---
title: "Функция, область определения, множество значений — теория ЕГЭ"
description: "Функция — это правило, по которому каждому x из области определения соответствует ровно одно значение y. Разбор для ЕГЭ, задания 9, 12, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/funkciya-oblast-opredeleniya-mnozhestvo-znacheni/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Фундамент под задания 9 и 12 (по 1 баллу) и 17 (2 балла). Отдельного задания «найди область определения» на профиле нет — но без этих понятий не читается график и не берётся наибольшее значение"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Функция, область определения, множество значений

Функция — это правило, по которому каждому x из области определения соответствует ровно одно значение y, а все полученные y образуют множество значений. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 9 и 12 (по 1 баллу), а также в задании 17 (2 балла): отдельного задания на область определения нет, но без этих понятий не прочитать график и не найти наибольшее значение.

Функция — это правило, которое каждому x сопоставляет ровно один y. Область определения отвечает на вопрос «какие x вообще можно подставить», множество значений — «какие y при этом получатся». Их постоянно путают местами, а зря: без этих двух понятий не читается ни один график и не берётся наибольшее значение в задании 9.

**Задание КИМ:** Фундамент под задания 9 и 12 (по 1 баллу) и 17 (2 балла). Отдельного задания «найди область определения» на профиле нет — но без этих понятий не читается график и не берётся наибольшее значение  
**Баллы:** Опора для заданий по 1 баллу  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое функция?

**Функция** — это правило, которое каждому значению $x$ из некоторого множества ставит в соответствие **ровно одно** значение $y$. Слово «ровно одно» здесь ключевое: если одному $x$ можно сопоставить два разных $y$, это уже не функция. Записывают правило так:

$$
y = f(x)
$$

Здесь $x$ — **аргумент** (то, что подставляем), $y$ — **значение функции** (то, что получаем). Запись $f(3)$ означает «значение функции в точке $x = 3$»: подставь тройку вместо каждого $x$ в формулу и посчитай.

У функции есть два множества-паспорта, и вся эта тема — про них. **Область определения** $D(f)$ — множество всех $x$, которые вообще разрешено подставлять. **Множество значений** $E(f)$ — множество всех $y$, которые при этом получаются. Первое живёт на горизонтальной оси, второе — на вертикальной, и путать их нельзя.

На ЕГЭ функцию чаще всего задают формулой ($y = x^2 - 4$) или графиком — именно с ними мы и разберёмся: сначала где функция работает, потом что она выдаёт.

![График функции с горизонтальной проекцией области определения и вертикальной проекцией множества значений](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/funkciya-oblast-opredeleniya-mnozhestvo-znacheni-1.png)

*Область определения читается как проекция графика на горизонтальную ось, множество значений — на вертикальную.*

## Что такое область определения функции?

Если функция задана формулой без дополнительных оговорок, её область определения — это все $x$, при которых формула **имеет смысл**. Такую область называют естественной. Для многочленов (например $y = x^3 - 2x + 1$) подставить можно любое число, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$ — вся числовая прямая. Но как только в формуле появляется дробь, корень или логарифм, возникают **ограничители**.

Запоминать нужно ровно четыре ситуации, где $x$ нельзя брать какой попало:

**1. Дробь.** Знаменатель не может быть нулём — на ноль не делят. Условие: $\text{знаменатель} \neq 0$. Эти точки из области определения **выкалывают**.

**2. Корень чётной степени** (квадратный, четвёртой и т. д.). Под ним не может стоять отрицательное число. Условие: $\text{подкоренное} \geqslant 0$. Обрати внимание на **нестрогий** знак: ноль под корнем разрешён, ведь $\sqrt{0} = 0$.

**3. Логарифм.** Под знаком логарифма может стоять только **строго положительное** число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Условие: $\text{аргумент} > 0$ (знак строгий, ноль уже нельзя).

**4. Арксинус и арккосинус.** Их аргумент обязан лежать в отрезке $[-1;\,1]$ — вне его эти функции не определены.

Если ограничитель в формуле один, решаешь одно неравенство. Если их несколько, каждый даёт своё условие, и все они должны выполняться **одновременно** — значит, ответы неравенств **пересекают**, а не объединяют. Это самый частый источник ошибок: пересечение, а не сумма.

## Множество значений: какие y достижимы

Множество значений $E(f)$ отвечает на встречный вопрос: пусть $x$ пробегает всю область определения — какие $y$ при этом успеют получиться? Одни значения функция принимает, другие — никогда, и вот именно достижимые и составляют $E(f)$.

Для базовых функций множество значений нужно знать наизусть — их не выводят каждый раз заново:

**Линейная** $y = kx + b$ при $k \neq 0$ принимает все значения: $E = \mathbb{R}$. А постоянная $y = b$ — только одно число $b$.

**Квадратичная** $y = ax^2 + bx + c$ — это луч от вершины параболы. При $a > 0$ ветви вверх и $E = [\,y_{\text{в}};\,+\infty)$, при $a < 0$ вниз и $E = (-\infty;\,y_{\text{в}}]$, где $y_{\text{в}}$ — значение в вершине. Например, у $y = x^2 - 4$ вершина в нуле даёт $E = [-4;\,+\infty)$.

Дальше — «джентльменский набор», который встречается на графиках заданий 9 и 12:

$$
\sqrt{x}:\ E = [\,0;\,+\infty) \qquad \dfrac{1}{x}:\ E = (-\infty;0)\cup(0;+\infty)
$$

$$
a^x\ (a>0,\,a\neq 1):\ E = (0;\,+\infty) \qquad \log_a x:\ E = \mathbb{R}
$$

$$
\sin x,\ \cos x:\ E = [-1;\,1] \qquad \operatorname{tg} x:\ E = \mathbb{R}
$$

Отдельно запомни эту зеркальную пару. Показательная $a^x$ определена везде ($D = \mathbb{R}$), но значения даёт только положительные ($E = (0;+\infty)$). Логарифм $\log_a x$ — ровно наоборот: определён только на положительных ($D = (0;+\infty)$), зато значения принимает любые ($E = \mathbb{R}$). Это классический сюжет для проверки, понял ли ты разницу между $D$ и $E$.

Если функция чуть сложнее базовой, множество значений собирают **по цепочке**. Возьмём $y = 3 - 2\cos x$. Синус с косинусом заперты в $[-1;1]$, и дальше просто следим за границами: $\cos x \in [-1;1]$, значит $2\cos x \in [-2;2]$, тогда $-2\cos x \in [-2;2]$, и прибавив 3, получаем $y \in [1;5]$. Никакой производной для этого не нужно — только границы базовой функции.

## Чем область определения отличается от множества значений?

Главная ловушка темы — перепутать, где $x$, а где $y$. Проще всего это удержать в голове через график. Представь, что на график падает свет: **область определения — это тень на горизонтальной оси** $Ox$, а **множество значений — тень на вертикальной оси** $Oy$. Одну проекцию берёшь вправо-влево, другую вверх-вниз.

Отсюда рабочий приём для заданий, где дан график. Хочешь $D(f)$ — смотри, над какими $x$ вообще есть кривая, и выписывай этот промежуток по горизонтали. Хочешь $E(f)$ — смотри, до каких высот кривая дотягивается, от самой нижней точки до самой верхней, и выписывай по вертикали.

Здесь же прячется связь с заданием 9: с 2027 года задача о наибольшем и наименьшем значении функции входит в него. **Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке — это верхняя и нижняя границы её множества значений на этом отрезке.** Когда в задании 9 просят найти наибольшее значение, по сути спрашивают про край $E(f)$. Инструмент для поиска этого края — производная — разбирается в своей теме; здесь важно понимать, **что именно** ты ищешь.

И последнее про запись. Область определения и множество значений — это множества, поэтому и записывают их как множества: промежутками со скобками. Круглая скобка — граница не входит (строгое неравенство, выколотая точка), квадратная — входит (нестрогое). Несколько кусков соединяют знаком объединения $\cup$. Например, $D(f) = (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ читается как «все числа, кроме нуля».

*Рисунок: Область определения — проекция графика на ось Ox, множество значений — проекция на ось Oy*

## Ограничители области определения

*Что в формуле сужает область определения и какое условие это даёт*

| Что есть в формуле | Условие на x | Что важно помнить |
| --- | --- | --- |
| Многочлен | $D(f) = \mathbb{R}$ | Подставить можно любое число |
| Дробь | $\text{знаменатель} \neq 0$ | Такие точки из области определения выкалывают |
| Корень чётной степени | $\text{подкоренное} \geqslant 0$ | Знак нестрогий: ноль под корнем разрешён |
| Логарифм | $\text{аргумент} > 0$ | Знак строгий; основание положительно и не равно единице |
| Арксинус и арккосинус | аргумент в отрезке $[-1;\,1]$ | Вне отрезка эти функции не определены |
| Несколько ограничителей | Все условия выполняются одновременно | Ответы неравенств пересекают, а не объединяют |

## Множества значений базовых функций

*Какие значения y принимают функции, которые встречаются на графиках заданий 9 и 12*

| Функция | Множество значений |
| --- | --- |
| Линейная $y = kx + b$, $k \neq 0$ | $E = \mathbb{R}$ |
| Постоянная $y = b$ | Только одно число b |
| Квадратичная $y = ax^2 + bx + c$, $a > 0$ | $E = [\,y_{\text{в}};\,+\infty)$, где yᵥ — значение в вершине |
| Квадратичная, $a < 0$ | $E = (-\infty;\,y_{\text{в}}]$ |
| $\sqrt{x}$ | $E = [\,0;\,+\infty)$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $E = (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ |
| $a^x\ (a>0,\,a\neq 1)$ | $E = (0;\,+\infty)$, при этом D = ℝ |
| $\log_a x$ | $E = \mathbb{R}$, при этом D = (0; +∞) |
| $\sin x,\ \cos x$ | $E = [-1;\,1]$ |
| $\operatorname{tg} x$ | $E = \mathbb{R}$ |

## Как найти область определения функции по формуле?

1. **Найди в формуле все «опасные места».** Пробегись глазами: есть ли дробь со знаменателем, содержащим $x$? Корень чётной степени? Логарифм? Арксинус или арккосинус? Если ничего этого нет — область определения вся $\mathbb{R}$, и работа окончена.
2. **Для каждого места запиши своё условие.** Знаменатель $\neq 0$; подкоренное $\geqslant 0$; аргумент логарифма $> 0$; аргумент арксинуса/арккосинуса в $[-1;1]$. Следи за знаком: у корня нестрогий, у логарифма строгий.
3. **Реши каждое условие по отдельности.** Получишь один или несколько промежутков на каждое неравенство. Знаменатель обычно даёт не промежуток, а выколотую точку.
4. **Пересеки все условия.** Ответ должен удовлетворять всем условиям сразу, поэтому берётся именно пересечение (общая часть), а не объединение. Удобно отметить все условия на одной числовой прямой и найти зону, закрашенную всеми.
5. **Запиши ответ промежутками.** Не забудь выколоть точки, где знаменатель обращался в ноль, даже если по остальным условиям они проходят.

## Разбор: область определения с тремя ограничителями

**Условие.** Найди область определения функции f(x) = √(4 − x) / (x − 1) + log₅(x + 1).

**Решение.**

- В формуле сразу три опасных места: квадратный корень, дробь и логарифм. Значит, будет система из трёх условий, и все они должны выполняться одновременно.
- **Корень.** Под квадратным корнем — неотрицательное число:
- $4 - x \geqslant 0 \;\Longrightarrow\; x \leqslant 4$
- **Дробь.** Знаменатель не равен нулю:
- $x - 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; x \neq 1$
- **Логарифм.** Аргумент строго больше нуля:
- $x + 1 > 0 \;\Longrightarrow\; x > -1$
- Теперь пересекаем всё вместе. Из корня и логарифма получаем $-1 < x \leqslant 4$: слева граница выколота (логарифм строгий), справа входит (корень нестрогий). Остаётся учесть, что точку $x = 1$ нужно выколоть отдельно из-за знаменателя.
- Промежуток $(-1;\,4]$ с выколотой единицей распадается на два куска:
- $D(f) = (-1;\,1) \cup (1;\,4]$

**Ответ:** D(f) = (−1; 1) ∪ (1; 4].

## Разбор: множество значений

**Условие.** Найди множество значений функции g(x) = 7 − 4sin x.

**Решение.**

- Никаких ограничителей в формуле нет, синус определён везде, поэтому область определения — вся прямая, и переживать за неё не нужно. Собираем множество значений по цепочке, отталкиваясь от базовой функции.
- Синус любого аргумента живёт в отрезке от −1 до 1:
- $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
- Умножаем все части на 4 — границы просто растягиваются:
- $-4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4$
- Умножаем на −1. Здесь главный момент: при умножении на отрицательное знаки неравенства **переворачиваются**, и границы меняются местами:
- $-4 \leqslant -4\sin x \leqslant 4$
- Прибавляем 7 ко всем частям:
- $3 \leqslant 7 - 4\sin x \leqslant 11$
- Обе границы функция действительно достигает (синус доходит и до −1, и до 1), поэтому отрезок берём с квадратными скобками.

**Ответ:** E(g) = [3; 11].

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Что описывает область определения функции D(f)?
   - Множество всех значений y, которые функция принимает
   - Множество всех x, которые разрешено подставлять в функцию — **верный ответ**
   - Точку, в которой функция равна нулю
   - Наибольшее значение функции

   *Пояснение:* Область определения — это все допустимые значения аргумента x, то есть те, которые можно подставить в формулу. Множество достижимых y — это уже множество значений E(f), другое множество. Путаница между этими двумя понятиями и есть главная ошибка темы.

2. Найди область определения функции y = log₃(x − 4).
   - x > 4 — **верный ответ**
   - x ≥ 4
   - x < 4
   - любое x

   *Пояснение:* Под логарифмом должно стоять строго положительное число: x − 4 > 0, откуда x > 4. Знак строгий, поэтому сама четвёрка не входит — ответ (4; +∞). Вариант x ≥ 4 — типичная ловушка: у логарифма, в отличие от корня, ноль под знаком уже недопустим.

3. При каком условии определён квадратный корень √(x − 7)?
   - x > 7
   - x ≥ 7 — **верный ответ**
   - x ≠ 7
   - x ≤ 7

   *Пояснение:* Под корнем чётной степени должно быть неотрицательное число: x − 7 ≥ 0, то есть x ≥ 7. Знак нестрогий, ведь √0 = 0 — вполне законное значение. Отсюда область определения [7; +∞), и семёрка в неё входит.

4. Чему равно множество значений функции y = x² + 3?
   - [3; +∞) — **верный ответ**
   - (3; +∞)
   - все действительные числа
   - [0; +∞)

   *Пояснение:* Наименьшее значение x² равно нулю (при x = 0), поэтому наименьшее значение всей функции равно 0 + 3 = 3, и оно достигается. Вверх функция растёт неограниченно. Значит E(y) = [3; +∞), с квадратной скобкой, потому что тройка достигается.

5. Чему равно множество значений функции y = 5 + 3sin x?
   - [5; 8]
   - [2; 8] — **верный ответ**
   - [−1; 1]
   - все действительные числа

   *Пояснение:* Синус лежит в [−1; 1], значит 3sin x лежит в [−3; 3], а 5 + 3sin x — в [5 − 3; 5 + 3] = [2; 8]. Обе границы достигаются, скобки квадратные. Ошибка [5; 8] возникает, если забыть про нижнюю границу синуса и посчитать, будто он меняется от 0 до 1.

## Какие ошибки делают с областью определения и множеством значений?

- **Ошибка 1.** **Путают область определения и множество значений.** Спрашивают про $x$, а по привычке ищут $y$ — или наоборот. Держи в голове проекции: $D$ — тень графика на горизонтальную ось, $E$ — на вертикальную.
- **Ошибка 2.** **Ставят строгий знак под корнем.** Пишут $x - 7 > 0$ вместо $\geqslant 0$ и теряют граничную точку. Под корнем чётной степени ноль разрешён: $\sqrt{0} = 0$.
- **Ошибка 3.** **Ставят нестрогий знак под логарифмом.** Зеркальная ошибка: у логарифма аргумент должен быть **строго** положительным. Ноль и отрицательные под знаком логарифма недопустимы, точка-граница выкалывается.
- **Ошибка 4.** **Забывают выколоть точку из знаменателя.** Условие «знаменатель $\neq 0$» легко потерять на фоне корней и логарифмов. А оно рвёт промежуток на два: $(-1;4]$ с выколотой единицей превращается в $(-1;1)\cup(1;4]$.
- **Ошибка 5.** **Объединяют условия вместо пересечения.** Когда ограничителей несколько, все они обязаны выполняться одновременно, поэтому промежутки **пересекают** (берут общую часть), а не складывают. Объединение даст завышенную область определения.
- **Ошибка 6.** **Считают, что показательная и логарифм устроены одинаково.** У $a^x$ область определения — вся прямая, а значения только положительные. У $\log_a x$ ровно наоборот: определён лишь на положительных $x$, зато значения любые. Их часто путают именно на этом.

## Запомни для ЕГЭ

- Дробь: знаменатель ≠ 0 (точку выколоть)
- Корень чётной степени: подкоренное ≥ 0 (ноль можно)
- Логарифм: аргумент > 0 строго; основание > 0 и ≠ 1
- $\arcsin,\ \arccos:\ \text{аргумент} \in [-1;\,1]$
- $E(\sin x) = E(\cos x) = [-1;1],\quad E(a^x) = (0;+\infty),\quad E(\log_a x) = \mathbb{R}$
- D — проекция графика на Ox, E — проекция на Oy

## На экзамене

- Отдельного задания «найди область определения» на профиле нет, но эти два понятия — фундамент под задания 9, 12 и 17. Пять минут на них в начале подготовки экономят баллы на всех функциональных заданиях сразу.
- Дан график — читай D по горизонтали, E по вертикали. Проговори себе «где есть кривая» для области определения и «до каких высот дотягивается» для множества значений: это убирает большую часть путаницы, где x, а где y.
- Наибольшее и наименьшее значения в задании 9 (с 2027 года эта формулировка входит в него) — это границы множества значений на отрезке. Понимая, что именно ищешь, ты не перепутаешь ответ по $y$ с точкой по $x$, в которой он достигается.
- В заданиях 14 и 16 (тригонометрические, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства) область допустимых значений выписывают **до** решения, а не после. Найденные корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасывают — иначе теряется балл за отбор.
- Множество значений сложной функции почти всегда собирается по цепочке границ базовой (синус в $[-1;1]$, показательная в $(0;+\infty)$), а не через производную. Если видишь $\sin$, $\cos$ или $a^x$ — сначала попробуй оценку границами, это быстрее.

## Словарь темы

- **Функция** — Правило, которое каждому значению аргумента x из области определения ставит в соответствие ровно одно значение y. Если одному x отвечают два разных y — это уже не функция.
- **Аргумент** — Независимая переменная x — то, что подставляют в функцию. Пробегает область определения.
- **Значение функции** — Число y = f(x), которое получается после подстановки конкретного x. Запись f(3) — значение функции в точке x = 3.
- **Область определения D(f)** — Множество всех значений аргумента x, при которых функция имеет смысл. На графике — проекция кривой на горизонтальную ось Ox.
- **Множество значений E(f)** — Множество всех значений y, которые функция принимает хотя бы при одном x из области определения. На графике — проекция кривой на вертикальную ось Oy.
- **Естественная область определения** — Область определения функции, заданной формулой без дополнительных оговорок: все x, при которых формула имеет смысл (нет деления на ноль, отрицательного под корнем чётной степени, неположительного под логарифмом).
- **Ограниченная функция** — Функция, все значения которой лежат в некотором конечном промежутке. Например, синус и косинус ограничены: их значения не выходят за пределы [−1; 1].

## Частые вопросы

### Что такое функция?

Функция — правило, которое каждому значению x из некоторого множества ставит в соответствие ровно одно значение y. Если одному x можно сопоставить два разных y, это уже не функция.

### Как найти область определения функции по формуле?

Шаги такие:

1. найди в формуле все «опасные места»
2. для каждого места запиши своё условие
3. реши каждое условие по отдельности
4. пересеки все условия
5. запиши ответ промежутками.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Функция, область определения, множество значений»?

Путают область определения и множество значений. Спрашивают про x, а по привычке ищут y — или наоборот. Держи в голове проекции: D — тень графика на горизонтальную ось, E — на вертикальную.

### Что нужно запомнить по теме «Функция, область определения, множество значений»?

Главное:

1. Дробь: знаменатель ≠ 0 (точку выколоть)
2. Корень чётной степени: подкоренное ≥ 0 (ноль можно)
3. Логарифм: аргумент > 0 строго; основание > 0 и ≠ 1
4. arcsin, arccos: аргумент ∈ [-1; 1].

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 3.2 «Область определения и множество значений функции; наибольшее и наименьшее значение на промежутке»; 3.1 «Функция, способы задания функции, график функции».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует элементам 3.1 и 3.2 кодификатора ФИПИ по математике: функция и способы её задания, область определения и множество значений функции.
- Определение функции: каждому x из области определения ставится в соответствие ровно одно значение y.
- Ограничители естественной области определения: знаменатель ≠ 0; подкоренное выражение корня чётной степени ≥ 0; аргумент логарифма > 0, основание > 0 и ≠ 1; аргумент arcsin/arccos в [−1; 1].
- Множества значений базовых функций: линейная (k≠0) — ℝ; квадратичная — луч от вершины ([yᵥ;+∞) при a>0, (−∞;yᵥ] при a<0); √x — [0;+∞); 1/x — ℝ без нуля; aˣ (a>0) — (0;+∞); logₐx — ℝ; sin x, cos x — [−1;1]; tg x — ℝ.
- Множество значений функций вида c + k·sin x (или c + k·cos x) находится оценкой границ базовой функции, без производной. Пример: E(7 − 4sin x) = [3; 11], E(3 − 2cos x) = [1; 5].
- Область определения — проекция графика на ось Ox, множество значений — проекция на ось Oy.
- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (в проекте КИМ 2027 — задание 9) — это границы её множества значений на этом отрезке; сам поиск ведётся производной и разбирается в отдельной теме.
- На профиле нет отдельного задания «найди область определения»; тема — фундамент под задания 9, 12 и 17, а ОДЗ критична для отбора корней в заданиях 14 и 16.
- Запись множеств промежутками: круглая скобка — граница не входит (строгое неравенство/выколотая точка), квадратная — входит (нестрогое); несколько кусков соединяются знаком объединения ∪.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Графики функций: виды, рисунки и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/funkciya-oblast-opredeleniya-mnozhestvo-znacheni/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.