно, так что с определённостью всё в порядке.

2. При каком условии верно равенство √a · √b = √(ab)?
   - При любых a и b
   - При a ≥ 0 и b ≥ 0 — **верный ответ**
   - При ab ≥ 0
   - Только при a = b

   *Пояснение:* Требуется неотрицательность каждого множителя по отдельности. Условия «ab ≥ 0» не хватает: у пары a = −4, b = −9 произведение равно 36 и неотрицательно, но √(−4) и √(−9) не существуют среди действительных чисел — левая часть просто не определена, хотя правая даёт 6.

3. Найди значение выражения 32^(3/5).
   - 8 — **верный ответ**
   - 2
   - 19,2
   - 96

   *Пояснение:* Раскладываем основание: 32 = 2⁵. Дальше показатели перемножаются: (2⁵)^(3/5) = 2^(5·3/5) = 2³ = 8. Вариант 19,2 — это 32·0,6: показатель приняли за множитель. Вариант 96 — это 32·3.

4. Чему равно ⁵√(−243)?
   - 3
   - −3 — **верный ответ**
   - Не существует среди действительных чисел
   - −48,6

   *Пояснение:* Показатель корня нечётный, поэтому подкоренное выражение может быть любым. Ищем число, пятая степень которого равна −243: (−3)⁵ = −243, значит ⁵√(−243) = −3. Работает правило ²ᵏ⁺¹√(−a) = −²ᵏ⁺¹√a. Если бы показатель был чётным, ответом был бы третий вариант.

5. Найди значение выражения (1/27)^(−2/3).
   - 9 — **верный ответ**
   - 1/9
   - −9
   - 18

   *Пояснение:* Отрицательный показатель переворачивает дробь, а не меняет знак числа: (1/27)^(−2/3) = 27^(2/3). Дальше как обычно: 27 = 3³, (3³)^(2/3) = 3² = 9. Вариант −9 — как раз попытка «вынести минус» из показателя наружу.

6. Известно, что x < 0. Чему равно √(x²)?
   - x
   - −x — **верный ответ**
   - ±x
   - x²

   *Пояснение:* √(x²) = |x| при любом x. Модуль отрицательного числа равен ему с обратным знаком: |x| = −x при x < 0. И это не «отрицательный ответ»: если x = −5, то −x = 5, то есть положительное число. Вариант «x» — самая частая ошибка темы.

## Какие ошибки делают в задачах на корни?

- **Ошибка 1.** **Пишут $\sqrt{x^2} = x$.** Главная ошибка темы, и она не про формальности: при x = −5 левая часть равна 5, правая равна −5. Верно $\sqrt{x^2} = |x|$. Пока знак x неизвестен, модуль так и оставляют — раскрыть его можно только после разбора случаев.
- **Ошибка 2.** **Путают $\sqrt{a^2}$ и $\left(\sqrt{a}\right)^2$.** Это разные выражения. Во втором корень идёт первым, поэтому запись существует только при a ≥ 0, и тогда $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ без всякого модуля. В первом сначала квадрат, поэтому a любое, а модуль обязателен.
- **Ошибка 3.** **Применяют свойства корней к отрицательным подкоренным выражениям.** «$\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6$» — неверно на первом же шаге: у чётного корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, и левая часть не существует. Проверяй каждый множитель отдельно, а не их произведение.
- **Ошибка 4.** **Раздают корень по сумме.** «$\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$» не существует как свойство. Контрпример считается за секунды: $\sqrt{9+16} = 5$, а $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 7$. Корень «проходит» только сквозь умножение и деление.
- **Ошибка 5.** **Смешивают арифметический корень и корень уравнения.** У $x^2 = 9$ два корня, ±3. Но $\sqrt{9} = 3$ — одно число, и запись «$\sqrt{9} = \pm 3$» неверна. Слово «корень» здесь совпало случайно: знак ± рождается при решении уравнения, а не при извлечении корня.
- **Ошибка 6.** **Умножают основание на дробный показатель.** $16^{3/4}$ — это не 16·0,75 = 12, а 8. Показатель — не множитель. Считай только через разложение основания: 16 = 2⁴, значит $\left(2^4\right)^{3/4} = 2^3 = 8$.
- **Ошибка 7.** **Приписывают дробный показатель отрицательному основанию.** Записи $(-8)^{2/3}$ в школьной математике нет: степень с рациональным показателем определена только при положительном основании. Если такое выражение появилось, переписывай его через корень: $\sqrt[3]{(-8)^2} = 4$.
- **Ошибка 8.** **Теряют модуль при вынесении множителя.** $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$, а не $a\sqrt{b}$. Убрать модуль можно, только если про a отдельно известно, что оно неотрицательно. С числами эта ошибка не видна, а с буквами стоит баллов.

## Запомни для ЕГЭ

- $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a,\ \ a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$
- $\sqrt{x^2} = |x|, \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$
- $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|, \qquad \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$
- $\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab},\ \ a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$
- $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a > 0$
- $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}, \qquad b \geqslant 0$
- Степени наизусть: 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125

## На экзамене

- Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, ответ в бланк № 1. Закладывай на него около 3 минут: это одно из самых дешёвых по времени заданий первой части, и терять его нельзя. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, десятичный разделитель — запятая.
- Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена только линейка. Справочные материалы на профиле выдают, но в них всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы. Свойств корней и степеней там нет. Всё, что в этой теме, — наизусть.
- Первое действие в любом «корневом» задании 8 — разложить основания на степени простых. Не «посчитать», а именно разложить. Дальше выражение сворачивается почти само, а пока числа стоят как 16, 27 и 81, деваться некуда.
- Как только под корнем чётной степени оказалось выражение с переменной в чётной степени — сразу пиши модуль, не откладывая. Раскроешь потом, когда выяснишь знак. Обратный порядок стабильно приводит к потерянному минусу.
- Проверка на здравый смысл занимает секунду: ответ задания 8 обязан быть целым числом или короткой десятичной дробью. Осталось что-то вроде 2√5 − 3 — почти наверняка ошибка, и чаще всего именно в раскрытии модуля или в сложении непохожих корней.
- И держи в голове мостик к следующим темам: то же самое слово «неотрицательный» работает и за пределами задания 8. В уравнениях вида «корень равен многочлену» из неотрицательности корня сразу следует условие «правая часть ≥ 0» — именно оно потом отсекает посторонние корни.

## Словарь темы

- **Арифметический корень n-й степени** — Неотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a. Определён только при a ≥ 0 и сам всегда неотрицателен. Для данного a такое b ровно одно.
- **Показатель корня** — Натуральное число n в записи ⁿ√a, не меньше 2. Показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное выражение. Если показатель не написан, он равен 2.
- **Подкоренное выражение** — То, что стоит под знаком корня. При чётном показателе обязано быть неотрицательным, при нечётном может быть любым.
- **Радикал** — Знак корня √. Выражение, содержащее корни, называют иррациональным выражением.
- **Модуль числа** — Расстояние от числа до нуля на числовой прямой: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Всегда неотрицателен — поэтому именно модуль и получается при извлечении корня чётной степени из чётной степени.
- **Степень с рациональным показателем** — Определяется через арифметический корень: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) при a > 0, целом m и натуральном n ≥ 2. Для отрицательного основания не определяется, иначе одно и то же число получало бы разные значения.
- **Вынесение множителя из-под знака корня** — Приём преобразования: подкоренное выражение разбивают на точную степень и остаток, после чего точную степень выводят наружу. Например, √75 = √(25·3) = 5√3. Для буквенных выражений даёт модуль: √(a²b) = |a|√b.

## Частые вопросы

### Что такое арифметический корень n-й степени?

Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a. Он определён только при a ≥ 0 и сам всегда неотрицателен; для данного a такое b ровно одно.

### Как решать задания по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Шаги такие:

1. разложи каждое основание на степень простого числа
2. переведи корни в дробные показатели
3. сверни показатели
4. проверь знаки и область применимости
5. досчитай до числа и сверь формат.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Пишут √(x²) = x. Главная ошибка темы, и она не про формальности: при x = −5 левая часть равна 5, правая равна −5. Верно √(x²) = |x|. Пока знак x неизвестен, модуль так и оставляют — раскрыть его можно только после разбора случаев.

### Что нужно запомнить по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Главное:

1. ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a, a ≥ 0, b ≥ 0
2. √(x²) = |x|, (√a)² = a
3. ²ᵏ√(a²ᵏ) = |a|, ²ᵏ⁺¹√(a²ᵏ⁺¹) = a
4. ⁿ√a ⁿ√b = ⁿ√(ab), a ≥ 0, b ≥ 0
5. a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0
6. √(a² b) = |a|√b, b ≥ 0.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.3 «Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени»; 1.4 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.3 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня и проверяется заданием 8 (базовый уровень, 1 балл).
- Задание 8 — «Найдите значение выражения», ответ в бланк № 1: целое число или конечная десятичная дробь; на него уходит порядка 3 минут.
- Реальные задания № 8 требуют перевода корня в степень с дробным показателем: 27^(2/3) = 9, 16^(3/4) = 8, (1/8)^(−2/3) = 4, 4^(1/2)+9^(1/2)+25^(1/2) = 10.
- Определение: арифметический корень n-й степени из a ≥ 0 — это неотрицательное b с bⁿ = a; такое b существует и единственно.
- Корень чётной степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении; корень нечётной степени определён при любом и сохраняет знак: ³√(−8) = −2, ⁵√(−32) = −2, ²ᵏ⁺¹√(−a) = −²ᵏ⁺¹√a.
- √(x²) = |x| для любого действительного x; в общем виде ²ᵏ√(a²ᵏ) = |a|, ²ᵏ⁺¹√(a²ᵏ⁺¹) = a. При этом (√a)² = a при a ≥ 0.
- Свойства √a·√b = √(ab), √a/√b = √(a/b), (ⁿ√a)^m = ⁿ√(aᵐ), ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a, (ⁿ√a)ⁿ = a верны при a ≥ 0, b ≥ 0 (в дроби b ≠ 0), и требование относится к каждому числу отдельно.
- Корень не раскладывается по сумме: √(a+b) ≠ √a + √b.
- Вынесение множителя из-под корня: √75 = 5√3, √12 = 2√3; для буквенных выражений √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0.
- Степень с рациональным показателем определяется через арифметический корень: a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) при a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2.
- Дробный показатель не определяют для отрицательного основания, иначе значение зависело бы от записи дроби: 1/3 = 2/6, но ³√(−8) = −2, а ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2.
- На профиле калькулятор запрещён, разрешена линейка, а в справочных материалах выдают всего четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β).
- Неотрицательность арифметического корня даёт условие «правая часть ≥ 0» в иррациональных уравнениях, и оно отсекает посторонние корни.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Свойства степеней: таблица формул с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kubov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.