---
title: "Координаты и векторы ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление. Определение, конспект с формулами, разобранные примеры и мини-тест для ЕГЭ, задание 2."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/koordinaty-i-vektory/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 2 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Координаты и векторы

Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места, поэтому его удобно задавать парой чисел-координат. На ЕГЭ тема нужна в задании 2 (1 балл): сложить или вычесть векторы, найти длину, скалярное произведение и угол между векторами на координатной плоскости.

Задание 2 профильного ЕГЭ — целиком про векторы на координатной плоскости: сложить, вычесть, найти длину, скалярное произведение и угол. Формул немного, и все считаются в уме. Главная ловушка одна: скалярное произведение записывают двумя разными формулами, и легко взять не ту.

**Задание КИМ:** Задание 2 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое вектор и как найти его координаты?

**Вектор** — это направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места. Один и тот же вектор можно нарисовать в любой точке плоскости — он от этого не изменится. Именно поэтому вектор удобно задавать не картинкой, а парой чисел — его **координатами**.

Координаты вектора $\vec{a}=(x;\,y)$ — это на сколько нужно сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Первое число — сдвиг по горизонтали, второе — по вертикали. Если вектор отложен от начала координат, его координаты совпадают с координатами конца.

Чаще всего вектор задают двумя точками. Чтобы получить координаты вектора $\vec{AB}$, из координат **конца** вычитают координаты **начала** — именно в таком порядке:

$$
\vec{AB} = (x_B - x_A;\ \ y_B - y_A)
$$

Порядок важен: $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ — это разные векторы, они противоположно направлены и у них противоположны знаки координат. Например, для точек $A(1;2)$ и $B(4;6)$ вектор $\vec{AB}=(4-1;\,6-2)=(3;4)$, а $\vec{BA}=(-3;-4)$.

*Рисунок: Координаты вектора — это его проекции на оси Ox и Oy*

![Сложение двух векторов по правилу параллелограмма и правилу треугольника](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/koordinaty-i-vektory-1.png)

*Один и тот же результирующий вектор получается диагональю параллелограмма и цепочкой голова к хвосту.*

## Как складывать, вычитать и умножать векторы на число?

Как только вектор превратился в пару чисел, все действия с ним делаются **покоординатно** — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Никаких чертежей для этого уже не нужно.

**Сумма и разность:** складываем или вычитаем соответствующие координаты.

$$
\vec{a}+\vec{b} = (x_1+x_2;\ y_1+y_2), \qquad \vec{a}-\vec{b} = (x_1-x_2;\ y_1-y_2)
$$

**Умножение на число:** каждую координату умножаем на это число.

$$
k\vec{a} = (k x;\ k y)
$$

Разность — самое опасное место всей темы. Здесь легко потерять минус, особенно когда координаты сами отрицательные. Считай честно, со знаками: если $\vec{a}=(7;3)$ и $\vec{b}=(2;8)$, то $\vec{a}-\vec{b}=(7-2;\,3-8)=(5;-5)$. Вторая координата отрицательна — это нормально.

В задании 2 часто просят не сам вектор, а одну его координату у комбинации вроде $2\vec{a}-\vec{b}$. Тогда считать весь вектор незачем — найди только нужную координату. Для $\vec{a}=(1;-2)$ и $\vec{b}=(4;1)$ первая координата $2\vec{a}-\vec{b}$ равна $2\cdot1-4=-2$.

## Как найти длину вектора и расстояние между точками?

**Длина вектора** (её ещё называют модулем) — это обычная длина отрезка от начала к концу. Координаты вектора — это катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор — его гипотенуза. Поэтому длина считается по теореме Пифагора: корень из суммы квадратов координат.

$$
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

Квадраты убивают знаки, так что отрицательные координаты длине не мешают. Например, у вектора $\vec{a}=(-5;12)$ длина равна $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

**Расстояние между двумя точками** — это просто длина вектора между ними. Сначала находим вектор $\vec{AB}$, потом его длину:

$$
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
$$

**Середина отрезка** тоже иногда попадается в задании 2. Её координаты — это средние арифметические координат концов:

$$
M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
$$

Числа в задании 2 подобраны так, чтобы корень извлекался нацело. Держи в голове пифагоровы тройки — пары катетов, дающие целую гипотенузу: **(3; 4) → 5**, **(6; 8) → 10**, **(5; 12) → 13**, **(8; 15) → 17**. Увидел под корнем 25, 100, 169 или 289 — почти наверняка длина как раз из такой тройки.

## Как найти скалярное произведение и угол между векторами?

Скалярное произведение двух векторов — это **число** (не вектор, отсюда и название «скалярное»). У него есть **две** формулы, и весь фокус задания 2 в том, чтобы выбрать правильную под данные условия.

**Формула по координатам** — когда векторы заданы координатами. Перемножаем первые координаты, перемножаем вторые и складываем:

$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$

**Формула через длины и угол** — когда даны длины векторов и угол $\alpha$ между ними:

$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\alpha
$$

Обе формулы дают одно и то же число — просто одна удобна, когда есть координаты, а другая — когда есть длины и угол. Здесь чаще всего и ошибаются: даны координаты, а школьник тянется к косинусу, или наоборот. Правило простое — **смотри, что дано в условии**, и бери ту формулу, куда эти данные подставляются напрямую.

Если приравнять правые части двух формул, из них выражается **косинус угла** между векторами — это и есть способ найти угол в задании 2:

$$
\cos\alpha = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}}
$$

Отсюда — самый частый частный случай: если скалярное произведение равно нулю, то $\cos\alpha=0$, а значит угол равен $90^\circ$. Векторы **перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю**. Это готовый способ проверить перпендикулярность, не измеряя ничего: например, $\vec{a}=(3;-2)$ и $\vec{b}=(4;6)$ дают $3\cdot4+(-2)\cdot6=12-12=0$ — значит, они перпендикулярны.

Полученный косинус сверяй с таблицей «красивых» углов: $\cos 0^\circ=1$, $\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos 60^\circ=\tfrac12$, $\cos 90^\circ=0$, а тупым углам 120°, 135°, 150° отвечают те же значения со знаком минус. Отрицательный косинус — сигнал, что угол тупой.

*Рисунок: Косинус угла между векторами = скалярное произведение, делённое на произведение длин*

## Формулы координат и векторов в одной таблице

*Что считаем в задании 2 и по какой формуле*

| Что найти | Формула | Что важно помнить |
| --- | --- | --- |
| Координаты вектора по двум точкам | $\vec{AB} = (x_B - x_A;\ \ y_B - y_A)$ | Конец минус начало; у BA⃗ знаки координат противоположные |
| Сумма и разность | $\vec{a}\pm\vec{b} = (x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2)$ | Считают покоординатно; в разности не терять минус |
| Умножение на число | $k\vec{a} = (k x;\ k y)$ | Каждую координату умножают на k |
| Длина вектора | $\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ | Теорема Пифагора; знаки координат на длину не влияют |
| Расстояние между точками | $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ | Это длина вектора AB⃗ |
| Середина отрезка | $M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ | Средние арифметические координат концов |
| Скалярное произведение по координатам | $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ | Когда векторы заданы координатами |
| Скалярное произведение через угол | $\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\alpha$ | Когда даны длины и угол α между векторами |
| Угол между векторами | $\cos\alpha = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}$ | a⃗·b⃗ = 0 — векторы перпендикулярны; отрицательный косинус — угол тупой |

## Разбор: длина, скалярное произведение и угол

**Условие.** Даны векторы a⃗ = (4; 3) и b⃗ = (1; 7). Найди их скалярное произведение и угол между ними.

**Решение.**

- Векторы заданы координатами — значит, для скалярного произведения берём координатную формулу $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$:
- $\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 1 + 3\cdot 7 = 4 + 21 = 25$
- Чтобы найти угол, понадобятся длины обоих векторов — их считаем по теореме Пифагора:
- $|\vec{a}| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5, \qquad |\vec{b}| = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
- Теперь подставляем всё в формулу косинуса угла:
- $\cos\alpha = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}} = \dfrac{25}{25\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- Косинус получился «красивый» — сверяемся с таблицей: $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2}$ отвечает углу 45°.

**Ответ:** Скалярное произведение равно 25, угол между векторами равен 45°.

## Как решать задание 2

1. **Посмотри, что дано.** Координаты векторов — работаешь координатными формулами. Длины и угол — формулой через косинус. От этого выбора зависит всё решение.
2. **Нужен вектор из точек — вычитай начало из конца.** Координаты вектора $\vec{AB}$ — это $(x_B-x_A;\,y_B-y_A)$, именно в таком порядке и обязательно со знаками.
3. **Действия делай покоординатно.** Сумма, разность, умножение на число — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Просят одну координату — не считай весь вектор.
4. **Длина — корень из суммы квадратов координат.** Не забудь сам корень: $\sqrt{x^2+y^2}$, а не $x^2+y^2$. Число под корнем обычно из пифагоровой тройки.
5. **Скалярное произведение — выбранной формулой.** По координатам: $x_1x_2+y_1y_2$. Через длины: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.
6. **Угол — через косинус, потом сверься с таблицей.** Найди $\cos\alpha=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ и по значению определи угол. Ноль в числителе — угол 90°.

## Проверь себя

Пять коротких задач ровно в формате задания 2. Считай в уме или на черновике, не подглядывая в текст.

1. Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (4; 1). Чему равно скалярное произведение a⃗ · b⃗?
   - 5 — **верный ответ**
   - 11
   - −1
   - 14

   *Пояснение:* Векторы в координатах, поэтому a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ = 2·4 + (−3)·1 = 8 − 3 = 5. Главное — не потерять минус у второй координаты.

2. Найди длину вектора a⃗ = (−5; 12).
   - 7
   - 13 — **верный ответ**
   - 17
   - 169

   *Пояснение:* Длина — корень из суммы квадратов координат: √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Знак минус под квадратом исчезает. Вариант 169 — это забыли извлечь корень.

3. Даны точки A(1; −2) и B(5; 1). Чему равна длина вектора AB⃗?
   - 4
   - 5 — **верный ответ**
   - 7
   - 25

   *Пояснение:* Сначала вектор: AB⃗ = (5 − 1; 1 − (−2)) = (4; 3). Его длина √(4² + 3²) = √25 = 5 — знакомая пифагорова тройка (3; 4; 5).

4. Известно, что |a⃗| = 6, |b⃗| = 3, а угол между векторами равен 120°. Чему равно a⃗ · b⃗?
   - 18
   - 9
   - −9 — **верный ответ**
   - −18

   *Пояснение:* Даны длины и угол — значит, формула a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α. Здесь cos 120° = −½, поэтому 6·3·(−½) = −9. Отрицательный результат закономерен: угол тупой.

5. Даны векторы a⃗ = (4; 1) и b⃗ = (−2; 5). Чему равна вторая координата вектора a⃗ − b⃗?
   - 6
   - −4 — **верный ответ**
   - 4
   - −6

   *Пояснение:* Разность считается покоординатно, нужна только вторая координата: y₁ − y₂ = 1 − 5 = −4. Первая координата (4 − (−2) = 6) здесь не спрашивается — считать её незачем.

## Какие ошибки делают в задачах на векторы?

- **Ошибка 1.** **Берут не ту формулу скалярного произведения.** Даны координаты — работает $x_1x_2+y_1y_2$; даны длины и угол — $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$. Это ловушка номер один в задании 2. Всегда смотри, что именно дано в условии.
- **Ошибка 2.** **Путают длину и скалярное произведение.** Длина — это $\sqrt{x^2+y^2}$ одного вектора, а скалярное произведение — $x_1x_2+y_1y_2$ двух векторов. Разные величины: у одной корень, у другой перемножаются координаты разных векторов.
- **Ошибка 3.** **Теряют знак при вычитании векторов.** В $\vec{a}-\vec{b}$ вычитается вторая координата из первой: $y_1-y_2$. Когда координаты отрицательные, легко перепутать знак или порядок. Пиши разность в скобках прежде, чем считать.
- **Ошибка 4.** **Забывают извлечь корень в длине.** Длина вектора — это $\sqrt{x^2+y^2}$, а не $x^2+y^2$. Если в ответе получилось 169 или 100 вместо 13 или 10 — забыли про корень.
- **Ошибка 5.** **Меняют местами начало и конец в векторе по точкам.** Вектор $\vec{AB}$ — это «конец минус начало»: $(x_B-x_A;\,y_B-y_A)$. Вычтешь наоборот — получишь $\vec{BA}$ с противоположными знаками (на длину это не влияет, а на координаты и скалярное произведение — да).
- **Ошибка 6.** **Считают косинус угла, а не делят на длины.** Скалярное произведение само по себе — ещё не косинус. Угол находят по $\cos\alpha=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$: сначала скалярное, потом обе длины, и только потом делят.

## Запомни для ЕГЭ

- $\vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)$
- $\vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2)$
- $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$
- $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$
- $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$
- $\cos\alpha=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
- a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0

## На экзамене

- Задание 2 — базовое, 1 балл, и решается за 2–3 минуты без калькулятора. Всё считается в уме или в одну строчку на черновике.
- Первым делом реши, что дано: координаты или длины с углом. Правильный выбор между двумя формулами скалярного произведения — половина успеха в этом задании.
- Если под корнем в длине оказалось некрасивое число, а в задании 2 их не бывает, — ищи арифметическую ошибку в квадратах или знаках, а не переписывай ответ с корнем.
- Нашёл косинус угла — сверь его с таблицей значений для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Отрицательный косинус означает тупой угол.
- Просят одну координату вектора — не трать время на вторую. А перед тем как записать ответ в бланк, ещё раз глянь: спросили скалярное произведение, длину, координату или угол? Их легко перепутать под конец.

## Словарь темы

- **Вектор** — Направленный отрезок: величина, у которой есть и длина, и направление. Место, где его нарисовали, значения не имеет — вектор задаётся только своими координатами.
- **Координаты вектора** — Пара чисел (x; y): на сколько сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Для вектора по двум точкам — это разность координат конца и начала.
- **Длина (модуль) вектора** — Длина отрезка от начала вектора к его концу. В координатах равна √(x² + y²) — по теореме Пифагора. Всегда неотрицательна.
- **Скалярное произведение** — Число, равное x₁x₂ + y₁y₂ или |a⃗||b⃗|cos α. Обе формулы дают один и тот же результат; какую взять — зависит от того, что дано в условии.
- **Угол между векторами** — Угол между направлениями двух векторов, отложенных из одной точки. Находится через cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|).
- **Коллинеарные векторы** — Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Их координаты пропорциональны: x₁y₂ = x₂y₁. Один такой вектор получается из другого умножением на число.
- **Перпендикулярные векторы** — Векторы под прямым углом друг к другу. Признак — скалярное произведение равно нулю: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

## Частые вопросы

### Что такое вектор?

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места. Поэтому вектор удобно задавать парой чисел — координатами, которые показывают, на сколько сдвинуться вдоль осей Ox и Oy, чтобы попасть из его начала в конец.

### Как решать задание 2 по профильной математике?

Шаги такие:

1. посмотри, что дано
2. нужен вектор из точек — вычитай начало из конца
3. действия делай покоординатно
4. длина — корень из суммы квадратов координат
5. скалярное произведение — выбранной формулой
6. угол — через косинус, потом сверься с таблицей.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Координаты и векторы»?

Берут не ту формулу скалярного произведения. Даны координаты — работает x₁x₂+y₁y₂; даны длины и угол — |a⃗||b⃗|cos α. Это ловушка номер один в задании 2. Всегда смотри, что именно дано в условии.

### Что нужно запомнить по теме «Координаты и векторы»?

Главное:

1. AB⃗=(x_B-x_A; y_B-y_A)
2. a⃗±b⃗=(x₁± x₂; y₁± y₂)
3. |a⃗|=√(x²+y²)
4. a⃗ · b⃗=x₁x₂+y₁y₂
5. a⃗ · b⃗=|a⃗||b⃗|cos α
6. cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|)
7. a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 7.5 «Координаты и векторы».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 7.5 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня («Координаты и векторы»), задание 2 КИМ, базовый уровень, 1 балл.
- Содержание задания 2 — операции с векторами в координатах, скалярное произведение, угол между векторами, длина вектора.
- Главные ловушки задания 2 — смешение координатной формулы скалярного произведения и формулы через длины/косинус, а также путаница длины и скалярного произведения.
- Координаты вектора по двум точкам: AB⃗ = (x_B − x_A; y_B − y_A); порядок «конец минус начало» существен, BA⃗ имеет противоположные знаки.
- Действия с векторами в координатах: сумма/разность — покоординатно, умножение на число — каждая координата на число; коллинеарность ⇔ x₁y₂ = x₂y₁.
- Длина вектора |a⃗| = √(x² + y²); расстояние между точками AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²).
- Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов: M = ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2).
- Скалярное произведение задаётся двумя эквивалентными формулами: a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ и a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α.
- Косинус угла между векторами cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|); векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a⃗·b⃗ = 0.
- Разбор примера: a⃗=(4;3), b⃗=(1;7) → a⃗·b⃗=25, |a⃗|=5, |b⃗|=5√2, cos α = 1/√2 = √2/2, угол 45°.
- Задание 2 базового уровня, 1 балл, без калькулятора, числа подобраны на целый ответ; пифагоровы тройки (3;4;5), (6;8;10), (5;12;13), (8;15;17) типичны для длин.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-2/)
- [Уравнение окружности: формула и как найти центр и радиус](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-okruzhnosti/)
- [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/)
- [Формулы стереометрии и планиметрии для ЕГЭ: таблица, 87 формул](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-planimetriya-stereometriya-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/koordinaty-i-vektory/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.