---
title: "Комбинаторика ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Комбинаторика — это раздел, который вместо перебора вариантов даёт формулы, сразу выдающие их количество. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 5, 6."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kombinatorika/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задания 5 и 6 КИМ (по 1 баллу)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Комбинаторика

Комбинаторика — это раздел, который вместо перебора вариантов даёт формулы, сразу выдающие их количество; фундамент всех её формул — правило умножения. На ЕГЭ тема нужна в задании 5 (1 балл, часть 1): там сочетаниями считают все и благоприятные исходы для классической вероятности P = m/n. В проекте КИМ 2027 те же подсчёты исходов пригодятся и в новом задании 6 (1 балл) о случайных величинах и их распределениях.

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами», не заставляя перебирать варианты руками. На профильном ЕГЭ это задание 5 — там, где комбинаторика встречается с вероятностью. Вся тема держится на одном различении: важен порядок или нет. Перепутал, что важно — порядок или нет, — получил неверное число, и весь пример развалился.

**Задание КИМ:** Задания 5 и 6 КИМ (по 1 баллу)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое правило умножения в комбинаторике?

Комбинаторика нужна ровно тогда, когда вариантов слишком много, чтобы выписывать их вручную. Вместо перебора она даёт формулы, которые сразу выдают количество. А фундамент всех этих формул — одно простое правило.

**Правило умножения.** Если выбор состоит из нескольких независимых этапов и на первом этапе есть $m$ вариантов, а на втором — $n$, то весь выбор можно сделать $m \cdot n$ способами. Этапов может быть сколько угодно — их количества просто перемножаются.

Пример на пальцах: у тебя 2 футболки и 3 пары шорт. Сколько разных комплектов? К каждой футболке подходят любые из трёх шорт, значит вариантов:

$$
N = 2 \cdot 3 = 6
$$

**Правило сложения.** Если варианты разбиты на группы, которые не пересекаются (нельзя выбрать сразу из двух), то их количества **складывают**. «Взять яблоко или грушу» из 4 яблок и 3 груш — это 4 + 3 = 7 способов, а не 12: ты берёшь один фрукт, а не пару.

Различай их по союзу в условии. «И то, и другое» по очереди — умножение. «Либо одно, либо другое» — сложение. Это первая развилка любой задачи.

*Рисунок: Правило умножения: 2 футболки и по 3 пары шорт к каждой дают 2·3 = 6 комплектов*

![Дерево выбора из трёх вариантов одежды и двух рюкзаков даёт шесть различных сочетаний](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/kombinatorika-1.png)

*По правилу умножения каждый вариант первого выбора соединяется с каждым вариантом второго.*

## Что такое факториал и как считать перестановки?

Начнём с самого частого вопроса: сколькими способами можно расставить в ряд несколько разных предметов. Пусть их $n$. На первое место годится любой из $n$, на второе — любой из оставшихся $n-1$, на третье — из $n-2$, и так до последнего. По правилу умножения перемножаем все эти количества.

Такое произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ называют **факториалом** и обозначают восклицательным знаком:

$$
n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n
$$

Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, а $5! = 120$. Факториал растёт стремительно: $10!$ — это уже больше трёх миллионов.

Отдельно запомни договорённость: $0! = 1$. Это не «ноль способов», а ровно один способ ничего не расставлять — пустую расстановку. Без этого равенства сломались бы все формулы ниже, поэтому его берут как определение.

**Перестановки** — это и есть все возможные расстановки $n$ различных предметов по местам. Их количество обозначают $P_n$:

$$
P_n = n!
$$

Пятерых человек можно рассадить на пять стульев $P_5 = 5! = 120$ способами. Ключевое слово-маркер перестановок — «расставить», «рассадить», «в каком порядке»: участвуют **все** предметы, меняется только их порядок.

## Чем размещения отличаются от сочетаний?

Чаще берут не все предметы, а только часть: $k$ штук из $n$. И тут появляется развилка, на которой держится вся тема. Один и тот же набор можно посчитать двумя разными числами — смотря важен порядок выбора или нет.

**Размещения** — выбираем $k$ предметов из $n$, и **порядок важен**: выбрать А, потом Б — это не то же самое, что Б, потом А. Рассуждаем как с перестановками, но останавливаемся после $k$ шагов: на первое место $n$ вариантов, на второе $n-1$, и так $k$ множителей. Обозначают $A_n^k$:

$$
A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)
$$

Пример: староста и его заместитель из 8 человек — роли разные, значит порядок важен. $A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$ способов.

**Сочетания** — выбираем $k$ предметов из $n$, но **порядок не важен**: важно только, кто попал в набор, а не в каком порядке их называли. Выбрать А и Б — тот же результат, что Б и А. Обозначают $C_n^k$:

$$
C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}
$$

Пример: двое дежурных из 8 человек — дежурные равноправны, порядок ни на что не влияет. $C_8^2 = \tfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$ способов.

Связь между ними видна прямо из формул: размещения — это те же сочетания, но каждый выбранный набор дополнительно расставлен по местам всеми $k!$ способами. Поэтому размещений ровно в $k!$ раз больше:

$$
A_n^k = C_n^k \cdot k!
$$

Практический вывод для экзамена: всегда сначала спроси себя, важен ли порядок. Роли разные, места пронумерованы, «первый-второй» — порядок важен, бери размещения. Все равноправны, просто «выбрать группу» — порядок не важен, бери сочетания.

*Рисунок: Один вопрос решает выбор формулы: важен порядок — размещения или перестановки; не важен — сочетания*

## Как считать без калькулятора

Калькулятора на ЕГЭ нет, а факториалы огромные. Поэтому **никогда не раскрывай $n!$ целиком** — почти всё сокращается. В формуле сочетаний из $n!$ уходит $(n-k)!$, и сверху остаётся всего $k$ множителей:

$$
C_n^k = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}
$$

Правило простое: сверху пишешь $k$ чисел подряд, начиная с $n$ и вниз, снизу — $k!$. Считаем $C_7^3$: сверху три числа $7 \cdot 6 \cdot 5$, снизу $3! = 6$, итого $\tfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

Ещё один приём экономит время — **симметрия** сочетаний. Выбрать $k$ предметов, которые берём, — то же самое, что выбрать $n-k$ предметов, которые оставляем:

$$
C_n^k = C_n^{\,n-k}
$$

Поэтому $C_{10}^8$ проще считать как $C_{10}^2 = \tfrac{10 \cdot 9}{2} = 45$, а не перемножать восемь чисел. Крайние случаи запомни отдельно: $C_n^0 = 1$ (не взять ничего — один способ) и $C_n^n = 1$ (взять всё — тоже один).

Зачем это на задании 5. Комбинаторика там почти всегда работает не сама по себе, а как счётчик для классической вероятности $P = \tfrac{m}{n}$: сочетаниями считают, сколько всего исходов и сколько из них благоприятных. Саму вероятность подробно разбирает соседняя тема, но выбор «сколькими способами» — это всегда шаг отсюда.

## Формулы комбинаторики в одной таблице

*Главная развилка темы: важен порядок выбора или нет*

| Понятие | Формула | Когда применять |
| --- | --- | --- |
| Правило умножения | $N = m \cdot n$ | Выбор из независимых этапов: «и то, и другое» по очереди |
| Правило сложения | $N = m + n$ | Группы не пересекаются: «либо одно, либо другое» |
| Факториал | $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$, $0! = 1$ | Произведение всех натуральных чисел от 1 до n |
| Перестановки | $P_n = n!$ | Участвуют все предметы, меняется только порядок: «расставить», «рассадить» |
| Размещения | $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ | k из n, порядок важен: роли разные, места пронумерованы |
| Сочетания | $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ | k из n, порядок не важен: все равноправны, просто «выбрать группу» |
| Связь размещений и сочетаний | $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ | Размещений ровно в k! раз больше |
| Счёт сочетаний без калькулятора | $C_n^k = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ | Сверху k чисел подряд от n вниз, снизу k! |
| Симметрия сочетаний | $C_n^k = C_n^{\,n-k}$ | Удобно при большом k: C₁₀⁸ = C₁₀² = 45 |

## Как выбрать формулу комбинаторики?

1. **Пойми, что происходит:** выбираем часть предметов из большего набора или расставляем весь набор по местам. От этого зависит, какая из трёх формул нужна.
2. **Задай главный вопрос — важен ли порядок.** Роли разные, места пронумерованы, есть «первый» и «второй» — порядок важен. Все равноправны, нужна просто группа — порядок не важен. Этот шаг решает почти всё.
3. **Берём все предметы и только переставляем** — это перестановки, $P_n = n!$.
4. **Берём k из n, порядок важен** — размещения $A_n^k = \tfrac{n!}{(n-k)!}$. Порядок не важен — сочетания $C_n^k = \tfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
5. **Несколько этапов подряд — перемножай** (правило умножения); взаимоисключающие случаи «либо-либо» — складывай (правило сложения).
6. **Считай, сокращая факториалы.** Не раскрывай $n!$ целиком: в сочетаниях сверху остаётся $k$ множителей, а симметрия $C_n^k = C_n^{n-k}$ часто укорачивает счёт.

## Разбор: один набор, два разных ответа

**Условие.** В классе 7 человек. а) Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных? б) Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Сравни ответы и объясни, почему они разные.

**Решение.**

- **Пункт а — дежурные.** Оба дежурных равноправны: сказать «дежурят Аня и Боря» или «Боря и Аня» — одно и то же. Порядок не важен, значит это сочетания.
- $C_7^2 = \dfrac{7 \cdot 6}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$
- Сверху два множителя (начиная с 7 вниз), снизу $2! = 2$. Получаем 21 способ.
- **Пункт б — староста и заместитель.** Теперь роли разные: «Аня — староста, Боря — зам» и «Боря — староста, Аня — зам» — это два разных распределения. Порядок важен, значит это размещения.
- $A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42$
- На место старосты годится любой из 7, на место зама — любой из оставшихся 6. Получаем 42 способа.
- **Сравнение.** Ответов ровно вдвое больше во втором случае: $42 = 21 \cdot 2$. Это и есть связь $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ при $k = 2$: каждую пару дежурных можно двумя способами распределить по ролям староста-зам. Один и тот же выбор людей, но во втором пункте важен порядок — и число удвоилось.

**Ответ:** а) 21 способ (сочетания C₇² = 21); б) 42 способа (размещения A₇² = 42). Второй ответ вдвое больше, потому что в нём важен порядок (роли разные)..

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 5 теряют балл. Сначала реши, важен ли порядок, — потом считай.

1. Из 6 человек нужно выбрать команду из 3 для игры (все в команде равноправны). Размещения это или сочетания и сколько способов?
   - Размещения, 120
   - Сочетания, 20 — **верный ответ**
   - Размещения, 20
   - Сочетания, 120

   *Пояснение:* Команда равноправна, порядок выбора не важен — это сочетания. C(6,3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 120/6 = 20. Число 120 — это размещения A(6,3), где порядок учитывался бы; здесь он не нужен.

2. Чему равно C(5, 2)?
   - 20
   - 10 — **верный ответ**
   - 25
   - 7

   *Пояснение:* C(5,2) = (5·4)/(2·1) = 20/2 = 10. Сверху два множителя, начиная с 5 вниз; снизу 2! = 2. Число 20 получилось бы, если забыть поделить на 2! — это размещения A(5,2).

3. Сколькими способами можно рассадить 4 разных человека на 4 пронумерованных стула?
   - 16
   - 12
   - 24 — **верный ответ**
   - 4

   *Пояснение:* Расставляем всех четверых по местам — это перестановки: P(4) = 4! = 1·2·3·4 = 24. На первый стул 4 варианта, на второй 3, дальше 2 и 1; перемножаем.

4. В соревновании 8 участников. Сколькими способами могут распределиться первое и второе места?
   - 56 — **верный ответ**
   - 28
   - 16
   - 64

   *Пояснение:* Места разные (первое и второе), поэтому порядок важен — размещения: A(8,2) = 8·7 = 56. Число 28 — это сочетания C(8,2), они подошли бы, если бы места были равноправны, но здесь они не равноправны.

5. Чему равно 0! (ноль факториал)?
   - 0
   - 1 — **верный ответ**
   - не определено
   - бесконечности

   *Пояснение:* По определению 0! = 1. Это ровно один способ ничего не расставлять — пустая расстановка. Договорённость нужна, чтобы формулы размещений и сочетаний работали в крайних случаях.

## Какие ошибки делают в задачах по комбинаторике?

- **Ошибка 1.** **Путают размещения и сочетания.** Это ошибка номер один. «Выбрать команду», «выбрать группу», «взять несколько» — порядок не важен, это сочетания $C_n^k$. «Распределить места», «староста и зам», «первый и второй» — порядок важен, это размещения $A_n^k$. Прежде чем считать, ответь себе на один вопрос: важен ли порядок.
- **Ошибка 2.** **Складывают там, где надо умножать.** Несколько этапов подряд («и то, и другое») — это правило умножения, количества перемножаются. Складывают только взаимоисключающие случаи («либо одно, либо другое»). Перепутал союз — получил в разы меньшее или большее число.
- **Ошибка 3.** **Забывают, что $0! = 1$.** Пишут $0! = 0$ и получают деление на ноль в формуле сочетаний при $k = n$. По определению $0! = 1$, и тогда $C_n^n = 1$, как и должно быть.
- **Ошибка 4.** **В сочетаниях делят не на то.** В знаменателе $C_n^k$ стоит $k!$ — факториал того, сколько **берём**, а не сколько остаётся. Считаешь $C_7^3$ — делишь на $3! = 6$, а не на $4!$.
- **Ошибка 5.** **Раскрывают факториал целиком и тонут в арифметике.** Калькулятора нет, а $n!$ огромно. Не считай $10!$ и $8!$ по отдельности — сократи их сразу: в $A_n^k$ и $C_n^k$ почти всё уходит, остаётся $k$ множителей сверху.

## Запомни для ЕГЭ

- $P_n = n!$
- $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
- $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$
- $A_n^k = C_n^k \cdot k!$
- $C_n^k = C_n^{\,n-k}, \quad 0! = 1$
- Важен порядок — A или P. Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу

## На экзамене

- Задание 5 стоит 1 балл, ответ — число или конечная дробь. Больше 3–4 минут на него не трать: впереди задания части 2 по 2–4 балла, они дороже.
- Первым делом реши, важен ли порядок. Один этот вопрос отделяет размещения от сочетаний и спасает от самой частой ошибки темы. Проговори условие словами: «мне нужна просто группа» или «мне важно, кто на каком месте».
- Считай, сокращая. Сверху в сочетаниях оставляй ровно $k$ множителей, а если $k$ близко к $n$ — переходи к $C_n^{n-k}$. Так почти вся арифметика делается в уме.
- Проверка здравым смыслом: сочетаний не больше, чем размещений, — при выборе от двух элементов их ровно в $k!$ раз меньше. Если у тебя сочетаний вышло больше размещений — где-то перепутал формулу.
- В задании 5 комбинаторика обычно не финал, а шаг к вероятности $P = m/n$: сочетаниями считаешь и общее число исходов, и число благоприятных. Держи в голове, что «сколькими способами» — часто лишь промежуточный ответ.

## Словарь темы

- **Факториал** — Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Например, 4! = 1·2·3·4 = 24. По определению 0! = 1.
- **Правило умножения** — Если выбор состоит из независимых этапов с m и n вариантами, то всего способов m·n. Работает для любого числа этапов — их количества перемножаются.
- **Правило сложения** — Если варианты разбиты на непересекающиеся группы (нельзя выбрать сразу из двух), их количества складывают. Отвечает союзу «либо-либо».
- **Перестановки** — Все способы расставить n различных предметов по местам. Количество Pₙ = n!. Участвуют все предметы, меняется только порядок.
- **Размещения** — Выбор k предметов из n, когда порядок важен (роли или места разные). Количество Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1).
- **Сочетания** — Выбор k предметов из n, когда порядок не важен (нужна просто группа). Количество Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Их не больше, чем размещений: при выборе от двух элементов — ровно в k! раз меньше.

## Частые вопросы

### Что такое комбинаторика?

Комбинаторика — раздел, который вместо перебора вариантов даёт формулы, сразу выдающие их количество. Она нужна, когда вариантов слишком много, чтобы выписывать их вручную, а фундамент всех её формул — правило умножения.

### Как решать задания по теме «Комбинаторика»?

Шаги такие:

1. пойми, что происходит
2. задай главный вопрос — важен ли порядок
3. берём все предметы и только переставляем
4. берём k из n, порядок важен
5. несколько этапов подряд — перемножай
6. считай, сокращая факториалы.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Комбинаторика»?

Путают размещения и сочетания. Это ошибка номер один. «Выбрать команду», «выбрать группу», «взять несколько» — порядок не важен, это сочетания Cₙᵏ. «Распределить места», «староста и зам», «первый и второй» — порядок важен, это размещения Aₙᵏ. Прежде чем считать, ответь себе на один вопрос: важен ли порядок.

### Что нужно запомнить по теме «Комбинаторика»?

Главное:

1. Pₙ = n!
2. Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!)
3. Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!)
4. Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!
5. Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, 0! = 1
6. Важен порядок — A или P.

Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 6.3 «Комбинаторика».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 6.3 «Комбинаторика» кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня (раздел 6 «Вероятность и статистика», уровень УУ), проверяется в задании 5.
- Задание 5 — повышенный уровень, часть 1, 1 балл, ответ число или конечная дробь.
- Правило умножения (перемножение числа вариантов независимых этапов) и правило сложения (сложение для непересекающихся групп) — базовые принципы комбинаторики.
- Факториал n! = 1·2·…·n; 0! = 1 по определению. Число перестановок Pₙ = n!.
- Размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1) — выбор k из n с учётом порядка. A(8,2) = 56, A(6,3) = 120.
- Сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) — выбор k из n без учёта порядка. C(5,2) = 10, C(7,3) = 35, C(8,2) = 28.
- Связь Aₙᵏ = Cₙᵏ·k! (размещений в k! раз больше, чем сочетаний) и симметрия Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
- На задании 5 комбинаторика используется как счётчик исходов для классической вероятности P = m/n.
- Калькулятор на профильном ЕГЭ запрещён, поэтому факториалы при счёте не раскрывают целиком, а сокращают.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-5/)
- [Формулы комбинаторики: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-kombinatoriki/)
- [Теория вероятностей ЕГЭ 2027: формулы и задачи](https://neuromisha.ru/materialy/teoriya-veroyatnostey-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kombinatorika/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.