---
title: "Действительные (вещественные) числа: что это, схема и примеры"
description: "Действительные числа — все рациональные и иррациональные числа, вся числовая прямая. Схема, примеры, модуль, оценка корней, округление и тест."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/deystvitelnye-chisla/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Действительные числа (вещественные): что это такое, виды и примеры

Действительные (вещественные) числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе: каждому из них соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — число. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там без калькулятора раскрывают модуль, зажимают корень между целыми и записывают ответ по правилам округления.

Действительные числа — это вся числовая прямая целиком. Но кодификатор требует от темы не рассуждений про множества, а трёх рабочих навыков без калькулятора: раскрыть модуль, зажать иррациональное число между целыми и округлить ответ так, как принимает бланк № 1.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Что такое действительные числа и какие они бывают?

Действительные числа — это все числа, которые можно отметить точкой на числовой прямой. Каждой точке прямой отвечает ровно одно действительное число, и наоборот. Слово «вещественное» означает ровно то же самое: это синонимы, просто в российской школе принято говорить «действительное».

Всё множество действительных чисел распадается на две части, и третьей не бывает. **Рациональное** число — то, которое можно записать дробью $\dfrac{m}{n}$, где $m$ целое, а $n$ — натуральное. **Иррациональное** — то, которое так записать нельзя.

Определение через дробь на экзамене неудобно: попробуй за минуту доказать, что дроби не существует. Поэтому пользуйся практическим признаком — по десятичной записи:

Запись **конечная** (0,25) или **бесконечная периодическая** (0,(3)) — число **рациональное**. Запись **бесконечная непериодическая** — число **иррациональное**. Например, 0,25 = 1/4 и 0,(3) = 1/3 рациональны, а $\sqrt{2}$ и $\pi$ — нет.

**Главная ловушка темы: знак корня сам по себе ничего не решает.** Рука тянется объявить иррациональным любое выражение, где есть $\sqrt{\phantom{x}}$. Но $\sqrt{16} = 4$ — обычное натуральное число, а $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ — конечная десятичная дробь.

Точное правило для натурального $n$ такое: $\sqrt{n}$ рационален тогда и только тогда, когда $n$ — точный квадрат (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...). Во всех остальных случаях — иррационален. Поэтому $\sqrt{17}$ иррационален, а $\sqrt{49}$ — нет.

Держи в голове первые квадраты до 20² = 400: на них строится вся оценка в этой теме, а таблицы квадратов на экзамене не выдают.

Как умножать, делить и выносить множитель из-под корня — это тема кода 1.3. Здесь корень нужен нам не как объект преобразований, а как типичное иррациональное число, которое надо уметь оценить и сравнить.

![Рациональные и иррациональные точки вместе заполняют непрерывную действительную числовую прямую](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/deystvitelnye-chisla-1.png)

*Действительная прямая объединяет рациональные и иррациональные числа: каждой её точке соответствует число.*

## Арифметика: что сохраняется, а что нет

Сложение, вычитание, умножение и деление на действительных числах работают по тем же законам, что и на дробях из средней школы: переместительный, сочетательный, распределительный. Результат любой из этих операций — снова действительное число. Единственное исключение — деление на ноль: оно не определено, и никакой ноль в знаменателе «сократить» нельзя.

А вот **иррациональность при операциях не сохраняется**, и это не абстракция — на этом эффекте и строятся задания № 8 с корнями.

**Рациональное плюс иррациональное — всегда иррационально.** Убедись сам: будь сумма $r + i$ рациональной, тогда и $i = (r + i) - r$ оказалось бы рациональным — как разность двух дробей. А оно иррационально. Значит, рациональной сумма быть не может. По той же причине иррациональное, умноженное на любое **ненулевое** рациональное, снова иррационально.

**А вот два иррациональных вместе могут дать рациональное.** Проверь сам:

$$
\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2, \qquad (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$

Оба множителя и оба слагаемых иррациональны, а результат — целое число. Отсюда практический вывод, который экономит нервы на экзамене: **увидел корни в условии задания 8 — не спеши считать, что ответ будет «некрасивым».**

Ответ части 1 обязан быть целым числом или конечной десятичной дробью, значит корни где-то сократятся, свернутся или уничтожатся. Если после всех преобразований у тебя в ответе всё ещё торчит $\sqrt{2}$ — почти наверняка ошибка в вычислениях, а не «такое задание попалось».

## Что такое модуль числа и как его раскрыть?

**Модуль** числа $x$ — это расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен. Числа −3 и 3 стоят по разные стороны от нуля, но на одинаковом удалении, — значит, модуль у них общий: $|-3| = |3| = 3$.

Формально модуль задают двумя случаями:

$$
|x| = \begin{cases} x, & x \geqslant 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
$$

Вторая строчка определения — источник частой ошибки. **Запись «−x» не означает «отрицательное число».** Если $x = -3$, то $-x = -(-3) = 3$. Минус здесь не делает число отрицательным, а разворачивает его знак — и как раз поэтому результат выходит положительным.

Теперь то, ради чего модуль вообще попал в эту тему. Квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому:

$$
\sqrt{x^2} = |x|, \qquad \text{а не } x
$$

Подставь $x = -3$ и убедись: слева $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, а справа было бы −3. Совпадают эти две записи только при $x \geqslant 0$.

Отсюда железное правило: **чтобы раскрыть модуль, надо сначала узнать знак того, что стоит внутри.** Не «убрать минус», не «стереть скобки» — именно определить знак. А если внутри стоит иррациональное число вроде $\sqrt{7} - 3$, узнать его знак можно только оценкой. Ровно этим и займёмся дальше.

*Рисунок: Модуль — расстояние до нуля, поэтому у −3 и 3 он одинаковый*

## Прикидка и оценка: зажать число между целыми

Из оборудования на профильной математике разрешена только линейка — считать придётся руками. Значит, вопрос «а сколько примерно равно $\sqrt{17}$» надо уметь закрывать в уме. Кодификатор называет этот навык прикидкой и оценкой результата, и он же кормит задание 14: чтобы отобрать корни на отрезке, надо понимать, куда эти корни попадают.

Сразу разведём два слова, чтобы дальше не путаться. **Оценка** — это зажать число между границами, например между двумя соседними целыми. **Прикидка** — грубая проверка ответа «на глаз», по порядку величины, уже после вычислений. Три приёма ниже — про оценку; к прикидке вернёмся в самом конце блока.

**Приём первый: соседние точные квадраты.** Ищем два квадрата, между которыми зажат подкоренной результат. Для $\sqrt{17}$ это 16 и 25:

$$
16 < 17 < 25 \;\Longrightarrow\; \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \;\Longrightarrow\; 4 < \sqrt{17} < 5
$$

Шаг работает потому, что корень — возрастающая функция: большему подкоренному числу отвечает больший корень. Заметь, что 17 почти вплотную к 16, значит и $\sqrt{17}$ сидит рядом с 4, а не посередине. Уточняем до десятых: $4{,}1^2 = 16{,}81 < 17$, а $4{,}2^2 = 17{,}64 > 17$, то есть $4{,}1 < \sqrt{17} < 4{,}2$.

**Приём второй: занести множитель под корень.** Число $2\sqrt{3}$ оценить в лоб трудно — сначала спрячем двойку внутрь:

$$
2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}, \qquad 9 < 12 < 16 \;\Longrightarrow\; 3 < 2\sqrt{3} < 4
$$

Уточняем тем же способом: $3{,}4^2 = 11{,}56$ меньше 12, а $3{,}5^2 = 12{,}25$ уже больше. Значит $3{,}4 < 2\sqrt{3} < 3{,}5$ — этой точности хватает для любого отбора корней.

**Приём третий: сравнение через квадраты.** Для неотрицательных чисел возведение в квадрат не меняет порядок:

$$
a < b \iff a^2 < b^2 \qquad (a \geqslant 0,\; b \geqslant 0)
$$

Что больше, $2\sqrt{3}$ или $3\sqrt{2}$? Возводим оба в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 12$ и $(3\sqrt{2})^2 = 18$. Двенадцать меньше восемнадцати, значит $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$. Никаких приближённых значений не понадобилось вовсе. Оговорка про неотрицательность существенна: у отрицательных чисел квадрат порядок переворачивает, ведь −5 < −2, а 25 > 4.

И последнее — собственно **прикидка**. Прежде чем записать ответ, оцени, каким он должен получиться по порядку величины. Ждал число около четырёх, а вышло 40 — потерян или лишний множитель. Ждал положительное, а получил минус — перепутан знак. Прикидка не доказывает, что решение верное, но грубую ошибку ловит за пять секунд.

*Рисунок: √17 зажат между 4 и 5 и лежит близко к 4, потому что 17 близко к 16*

## По каким правилам округлять приближённый ответ?

Требование к части 1 жёсткое: задание 1–13 засчитано, только если в бланке ответов № 1 стоит верный ответ — **целое число или конечная десятичная дробь**. Ни $\sqrt{2}$, ни $\pi$, ни обыкновенная дробь $\tfrac{1}{3}$ в это не укладываются. Поэтому округление — не школьная формальность, а способ вообще донести ответ до проверяющей машины.

**Правило округления.** Найди разряд, до которого округляешь, и посмотри на **первую отбрасываемую цифру** — ту, что стоит сразу за ним. Если она от 0 до 4 — оставляешь разряд как есть. Если от 5 до 9 — увеличиваешь его на единицу. Остальные цифры справа просто исчезают.

Разберём на одном числе 3,146, чтобы разница была видна:

Округляем **до сотых**: разряд сотых — цифра 4, первая отбрасываемая — 6. Шесть больше пяти, поэтому 4 становится 5, и получается **3,15**. Округляем то же число **до десятых**: разряд десятых — цифра 1, первая отбрасываемая — 4. Четыре меньше пяти, поэтому единица остаётся, и получается **3,1**.

**Здесь и живёт главная ошибка темы: округление цепочкой.** Соблазн такой — сначала округлить 3,146 до сотых (3,15), а потом уже 3,15 до десятых (3,2). Ответ 3,2 неверен. Правильный — 3,1. Округление всегда делается **за один шаг и от исходного числа**, а не по ступенькам.

Отсюда же второе правило: **округляй только в самом конце.** Если округлить промежуточный результат и продолжить им считать, погрешность пойдёт дальше по решению и разрастётся. Итоговый ответ разойдётся с эталоном, и балл потеряется на ровном месте. Промежуточные шаги веди в точных значениях: дробями, корнями, буквами.

И чисто техническое, но обидное. В бланке № 1 дробная часть отделяется **запятой**, а не точкой: 0,25, а не 0.25. Минус, если он есть, занимает отдельную клетку.

Напоследок — как понять, до какого разряда округлять. Никак не угадывай: это всегда написано в условии. «Ответ округлите до сотых», «до целого числа», «до десятых» — фраза стоит прямо в задании. Если такой фразы нет, значит ответ обязан получиться точным, и округлять нечего.

## Правила темы в одной таблице

*Признаки, формулы и приёмы оценки: когда их применять*

| Правило | Запись или признак | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Рациональное или иррациональное | конечная или периодическая запись — рациональное; бесконечная непериодическая — иррациональное | Практический признак вместо определения через дробь: 0,(3) = 1/3, а √2 и π иррациональны |
| Корень из натурального | $\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \iff n = k^2$ | Знак корня сам по себе ничего не решает: √16 = 4, а √17 иррационален |
| Операции | рациональное + иррациональное = иррациональное | Два иррациональных могут дать рациональное: √2 · √2 = 2 |
| Модуль | $\|x\| = \begin{cases} x, & x \geqslant 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ | Сначала определи знак выражения внутри, потом раскрывай |
| Корень из квадрата | $\sqrt{x^2} = \|x\|$ | Совпадает с x только при x ≥ 0 |
| Соседние квадраты | $16 < 17 < 25 \Rightarrow 4 < \sqrt{17} < 5$ | Работает, потому что корень — возрастающая функция |
| Множитель под корень | $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ | a ≥ 0, b ≥ 0; так 2√3 = √12 и оценивается между 3 и 4 |
| Сравнение через квадраты | $a < b \iff a^2 < b^2$ | Только при a ≥ 0 и b ≥ 0; у отрицательных квадрат порядок переворачивает |
| Округление | первая отбрасываемая цифра 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — растёт на единицу | Один раз, от исходного числа и в самом конце: 3,146 до десятых — 3,1, а не 3,2 |

## Разбор: модуль, который не раскрыть без оценки

**Условие.** Найди значение выражения √((√7 − 3)²) + √7.

**Решение.**

- Первым делом — не трогай квадрат со скобкой руками. Здесь работает единственная формула:
- $\sqrt{a^2} = |a| \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{(\sqrt{7}-3)^2} = |\sqrt{7}-3|$
- Соблазн написать сразу $\sqrt{7}-3$ — и это будет ошибкой, если выражение внутри отрицательно. Значит, надо выяснить знак.
- **Оцениваем √7.** Соседние точные квадраты — 4 и 9:
- $4 < 7 < 9 \;\Longrightarrow\; 2 < \sqrt{7} < 3$
- Верхняя граница — ровно то, что нужно: $\sqrt{7} < 3$, поэтому $\sqrt{7} - 3 < 0$. Выражение под модулем отрицательно.
- **Раскрываем модуль по второй строке определения** — для отрицательного аргумента берём противоположное:
- $|\sqrt{7}-3| = -(\sqrt{7}-3) = 3 - \sqrt{7}$
- Проверь себя прикидкой: $\sqrt{7} \approx 2{,}6$, значит $3 - \sqrt{7} \approx 0{,}4$ — положительное, как и обязан быть модуль.
- **Собираем выражение целиком:**
- $(3 - \sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3$
- Корни уничтожились, ответ — целое число, как и требует бланк № 1. А если бы модуль раскрыли неправильно, вышло бы $(\sqrt{7}-3) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}-3$ — иррациональное число, которое в бланк просто не записать. Это и есть сигнал, что где-то ошибка.

**Ответ:** 3.

## Разбор: оценить и округлить без калькулятора

**Условие.** Не пользуясь калькулятором, оцени число 2√6: между какими соседними целыми числами оно лежит и чему оно равно, если округлить до десятых?

**Решение.**

- **Шаг 1. Заносим множитель под корень**, чтобы работать с одним числом:
- $2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{24}$
- **Шаг 2. Ищем соседние точные квадраты.** Ближайшие к 24 — это 16 = 4² и 25 = 5²:
- $16 < 24 < 25 \;\Longrightarrow\; 4 < 2\sqrt{6} < 5$
- Первая часть вопроса закрыта: число лежит между 4 и 5. Причём 24 почти дотягивает до 25, значит наше число сидит вплотную к пятёрке.
- **Шаг 3. Уточняем до десятых.** Проверяем кандидатов возведением в квадрат — сравнивать с 24 удобнее, чем извлекать корень:
- $4{,}8^2 = 23{,}04 < 24, \qquad 4{,}9^2 = 24{,}01 > 24$
- Значит $4{,}8 < 2\sqrt{6} < 4{,}9$. Число зажато между двумя соседними десятыми.
- **Шаг 4. Решаем, куда округлять.** Граница между «вниз» и «вверх» — середина отрезка, то есть 4,85. Возводим и её:
- $4{,}85^2 = 23{,}5225 < 24 \;\Longrightarrow\; 2\sqrt{6} > 4{,}85$
- Наше число правее середины, то есть ближе к 4,9, чем к 4,8. Округляем вверх.
- Прикидка сходится: 24 лежит почти вплотную к 25, поэтому ответ и обязан был прижаться к пятёрке.
- И держи в голове рамку: сама «оцени и округли» — это навык-заготовка под отбор корней в задании 14, а не типовое задание 8. В задании 8 «найдите значение выражения» ответ всегда точный, округлять там нечего.

**Ответ:** 4 < 2√6 < 5; с точностью до десятых 2√6 ≈ 4,9.

## Как оценить «некрасивое» число без калькулятора?

1. **Загони всё под один корень.** Множитель снаружи мешает оценивать. Заноси его внутрь: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ при $a \geqslant 0$. Теперь оценивать надо одно число, а не произведение.
2. **Зажми между соседними точными квадратами.** Найди ближайшие квадраты снизу и сверху — получишь две соседние целые границы. Для этого и нужны наизусть квадраты до 20² = 400.
3. **Посмотри, к какому краю ближе.** Подкоренное число почти дотянуло до верхнего квадрата — значит, корень прижат к правой границе. Едва оторвалось от нижнего — к левой. Нередко дальше этого шага идти и не нужно.
4. **Уточняй возведением в квадрат, а не извлечением корня.** Проверяй кандидатов: $4{,}8^2$, $4{,}9^2$ и так далее. Умножать в столбик ты умеешь, а извлекать корень вручную — нет, и не нужно.
5. **Сравнивая два числа, возведи в квадрат оба.** Для неотрицательных $a < b \iff a^2 < b^2$. Приближённые значения при этом не нужны совсем — сравнение выходит точным.
6. **Округляй один раз, в самом конце, от исходного числа.** Смотри на первую отбрасываемую цифру: 0–4 — вниз, 5–9 — вверх. Никаких цепочек через промежуточные разряды и никакого округления посреди решения.

## Проверь себя

Шесть вопросов по навыкам темы 1.7: раскрытие модуля и вычисление реально встречаются в задании 8, а оценка и округление работают в других заданиях — 14, а также 3–5 и 13. Считай в уме и на бумаге — калькулятора на экзамене не будет.

1. Какое из этих чисел иррационально?
   - √16
   - 0,(6)
   - √2 — **верный ответ**
   - 7/3

   *Пояснение:* √16 = 4 — натуральное число, знак корня сам по себе иррациональности не даёт. 0,(6) — бесконечная периодическая дробь, а значит рациональное число (это 2/3). 7/3 рационально по самому виду записи. Остаётся √2: число 2 не является точным квадратом, поэтому корень из него иррационален.

2. Чему равно √((−6)²)?
   - −6
   - 6 — **верный ответ**
   - 36
   - −36

   *Пояснение:* Считаем по порядку действий: (−6)² = 36, затем √36 = 6. Это иллюстрация формулы √(x²) = |x|, а не √(x²) = x: при отрицательном x правая часть дала бы −6, а корень отрицательным быть не может по определению.

3. Между какими соседними целыми числами лежит √50?
   - 6 и 7
   - 7 и 8 — **верный ответ**
   - 8 и 9
   - 24 и 26

   *Пояснение:* Ищем соседние точные квадраты вокруг 50: это 49 = 7² и 64 = 8². Из 49 < 50 < 64 следует 7 < √50 < 8. Причём 50 почти вплотную к 49, поэтому √50 лежит совсем рядом с семёркой (≈ 7,07). Вариант «24 и 26» — попытка поделить 50 пополам, к корню это отношения не имеет.

4. Округли 4,749 до десятых.
   - 4,8
   - 4,7 — **верный ответ**
   - 4,75
   - 5

   *Пояснение:* Разряд десятых — цифра 7. Первая отбрасываемая цифра — та, что стоит сразу за ней, то есть 4. Четыре меньше пяти, поэтому семёрка не меняется: ответ 4,7. Вариант 4,8 — результат округления цепочкой (4,749 → 4,75 → 4,8), а так делать нельзя: округляют один раз и от исходного числа.

5. Что больше: 3√2 или 2√5?
   - 3√2
   - 2√5 — **верный ответ**
   - Они равны
   - Без калькулятора не сравнить

   *Пояснение:* Оба числа положительны, поэтому сравнение сохранится при возведении в квадрат: (3√2)² = 9 · 2 = 18, (2√5)² = 4 · 5 = 20. Так как 18 < 20, получаем 3√2 < 2√5, то есть больше именно 2√5. Приближённые значения не понадобились — сравнение вышло точным.

6. Чему равно |√3 − 2|?
   - √3 − 2
   - 2 − √3 — **верный ответ**
   - √3 + 2
   - 2

   *Пояснение:* Сначала определяем знак выражения внутри модуля. Оцениваем √3: из 1 < 3 < 4 следует 1 < √3 < 2. Значит √3 < 2, и разность √3 − 2 отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному: |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3. Проверка прикидкой: √3 ≈ 1,7, поэтому 2 − √3 ≈ 0,3 — положительное, как и должно быть у модуля.

## Какие ошибки делают в задачах на действительные числа?

- **Ошибка 1.** **Считают иррациональным всё, где есть корень.** $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ — рациональные числа. Для натурального $n$ корень $\sqrt{n}$ иррационален только тогда, когда $n$ не является точным квадратом.
- **Ошибка 2.** **Пишут $\sqrt{x^2} = x$.** Верно только $\sqrt{x^2} = |x|$. Подставь $x = -3$: слева 3, справа −3. Совпадают эти записи лишь при $x \geqslant 0$.
- **Ошибка 3.** **Раскрывают модуль, не выяснив знак того, что внутри.** Модуль — не «стёрка для минуса». Пока не доказано, что $\sqrt{7} - 3 < 0$, писать $|\sqrt{7}-3| = 3 - \sqrt{7}$ нельзя — а доказывается это только оценкой.
- **Ошибка 4.** **Читают «−x» как «отрицательное число».** В строке определения $|x| = -x$ при $x<0$ минус разворачивает знак, а не навязывает его: при $x = -3$ получается $-(-3) = 3$, положительное число.
- **Ошибка 5.** **Округляют цепочкой.** 4,749 до десятых — это 4,7, а не 4,8. Промежуточный проход через 4,75 запрещён: смотрят на первую отбрасываемую цифру **исходного** числа, и округляют за один шаг.
- **Ошибка 6.** **Округляют в середине решения.** Погрешность идёт дальше по вычислениям и разрастается, ответ расходится с эталоном. Промежуточные шаги веди точно — дробями, корнями, буквами, — а округляй только последнее число.
- **Ошибка 7.** **Ставят точку вместо запятой в бланке № 1.** Дробную часть отделяет запятая: 0,25, а не 0.25. Минус занимает отдельную клетку.
- **Ошибка 8.** **Оставляют в ответе части 1 корень или π.** Засчитывается только целое число или конечная десятичная дробь. Получил в задании 1–13 ответ $2\sqrt{7}-3$ — значит, либо выражение сворачивается дальше, либо в условии просили округлить, либо где-то арифметическая ошибка.

## Запомни для ЕГЭ

- $\sqrt{x^2} = |x|$
- $|x| = \begin{cases} x, & x \geqslant 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
- $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}, \quad a \geqslant 0,\; b \geqslant 0$
- $a < b \iff a^2 < b^2, \quad a \geqslant 0,\; b \geqslant 0$
- √n иррационален тогда и только тогда, когда натуральное n — не точный квадрат
- Округляем один раз, от исходного числа: первая отбрасываемая цифра 0–4 — вниз, 5–9 — вверх

## На экзамене

- Задание 8 стоит 1 балл — закладывай на него около трёх минут. Это база, которую надо забирать быстро: впереди задания части 2 по 2, 3 и 4 балла.
- Из оборудования разрешена только линейка, а справочные материалы на профиле — это ровно четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы углов. Ни таблицы квадратов, ни приближённых значений корней там нет. Квадраты до 20² = 400 держи в голове.
- Увидел в задании 8 корни — не пугайся. Ответ части 1 обязан быть целым числом или конечной десятичной дробью, значит иррациональности где-то свернутся. Остался корень в ответе — ищи ошибку, а не «неудачный вариант».
- Перед тем как раскрыть модуль, вслух проговори знак того, что внутри. Если внутри корень — оцени его соседними квадратами. Это две секунды, и они закрывают самую частую ошибку темы.
- Разряд округления никогда не угадывается — он написан в условии словами «ответ округлите до сотых» или «до целого числа». Такая фраза встречается не только в задании 8, но и в заданиях по вероятности, стереометрии и экономике, так что правило пригодится по всей работе. Нет фразы — ответ обязан выйти точным.
- Прикидку делай перед тем, как переносить ответ в бланк. Ждал число около четырёх, а получил 40 — где-то потерян множитель. Прикидка не доказывает правильность, но грубую ошибку ловит мгновенно.
- Навык оценки нужен не только здесь. В задании 14 второй пункт — отбор корней на отрезке, и он стоит ровно столько же баллов, сколько само решение уравнения. Без умения понять, куда попадает число вроде 2√3, этот пункт не закрыть.

## Словарь темы

- **Действительное число** — Любое число, которому отвечает точка числовой прямой. Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально — третьего не дано. Слово «вещественное» — полный синоним, но в российской школе принято говорить «действительное».
- **Рациональное число** — Число, представимое дробью m/n, где m целое, а n натуральное. Практический признак: десятичная запись конечна (0,25) или бесконечна и периодична (0,(3)).
- **Иррациональное число** — Действительное число, которое нельзя записать дробью m/n. Его десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: √2, √17, π.
- **Точный квадрат** — Натуральное число, равное квадрату натурального: 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. Корень из точного квадрата рационален, из любого другого натурального числа — иррационален.
- **Числовая прямая** — Прямая с выбранными началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Между её точками и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие: каждой точке — одно число, каждому числу — одна точка.
- **Модуль числа** — Расстояние от точки x до нуля на числовой прямой; обозначается |x|. Равен x при x ≥ 0 и −x при x < 0, поэтому никогда не бывает отрицательным. Величина |a − b| — расстояние между точками a и b.
- **Округление** — Замена числа ближайшим к нему числом с меньшим количеством разрядов. Выполняется по первой отбрасываемой цифре: 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — увеличивается на единицу. Делается один раз и от исходного числа.
- **Прикидка** — Грубая оценка ожидаемого результата до или после вычисления — чтобы поймать ошибку в порядке величины или в знаке. Правильности решения не доказывает, но грубую ошибку обнаруживает мгновенно.
- **Оценка числа** — Указание двух границ, между которыми лежит число: например, 4 < √17 < 5. Для корней границы ищут по соседним точным квадратам, а уточняют возведением кандидатов в квадрат.

## Частые вопросы

### Что такое действительное число?

Действительные (вещественные) числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — число.

### Как решать задания по теме «Действительные числа»?

Шаги такие:

1. загони всё под один корень
2. зажми между соседними точными квадратами
3. посмотри, к какому краю ближе
4. уточняй возведением в квадрат, а не извлечением корня
5. сравнивая два числа, возведи в квадрат оба.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Действительные числа»?

Считают иррациональным всё, где есть корень. √16 = 4 и √(0,25) = 0,5 — рациональные числа. Для натурального n корень √n иррационален только тогда, когда n не является точным квадратом.

### Что нужно запомнить по теме «Действительные числа»?

Главное:

1. √(x²) = |x|
2. |x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}
3. a√b = √(a² b), a ≥ 0, b ≥ 0
4. a < b ⇔ a² < b², a ≥ 0, b ≥ 0.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.7 «Действительные числа. Арифметические операции. Приближённые вычисления, округление, прикидка и оценка».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.7 кодификатора ФИПИ-2026 по математике, охват которого: «Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений» (уровень БУ, УУ; элемент присутствовал в кодификаторах прошлых лет).
- Тема проверяется заданием 8 (базовый уровень, 1 балл).
- Задание части 1 (1–13) засчитывается, только если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
- Дробная часть ответа в бланке № 1 отделяется запятой, а не точкой; минус — разрешённый символ.
- Из оборудования на профильной математике разрешена линейка; калькулятора нет. Справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β).
- Формулировка «Ответ округлите до сотых / до десятых / до целого числа» реально встречается в заданиях экзамена, поэтому правило округления работает не только в задании 8.
- Задание 8 — это «Найдите значение выражения» с ответом в виде целого числа или короткой десятичной дроби, считаемым без калькулятора.
- Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально; рациональное — представимо дробью m/n; между точками числовой прямой и действительными числами есть взаимно однозначное соответствие.
- Признак по десятичной записи: конечная или бесконечная периодическая дробь — рациональное число; бесконечная непериодическая — иррациональное. Примеры: 0,25 = 1/4, 0,(3) = 1/3.
- Для натурального n число √n рационально тогда и только тогда, когда n — точный квадрат; иначе иррационально. Отсюда √16 = 4 и √0,25 = 0,5 рациональны, а √2, √7, √17 — нет.
- Рациональное плюс иррациональное — всегда иррационально; ненулевое рациональное, умноженное на иррациональное, иррационально; но сумма или произведение двух иррациональных может быть рациональным.
- √(x²) = |x|, а не x. Модуль равен x при x ≥ 0 и −x при x < 0, поэтому всегда неотрицателен; |a − b| — расстояние между точками a и b.
- Оценка корня соседними точными квадратами: 4 < √17 < 5, точнее 4,1 < √17 < 4,2; 3 < 2√3 < 4, точнее 3,4 < 2√3 < 3,5; 4 < 2√6 < 5, с округлением до десятых 2√6 ≈ 4,9.
- Для неотрицательных a и b верно a < b ⟺ a² < b², поэтому сравнение через квадраты точно: 2√3 < 3√2 и 3√2 < 2√5. Для отрицательных чисел это неверно.
- Правило округления: смотрят на первую отбрасываемую цифру; 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — увеличивается на единицу. Округление выполняется один раз и от исходного числа: 3,146 → 3,15 (до сотых) и 3,146 → 3,1 (до десятых); 4,749 → 4,7 (до десятых), а не 4,8.
- Навык оценки числа нужен в задании 14 для отбора корней на отрезке, и пункт б) там весит столько же, сколько само решение.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Таблица простых чисел до 1000](https://neuromisha.ru/spravochnik/prostye-chisla/)
- [Признаки делимости: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-delimosti/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/deystvitelnye-chisla/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.