---
title: "Иррациональные уравнения/неравенства: как решать, примеры"
description: "Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня, на профиле почти всегда квадратного. Разбор для ЕГЭ, задания 7, 14, 16."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/irracionalnye-uravneniya-neravenstva/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Иррациональные уравнения/неравенства

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня, на профиле почти всегда квадратного; его решают возведением в квадрат с контролем знака правой части. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла).

Иррациональное уравнение решают возведением в квадрат, но этот шаг неравносильный: он дарит посторонние корни, которых в исходном уравнении не было. Вся тема — про то, как их поймать: проверкой знака правой части или равносильной системой. А неравенства с корнем раскрываются двумя разными схемами, и это самое трудное место темы — а без него не закрыть задания 7, 14 и 16.

**Задание КИМ:** Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 7  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое иррациональное уравнение и откуда лишние корни?

**Иррациональное уравнение** — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. На профиле это почти всегда квадратный корень: $\sqrt{3x+7} = 5$, $\sqrt{x+5} = x-1$. Само определение арифметического корня и его свойства разбираются в теме кода 1.3 — здесь мы считаем их известными и учимся ими **решать уравнения и неравенства**.

Чтобы убрать корень, обе части возводят в квадрат. Но вот в чём подвох: **возведение в квадрат — неравносильное преобразование**. Оно склеивает то, что раньше было разным. Равенства $a = b$ и $a = -b$ после возведения в квадрат превращаются в одно и то же $a^2 = b^2$. Поэтому у уравнения после возведения в квадрат решений может оказаться больше, чем у исходного, — появляются **посторонние корни**.

Главное свойство, которое при этом теряется, — знак. **Арифметический корень никогда не бывает отрицательным:** $\sqrt{f} \geqslant 0$ всегда. Значит, если слева стоит корень, а справа — что-то, что может уйти в минус, равенство возможно лишь там, где правая часть тоже неотрицательна. Возведение в квадрат про это «забывает», и наша задача — вернуть условие обратно.

Отсюда же вечная ловушка на упрощение: $\sqrt{x^2} \neq x$. Правильно $\sqrt{x^2} = |x|$, потому что результат корня обязан быть неотрицательным. Проверь на числе: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, а вовсе не $-5$.

![После возведения иррационального уравнения в степень появляется посторонняя точка, которую удаляет проверка](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/irracionalnye-uravneniya-neravenstva-1.png)

*Преобразование может породить посторонний корень, поэтому найденные значения обязательно проверяют в исходном уравнении.*

## Как решать уравнение √f(x) = g(x) без лишних корней?

Есть два честных способа справиться с посторонними корнями. Первый — возвести в квадрат, решить и **подставить каждый корень в исходное уравнение**: настоящий пройдёт проверку, посторонний — нет. Второй, который в части 2 надёжнее, — сразу перейти к **равносильной системе**:

$$
\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}
$$

Обрати внимание, что в системе **ровно одно** дополнительное условие — на знак **правой** части: $g(x) \geqslant 0$. Условие $f(x) \geqslant 0$ (подкоренное неотрицательно) писать отдельно **не нужно**: если $f = g^2$, то $f$ автоматически равно квадрату, а квадрат неотрицателен. ОДЗ здесь выполняется само. Это частая избыточность в решениях: люди тащат лишнее условие на подкоренное и забывают единственно важное — знак правой части.

Самый простой вид — корень равен числу. Тогда $g$ постоянна: если она неотрицательна, просто возводим в квадрат. $\sqrt{3x+7} = 5$ даёт $3x + 7 = 25$, откуда $x = 6$. Правая часть $5 \geqslant 0$ — условие выполнено, проверка не нужна. А вот $\sqrt{2x-1} = -3$ корней не имеет вовсе: слева неотрицательное число, справа отрицательное, равенство невозможно.

Опасность приходит с переменной справа. Решим $\sqrt{3x+7} = x+1$. Условие: $x + 1 \geqslant 0$, то есть $x \geqslant -1$. Возводим в квадрат:

$$
3x + 7 = (x+1)^2 \ \Longrightarrow\ x^2 - x - 6 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 3 \ \text{или}\ x = -2
$$

Корень $x = 3$ проходит условие $x \geqslant -1$, а $x = -2$ — нет, и это не формальность: при $x = -2$ слева $\sqrt{1} = 1$, а справа $-2 + 1 = -1$, и $1 \neq -1$. Этот корень породило именно возведение в квадрат. Ответ — только $x = 3$.

*Рисунок: Уравнение √(3x + 7) = x + 1: настоящее пересечение одно — точка (3; 4). Корень x = −2 появляется только после возведения в квадрат: там прямая уходит под ось, а арифметический корень неотрицателен, поэтому равенства нет.*

## Когда корень равен корню

Второй частый вид — равенство двух корней $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$. Здесь возведение в квадрат само по себе посторонних корней не добавляет: обе части и так неотрицательны. Но есть своя ловушка — **ОДЗ** (область допустимых значений: те $x$, при которых подкоренные выражения вообще существуют, то есть неотрицательны). Приравняв подкоренные, легко получить значение, при котором оба выражения уходят в минус, а корней от них не существует. Поэтому нужна оговорка, что подкоренное неотрицательно:

$$
\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}
$$

Условие достаточно написать для одного подкоренного: раз $f = g$, то из $f \geqslant 0$ сразу следует и $g \geqslant 0$. Пример: $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x+4}$. Приравниваем подкоренные: $2x - 1 = x + 4$, откуда $x = 5$. Проверяем знак: $2\cdot 5 - 1 = 9 \geqslant 0$ — годится. Подстановка: $\sqrt{9} = \sqrt{9} = 3$.

Отдельно про степень корня. Если корень **чётной** степени (квадратный, четвёртой степени и так далее), всё сказанное в силе: подкоренное обязано быть неотрицательным, а знак правой части — под контролем. А вот **нечётный** корень (кубический) определён для любых чисел и может быть отрицательным. Уравнение с кубическим корнем возводят в куб без всяких условий на знак: $\sqrt[3]{f} = g \iff f = g^3$, посторонних корней это не даёт. На профиле такие встречаются реже квадратных, но перепутать их правила — обидная потеря.

## По каким схемам решать иррациональные неравенства?

С неравенствами возведение в квадрат работает ещё капризнее: квадрат сохраняет порядок только для **неотрицательных** чисел. Поэтому $\sqrt{f} < g$ и $\sqrt{f} > g$ раскрываются **по-разному** — и никакого «симметричного» правила здесь нет. Это самое трудное место темы, разберём обе схемы отдельно.

**Меньше:** $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Слева неотрицательное число, и оно меньше $g$ — значит $g$ обязана быть строго положительной. Тогда обе части неотрицательны, их можно возвести в квадрат. Плюс подкоренное должно существовать:

$$
\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geqslant 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{cases}
$$

Все три условия соединены знаком системы — должны выполняться **одновременно**. Короткий пример: $\sqrt{x+2} < x$. Система: $x+2 \geqslant 0$, $x > 0$, $x+2 < x^2$. Последнее даёт $x^2 - x - 2 > 0$, то есть $(x-2)(x+1) > 0$, а значит $x$ вне отрезка между корнями: $x < -1$ или $x > 2$. Пересекаем с $x > 0$ и получаем $x > 2$, то есть $x \in (2;\,+\infty)$.

**Больше:** $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Здесь возможны два совершенно разных сценария, поэтому ответ — **объединение** двух случаев (совокупность, а не система).

Случай 1 — **правая часть отрицательна.** Тогда неравенство выполняется автоматически: неотрицательный корень всегда больше отрицательного числа. Достаточно, чтобы корень существовал:

$$
\begin{cases} f(x) \geqslant 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}
$$

Случай 2 — **правая часть неотрицательна.** Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат:

$$
\begin{cases} g(x) \geqslant 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases}
$$

Итоговый ответ — **объединение** решений обоих случаев. Условие $f \geqslant 0$ во втором случае писать не нужно: из $f > g^2 \geqslant 0$ оно следует само. Вся сложность именно в том, чтобы не забыть первый случай: когда правая часть уходит в минус, а ты о нём не подумал — теряешь половину ответа.

## Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Иррациональные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

**Задание 7** — часть 1, базовый уровень, 1 балл, и это главный дом иррациональных уравнений. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид: $\sqrt{2x+1} = 5$ или $\sqrt{3x+7} = x+1$ с отсевом лишнего корня. Здесь удобнее возвести в квадрат и проверить корни подстановкой: это и быстро, и надёжно.

**Задание 14** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. Оба пункта оплачиваются отдельно — примерно по баллу: пункт а) — верно решённое уравнение, пункт б) — верный отбор корней, попавших в указанный отрезок.

Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение: у него бесконечные серии корней, и отбор на отрезке — настоящая работа. У иррационального уравнения корней конечное число и периодических серий нет, поэтому отбор на отрезке обычно тривиален — и такие уравнения под № 14 редки. Но если попалось — записывай равносильную систему целиком: отсев посторонних корней по знаку правой части входит в само решение (пункт а), пропустишь его — потеряешь балл за решение.

**Задание 16** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Чаще на № 16 стоят логарифмические и показательные неравенства, но иррациональное неравенство здесь тоже законный гость — и именно на нём проверяют, помнишь ли ты, что $\sqrt{f} < g$ и $\sqrt{f} > g$ раскрываются разными схемами. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность **всех** шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: **пропуск условия на знак — это не вычислительная ошибка, а ноль.** Балл за «правильную последовательность» дают тому, у кого выписаны система или совокупность, переход к квадрату и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.

## Равносильные переходы в одной таблице

*Схемы для уравнений и неравенств с корнем и условия, которые нельзя терять*

| Вид | Равносильный переход | На что смотреть |
| --- | --- | --- |
| Корень из квадрата | $\sqrt{x^2} = \|x\|$ | Не x: корень всегда неотрицателен |
| Корень равен выражению | $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}$ | Условие f ≥ 0 отдельно не нужно; главное — знак правой части |
| Корень равен числу | $\sqrt{2x - 1} = -3$ | Если число неотрицательно, просто возводят в квадрат |
| Корень равен корню | $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}$ | Условие достаточно написать для одного подкоренного |
| Кубический корень | $\sqrt[3]{f} = g \iff f = g^3$ | Без условий на знак: посторонних корней нет |
| Корень меньше | $\sqrt{f} < g \iff \begin{cases} f \geqslant 0 \\ g > 0 \\ f < g^2 \end{cases}$ | Система: все три условия одновременно |
| Корень больше | $\sqrt{f} > g:\ \begin{cases} f \geqslant 0 \\ g < 0 \end{cases}\ \text{или}\ \begin{cases} g \geqslant 0 \\ f > g^2 \end{cases}$ | Совокупность: ответ — объединение двух случаев, первый нельзя забывать |

## Разбор: уравнение с отсевом корня (№ 7)

**Условие.** Решите уравнение √(x + 7) = x − 5.

**Решение.**

- **Ставим условие на правую часть.** Слева арифметический корень, он неотрицателен, значит и справа должно быть неотрицательное число: $x - 5 \geqslant 0$, то есть $x \geqslant 5$. Запомним это условие — с ним в конце сверим корни.
- **Возводим обе части в квадрат.** Отдельное условие на подкоренное $x+7 \geqslant 0$ писать не нужно: после возведения оно станет равно квадрату и само окажется неотрицательным.
- $x + 7 = (x - 5)^2 \ \Longrightarrow\ x + 7 = x^2 - 10x + 25$
- Переносим всё в одну часть и решаем квадратное уравнение:
- $x^2 - 11x + 18 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 9 \ \text{или}\ x = 2$
- **Отсев по условию.** Требование $x \geqslant 5$: корень $x = 9$ подходит, а $x = 2$ — нет. Убедимся, что это не формальность: при $x = 2$ слева $\sqrt{9} = 3$, а справа $2 - 5 = -3$, и $3 \neq -3$. Корень $x = 2$ породило возведение в квадрат.
- **Проверка настоящего корня.** При $x = 9$: $\sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4$, а справа $9 - 5 = 4$ — сходится.

**Ответ:** x = 9.

## Разбор: неравенство √f > g через совокупность (№ 16)

**Условие.** Решите неравенство √(x + 5) > x − 1.

**Решение.**

- Слева корень, справа — выражение, которое может быть и положительным, и отрицательным. Значит, $\sqrt{f} > g$ раскрывается через **совокупность двух случаев**, а ответ — их объединение.
- **Случай 1: правая часть отрицательна** — тогда неравенство верно всюду, где корень существует. Система: $x - 1 < 0$ и $x + 5 \geqslant 0$. Это $x < 1$ и $x \geqslant -5$, вместе:
- $-5 \leqslant x < 1$
- **Случай 2: правая часть неотрицательна** — обе части неотрицательны, возводим в квадрат. Система: $x - 1 \geqslant 0$ и $x + 5 > (x-1)^2$.
- $x + 5 > x^2 - 2x + 1 \ \Longrightarrow\ x^2 - 3x - 4 < 0 \ \Longrightarrow\ (x - 4)(x + 1) < 0$
- Отсюда $-1 < x < 4$. Пересекаем с условием этого случая $x \geqslant 1$ и получаем:
- $1 \leqslant x < 4$
- **Объединяем оба случая.** Промежутки $[-5;\,1)$ и $[1;\,4)$ стыкуются в точке 1 и дают один отрезок:
- $x \in [-5;\,4)$
- **Проверка границ.** При $x = -5$: $\sqrt{0} = 0 > -6$ — верно, левый конец входит. При $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$, а справа $4 - 1 = 3$, и $3 > 3$ неверно — правый конец выколот. При $x = 5$: $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, а $3{,}16 > 4$ неверно — за границей ответа, всё сходится.

**Ответ:** x ∈ [−5; 4).

## Как решать иррациональное уравнение или неравенство?

1. **Уедини корень.** Добейся, чтобы в одной части остался ровно один корень, а всё остальное перешло в другую. Возводить в квадрат имеет смысл только тогда, когда корень стоит отдельно.
2. **Запиши условие на знак правой части.** Для уравнения $\sqrt{f} = g$ это $g \geqslant 0$. Отдельное условие на подкоренное $f \geqslant 0$ не пиши: после возведения в квадрат оно выполнится само.
3. **Возведи обе части в квадрат.** Корень исчезает, остаётся обычное уравнение или неравенство — чаще всего линейное или квадратное. Реши его.
4. **Для неравенства выбери правильную схему.** $\sqrt{f} < g$ — одна система: $f \geqslant 0$, $g > 0$, $f < g^2$. $\sqrt{f} > g$ — совокупность двух случаев: правая часть отрицательна (корень существует) либо неотрицательна (возводим в квадрат).
5. **Отбери корни или пересеки промежутки.** В уравнении отбрось корни, не прошедшие условие на знак. В неравенстве пересеки решения внутри системы, а между случаями совокупности — объедини.
6. **Проверь и ответь на вопрос.** Подставь корень в исходное уравнение — посторонний отсеется сразу. В неравенстве проверь границы подстановкой: концы промежутка легко перепутать по включению.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Найдите корень уравнения √(2x − 1) = 5.
   - 13 — **верный ответ**
   - 12,5
   - 3
   - 5

   *Пояснение:* Правая часть 5 ≥ 0, поэтому просто возводим в квадрат: 2x − 1 = 25, откуда 2x = 26 и x = 13. Проверка: √(2·13 − 1) = √25 = 5 — верно. Вариант 3 получается, если забыть возвести правую часть в квадрат и решить 2x − 1 = 5; вариант 12,5 — если из 2x = 25 забыть про свободный член.

2. Уравнение √(x + 11) = x − 1 после возведения в квадрат дало корни x = 5 и x = −2. Какой ответ верный?
   - 5 и −2
   - только 5 — **верный ответ**
   - только −2
   - корней нет

   *Пояснение:* Условие на правую часть: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Корень x = −2 в него не попадает — при нём справа стоит −3, а слева √9 = 3, равенства нет. Остаётся только x = 5: √16 = 4 и 5 − 1 = 4. Лишний корень x = −2 породило именно возведение в квадрат.

3. Обе части уравнения √f(x) = g(x) возвели в квадрат. Какое условие нужно добавить, чтобы не появились посторонние корни?
   - g(x) ≥ 0 — **верный ответ**
   - f(x) ≥ 0
   - f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0
   - никакого

   *Пояснение:* Нужно ровно одно условие — на знак правой части: g(x) ≥ 0, ведь арифметический корень слева неотрицателен. Условие f(x) ≥ 0 избыточно: после возведения f = g², а квадрат и так неотрицателен. Вариант «никакого» оставит в ответе посторонние корни, где правая часть отрицательна.

4. Решите неравенство √(x − 2) < 4.
   - [2; 18) — **верный ответ**
   - (−∞; 18)
   - [2; +∞)
   - (2; 18)

   *Пояснение:* Правило для √f < g: система f ≥ 0, g > 0, f < g². Здесь x − 2 ≥ 0 (то есть x ≥ 2), правая часть 4 > 0 всегда, и x − 2 < 16, то есть x < 18. Вместе: 2 ≤ x < 18. Вариант (−∞; 18) забывает про ОДЗ x ≥ 2. При x = 2 слева √0 = 0 < 4 — левый конец входит, скобка квадратная.

5. Решите неравенство √(x + 1) > x − 1.
   - [−1; 3) — **верный ответ**
   - (0; 3)
   - [1; 3)
   - [−1; +∞)

   *Пояснение:* Здесь √f > g — совокупность. Случай 1 (правая часть < 0): x − 1 < 0 и x + 1 ≥ 0 дают [−1; 1). Случай 2 (правая часть ≥ 0): x ≥ 1 и x + 1 > (x − 1)² → x² − 3x < 0 → 0 < x < 3, пересечение с x ≥ 1 даёт [1; 3). Объединяем: [−1; 3). Вариант [1; 3) теряет первый случай, где правая часть отрицательна.

6. Чему равно √(x²) при любом действительном x?
   - x
   - |x| — **верный ответ**
   - ±x
   - x²

   *Пояснение:* Арифметический корень по определению неотрицателен, поэтому √(x²) = |x|, а не x. Проверка на числе: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|, тогда как сам x равен −5. Именно поэтому при решении уравнений с √(x²) нельзя просто «снять» корень и квадрат — появится модуль.

## Какие ошибки делают в иррациональных уравнениях?

- **Ошибка 1.** **Возводят в квадрат и не проверяют знак правой части.** Возведение в квадрат неравносильно — оно дарит посторонние корни. В $\sqrt{3x+7} = x+1$ выходят $x = 3$ и $x = -2$; без условия $x+1 \geqslant 0$ второй уходит в ответ, хотя при нём слева 1, а справа −1. Либо ставь условие, либо проверяй корни подстановкой.
- **Ошибка 2.** **Пишут лишнее условие на подкоренное и забывают про правую часть.** В системе для $\sqrt{f} = g$ главное — $g \geqslant 0$, а не $f \geqslant 0$. Условие на подкоренное после возведения в квадрат выполняется само ($f = g^2 \geqslant 0$), а вот знак правой части теряется — именно его и надо вернуть.
- **Ошибка 3.** **Раскрывают $\sqrt{f} > g$ и $\sqrt{f} < g$ одинаково.** «Симметричного» правила нет. $\sqrt{f} < g$ — одна система ($g>0$ обязательно). $\sqrt{f} > g$ — совокупность двух случаев, и чаще всего теряют первый: когда правая часть отрицательна, неравенство верно само по себе, а половина ответа остаётся невыписанной.
- **Ошибка 4.** **Пишут $\sqrt{x^2} = x$ вместо $\sqrt{x^2} = |x|$.** Результат арифметического корня неотрицателен, поэтому под корнем из квадрата прячется модуль. Проверь на числе: $\sqrt{(-3)^2} = 3$, а не $-3$.
- **Ошибка 5.** **Забывают ОДЗ при равенстве двух корней.** В $\sqrt{f} = \sqrt{g}$ возведение в квадрат корней не добавляет, но приравнивание подкоренных может дать значение, при котором оба выражения отрицательны. Условие $f \geqslant 0$ обязательно — иначе в ответ уйдёт точка, где корней вообще нет.
- **Ошибка 6.** **В неравенстве $\sqrt{f} < g$ забывают, что правая часть строго положительна.** Неотрицательный корень не может быть меньше нуля или отрицательного числа, поэтому $g > 0$ — часть системы, а не мелочь. Пропустив его, легко «решить» неравенство там, где решений нет.

## Запомни для ЕГЭ

- $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}$
- $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}$
- $\sqrt{x^2} = |x|$
- $\sqrt{f} < g \iff \begin{cases} f \geqslant 0 \\ g > 0 \\ f < g^2 \end{cases}$
- $\sqrt{f} > g:\ \begin{cases} f \geqslant 0 \\ g < 0 \end{cases}\ \text{или}\ \begin{cases} g \geqslant 0 \\ f > g^2 \end{cases}$
- Возведение в квадрат может подарить посторонний корень. Всегда проверяй знак правой части или решай систему

## На экзамене

- Задание 7 стоит 1 балл — закладывай 3 минуты. Простейшее $\sqrt{f} = c$ с положительным числом справа решается возведением в квадрат сразу. Если справа переменная — возведи в квадрат, найди корни и подставь каждый в исходное: посторонний отсеется за двадцать секунд, а систему в части 1 можно не расписывать.
- В части 2 (№ 14, 16) одного ответа мало — нужна запись обоснования. Пиши условие на знак правой части (или всю систему), возведение в квадрат и отбор. Пропущенное условие — не описка, а ноль: балл за «верную последовательность шагов» дают только при полной цепочке.
- Неравенства не путай: $\sqrt{f} < g$ — одна система с обязательным $g > 0$; $\sqrt{f} > g$ — совокупность, где легче всего забыть случай отрицательной правой части. Сомневаешься в ответе — подставь по одному числу изнутри и снаружи промежутка.
- Числа в заданиях всегда «хорошие»: подкоренные раскладываются в полные квадраты, корни выходят целыми. Если после возведения в квадрат получился дискриминант, который не берётся, или корень вида $\sqrt{17}$ в ответе задания 7 — ищи арифметическую ошибку, а не редкий случай.
- Помни про $\sqrt{x^2} = |x|$: модуль всплывает всюду, где под корнем оказывается полный квадрат. Снял корень без модуля — потерял половину решений.
- Не перепутай бланки: № 7 идёт в бланк № 1 (краткий ответ — целое число или конечная десятичная дробь), № 14 и № 16 — в бланк № 2 (развёрнутое решение).

## Словарь темы

- **Иррациональное уравнение** — Уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. На профиле почти всегда квадратного. Решается возведением в квадрат с контролем знака правой части.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения уравнения или неравенства имеют смысл. Для корня чётной степени это значит, что подкоренное выражение неотрицательно: √f существует только при f ≥ 0.
- **Арифметический корень** — √f — неотрицательное число, квадрат которого равен f. Ключевое свойство темы: √f ≥ 0 всегда, поэтому √(x²) = |x|. Подробно разбирается в теме кода 1.3.
- **Посторонний корень** — Число, которое удовлетворяет уравнению после возведения в квадрат, но не исходному. Появляется из-за того, что возведение в квадрат неравносильно. Отсеивается проверкой знака или подстановкой.
- **Равносильная система** — Система условий, множество решений которой в точности совпадает с множеством решений исходного уравнения или неравенства. Для √f = g это { f = g², g ≥ 0 } — переход к ней сразу отсекает посторонние корни.
- **Совокупность** — Набор условий, соединённых союзом «или»: решение — объединение решений каждого. В отличие от системы (где условия выполняются одновременно). Неравенство √f > g раскрывается именно совокупностью двух случаев.

## Частые вопросы

### Что такое иррациональное уравнение?

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня; на профиле почти всегда квадратного. Его решают возведением в квадрат с контролем знака правой части, потому что возведение в квадрат неравносильно и может дать посторонние корни.

### Как решать задания по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Шаги такие:

1. уедини корень
2. запиши условие на знак правой части
3. возведи обе части в квадрат
4. для неравенства выбери правильную схему
5. отбери корни или пересеки промежутки
6. проверь и ответь на вопрос.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Возводят в квадрат и не проверяют знак правой части. Возведение в квадрат неравносильно — оно дарит посторонние корни. В √(3x+7) = x+1 выходят x = 3 и x = -2; без условия x+1 ≥ 0 второй уходит в ответ, хотя при нём слева 1, а справа −1. Либо ставь условие, либо проверяй корни подстановкой.

### Что нужно запомнить по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Главное:

1. √(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}
2. √(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}
3. √(x²) = |x|
4. √f 0; f < g²}
5. √f > g: {f ≥ 0; g g²}.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.2 «Иррациональные уравнения»; 2.6 «Иррациональные неравенства».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 2.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Иррациональные уравнения/неравенства», проверяется заданиями 7, 14, 16.
- Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, часть 1, ответ в бланк № 1 (целое число или конечная десятичная дробь). Задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла, часть 2, развёрнутая запись в бланк № 2.
- Критерий задания 14: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один пункт. Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
- Калькулятор на профильной математике запрещён; справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Свойств корней там нет, числа в заданиях «хорошие».
- Возведение в квадрат — неравносильное преобразование: из a = b и a = −b получается одно уравнение a² = b², поэтому появляются посторонние корни, которые отсекаются условием на знак или проверкой подстановкой.
- Равносильная система для √f(x) = g(x) — это { f(x) = g²(x), g(x) ≥ 0 }; условие f(x) ≥ 0 отдельно не требуется, так как следует из f = g² ≥ 0.
- Для равенства двух корней √f(x) = √g(x) равносильная система — { f(x) = g(x), f(x) ≥ 0 }; условие на g следует из f = g ≥ 0.
- Для нечётного (кубического) корня возведение в куб равносильно без условий на знак: ∛f = g ⇔ f = g³.
- Неравенство √f(x) < g(x) равносильно системе { f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x) }.
- Неравенство √f(x) > g(x) равносильно совокупности двух систем: { f ≥ 0, g < 0 } или { g ≥ 0, f > g²(x) }; ответ — объединение решений.
- Задание 14 — «чаще всего тригонометрическое уравнение с отбором корней», иррациональные уравнения там встречаются по кодификатору; задание 16 — чаще логарифмические/показательные неравенства, но иррациональные законны. Главное место темы — задание 7.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/irracionalnye-uravneniya-neravenstva/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.