---
title: "Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства — теория ЕГЭ"
description: "Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби; оно требует ОДЗ и отсева посторонних корней."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства

Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби; оно требует ОДЗ и отсева посторонних корней. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла), где её техника работает внутри решения.

Рациональные уравнения и неравенства — двигатель всего блока 2: замена в показательном, логарифмическом или тригонометрическом уравнении почти всегда приводит именно к ним. Одна и та же тема даёт задание 7 за 1 балл и задание 16 за 2 балла. Разница — в обосновании и в скобках ответа: нуль числителя может входить, нуль знаменателя — никогда.

**Задание КИМ:** Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл в № 7  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Чем целое уравнение отличается от дробно-рационального?

**Целое рациональное уравнение** — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $x^3 = 4x$, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Подставлять в него можно любое число, ограничений нет.

**Дробно-рациональное** — то, где переменная в знаменателе есть: $\dfrac{x-3}{x+2} = 0$. Здесь появляется **ОДЗ** — область допустимых значений, то есть все числа, при которых выражение вообще имеет смысл. Правило одно и очень простое: **знаменатель не равен нулю**. Делить на ноль нельзя, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать.

Отсюда вся тема укладывается в одну мысль, которую стоит запомнить дословно: **сначала найди, что запрещено, потом ищи корни, потом выбрось из них запрещённое**. Порядок важен. Если выписать ОДЗ в конце, а не в начале, легко забыть про неё вовсе — и сдать в ответ корень, который на самом деле запрещён.

Ещё одна деталь, которая экономит время: знаменатель может не иметь нулей вовсе. У дроби $\dfrac{x-1}{x^2+4}$ знаменатель всегда положителен, потому что $x^2 \geqslant 0$ при любом $x$, а значит $x^2 + 4 \geqslant 4$. ОДЗ — все действительные числа, отсеивать нечего. Проверить это стоит секунды, а сэкономить может минуту паники.

![Сравнение целого уравнения на весах и дробно-рационального выражения с исключёнными точками знаменателя](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv-1.png)

*У целого уравнения нет ограничений из знаменателя, а у дробно-рационального сначала отмечают недопустимые значения.*

## Целые уравнения: всё сводится к разложению на множители

Главный инструмент здесь один, и он не формула, а факт: **произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю**. Поэтому цель любого преобразования — собрать всё в левой части и разложить её на множители.

**Квадратное уравнение** ты либо решаешь через дискриминант, либо угадываешь корни по теореме Виета, если коэффициенты целые и небольшие:

$$
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac
$$

$$
x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
$$

Для $x^2 - 5x + 6 = 0$ Виета читается так: сумма корней 5, произведение 6. Два числа с такой суммой и произведением — 2 и 3. Дискриминант тут не нужен вовсе, а на экзамене без калькулятора это заметная экономия. Найденные корни сразу дают разложение $(x-2)(x-3)$ — та же техника разложения работает и в неравенствах.

**Степень выше второй.** Не пугайся: почти всегда работает вынесение общего множителя или группировка. Уравнение $x^3 = 4x$ решается так: переносим всё влево и выносим $x$ за скобку.

$$
x^3 - 4x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x(x^2 - 4) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x(x-2)(x+2) = 0
$$

Корни: $0,\; 2,\; -2$. А вот если бы ты в самом начале поделил обе части на $x$, то получил бы $x^2 = 4$ и потерял корень $x = 0$ навсегда. **Делить обе части на выражение с переменной нельзя** — можно только выносить его за скобку.

Если разложение не видно, ищи целый корень среди делителей свободного члена. У $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ свободный член 6, значит кандидаты — $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Подставляем $x = -1$: $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Корень найден, значит многочлен делится на $(x+1)$:

$$
x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x^2 - 5x + 6)
$$

Дальше — уже знакомое квадратное. Итого три корня: $-1,\; 2,\; 3$.

**Замена переменной.** Уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ становится квадратным после подстановки $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0$, откуда $t = 1$ и $t = 4$, а значит $x = \pm 1$ и $x = \pm 2$ — четыре корня. Но у замены есть цена: **у новой переменной своё ограничение, и его надо выписать сразу**. Здесь $t = x^2 \geqslant 0$. Проверь на уравнении $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$: замена даёт $t^2 + 3t - 4 = 0$, корни $t = 1$ и $t = -4$. Второй отбрасываем, он отрицательный, — и остаётся всего два корня $x = \pm 1$, а не четыре.

## Когда дробь равна нулю и какие корни отбросить?

Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю. Но не всякий нуль числителя годится — точка ещё должна попадать в ОДЗ. Полностью это записывается системой, и именно так стоит писать в части 2:

$$
\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}
$$

Второе условие — не формальность. Разберём $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x - 2} = 0$. Числитель раскладывается как $(x+5)(x-2)$, его нули — $-5$ и $2$. Знаменатель обнуляется ровно при $x = 2$. То есть больший из «корней» числителя как раз и запрещён: он не решение, а **посторонний корень** — число, которое подошло бы по числителю, но выброшено ОДЗ. Остаётся единственный ответ $x = -5$. Задание 7 любит такую конструкцию: спрашивают «больший корень», а больший — тот самый, которого нет.

**Общий случай.** Если дробей несколько или справа не ноль, приводи всё к одной дроби. Уравнение $\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{6}{x^2-9}$ решается так. Сначала ОДЗ: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, значит $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Теперь умножаем обе части на $(x-3)(x+3)$:

$$
(x+3) + (x-3) = 6 \;\Longleftrightarrow\; 2x = 6 \;\Longleftrightarrow\; x = 3
$$

Единственный кандидат — $x = 3$, но он запрещён ОДЗ. Значит **уравнение не имеет корней**. Если бы ОДЗ не выписали в начале, в бланк ушла бы тройка.

Обрати внимание: **в уравнении** умножить обе части на знаменатель можно — при условии, что ОДЗ ты уже записал. Ты получаешь новое уравнение, среди корней которого могут оказаться лишние, и ОДЗ их вылавливает. В неравенстве этот приём запрещён: знак выражения с переменной в знаменателе заранее неизвестен, поэтому умножение способно незаметно развернуть неравенство — на выражение с переменной умножать нельзя.

## Почему в неравенстве нельзя умножать на знаменатель?

Вот ошибка, которая обнуляет верное по духу решение. Пусть надо решить $\dfrac{x+1}{x-2} > 1$. Рука тянется умножить обе части на $x-2$:

$$
x + 1 > x - 2 \;\Longrightarrow\; 1 > -2
$$

Получилось тождество, «верное при любом $x$». Проверим этот вывод одним числом: при $x = 0$ левая часть исходного неравенства равна $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5$, а неравенство $-0{,}5 > 1$ ложно. Значит «любой $x$» — не ответ. Одно число опровергло всё решение целиком.

**Причина.** Умножение неравенства на **положительное** число знак сохраняет, на **отрицательное** — разворачивает. А знак выражения $x-2$ заранее неизвестен: при $x > 2$ оно положительно, при $x < 2$ отрицательно. Умножая на него, ты молча выбираешь один из двух случаев и теряешь второй. Это не арифметическая помарка, а логическая: в критериях задания 16 балл ставят за **обоснованно верный ответ**, а такого обоснования просто нет.

**Что делать вместо этого.** Перенести всё в левую часть, чтобы справа остался ноль, и привести к одной дроби:

$$
\dfrac{x+1}{x-2} - 1 > 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{(x+1) - (x-2)}{x-2} > 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{3}{x-2} > 0
$$

Числитель — положительная константа, поэтому дробь положительна ровно тогда, когда положителен знаменатель: $x > 2$. Ответ: $(2; +\infty)$. Сверься: при $x = 3$ получаем $\dfrac{4}{1} = 4 > 1$ — верно.

Запомни формулировку целиком: **справа ноль, слева одна дробь, дальше метод интервалов**. Других способов решать дробное неравенство на экзамене тебе не понадобится. Сам метод интервалов для дробей — с числовой прямой и несколькими точками — пошагово разберём дальше: в следующем блоке про скобки и в примере с неравенством ниже. Целое (квадратичное) неравенство как самостоятельный объект, вроде $x^2 - x - 6 \geqslant 0$, живёт в теме кода 2.7; здесь же квадратный трёхчлен встречается только как числитель или знаменатель дроби. Вся разница именно в знаменателе.

## Скобки в ответе: где квадратная, где круглая

Это место, где теряют балл при полностью верном ходе решения. Правил всего два, и они не симметричны.

**Нуль числителя.** В этой точке дробь равна нулю. Если знак неравенства нестрогий ($\leqslant$ или $\geqslant$), ноль нас устраивает — точка **входит** в ответ, скобка квадратная. Если знак строгий ($<$ или $>$) — не входит, скобка круглая.

**Нуль знаменателя.** В этой точке дроби просто не существует. Она **не входит никогда** — ни при строгом знаке, ни при нестрогом. Скобка всегда круглая. Нестрогий знак на это правило не влияет вообще: $\geqslant$ разрешает дроби быть нулём, но не разрешает ей быть неопределённой.

Посмотрим на неравенстве $\dfrac{x^2 - x - 6}{x-1} \geqslant 0$. Числитель раскладывается как $(x-3)(x+2)$, его нули — $-2$ и $3$. Нуль знаменателя — $x = 1$. Три точки делят прямую на четыре промежутка; знак дроби на каждом определяем подстановкой любого удобного числа.

Знак неравенства нестрогий, поэтому $-2$ и $3$ закрашиваем, а $1$ выкалываем. Ответ: $[-2; 1) \cup [3; +\infty)$. Вглядись в запись $[-2; 1)$: слева скобка квадратная, справа круглая — в одном промежутке обе. Это не опечатка, а два разных правила, сработавших на двух его концах.

Все три нуля здесь простые — то есть каждый множитель входит в разложение ровно один раз, а не в квадрате, — поэтому знаки честно чередуются: минус, плюс, минус, плюс. Если же множитель стоит в квадрате (корень кратный), в этой точке знак не меняется, и чередование сбивается. Проверить чередование — самый быстрый способ поймать ошибку в разложении: когда все нули простые, два соседних промежутка одного знака означают, что что-то посчитано неверно.

*Рисунок: Знаки дроби (x² − x − 6)/(x − 1) на промежутках. Нули числителя −2 и 3 закрашены — при знаке ≥ они входят в ответ. Нуль знаменателя 1 выколот. Ответ: [−2; 1) ∪ [3; +∞)*

## Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Это самый полезный кадр темы. Теория у заданий 7, 14 и 16 одна и та же — отличается только то, что от тебя требуют показать.

**Задание 7** — базовый уровень, 1 балл, краткий ответ в бланк № 1: целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, поэтому черновик может быть каким угодно. Но именно поэтому здесь так дорого стоит невнимательность: оговорку «в ответе укажите больший корень» или «запишите положительный корень» надо перечитать до того, как ты запишешь число.

**Задание 16** — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение в бланк № 2. Ответ — **промежуток или объединение промежутков**, а не число. Проверяет живой эксперт, и он смотрит на ход. По критериям 2 балла ставят за обоснованно верный ответ; 1 балл — если **вся последовательность шагов верна**, а испорчена только вычислительная ошибка. Отсюда практический вывод: даже когда ты не уверен в арифметике, выписывай ОДЗ, приведение к одной дроби и разбор знаков полностью. Пропущенный шаг стоит дороже, чем ошибка в шаге.

**Задание 14** — повышенный уровень, 2 балла, два пункта: а) решить уравнение, б) отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку. Чаще всего там стоит тригонометрическое уравнение, и техника этой темы работает внутри него как двигатель. Например, $\operatorname{tg} x - 2\operatorname{ctg} x = 1$ после замены $t = \operatorname{tg} x$ превращается в $t - \dfrac{2}{t} = 1$ — обычное дробно-рациональное уравнение с условием $t \neq 0$. Умножаем на $t$, получаем $t^2 - t - 2 = 0$, то есть $t = 2$ или $t = -1$. Сами тригонометрические уравнения — тема кода 2.5, замены с показательными — 2.3; но квадратное уравнение и ограничение на замену, которые там решают дело, ты берёшь отсюда.

Держи эту связку в голове, когда учишь тему. Ты учишь не «задание 7 за 1 балл» — ты учишь механику, которая молча работает в половине части 2.

## Правила темы в одной таблице

*Формулы и правила для целых и дробных уравнений и неравенств*

| Правило | Запись | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Произведение равно нулю | хотя бы один множитель равен нулю | Всё собирают слева и раскладывают; делить на выражение с переменной нельзя — только выносить за скобку |
| Дискриминант | $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\ D = b^2 - 4ac$ | Любое квадратное уравнение |
| Теорема Виета | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ | Когда коэффициенты целые и небольшие: корни угадываются без дискриминанта |
| Разложение трёхчлена | $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ | Найденные корни сразу дают множители для неравенства |
| Целый корень | ищут среди делителей свободного члена | Степень выше второй: нашёл корень x₀ — многочлен делится на (x − x₀) |
| Замена переменной | $t = x^2,\ t \geqslant 0$ | Ограничение на новую переменную выписывают сразу |
| Дробь равна нулю | $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases}$ | Сначала ОДЗ, потом корни, потом отсев запрещённых |
| Дробное неравенство | справа ноль, слева одна дробь, дальше метод интервалов | Умножать обе части на знаменатель с переменной нельзя: его знак неизвестен |
| Скобки в ответе | нуль числителя при ≤ или ≥ — квадратная; нуль знаменателя — круглая | Нуль знаменателя не входит в ответ никогда, даже при нестрогом знаке |

## Разбор: уравнение уровня задания 7

**Условие.** Решите уравнение (x² + 3x − 10)/(x − 2) = 0. Если корней несколько, в ответе укажите больший.

**Решение.**

- **Шаг 1. ОДЗ.** Знаменатель не должен обращаться в ноль: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Записываем это сразу, до всяких вычислений.
- **Шаг 2. Приравниваем числитель к нулю.** Дробь равна нулю только там, где ноль её числитель:
- $x^2 + 3x - 10 = 0$
- По теореме Виета ищем два числа с суммой $-3$ и произведением $-10$. Это $2$ и $-5$. Значит числитель раскладывается так:
- $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$
- Нули числителя: $x = 2$ и $x = -5$.
- **Шаг 3. Отсеиваем по ОДЗ.** Кандидат $x = 2$ запрещён: он обнуляет знаменатель. Это посторонний корень, в ответ он не идёт.
- **Шаг 4. Читаем вопрос.** Просили больший корень. Но корень остался ровно один — $x = -5$, он же и больший, и меньший, и единственный. Оговорка про «больший» здесь и есть ловушка: она подталкивает записать двойку, которую ты только что вычеркнул.
- **Шаг 5. Проверка подстановкой.** При $x = -5$ числитель равен $25 - 15 - 10 = 0$, знаменатель — $-5 - 2 = -7 \neq 0$. Дробь равна $0/(-7) = 0$. Верно. В задании 7 такая проверка занимает двадцать секунд и ловит почти любую ошибку.

**Ответ:** −5.

## Разбор: неравенство уровня задания 16

**Условие.** Решите неравенство (x + 4)/(x − 1) ≥ 2.

**Решение.**

- **Шаг 1. ОДЗ.** $x - 1 \neq 0$, значит $x \neq 1$.
- **Шаг 2. Справа — ноль.** Умножать на $x-1$ нельзя: его знак неизвестен. Переносим двойку влево.
- $\dfrac{x+4}{x-1} - 2 \geqslant 0$
- **Шаг 3. Одна дробь.** Приводим к общему знаменателю $x-1$:
- $\dfrac{(x+4) - 2(x-1)}{x-1} \geqslant 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{x + 4 - 2x + 2}{x-1} \geqslant 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{6-x}{x-1} \geqslant 0$
- **Шаг 4. Уберём минус перед x.** С $6-x$ легко ошибиться в знаках, поэтому умножим обе части на $-1$, чтобы $x$ шёл с плюсом. Это **число**, а не выражение с переменной, его знак известен — и потому знак неравенства мы обязаны развернуть:
- $\dfrac{x-6}{x-1} \leqslant 0$
- **Шаг 5. Метод интервалов.** Нуль числителя $x = 6$, нуль знаменателя $x = 1$. Они делят прямую на три промежутка. Подставляем по числу из каждого: при $x = 0$ получаем $\dfrac{-6}{-1} = 6 > 0$; при $x = 2$ получаем $\dfrac{-4}{1} = -4 < 0$; при $x = 7$ получаем $\dfrac{1}{6} > 0$. Знаки чередуются: плюс, минус, плюс.
- **Шаг 6. Собираем ответ.** Нужен знак $\leqslant$, то есть промежуток с минусом — это $(1; 6)$. Теперь концы. Точка $x = 6$ — нуль числителя, знак нестрогий, значит она входит: скобка квадратная. Точка $x = 1$ — нуль знаменателя, она не входит никогда: скобка круглая.
- **Шаг 7. Проверка.** При $x = 6$ исходное неравенство даёт $10/5 = 2 \geqslant 2$ — верно, граница на месте. При $x = 7$ получаем $11/6 \approx 1{,}83$, а это меньше двойки — правильно, что семёрка не вошла. При $x = 0$ выходит $4/(-1) = -4$ — тоже меньше двойки, ноль вне ответа. Всё сходится.

**Ответ:** (1; 6].

## Как решать дробно-рациональные неравенства?

1. **Выпиши ОДЗ первой строкой.** Приравняй каждый знаменатель к нулю и запиши, чего $x$ не может быть. Не в конце решения, а в самом начале — тогда точно не забудешь.
2. **Перенеси всё влево, чтобы справа остался ноль.** Никаких умножений на знаменатель: его знак неизвестен, и на этом рушится обоснование.
3. **Приведи к одной дроби** и разложи числитель и знаменатель на множители. Цель — чтобы слева стояла ровно одна дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ с разложенными на множители числителем и знаменателем, а справа — ноль.
4. **Отметь на прямой нули числителя и нули знаменателя.** Нули числителя закрашивай при нестрогом знаке и выкалывай при строгом. Нули знаменателя выкалывай всегда, без исключений.
5. **Расставь знаки по промежуткам.** Подставь любое удобное число из каждого промежутка. Если все нули простые, знаки чередуются — это бесплатная проверка себя.
6. **Выпиши ответ промежутками и проверь скобки.** Один взгляд на каждый конец: это нуль числителя или знаменателя? Тридцать секунд, а спасают целый балл.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл в этой теме. Считай на бумаге, калькулятора на экзамене не будет.

1. Решите уравнение (x² − 7x + 12)/(x − 4) = 0. Если корней несколько, укажите больший.
   - 3 — **верный ответ**
   - 4
   - 3 и 4
   - Корней нет

   *Пояснение:* Числитель раскладывается как (x − 3)(x − 4), его нули — 3 и 4. Но ОДЗ требует x ≠ 4, и четвёрка обнуляет знаменатель: это посторонний корень. Остаётся единственный корень x = 3. Оговорка «укажите больший» здесь работает как ловушка: она провоцирует записать 4, то есть ровно то число, которое запрещено.

2. Каким будет ответ неравенства (x − 1)/(x + 4) ≤ 0?
   - (−4; 1] — **верный ответ**
   - [−4; 1]
   - (−4; 1)
   - [−4; 1)

   *Пояснение:* Нуль числителя x = 1, нуль знаменателя x = −4. Подстановка показывает: при x = 0 дробь равна −0,25 < 0, значит нужный промежуток между −4 и 1. Знак нестрогий, поэтому нуль числителя 1 входит — квадратная скобка. Нуль знаменателя −4 не входит никогда, даже при нестрогом знаке — круглая скобка. Итого (−4; 1].

3. Ученик решает неравенство (2x + 1)/(x − 3) > 2. Он умножил обе части на (x − 3), получил 2x + 1 > 2x − 6, то есть 1 > −6, и записал: «верно при любом x». В чём ошибка?
   - Ошибки нет: неравенство действительно верно при любом x
   - Знак множителя (x − 3) неизвестен, поэтому при x < 3 неравенство должно было развернуться; верный ответ x > 3 — **верный ответ**
   - Ошибка только в том, что забыли записать ОДЗ x ≠ 3, в остальном решение верное
   - Надо было возвести обе части в квадрат

   *Пояснение:* Умножение на выражение с переменной запрещено: при x > 3 множитель положителен и знак сохраняется, при x < 3 отрицателен и знак должен развернуться. Ученик молча взял только первый случай. Проверка одним числом это обнажает: при x = 0 левая часть равна 1/(−3) ≈ −0,33, а это не больше двойки. Верный путь: (2x + 1)/(x − 3) − 2 > 0 → (2x + 1 − 2x + 6)/(x − 3) = 7/(x − 3) > 0 → x > 3.

4. Сколько корней у уравнения 1/(x − 4) + 1/(x + 4) = 8/(x² − 16)?
   - Один корень x = 4
   - Один корень x = −4
   - Два корня
   - Корней нет — **верный ответ**

   *Пояснение:* ОДЗ: x² − 16 = (x − 4)(x + 4), значит x ≠ 4 и x ≠ −4. Умножаем обе части на (x − 4)(x + 4): (x + 4) + (x − 4) = 8, то есть 2x = 8 и x = 4. Единственный кандидат запрещён ОДЗ — значит корней нет. Это ровно тот случай, ради которого ОДЗ выписывают первой строкой: без неё в бланк ушла бы четвёрка.

5. Сколько действительных корней у уравнения x⁴ + 3x² − 4 = 0?
   - Четыре
   - Два — **верный ответ**
   - Один
   - Корней нет

   *Пояснение:* Замена t = x², причём обязательно с условием t ≥ 0. Получаем t² + 3t − 4 = 0, то есть (t + 4)(t − 1) = 0, откуда t = −4 и t = 1. Корень t = −4 отбрасываем: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 1, то есть x² = 1 и x = ±1 — всего два корня. Если ограничение на замену забыть, легко «получить» четыре.

## Какие ошибки делают в дробно-рациональных уравнениях?

- **Ошибка 1.** **Умножают неравенство на знаменатель.** Главная ошибка темы. Знак выражения $x-2$ заранее неизвестен, поэтому умножение на него либо сохраняет, либо разворачивает знак неравенства — а ты не знаешь, что именно. Всегда переноси всё влево и приводи к одной дроби. На число умножать можно: знак числа известен, просто не забудь развернуть неравенство, если число отрицательное.
- **Ошибка 2.** **Ставят квадратную скобку у нуля знаменателя.** Нестрогий знак $\leqslant$ разрешает дроби быть нулём, но не разрешает ей быть неопределённой. Нуль знаменателя выколот всегда — и при $<$, и при $\leqslant$. Ход решения при этом может быть безупречным, а балл всё равно уйдёт.
- **Ошибка 3.** **Решают только числитель и не смотрят на знаменатель.** В уравнении $\dfrac{x^2+3x-10}{x-2} = 0$ числитель даёт корни $2$ и $-5$, но двойка запрещена ОДЗ. Обидно вдвойне, потому что задание 7 часто просит именно **больший** корень — то есть ровно тот, который посторонний.
- **Ошибка 4.** **Делят обе части уравнения на выражение с переменной.** Из $x^3 = 4x$ делением на $x$ получают $x^2 = 4$ и два корня $\pm 2$, потеряв третий — $x = 0$. Правильно выносить за скобку: $x(x-2)(x+2) = 0$ — три корня.
- **Ошибка 5.** **Сокращают дробь на множитель с переменной.** В неравенстве $\dfrac{x-2}{(x-2)(x+5)} > 0$ сокращение даёт $\dfrac{1}{x+5} > 0$ и ответ $x > -5$. Но в исходном выражении при $x = 2$ и числитель, и знаменатель равны нулю — точки просто нет. Верный ответ $(-5; 2) \cup (2; +\infty)$. Сокращать можно, но ОДЗ снимают **с исходной** дроби, до сокращения.
- **Ошибка 6.** **Забывают ограничение на замену.** При $t = x^2$ обязательно $t \geqslant 0$; если новая переменная попадает в знаменатель — ещё и $t \neq 0$. Условие пишется в момент замены, а не вспоминается в конце. Без него у $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ «находят» четыре корня вместо двух.
- **Ошибка 7.** **Записывают в ответ задания 16 число вместо промежутка.** Ответ неравенства — множество, и выглядит он как $[-2; 1) \cup [3; +\infty)$, а не как одно найденное значение. Нули числителя и знаменателя — это границы промежутков, а не сам ответ.

## Запомни для ЕГЭ

- $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases}$
- $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D = b^2 - 4ac$
- $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
- $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- Нуль числителя при ≤ или ≥ входит: квадратная скобка. Нуль знаменателя не входит никогда: круглая

## На экзамене

- Задание 7 стоит 1 балл — закладывай на него 2–3 минуты. Нашёл корень, подставь его обратно: проверка занимает полминуты и ловит почти всё. И перечитай оговорку — «больший корень», «положительный корень» — прежде чем переносить число в бланк.
- Ответ задания 7 — целое число или конечная десятичная дробь, и десятичный разделитель в бланке — запятая. Если у тебя получился корень вида $\sqrt{5}$ или бесконечная дробь, ищи ошибку: в этом задании таких ответов не бывает.
- В задании 16 выписывай ОДЗ, приведение к одной дроби и разбор знаков полностью, даже если сомневаешься в арифметике. По критериям 1 балл ставят, когда верна вся последовательность шагов, а испорчено только вычисление. Пропущенный шаг такого шанса не оставляет.
- Ответ задания 16 — промежуток или объединение промежутков. Прежде чем закрыть задание, пройди глазами по каждому концу ответа и спроси себя: это нуль числителя или знаменателя? Скобки — самая дешёвая потеря балла в этой теме.
- Калькулятора на экзамене нет, а в справочных материалах профиля всего четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Ни дискриминанта, ни теоремы Виета там нет — их надо знать наизусть.
- Числа в заданиях 7 и 16 подобраны так, чтобы считаться в уме. Если дискриминант вышел четырёхзначным и некрасивым — почти наверняка ошибка в знаке, а не «задача такая». Перепроверь коэффициенты и попробуй Виету: она часто даёт корни быстрее и без арифметики.

## Словарь темы

- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении или неравенстве имеют смысл. Для рациональных выражений условие ровно одно: знаменатель не равен нулю.
- **Целое рациональное уравнение** — Уравнение, в котором переменная не входит в знаменатель: многочлен равен нулю. ОДЗ — все действительные числа.
- **Дробно-рациональное уравнение** — Уравнение, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби. Требует ОДЗ и отсева посторонних корней.
- **Посторонний корень** — Число, которое удовлетворяет полученному по ходу решения уравнению, но не входит в ОДЗ исходного. Возникает, например, после умножения обеих частей на знаменатель. В ответ не идёт.
- **Метод интервалов** — Способ решить неравенство, приведённое к виду «слева одна дробь, справа ноль»: нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на промежутки, внутри каждого знак выражения постоянен и определяется подстановкой одного числа. Подробно разбирается в теме кода 2.7.
- **Теорема Виета** — Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Позволяет угадывать целые корни без дискриминанта.
- **Замена переменной** — Приём, сводящий уравнение к более простому: например, t = x² превращает x⁴ − 5x² + 4 = 0 в квадратное. У новой переменной всегда своё ограничение (здесь t ≥ 0), и записывать его нужно в момент замены.
- **Равносильность** — Два уравнения (неравенства) равносильны, если у них одно и то же множество решений. Перенос слагаемого через знак равенства равносильность сохраняет; умножение обеих частей на выражение с переменной — нет.

## Частые вопросы

### Что такое дробно-рациональное уравнение?

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби. Оно требует ОДЗ (знаменатель не равен нулю) и отсева посторонних корней, а в целом рациональном уравнении переменная в знаменатель не входит и ограничений нет.

### Как решать дробно-рациональные неравенства?

Шаги такие:

1. выпиши ОДЗ первой строкой
2. перенеси всё влево, чтобы справа остался ноль
3. приведи к одной дроби
4. отметь на прямой нули числителя и нули знаменателя
5. расставь знаки по промежуткам.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства»?

Умножают неравенство на знаменатель. Главная ошибка темы. Знак выражения x-2 заранее неизвестен, поэтому умножение на него либо сохраняет, либо разворачивает знак неравенства — а ты не знаешь, что именно. Всегда переноси всё влево и приводи к одной дроби. На число умножать можно: знак числа известен, просто не забудь развернуть неравенство, если число отрицательное.

### Что нужно запомнить по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства»?

Главное:

1. P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}
2. x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a), D = b² - 4ac
3. x₁ + x₂ = -b/a, x₁ x₂ = c/a
4. ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
5. a² - b² = (a - b)(a + b).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения»; 2.5 «Целые и дробно-рациональные неравенства».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 2.1 кодификатора ФИПИ по профильной математике и охватывает целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства.
- Тема проверяется заданиями 7, 14 и 16; задание 7 — базовый уровень, 1 балл; задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла.
- Ответ части 1 (в том числе задания 7) — целое число или конечная десятичная дробь, вносится в бланк № 1; ответ части 2 (задания 14 и 16) — развёрнутое решение в бланк № 2.
- Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке; 0 — иначе.
- Критерий задания 14: 2 балла — верно выполнены оба пункта (решение и отбор корней); 1 балл — верен ровно один пункт.
- Ответ задания 16 — промежуток или объединение промежутков, а не число.
- Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
- Разложение x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2), корни −5 и 2; с учётом ОДЗ x ≠ 2 у уравнения (x² + 3x − 10)/(x − 2) = 0 остаётся единственный корень −5.
- Ответ неравенства (x + 4)/(x − 1) ≥ 2 равен (1; 6].
- Ответ неравенства (x² − x − 6)/(x − 1) ≥ 0 равен [−2; 1) ∪ [3; +∞); знаки дроби по промежуткам — минус, плюс, минус, плюс.
- Умножать обе части неравенства на выражение с переменной нельзя: (x + 1)/(x − 2) > 1 при таком умножении даёт ложный вывод «верно при любом x», тогда как верный ответ — (2; +∞).
- Уравнение 1/(x−3) + 1/(x+3) = 6/(x²−9) не имеет корней; аналогично 1/(x−4) + 1/(x+4) = 8/(x²−16).
- Из x³ = 4x делением на x теряется корень x = 0; верное решение x(x−2)(x+2) = 0 даёт три корня: 0, 2, −2.
- x³ − 4x² + x + 6 = (x + 1)(x² − 5x + 6), корни −1, 2, 3; кандидаты на целый корень — делители свободного члена 6.
- x⁴ − 5x² + 4 = 0 имеет четыре корня (±1, ±2), а x⁴ + 3x² − 4 = 0 — только два (±1), потому что при замене t = x² обязательно t ≥ 0.
- В неравенстве (x−2)/((x−2)(x+5)) > 0 сокращение на (x−2) теряет точку x = 2; верный ответ (−5; 2) ∪ (2; +∞).
- Теорема Виета в приведённом виде: сумма корней равна −p, произведение равно q; для x² − 5x + 6 = 0 корни 2 и 3, для x² + 3x − 10 = 0 корни 2 и −5.
- tg x − 2 ctg x = 1 после замены t = tg x сводится к дробно-рациональному уравнению t − 2/t = 1 с условием t ≠ 0, то есть к t² − t − 2 = 0 с корнями 2 и −1.
- На профиле в справочных материалах выдают только четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β); дискриминанта и теоремы Виета там нет. Калькулятор запрещён.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/)
- [Метод интервалов: алгоритм и правило знаков](https://neuromisha.ru/spravochnik/metod-intervalov/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры решения](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Дискриминант: формула и как найти корни квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Формулы сокращённого умножения: все семь с примерами](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.