---
title: "Фигуры на плоскости ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Фигуры на плоскости — это раздел планиметрии о треугольниках, четырёхугольниках, окружностях и многоугольниках. Разбор для ЕГЭ, задания 1, 18."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задания 1 (1 балл) и 18 (3 балла) КИМ"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Фигуры на плоскости

Фигуры на плоскости — это раздел планиметрии о треугольниках, четырёхугольниках, окружностях и многоугольниках: их элементах, площадях и соотношениях между сторонами и углами. На ЕГЭ тема нужна в задании 1 (1 балл, вычисление без доказательства) и в задании 18 (3 балла: пункт а — доказательство, пункт б — вычисление).

Планиметрия кормит сразу два задания профиля. Короткое задание 1 просит вычислить площадь, сторону или угол без доказательства, а развёрнутое задание 18 на 3 балла требует сначала доказать, а потом посчитать. Формулы у них общие, и почти все их нужно помнить наизусть: планиметрии в справочных материалах нет.

**Задание КИМ:** Задания 1 (1 балл) и 18 (3 балла) КИМ  
**Баллы:** 1 балл (№1) и 3 балла (№18)  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Одна тема — два этажа

Планиметрия на профиле работает на двух этажах, и путать их нельзя. **Задание 1** — базовое, 1 балл. Дали фигуру и числа, найди площадь, сторону, угол или радиус. Доказывать ничего не нужно, ответ — одно число.

**Задание 18** — повышенное, 3 балла, и это та же планиметрия, только развёрнуто и в два пункта. **Пункт а** — доказать факт: равенство отрезков, отношение, что треугольник прямоугольный, что четырёхугольник — параллелограмм. **Пункт б** — вычислить: длину, площадь, радиус. Пункты оцениваются раздельно, поэтому балл за б можно получить, даже если а не вышло.

Ключевое отличие: балл за пункт а дают **только за доказательство в общем виде**. Подстановка конкретных чисел и проверка «сошлось» доказательством не считаются — это самая частая потеря балла в задании 18.

И ещё одно, что определяет всю подготовку по этой теме: справочные материалы на профиле содержат только 4 тригонометрические формулы. Ни одной планиметрической формулы там нет — площади, теоремы синусов и косинусов, свойства линий треугольника нужно знать наизусть.

![Треугольник с высотой, окружность с радиусом и хордой, четырёхугольник с диагональю](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/figury-na-ploskosti-1.png)

*Основные планиметрические фигуры и их ключевые элементы, на которые указывает Миша.*

## По каким формулам считать площадь треугольника?

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ — с этого начинается половина задач на углы. А площадь треугольника можно посчитать пятью способами, и выбираешь ты тот, под который есть данные. Это главный навык темы: не выучить одну формулу, а узнавать, какая подходит.

**Сторона и высота к ней** — половина их произведения:

$$
S = \dfrac{1}{2} a h_a
$$

**Две стороны и угол между ними** — через синус этого угла:

$$
S = \dfrac{1}{2} a b \sin C
$$

**Три стороны** — формула Герона, где $p$ — полупериметр, то есть половина суммы сторон:

$$
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \dfrac{a+b+c}{2}
$$

**Через радиусы окружностей** — две отдельные формулы: с радиусом вписанной окружности $r$ и с радиусом описанной $R$:

$$
S = p r, \qquad S = \dfrac{abc}{4R}
$$

Прямоугольный треугольник — частный случай, который упрощает жизнь. Угол между катетами (сторонами, образующими прямой угол) равен $90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$, поэтому формула площади сворачивается до половины произведения катетов. А стороны связывает теорема Пифагора, где $c$ — гипотенуза:

$$
S = \dfrac{1}{2} a b, \qquad c^2 = a^2 + b^2
$$

*Рисунок: Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию*

## Когда применять теоремы синусов и косинусов?

Когда прямого угла нет, стороны и углы связывают две теоремы. **Теорема косинусов** — обобщение Пифагора на любой угол:

$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$

Она ищет третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а если известны все три стороны — находит любой угол. Проверь себя на предельном случае: при $C = 90^\circ$ косинус обращается в ноль, и остаётся чистая теорема Пифагора. Значит, формула запомнена верно.

**Теорема синусов** связывает стороны с синусами противолежащих углов и сразу выдаёт радиус описанной окружности:

$$
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R
$$

Обрати внимание: всё отношение равно **двум** радиусам, а не одному. Потеря двойки — типичная ошибка, из-за которой описанная окружность выходит вдвое меньше настоящей.

Дальше — то, что путают чаще всего на всём экзамене: **вписанная и описанная окружности**. Вписанная лежит внутри и касается всех сторон; её центр — точка пересечения биссектрис, а радиус связан с площадью и полупериметром через $S = pr$, откуда $r = S/p$. Описанная проходит через все вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров (линий через середину каждой стороны под прямым углом к ней), а радиус $R = abc/(4S)$. Разные окружности, разные формулы — реши, какая нужна, до того как подставишь числа.

У прямоугольного треугольника оба радиуса считаются мгновенно. Гипотенуза — это диаметр описанной окружности (вписанный угол в $90^\circ$ опирается на диаметр), поэтому $R = c/2$. А радиус вписанной равен $r = (a+b-c)/2$, где $a, b$ — катеты.

## Какие свойства у замечательных линий треугольника?

Задание 18 почти всегда про них, поэтому свойства нужно знать не «примерно», а точно. **Биссектриса** делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении **прилежащих** сторон. Для биссектрисы из вершины B к стороне AC точка деления L даёт:

$$
\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}
$$

Ключевое слово — прилежащие: отрезок AL прилежит к вершине A, поэтому в его «пару» идёт сторона AB, тоже выходящая из A. Это и есть самый частый пункт а в задании 18.

**Медиана** соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Она делит треугольник на два **равновеликих** — с равными площадями, потому что у них равные основания и общая высота. Три медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую в отношении $2:1$, считая от вершины. Длину медианы к стороне $a$ даёт формула:

$$
m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
$$

**Высота** — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике основание высоты может оказаться на продолжении стороны — это нормально.

**Средняя линия** соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине — отсюда её постоянно используют, чтобы «перенести» отношения и параллельность в нужное место чертежа.

## Как найти площадь параллелограмма, ромба и трапеции?

У каждого четырёхугольника — своя формула площади, и знать нужно все: в задании 1 фигуру не выбираешь.

**Параллелограмм:** площадь равна произведению стороны на высоту к ней или произведению сторон на синус угла между ними. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$$
S = a h_a = a b \sin\alpha
$$

**Прямоугольник:** площадь $S = ab$, диагонали равны, а длину диагонали даёт Пифагор:

$$
d = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

**Ромб:** диагонали перпендикулярны, поэтому площадь удобно считать через них; можно и через сторону с углом:

$$
S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \sin\alpha
$$

**Квадрат** — и прямоугольник, и ромб сразу: $S = a^2$, диагональ $d = a\sqrt{2}$.

**Трапеция:** площадь — полусумма оснований на высоту. Средняя линия трапеции (отрезок между серединами боковых сторон) равна той же полусумме оснований и параллельна им:

$$
S = \dfrac{a+b}{2}\, h, \qquad m = \dfrac{a+b}{2}
$$

И общий приём: у **любого** четырёхугольника площадь можно найти через его диагонали и угол $\varphi$ между ними — $S = \tfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$. Для ромба угол прямой, синус равен единице, и формула превращается в знакомую половину произведения диагоналей.

## Окружность и углы в ней

Длина окружности и площадь круга — базовые формулы задания 1, где $R$ — радиус:

$$
L = 2\pi R, \qquad S = \pi R^2
$$

Если нужна не вся окружность, а дуга или сектор в $n$ градусов, бери ту же формулу с долей $n/360$: длина дуги $2\pi R \cdot \tfrac{n}{360}$, площадь сектора $\pi R^2 \cdot \tfrac{n}{360}$.

Главное про углы: **центральный угол** (вершина в центре) равен дуге, на которую опирается. **Вписанный угол** (вершина на окружности) опирается на ту же дугу и вдвое меньше центрального:

$$
\angle_{\text{впис}} = \dfrac{1}{2}\,\angle_{\text{центр}}
$$

Отсюда два следствия, которые решают задачи почти без вычислений. Первое: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Второе: угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой — на этом держится множество задач про прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.

И ещё одно свойство, без которого не обойтись: **касательная перпендикулярна радиусу**, проведённому в точку касания. Увидел касательную — сразу отмечай прямой угол.

*Рисунок: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу*

## Многоугольники и правильные фигуры

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника не зависит от его формы:

$$
(n-2)\cdot 180^\circ
$$

У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый угол — это вся сумма, делённая на число вершин: $(n-2)\cdot 180^\circ / n$. Для шестиугольника получается $120^\circ$.

Число диагоналей многоугольника — тоже готовая формула. Из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали (нельзя к самой себе и к двум соседям), а деление на 2 убирает двойной счёт:

$$
D = \dfrac{n(n-3)}{2}
$$

Два правильных многоугольника встречаются особенно часто. **Правильный (равносторонний) треугольник** со стороной $a$: высота равна $a\sqrt{3}/2$, а площадь — $a^2\sqrt{3}/4$. **Правильный шестиугольник** устроен красиво: он состоит из шести равносторонних треугольников со стороной, равной радиусу описанной окружности. Поэтому его сторона равна этому радиусу, а площадь — шесть площадей такого треугольника:

$$
S_{6} = 6\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2
$$

## Треугольник: формулы в одной таблице

*Площадь, теоремы и радиусы треугольника: что подставлять и когда*

| Формула | Что обозначают буквы | Когда брать |
| --- | --- | --- |
| $S = \dfrac{1}{2} a h_a$ | a — сторона, hₐ — высота к ней | Известны сторона и высота к этой стороне |
| $S = \dfrac{1}{2} a b \sin C$ | a, b — две стороны, C — угол между ними | Известны две стороны и угол между ними |
| $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ | a, b, c — стороны, p — полупериметр | Известны три стороны (формула Герона) |
| $S = p r, \qquad S = \dfrac{abc}{4R}$ | r — радиус вписанной, R — радиус описанной окружности | В задаче участвует вписанная или описанная окружность |
| $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ | C — угол между сторонами a и b | Теорема косинусов: третья сторона или любой угол по трём сторонам |
| $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ | A, B, C — углы против сторон a, b, c | Теорема синусов; отношение равно двум радиусам, а не одному |
| $c^2 = a^2 + b^2$ | a, b — катеты, c — гипотенуза | Прямоугольный треугольник; там же R = c/2, r = (a + b − c)/2 |
| $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}$ | BL — биссектриса из вершины B | Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон |
| $m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$ | mₐ — медиана к стороне a | Длина медианы по трём сторонам |

## Четырёхугольники, круг и многоугольники

*Площади и главные формулы остальных фигур темы*

| Фигура | Формула | Что обозначают буквы |
| --- | --- | --- |
| Параллелограмм | $S = a h_a = a b \sin\alpha$ | a, b — стороны, hₐ — высота к a, α — угол между сторонами |
| Прямоугольник | $S = ab, \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}$ | a, b — стороны, d — диагональ |
| Ромб | $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \sin\alpha$ | d₁, d₂ — диагонали, a — сторона, α — угол |
| Квадрат | $S = a^2, \quad d = a\sqrt{2}$ | a — сторона, d — диагональ |
| Трапеция | $S = \dfrac{a+b}{2}\, h, \qquad m = \dfrac{a+b}{2}$ | a, b — основания, h — высота, m — средняя линия |
| Любой четырёхугольник | $S = \tfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ | d₁, d₂ — диагонали, φ — угол между ними |
| Окружность и круг | $L = 2\pi R, \qquad S = \pi R^2$ | R — радиус; для дуги и сектора в n° — та же формула, умноженная на n/360 |
| Выпуклый n-угольник | $(n-2)\cdot 180^\circ, \quad D = \dfrac{n(n-3)}{2}$ | Сумма углов и число диагоналей D |
| Правильный треугольник | $h = a\sqrt{3}/2, \quad S = a^2\sqrt{3}/4$ | a — сторона, h — высота |
| Правильный шестиугольник | $S_{6} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$ | a — сторона, равная радиусу описанной окружности |

## Разбор: задание 18 про биссектрису

**Условие.** В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 4, AC = 5. Из вершины B провели биссектрису BL к стороне AC. а) Докажи, что AL : LC = 3 : 2. б) Найди длину биссектрисы BL.

**Решение.**

- **Пункт а.** Нужно именно доказательство, а не проверка на числах. Докажем общее свойство: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
- Биссектриса BL разбивает треугольник на два — ABL и CBL. У них общая высота, опущенная из вершины B на прямую AC, поэтому площади относятся как основания:
- $\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AL}{LC}$
- С другой стороны, точка L лежит на биссектрисе угла B, а значит равноудалена от его сторон AB и BC. Тогда у тех же треугольников равны высоты, опущенные из L на AB и BC, и площади относятся как эти стороны:
- $\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AB}{BC}$
- Левые части одинаковы, значит равны и правые: $AL/LC = AB/BC = 6/4 = 3/2$. Свойство доказано в общем виде — это и есть пункт а. Теперь можно подставить числа: сторона AC = 5 делится в отношении 3 : 2, поэтому AL = 3, LC = 2.
- **Пункт б.** Длину биссектрисы даёт следствие теоремы Стюарта для биссектрисы: квадрат биссектрисы равен произведению прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые она рассекла третью сторону.
- $BL^2 = AB\cdot BC - AL\cdot LC = 6\cdot 4 - 3\cdot 2 = 24 - 6 = 18$
- Осталось извлечь корень. Считаем без калькулятора: 18 = 9·2, а корень из 9 выносится за знак.
- $BL = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

**Ответ:** а) AL : LC = 3 : 2 (доказано через отношение площадей треугольников ABL и CBL); б) BL = 3√2..

## Как подступиться к задаче по планиметрии

1. **Опознай фигуру и выпиши данные.** Треугольник, четырёхугольник, окружность — у каждой свой набор формул. Сразу отметь на чертеже, что дано, и что просят найти.
2. **Подбирай формулу площади по тому, что дано.** Две стороны и угол между ними — $S = \tfrac12 ab\sin C$. Три стороны — Герон или теорема косинусов. Сторона и высота к ней — $S = \tfrac12 a h$.
3. **Не путай вписанную и описанную окружность.** Вписанная касается сторон изнутри, $r = S/p$. Описанная проходит через вершины, $R = abc/(4S)$. Определись, какая в задаче, до подстановки чисел.
4. **В задании 18 раздели пункты.** Пункт а — общее доказательство через свойство, теорему или признак, без конкретных чисел. Пункт б — вычисление, где числа уже к месту. Балл за а дают только за доказательство.
5. **Сделай аккуратный чертёж.** Отметь равные стороны и углы, прямые углы, точки касания. В задании 18 половина идей видна прямо на рисунке, если он не «на глаз», а по данным.
6. **Проверь, что нашёл именно то, что спросили.** Площадь или периметр? Радиус или диаметр? Сторона или её проекция? На этом шаге теряют больше, чем на самих формулах.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Чему равна его площадь?
   - 24 — **верный ответ**
   - 48
   - 10
   - 14

   *Пояснение:* Угол между катетами равен 90°, а sin 90° = 1, поэтому S = ½·6·8 = 24. Число 10 — это гипотенуза (√(36 + 64)), её иногда пишут по ошибке; 48 получается, если забыть множитель ½.

2. В треугольнике две стороны равны 10 и 6, а угол между ними равен 30°. Найди площадь треугольника.
   - 15 — **верный ответ**
   - 30
   - 60
   - 7,5

   *Пояснение:* Площадь по двум сторонам и углу между ними: S = ½·a·b·sin C = ½·10·6·sin 30° = ½·60·0,5 = 15. Значение sin 30° = 0,5 нужно помнить наизусть — в справочных материалах его нет.

3. Периметр треугольника равен 24, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найди площадь треугольника.
   - 36 — **верный ответ**
   - 72
   - 24
   - 18

   *Пояснение:* Площадь через вписанную окружность: S = p·r, где p — полупериметр, то есть половина от 24, значит p = 12. Тогда S = 12·3 = 36. Если по ошибке подставить весь периметр, выйдет вдвое больше — 72.

4. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AB = 10, AC = 15. В каком отношении точка K делит сторону BC, считая от вершины B?
   - 2 : 3 — **верный ответ**
   - 3 : 2
   - 1 : 1
   - 4 : 9

   *Пояснение:* Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: BK : KC = AB : AC = 10 : 15 = 2 : 3. Отрезок BK прилежит к вершине B, а из B выходит сторона AB — поэтому в числителе именно AB.

5. Центральный угол окружности, опирающийся на некоторую дугу, равен 80°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
   - 40° — **верный ответ**
   - 80°
   - 160°
   - 20°

   *Пояснение:* Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу: 80° / 2 = 40°. Ответ 160° получился бы, если перепутать и удвоить угол вместо деления пополам.

6. Сколько диагоналей у выпуклого восьмиугольника?
   - 20 — **верный ответ**
   - 40
   - 16
   - 8

   *Пояснение:* Число диагоналей n-угольника равно n(n − 3)/2. Для n = 8: 8·5/2 = 20. Из каждой вершины выходит n − 3 = 5 диагоналей, но так каждая посчитана дважды, отсюда деление на 2. Без деления вышло бы 40.

## Какие ошибки делают в задачах по планиметрии?

- **Ошибка 1.** **Не различают радиус окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной вокруг него.** Вписанная касается сторон изнутри — $r = S/p$; описанная проходит через вершины — $R = abc/(4S)$. Реши, какая нужна, и выпиши обе формулы на черновик до счёта — это самая частая потеря балла во всей геометрии.
- **Ошибка 2.** **Забывают, что $p$ — это полупериметр.** И в формуле Герона, и в $S = pr$ буква $p$ означает $(a+b+c)/2$, а не весь периметр. Подставил периметр целиком — ответ вырос вдвое.
- **Ошибка 3.** **Теряют двойку в теореме синусов.** Верно $a/\sin A = 2R$, а не $R$. Если написать без двойки, радиус описанной окружности выйдет ровно вдвое меньше настоящего.
- **Ошибка 4.** **Берут не тот угол в $S = \tfrac12 ab\sin C$.** Синус нужен именно того угла, который **заключён между сторонами a и b**. Угол при другой вершине сюда не подставляют.
- **Ошибка 5.** **Путают, в каком отношении делит биссектриса.** Она делит противоположную сторону в отношении **прилежащих** сторон: $AL/LC = AB/BC$. Ошибка — взять отношение «наоборот» или привязать не к тем сторонам.
- **Ошибка 6.** **В пункте а задания 18 «доказывают» проверкой на числах.** Подставить конкретные значения и увидеть, что сошлось, — это не доказательство. Балл за пункт а дают только за общее рассуждение: свойство, теорему, признак. Числа уместны в пункте б.
- **Ошибка 7.** **При подобии считают площади как коэффициент, а не как его квадрат.** Если стороны увеличили в 3 раза, площадь вырастет в 3² = 9 раз, а не в 3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

## Запомни для ЕГЭ

- Сумма углов треугольника 180°; выпуклого n-угольника — (n − 2)·180°
- $S = \tfrac12 a h = \tfrac12 ab\sin C = pr = \dfrac{abc}{4R}$
- $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ \ p=\tfrac{a+b+c}{2}$
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
- $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$
- Прямоугольный: R = c/2, r = (a + b − c)/2
- $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}\ \ (\text{биссектриса из } B)$
- Вписанный угол = ½ центрального; на диаметр — 90°
- $S_{\text{трап}} = \dfrac{a+b}{2}\,h,\quad D_n = \dfrac{n(n-3)}{2}$

## На экзамене

- Задание 1 стоит 1 балл — закладывай на него 2–3 минуты. Опознай фигуру, выпиши данные, подбери формулу под них. Ответ — число, доказывать ничего не нужно.
- Задание 18 даёт 3 балла и состоит из двух пунктов, которые оцениваются раздельно. Можно получить балл за пункт б (вычисление), даже если пункт а (доказательство) не вышел, и наоборот. Поэтому не бросай задачу целиком, если застрял на доказательстве — переходи к вычислению.
- Балл за пункт а дают только за доказательство в общем виде. Проверка «подставил числа — сошлось» баллом не считается. Формулируй свойство, признак или теорему и веди рассуждение буквами.
- Сделай крупный аккуратный чертёж по данным, а не «на глаз». Отметь равные стороны и углы, прямые углы, точки касания. В задании 18 половина идей видна прямо на рисунке.
- Держи под рукой пять формул площади треугольника: почти любое вычисление в заданиях 1 и 18 сводится к тому, чтобы выбрать формулу, под которую есть данные.
- Перед счётом выпиши на черновик обе формулы радиусов — вписанной r = S/p и описанной R = abc/(4S). Их путают чаще всего, а разделив их заранее, ты убираешь самую дорогую геометрическую ошибку.

## Лаборатория: фигуры на плоскости

Главное про площади разобрано выше: у треугольника есть пять формул площади (через высоту, через две стороны и угол, Герона, через r и через R), у прямоугольника S = ab и диагональ √(a² + b²), у круга S = πR² и длина 2πR. Двигай стороны фигуры мысленно и следи, как меняется площадь.

## Словарь темы

- **Медиана** — Отрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Делит треугольник на два равновеликих; три медианы пересекаются в центроиде, который делит каждую в отношении 2 : 1 от вершины.
- **Биссектриса** — Отрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны. Делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении прилежащих сторон.
- **Высота** — Перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать на продолжении стороны.
- **Средняя линия треугольника** — Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллелен третьей стороне и равен её половине.
- **Вписанная окружность** — Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри. Для треугольника её центр — точка пересечения биссектрис, радиус r = S/p.
- **Описанная окружность** — Окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Для треугольника её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров, радиус R = abc/(4S).
- **Центральный угол** — Угол с вершиной в центре окружности. Равен дуге, на которую опирается (в градусной мере).
- **Вписанный угол** — Угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды (отрезки, соединяющие две точки окружности). Равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
- **Полупериметр** — Половина суммы сторон фигуры: p = (a + b + c)/2 для треугольника. Входит в формулу Герона и в S = pr.

## Частые вопросы

### Что такое медиана?

Медиана — отрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Она делит треугольник на два равновеликих, а три медианы пересекаются в центроиде, который делит каждую в отношении 2 : 1 от вершины.

### Как решать задание 1 по профильной математике?

Шаги такие:

1. опознай фигуру и выпиши данные
2. подбирай формулу площади по тому, что дано
3. не путай вписанную и описанную окружность
4. В задании 18 раздели пункты
5. сделай аккуратный чертёж.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Фигуры на плоскости»?

Не различают радиус окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной вокруг него. Вписанная касается сторон изнутри — r = S/p; описанная проходит через вершины — R = abc/(4S). Реши, какая нужна, и выпиши обе формулы на черновик до счёта — это самая частая потеря балла во всей геометрии.

### Что нужно запомнить по теме «Фигуры на плоскости»?

Главное:

1. Сумма углов треугольника 180°; выпуклого n-угольника — (n − 2)·180°
2. S = (1/2) a h = (1/2) ab sin C = pr = abc/(4R)
3. S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), p=(a+b+c)/2
4. c² = a² + b² - 2ab cos C
5. a/(sin A) = 2R.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 7.1 «Фигуры на плоскости».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 7.1 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Фигуры на плоскости (планиметрия)», проверяется заданиями 1 и 18.
- Задание 1 — базовое (1 балл, вычисление без доказательства), задание 18 — повышенное (3 балла, два пункта: а — доказательство, б — вычисление); балл за пункт а даётся только за доказательство.
- Справочные материалы на профиле содержат только 4 тригонометрические формулы; планиметрических формул там нет, их надо знать наизусть.
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- Пять формул площади треугольника: S = ½·a·h; S = ½·ab·sin C; формула Герона √(p(p−a)(p−b)(p−c)); S = pr; S = abc/(4R).
- В прямоугольном треугольнике S = ½·(катет)·(катет), теорема Пифагора c² = a² + b², радиус описанной R = c/2, радиус вписанной r = (a + b − c)/2.
- Теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C; при C = 90° сводится к теореме Пифагора. Теорема синусов a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
- Радиус вписанной окружности r = S/p (центр — пересечение биссектрис), радиус описанной R = abc/(4S) (центр — пересечение серединных перпендикуляров); их нельзя путать.
- Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: для биссектрисы из B к AC точка L даёт AL/LC = AB/BC.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы пересекаются в центроиде, делящем каждую в отношении 2:1 от вершины; длина медианы m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
- Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
- Площади: параллелограмм S = a·h = ab·sin α; прямоугольник S = ab, диагональ √(a²+b²); ромб S = ½·d₁·d₂ = a²·sin α; квадрат S = a², диагональ a√2; трапеция S = ½(a+b)·h, средняя линия (a+b)/2; любой четырёхугольник S = ½·d₁·d₂·sin φ.
- Длина окружности L = 2πR, площадь круга S = πR²; длина дуги в n° равна 2πR·(n/360), площадь сектора πR²·(n/360).
- Центральный угол равен дуге, на которую опирается; вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой; вписанные углы на одну дугу равны; касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
- Сумма углов выпуклого n-угольника (n−2)·180°; угол правильного n-угольника (n−2)·180°/n (для шестиугольника 120°); число диагоналей n(n−3)/2; правильный треугольник: высота a√3/2, площадь a²√3/4; правильный шестиугольник: сторона равна радиусу описанной окружности, площадь (3√3/2)·a².
- В разобранном примере (AB=6, BC=4, AC=5, биссектриса BL): AL:LC = 3:2, BL² = AB·BC − AL·LC = 24 − 6 = 18, BL = 3√2.
- Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/)
- [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Как найти площадь треугольника: все формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/)
- [Как найти площадь прямоугольника: формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-pryamougolnika/)
- [Площадь квадрата: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kvadrata/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.