---
title: "График функции, взаимно обратные функции: как решать, примеры"
description: "График функции — множество точек (x; f(x)). Как читать свойства по графику и находить коэффициенты по точкам: задания 9 и 12 ЕГЭ по математике."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/grafik-funkcii-vzaimno-obratnye-funkcii/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Опора для заданий 9 и 12 КИМ (по 1 баллу)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# График функции, взаимно обратные функции

График функции — это множество всех точек плоскости с координатами (x; f(x)): точка лежит на нём, только если её координаты обращают уравнение функции в верное равенство. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 9 и 12 (по 1 баллу): в задании 12 по точкам графика восстанавливают коэффициенты, в задании 9 по графику читают свойства функции.

График переводит формулу в картинку, а картинку — обратно в формулу. Уметь читать его в обе стороны нужно для задания 12, где по точкам графика восстанавливают коэффициенты функции, и для задания 9, где по графику узнают свойства. Здесь же — взаимно обратные функции и их симметрия относительно прямой y=x.

**Задание КИМ:** Опора для заданий 9 и 12 КИМ (по 1 баллу)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за задание  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое график функции и как его читать?

**График функции** — это множество всех точек с координатами $(x;\ f(x))$. Каждому $x$ из области определения соответствует ровно одна точка: по горизонтали откладываем аргумент, по вертикали — значение функции.

Из этого следует железное правило проверки: **точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство.** Подставил координаты — совпало, значит точка на графике; не совпало — нет.

Именно это правило работает в задании 12. Если сказано, что график проходит через точку, её координаты можно смело подставлять в формулу — получится уравнение на неизвестные коэффициенты.

По готовому графику читают и свойства функции — это графическая часть задания 9 (вычисление производной и различение графика $f(x)$ и графика $f'(x)$ — отдельная тема про производную). Абсциссы точек пересечения с осью $Ox$ — это **нули функции**, то есть корни уравнения $f(x)=0$. Там, где график выше оси, $f(x)>0$, ниже — $f(x)<0$. Чтобы узнать значение $f(x_0)$, поднимаемся от точки $x_0$ на оси до графика и смотрим высоту.

Единственная техническая ловушка чтения — **масштаб клетки**. Одна клетка не обязана равняться единице: бывает и 2, и 0,5. Прежде чем снимать координаты, найди на осях подписанные числа и посчитай цену деления.

*Рисунок: По графику снимают значение f(x₀) и находят нуль функции — абсциссу точки пересечения с осью Ox*

![График функции и график обратной функции симметричны относительно диагонали координатной плоскости](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/grafik-funkcii-vzaimno-obratnye-funkcii-1.png)

*У взаимно обратных функций координаты точек меняются местами, поэтому графики отражаются относительно диагонали.*

## Как сдвигать и растягивать график функции?

Из графика одной функции можно получить график другой сдвигами и растяжениями. Знать их наизусть выгодно: часто формулу узнают именно по тому, как знакомый график сместился.

**Сдвиги.** Прибавили число снаружи — сдвинули по вертикали; спрятали число внутрь, к аргументу — сдвинули по горизонтали, причём в **противоположную знаку сторону**:

$$
y=f(x)+c \ \text{— вверх на } c, \qquad y=f(x-a) \ \text{— вправо на } a
$$

Горизонтальный сдвиг — главная ловушка темы. В записи стоит $x-a$, а график едет **вправо** на $a$, а не влево. Проверить это можно так: у $y=f(x-a)$ прежнее значение достигается, когда $x-a$ равен старому аргументу, то есть при большем $x$ — значит, вправо.

**Растяжения и отражения.** Множитель снаружи тянет график по вертикали, множитель при аргументе сжимает по горизонтали, а минус переворачивает график относительно оси:

$$
y=k\,f(x) \ \text{— вдоль } Oy, \qquad y=f(kx) \ \text{— вдоль } Ox
$$

Отдельно про минусы: $y=-f(x)$ отражает график относительно оси $Ox$ (переворот вверх ногами), а $y=f(-x)$ — относительно оси $Oy$ (зеркало слева направо).

*Рисунок: Замена x на x−a сдвигает график вправо на a — в сторону, обратную знаку внутри скобки*

## Восстановление формулы по графику

Это и есть задание 12. Тебе дают график и общий вид функции с буквами — коэффициенты нужно найти. Работает один приём: **берёшь точки, через которые график заведомо проходит, и подставляешь их координаты в формулу.** Каждая точка даёт одно уравнение; сколько неизвестных, столько точек и нужно.

**Линейная** $y=kx+b$. Коэффициент $b$ читается сразу — это ордината точки, где прямая пересекает ось $Oy$ (там $x=0$). Угловой коэффициент $k$ показывает наклон: на сколько поднимается график при сдвиге на одну единицу вправо. По двум точкам он равен отношению приращений:

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
$$

**Квадратичная** $y=ax^2+bx+c$. Свободный член $c$ — тоже ордината пересечения с $Oy$. Дальше подставляешь ещё две точки (удобны нули и вершина) и решаешь систему. Если известна вершина $(x_0;\ y_0)$, помогает форма $y=a(x-x_0)^2+y_0$: остаётся найти только $a$ по одной точке.

**Показательная** $y=a^x$ и **логарифмическая** $y=\log_a x$ восстанавливаются по одной характерной точке: показательная всегда проходит через $(0;1)$, логарифмическая — через $(1;0)$, а основание $a$ находят по второй точке. **Дробно-линейная** $y=\dfrac{k}{x-a}+b$ выдаёт свои $a$ и $b$ положением асимптот — прямых, к которым график вплотную приближается, но не касается их: вертикальная асимптота стоит на $x=a$, горизонтальная — на $y=b$.

Универсальный совет: снимай координаты только с **узлов сетки**, где линия точно проходит через пересечение клеток. Точка, взятая на глаз между клетками, почти наверняка даст неверный коэффициент.

*Рисунок: Для прямой b — ордината пересечения с осью Oy, а k — отношение приращений между двумя узлами сетки*

## Что такое взаимно обратные функции?

Функция переводит $x$ в $y$. **Обратная функция** делает ровно обратное: по значению $y$ возвращает тот самый $x$, из которого оно получилось. Обозначают её $f^{-1}$. Сразу предупреждение: это не единица делить на функцию. Запись $f^{-1}(x)$ означает обратную функцию, а не $\dfrac{1}{f(x)}$.

Обратная существует не у всякой функции, а только у **взаимно однозначной**: разным $x$ должны отвечать разные $y$, иначе по значению нельзя однозначно вернуться назад. Удобное достаточное условие — **строгая монотонность**: если функция всюду возрастает или всюду убывает, обратная у неё точно есть. Поэтому у $y=x^2$ на всей оси обратной нет (значение 4 дают и $x=2$, и $x=-2$), но стоит ограничиться $x\geqslant 0$ — и обратной становится $y=\sqrt{x}$.

Чтобы получить формулу обратной, выражают $x$ через $y$, а потом меняют обозначения местами. Например, у $y=2x+6$ обратная $y=\dfrac{x-6}{2}$. При переходе к обратной **область определения и множество значений меняются местами**: что было по горизонтали, становится по вертикали.

Главное свойство для графиков: **графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой** $y=x$. Одна кривая — зеркальное отражение другой через эту диагональ. Классическая пара — показательная и логарифмическая с одним основанием: $y=a^x$ и $y=\log_a x$ взаимно обратны, потому что логарифм по определению спрашивает «в какую степень возвести основание» — то есть обращает возведение в степень.

*Рисунок: Графики y=aˣ и y=logₐx — зеркальные отражения друг друга относительно прямой y=x*

## Преобразования графика

*Как меняется график y = f(x) при сдвигах, растяжениях и отражениях*

| Запись | Что происходит с графиком |
| --- | --- |
| $y=f(x)+c$ | Сдвиг по вертикали: вверх на c |
| $y=f(x-a)$ | Сдвиг вправо на a — в сторону, обратную знаку внутри скобки |
| $y=k\,f(x)$ | Растяжение вдоль оси Oy |
| $y=f(kx)$ | Сжатие или растяжение вдоль оси Ox |
| $y=-f(x)$ | Отражение относительно оси Ox |
| $y=f(-x)$ | Отражение относительно оси Oy |
| $f^{-1}(x)$ | Отражение относительно прямой y = x; D и E меняются местами |

## Что читается по графику в задании 12

*Характерные точки и асимптоты, по которым восстанавливают коэффициенты*

| Функция | Что видно на графике | Как найти остальное |
| --- | --- | --- |
| Линейная $y=kx+b$ | b — ордината пересечения с осью Oy | $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ по двум узлам сетки |
| Квадратичная $y=ax^2+bx+c$ | c — ордината пересечения с осью Oy | Ещё две точки (удобны нули и вершина) и система; при известной вершине — форма $y=a(x-x_0)^2+y_0$ |
| Показательная $y=a^x$ | Проходит через точку (0; 1) | Основание a — по второй точке |
| Логарифмическая $y=\log_a x$ | Проходит через точку (1; 0) | Основание a — по второй точке |
| Дробно-линейная $y=\dfrac{k}{x-a}+b$ | Вертикальная асимптота x = a, горизонтальная y = b | k — подстановкой точки графика |

## Разбор: восстановить параболу по графику

**Условие.** Парабола y = x² + bx + c проходит через точки (0; −2) и (−1; 3). Найди коэффициенты b и c.

**Решение.**

- Каждая точка на графике даёт верное равенство при подстановке её координат в формулу. Начнём с точки $(0;\ -2)$: подставляем $x=0,\ y=-2$.
- $-2 = 0^2 + b\cdot 0 + c \ \Rightarrow\ c = -2$
- Свободный член нашёлся сразу — это ордината пересечения с осью $Oy$, что и видно из точки с $x=0$. Теперь подставим вторую точку $(-1;\ 3)$ и уже известное $c=-2$:
- $3 = (-1)^2 + b\cdot(-1) + (-2) = 1 - b - 2$
- Осталось решить простое уравнение относительно $b$:
- $3 = -1 - b \ \Rightarrow\ b = -4$
- Проверим по второй точке: $(-1)^2 - 4\cdot(-1) - 2 = 1 + 4 - 2 = 3$ — сходится. Значит, парабола задаётся формулой $y=x^2-4x-2$.

**Ответ:** b = −4, c = −2 (то есть y = x² − 4x − 2).

## Как восстановить формулу функции по графику?

1. **Определи тип функции по форме.** Прямая — линейная, парабола — квадратичная, гипербола (кривая с двумя загибающимися к асимптотам ветвями) — дробно-линейная, кривая роста через (0;1) — показательная, через (1;0) — логарифмическая.
2. **Выпиши точки на узлах сетки.** Бери только те, где график явно проходит через пересечение клеток, — целые координаты. Столько точек, сколько неизвестных коэффициентов.
3. **Подставь координаты в общую формулу.** Каждая точка превращается в уравнение на коэффициенты. Точка с x=0 сразу даёт свободный член (b у прямой, c у параболы).
4. **Реши систему и проверь по запасной точке.** Найденную формулу подставь ещё в одну точку графика: если равенство верное — коэффициенты найдены правильно.

## Проверь себя

Пять вопросов по тем местам, где на заданиях 9 и 12 чаще всего теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Как получить график функции y = f(x − 4) из графика y = f(x)?
   - Сдвигом на 4 влево
   - Сдвигом на 4 вправо — **верный ответ**
   - Сдвигом на 4 вверх
   - Сдвигом на 4 вниз

   *Пояснение:* Число вычитается из аргумента, значит сдвиг горизонтальный и в сторону, обратную знаку: минус внутри скобки даёт сдвиг вправо на 4. Прежнее значение достигается при большем x — то есть график уезжает вправо.

2. Прямая — график функции y = kx + b — пересекает ось Oy в точке (0; −3) и проходит через точку (2; 1). Чему равен k?
   - 2 — **верный ответ**
   - −2
   - 1
   - 4

   *Пояснение:* Из пересечения с Oy сразу b = −3. Подставляем (2; 1): 1 = 2k − 3, значит 2k = 4 и k = 2. Можно и через приращения: k = (1 − (−3))/(2 − 0) = 4/2 = 2.

3. Какая функция обратна к показательной y = 3ˣ?
   - y = 3⁻ˣ
   - y = log₃x — **верный ответ**
   - y = x³
   - y = ∛x

   *Пояснение:* Показательная и логарифмическая с одним основанием взаимно обратны: логарифм обращает возведение в степень. Обратная к y = 3ˣ — это y = log₃x, их графики симметричны относительно прямой y = x.

4. При каком c график функции y = x² + c проходит через точку (2; 1)?
   - 3
   - 5
   - −3 — **верный ответ**
   - −5

   *Пояснение:* Точка лежит на графике, значит её координаты обращают уравнение в верное равенство: 1 = 2² + c = 4 + c. Отсюда c = 1 − 4 = −3.

5. Относительно чего симметричны графики двух взаимно обратных функций?
   - Оси Ox
   - Прямой y = x — **верный ответ**
   - Оси Oy
   - Начала координат

   *Пояснение:* График обратной функции — зеркальное отражение исходного относительно прямой y = x. Это следствие того, что у обратной функции роли x и y меняются местами.

## Какие ошибки делают при чтении графиков функций?

- **Ошибка 1.** **Путают направление горизонтального сдвига.** В записи $y=f(x-a)$ стоит минус, а график едет **вправо**, не влево. Вертикальный сдвиг работает «как написано» ($+c$ — вверх), а горизонтальный — наоборот. Это самый частый промах темы.
- **Ошибка 2.** **Берут b линейной функции не с той оси.** Свободный член $b$ — это ордината пересечения с осью $Oy$ (где $x=0$), а не абсцисса пересечения с $Ox$. Смотри туда, где график режет вертикальную ось.
- **Ошибка 3.** **Считают, что обратная есть у любой функции.** Обратная существует только у взаимно однозначной функции; достаточно строгой монотонности. У $y=x^2$ на всей оси обратной нет — нужно ограничить область, например $x\geqslant 0$.
- **Ошибка 4.** **Принимают f⁻¹(x) за 1/f(x).** Верхний индекс −1 у функции означает **обратную функцию**, а не обратную величину. $f^{-1}(x)$ и $\dfrac{1}{f(x)}$ — совершенно разные вещи.
- **Ошибка 5.** **Снимают координаты не с узлов сетки.** Точка, взятая на глаз между клетками, даёт неверный коэффициент. Ищи места, где график проходит ровно через пересечение линий сетки, и работай только с целыми координатами.
- **Ошибка 6.** **Игнорируют цену деления.** Клетка не обязана равняться единице. Прежде чем читать координаты, найди подписанные числа на осях и посчитай, сколько единиц в одной клетке.

## Запомни для ЕГЭ

- Точка на графике ⟺ её координаты обращают уравнение функции в верное равенство
- $y=f(x)+c\ \text{— вверх},\quad y=f(x-a)\ \text{— вправо}$
- b линейной и c квадратичной — ордината пересечения с осью Oy
- Графики взаимно обратных функций симметричны относительно y=x
- y=aˣ и y=logₐx взаимно обратны; у обратной D и E меняются местами
- $f^{-1}(x)\neq \dfrac{1}{f(x)}$

## На экзамене

- В задании 12 первым делом опознай тип функции по форме графика — от этого зависит, какую общую формулу подставлять. Прямая, парабола, гипербола и кривые роста выглядят по-разному, спутать сложно.
- Начинай с того коэффициента, который читается даром: у прямой и параболы это свободный член в точке пересечения с осью Oy. Один коэффициент уже есть — остальные ищи подстановкой точек.
- Работай только с узлами сетки и следи за ценой деления клетки. Большинство ошибок в задании 12 — не в алгебре, а в неверно снятых с картинки координатах.
- Нашёл формулу — потрать десять секунд на проверку по ещё одной точке графика. Это ловит и арифметическую ошибку, и неверно прочитанную координату.
- Калькулятора на экзамене нет, поэтому все коэффициенты в таких задачах получаются целыми или простыми дробями. Если вышло громоздкое число — почти наверняка ошибся в чтении графика, вернись и перепроверь точки.

## Лаборатория: построитель графиков

В ней можно построить графики линейной, квадратичной, кубической и тригонометрической y=A·sin(Bx+C) функций и ползунками менять коэффициенты, наблюдая, как сдвигается и растягивается график, где появляются корни и вершина. Ровно этот навык — связь коэффициентов с видом графика — и проверяют в задании 12.

## Словарь темы

- **График функции** — Множество всех точек плоскости с координатами (x; f(x)). Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство.
- **Нуль функции** — Значение аргумента, при котором функция равна нулю. На графике это абсцисса точки пересечения с осью Ox; корень уравнения f(x)=0.
- **Преобразование графика** — Сдвиг, растяжение или отражение, переводящее график одной функции в график другой: например, y=f(x)+c — сдвиг вверх, y=f(x−a) — сдвиг вправо.
- **Взаимно обратные функции** — Пара функций, каждая из которых отменяет действие другой. Их графики симметричны относительно прямой y=x, а области определения и значений меняются местами. Пример: y=aˣ и y=logₐx.
- **Асимптота** — Прямая, к которой график неограниченно приближается, не пересекая её. У дробно-линейной функции y=k/(x−a)+b вертикальная асимптота — x=a, горизонтальная — y=b.

## Частые вопросы

### Что такое график функции?

График функции — множество всех точек плоскости с координатами (x; f(x)). Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство.

### Как восстановить формулу функции по графику?

Шаги такие:

1. определи тип функции по форме
2. выпиши точки на узлах сетки
3. подставь координаты в общую формулу
4. реши систему и проверь по запасной точке.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «График функции, взаимно обратные функции»?

Путают направление горизонтального сдвига. В записи y=f(x-a) стоит минус, а график едет вправо, не влево. Вертикальный сдвиг работает «как написано» (+c — вверх), а горизонтальный — наоборот. Это самый частый промах темы.

### Что нужно запомнить по теме «График функции, взаимно обратные функции»?

Главное:

1. Точка на графике ⟺ её координаты обращают уравнение функции в верное равенство
2. y=f(x)+c — вверх, y=f(x-a) — вправо
3. b линейной и c квадратичной — ордината пересечения с осью Oy
4. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно y=x.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 3.1 «Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует элементу 3.1 кодификатора ФИПИ по математике: «Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции»; на профильном ЕГЭ её проверяют задания 9 и 12.
- Задание 12 — это восстановление коэффициентов функции по точкам её графика (линейная, квадратичная, дробно-линейная, показательная, логарифмическая).
- Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство — это основа метода подстановки в задании 12.
- Преобразования графика: y=f(x)+c — сдвиг по вертикали на c; y=f(x−a) — сдвиг вправо на a (в сторону, обратную знаку внутри скобки); y=k·f(x) и y=f(kx) — растяжения вдоль осей; y=−f(x) и y=f(−x) — отражения относительно Ox и Oy.
- У линейной y=kx+b коэффициент b — ордината пересечения с Oy, k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁); у квадратичной y=ax²+bx+c свободный член c — ордината пересечения с Oy.
- Показательная y=aˣ проходит через (0;1), логарифмическая y=logₐx — через (1;0); у дробно-линейной y=k/(x−a)+b вертикальная асимптота x=a, горизонтальная y=b.
- Обратная функция существует только у взаимно однозначной; достаточное условие — строгая монотонность. У y=x² на всей оси обратной нет, при x≥0 обратная — y=√x.
- Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x; при переходе к обратной область определения и множество значений меняются местами. Пары y=aˣ и y=logₐx взаимно обратны.
- Запись f⁻¹ означает обратную функцию, а не обратную величину 1/f(x).
- Задание 9 — базовый уровень (1 балл), задание 12 — повышенный (1 балл); калькулятор на экзамене запрещён, поэтому ответы получаются целыми или простыми дробями.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Графики функций: виды, рисунки и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/grafik-funkcii-vzaimno-obratnye-funkcii/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.