---
title: "Квадратичные неравенства, метод интервалов: как решать, примеры"
description: "Метод интервалов: нули на прямой, знаки на промежутках, граничные точки. Как решать квадратичные и дробные неравенства в задании 16 ЕГЭ."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kvadratichnye-neravenstva-metod-intervalov/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 16 КИМ (2 балла)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Квадратичные неравенства, метод интервалов

Метод интервалов — это способ решения неравенств: выражение приводят к произведению или дроби, отмечают нули на числовой прямой и определяют знак на каждом промежутке. На ЕГЭ тема нужна в задании 16 (2 балла): ответ там — объединение промежутков, а баллы теряют на знаках и граничных точках.

Метод интервалов — рабочий инструмент задания 16: им решают квадратные, дробно-рациональные, а после замены и рационализации — показательные и логарифмические неравенства. Балл здесь всё или ничего, а теряют его на мелочах: перепутанном знаке на промежутке и потерянной граничной точке. Ответ — объединение промежутков, а не число.

**Задание КИМ:** Задание 16 КИМ (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 2 балла  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Что за зверь задание 16

Задание 16 — это неравенство с развёрнутым решением, 2 балла. Балл почти всё или ничего: 2 — за обоснованный верный ответ, 1 — только если ход решения весь верен, но есть вычислительная ошибка, и 0 во всех остальных случаях. Промежуточной «половины за идею» тут нет, поэтому важна не догадка, а безупречный порядок действий.

Ключевое отличие от простых заданий первой части: **ответ здесь — множество, а не число**. Не «корень уравнения», а «решение неравенства» — обычно это промежуток или объединение нескольких промежутков. Записал одно число вместо промежутка — это уже не тот ответ, который спрашивали.

Разные типы неравенств в задании 16 (квадратные, дробно-рациональные, показательные, логарифмические) решаются одним и тем же приёмом — **методом интервалов**. Показательные и логарифмические сначала сводят к рациональным заменой переменной или рационализацией — это разбирается в своих темах. А здесь мы соберём сам инструмент: научимся уверенно расставлять знаки и не терять граничные точки.

![Парабола пересекает ось в двух точках, а числовая прямая показывает положительные внешние и отрицательный внутренний интервалы](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/kvadratichnye-neravenstva-metod-intervalov-1.png)

*Знак квадратного трёхчлена меняется в корнях: для параболы ветвями вверх он положителен снаружи и отрицателен между корнями.*

## Как решать квадратное неравенство через параболу?

Начнём с квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c>0$ (или $<,\ \geqslant,\ \leqslant$), где $a\neq 0$. За ним стоит парабола $y=ax^2+bx+c$, и решить неравенство — значит понять, где эта парабола выше оси, а где ниже.

Всё определяют две вещи: куда смотрят ветви и сколько корней. Ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$. Число корней даёт дискриминант:

$$
D = b^2 - 4ac
$$

**Совет, снимающий половину ошибок:** если старший коэффициент отрицательный, сразу умножь обе части на $-1$ и **переверни знак неравенства**. Тогда $a>0$ всегда, ветви смотрят вверх, и дальше работает одно простое правило.

Пусть $a>0$ и $D>0$ — есть два корня $x_1<x_2$. Парабола ныряет под ось между корнями и торчит над осью снаружи. Значит: **«больше нуля» — снаружи** корней (два луча), **«меньше нуля» — между** корнями. Коротко: больше — врозь, меньше — вместе.

Вот особые случаи, где легче всего ошибиться:

Если $D=0$, корень один (двойной), и парабола касается оси в одной точке, не пересекая. При $a>0$ выражение $\geqslant 0$ всюду; строгое $>0$ верно везде, кроме самой точки касания; $<0$ — нигде; $\leqslant 0$ — только в этой единственной точке.

Если $D<0$, корней нет вовсе, парабола целиком над осью (при $a>0$). Тогда неравенство либо верно при всех $x$ (для $>0$ и $\geqslant 0$), либо не имеет решений вовсе (для $<0$ и $\leqslant 0$). Если увидел отрицательный дискриминант — не ищи корни, а сразу отвечай «все числа» или «решений нет».

*Рисунок: Парабола y=x²−x−6: над осью (плюс) снаружи корней, под осью (минус) между ними*

## Что такое метод интервалов и как расставлять знаки?

Парабола хороша для квадратного неравенства, но когда множителей больше двух, удобнее универсальный приём — **метод интервалов**. Идея одна: непрерывное выражение может сменить знак только там, где обращается в ноль. Между соседними нулями знак постоянен, поэтому достаточно определить его на каждом промежутке по отдельности.

Сначала выражение приводят к произведению скобок вида $(x-a)$. Например, $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Нули этого произведения — числа $-2$ и $3$; они разбивают прямую на промежутки.

Знаки расставляют одним из двух способов. **Надёжный:** подставить любую точку из промежутка и посмотреть на знак. **Быстрый:** если все скобки записаны в виде $(x-a)$ со старшим коэффициентом $+1$, то на самом правом промежутке (там, где $x$ больше всех корней) произведение **положительно**, а дальше знак чередуется при переходе через каждый корень — рисуется «змейка».

У быстрого способа есть ловушка — **кратные корни**. Через корень нечётной кратности (например, простой или в кубе) знак меняется, а через корень **чётной** кратности (в квадрате) знак **не меняется** — змейка от прямой отскакивает. Скажем, у $(x-2)^2(x+1)$ в точке $2$ знак сохраняется. Сомневаешься в кратности — не гадай, вернись к надёжному способу и подставь точку.

На схеме ниже — произведение $(x+1)(x-2)(x-5)$ с простыми корнями. Справа плюс, дальше знаки чередуются: $+,\ -,\ +,\ -$ справа налево. Если бы решали $(x+1)(x-2)(x-5)<0$, взяли бы промежутки со знаком минус: $(-\infty;-1)\cup(2;5)$.

*Рисунок: Метод интервалов для (x+1)(x−2)(x−5): справа плюс, знаки чередуются через простые корни*

## Входят ли граничные точки в ответ неравенства?

Промежутки нашли — осталось решить судьбу их концов, самих корней. Здесь теряют балл чаще всего. Правило зависит от знака неравенства и от того, откуда взялся корень.

**Строгое неравенство** ($>$ или $<$): в этих точках выражение равно нулю, а ноль не больше и не меньше нуля. Значит, **все корни выколоты** — на прямой это пустые (незакрашенные) кружки, в ответе скобки круглые.

**Нестрогое неравенство** ($\geqslant$ или $\leqslant$): ноль теперь подходит, поэтому корни, в которых выражение обращается в ноль, **включаются** — закрашенные кружки, квадратные скобки.

Но есть исключение, которое живёт своей жизнью, — **нули знаменателя**. Если неравенство дробное, в нуле знаменателя дробь не существует вовсе (делить на ноль нельзя). Поэтому **нули знаменателя выколоты всегда** — даже в нестрогом неравенстве, даже когда очень хочется их включить. Это и есть ОДЗ дробного неравенства: $Q(x)\neq 0$.

Итог одной строкой: для $\geqslant$ и $\leqslant$ нули числителя закрашиваем, нули знаменателя — никогда. Бесконечность в ответе всегда идёт с круглой скобкой: $+\infty$ — не число, включать нечего.

*Рисунок: В нестрогом неравенстве нуль числителя входит в ответ (закрашен), нуль знаменателя выколот (пустой)*

## Дробное неравенство: не домножай на знаменатель

Самая дорогая ошибка задания 16 прячется в дробных неравенствах. Рука тянется умножить обе части на знаменатель, чтобы от него избавиться. Так делать нельзя: **знак знаменателя неизвестен**, а умножение неравенства на отрицательное число переворачивает его знак. Домножишь на $(x-1)$, не зная, положительно оно или нет, — и половина ответа окажется с неверным знаком.

Правильный ход другой. Переноси всё в одну часть, чтобы справа остался ноль, и своди к одной дроби $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. Дальше пользуйся тем, что **знак дроби совпадает со знаком произведения**: $\dfrac{P}{Q}$ и $P\cdot Q$ всюду одного знака (там, где $Q\neq 0$).

$$
\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0 \;\Longleftrightarrow\; P(x)\cdot Q(x)\gtrless 0,\quad Q(x)\neq 0
$$

То есть нули числителя и знаменателя ставят на одну прямую и применяют метод интервалов ко всему сразу — но нули знаменателя, как договорились, всегда выколоты. Никакого домножения, никакой потери знака. Именно так решается разбор ниже.

## Правила метода интервалов в одной таблице

*Квадратные и дробные неравенства: правило и когда его применять*

| Случай | Правило | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Дискриминант | $D = b^2 - 4ac$ | Показывает, сколько корней у квадратного трёхчлена |
| Старший коэффициент меньше нуля | умножить обе части на −1 и перевернуть знак | После этого a > 0 и ветви параболы смотрят вверх |
| a > 0, D > 0 | «больше нуля» — снаружи корней, «меньше» — между | Больше — врозь, меньше — вместе |
| a > 0, D = 0 | ≥ 0 — всюду; > 0 — всюду, кроме точки касания | < 0 — нигде; ≤ 0 — только в точке касания |
| a > 0, D < 0 | $ax^2 + bx + c > 0$ | Корни не ищут: «все числа» для > и ≥, «решений нет» для < и ≤ |
| Змейка | справа плюс, дальше знак чередуется | Скобки вида (x − a); через корень чётной кратности знак не меняется |
| Дробное неравенство | $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0 \iff P(x)\cdot Q(x) \gtrless 0,\ Q(x) \neq 0$ | На знаменатель не домножают: его знак неизвестен |
| Граничные точки | строгое — все нули выколоты; нестрогое — нули числителя входят | Нули знаменателя выколоты всегда; бесконечность — только с круглой скобкой |

## Разбор: дробно-рациональное неравенство

**Условие.** Решите неравенство (x² − 5x + 4)/(x + 2) ≥ 0. Ответ запишите в виде объединения промежутков.

**Решение.**

- Справа уже ноль, домножать на знаменатель нельзя. Разложим числитель на множители. Корни $x^2-5x+4=0$ по теореме Виета (сумма корней равна 5, их произведение — 4): это $1$ и $4$.
- $\dfrac{(x-1)(x-4)}{x+2} \geqslant 0$
- Выпишем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, поэтому $x\neq -2$. Эта точка будет выколота при любом знаке неравенства.
- Знак дроби совпадает со знаком произведения $(x-1)(x-4)(x+2)$. Отметим на прямой нули: $-2,\ 1,\ 4$.
- Расставим знаки. Все скобки вида $(x-a)$, значит на самом правом промежутке произведение положительно, дальше знаки чередуются справа налево:
- $\underset{x<-2}{-}\qquad \underset{-2<x<1}{+}\qquad \underset{1<x<4}{-}\qquad \underset{x>4}{+}$
- Проверим себя точкой $x=0$ из промежутка $(-2;1)$: $\frac{(0-1)(0-4)}{0+2}=\frac{4}{2}=2>0$. Знак «плюс» подтвердился.
- Нам нужно $\geqslant 0$ — берём промежутки со знаком «плюс»: $(-2;1)$ и $(4;+\infty)$. Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $1$ и $4$ включаем, а нуль знаменателя $-2$ оставляем выколотым.
- Собираем ответ, аккуратно расставляя скобки: у $-2$ круглая (выколота), у $1$ и $4$ квадратные (включены), у $+\infty$ круглая.

**Ответ:** (−2; 1] ∪ [4; +∞).

## Как решать неравенство методом интервалов?

1. **Перенеси всё в одну часть.** Справа должен остаться ноль. Никогда не домножай на выражение с неизвестным знаком (в первую очередь на знаменатель) — можно перевернуть знак неравенства.
2. **Разложи на множители.** Числитель и знаменатель — на скобки вида $(x-a)$. Дробь приведи к одной дроби $P(x)/Q(x)$.
3. **Выпиши ОДЗ и отметь нули.** Нули числителя и знаменателя ставь на числовую прямую. Нули знаменателя сразу рисуй выколотыми — на них дробь не существует.
4. **Расставь знаки.** Проба точки в каждом промежутке — надёжно. Или «змейка» от правого промежутка (плюс) с чередованием через простые корни. Через корень чётной кратности знак не меняется.
5. **Выбери нужные промежутки.** Для $>0$ или $\geqslant 0$ бери «плюс», для $<0$ или $\leqslant 0$ — «минус».
6. **Реши судьбу граничных точек.** Строгое — все выколоты. Нестрогое — нули числителя закрась, нули знаменателя всё равно оставь выколотыми. Бесконечность — всегда круглая скобка.
7. **Запиши ответ множеством.** Объединение промежутков со скобками нужного вида, а не одно число. Перечитай, что именно спрашивали.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 16 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Решите неравенство x² − x − 6 < 0.
   - (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
   - (−2; 3) — **верный ответ**
   - [−2; 3]
   - (−3; 2)

   *Пояснение:* Раскладываем: (x−3)(x+2) < 0, корни −2 и 3. Старший коэффициент положителен (ветви вверх), а «меньше нуля» — это между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы выколоты: ответ (−2; 3).

2. Сколько решений у неравенства x² + 2x + 5 < 0?
   - Все числа
   - Один корень
   - Решений нет — **верный ответ**
   - Два промежутка

   *Пояснение:* Дискриминант D = 4 − 20 = −16 < 0, корней нет, а ветви параболы смотрят вверх (a = 1 > 0). Значит выражение положительно при всех x и меньше нуля не бывает нигде. Решений нет.

3. Решите неравенство −x² + 4 ≥ 0.
   - [−2; 2] — **верный ответ**
   - (−2; 2)
   - (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
   - Решений нет

   *Пояснение:* Старший коэффициент отрицательный — умножаем на −1 и переворачиваем знак: x² − 4 ≤ 0, то есть (x−2)(x+2) ≤ 0. «Меньше нуля» — между корнями, неравенство нестрогое, концы включаем: [−2; 2].

4. При решении (x − 3)/(x − 1) ≤ 0 методом интервалов получили промежуток между точками 1 и 3. Как записать ответ?
   - [1; 3]
   - (1; 3] — **верный ответ**
   - [1; 3)
   - (1; 3)

   *Пояснение:* Точка 3 — нуль числителя, при нестрогом ≤ она включается (там дробь равна нулю). Точка 1 — нуль знаменателя, на ней дробь не существует, поэтому она выколота всегда. Ответ: (1; 3].

5. Решите неравенство (x − 2)²(x + 1) > 0.
   - (−1; +∞)
   - (−1; 2) ∪ (2; +∞) — **верный ответ**
   - (2; +∞)
   - (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

   *Пояснение:* Корни −1 (простой) и 2 (кратности два). Справа плюс; через простой корень −1 знак меняется, а через двойной корень 2 знак НЕ меняется. Значит на (−1; 2) и на (2; +∞) выражение положительно. Неравенство строгое, обе точки выколоты: (−1; 2) ∪ (2; +∞).

## Какие ошибки делают в неравенствах методом интервалов?

- **Ошибка 1.** **Домножают на знаменатель, не зная его знак.** Умножение неравенства на отрицательное выражение переворачивает знак, а знак знаменателя заранее неизвестен. Переноси всё в одну часть и работай с дробью через метод интервалов — домножать нельзя.
- **Ошибка 2.** **Записывают ответ числом.** В задании 16 ответ — множество, обычно объединение промежутков. Одно число — это ответ к уравнению, а не к неравенству. Разница между «корнем уравнения» и «решением неравенства» здесь принципиальна.
- **Ошибка 3.** **Путают «больше — снаружи, меньше — внутри», когда старший коэффициент отрицательный.** Правило работает только при ветвях вверх. Если $a<0$, сначала умножь на $-1$ и переверни знак неравенства, а уже потом применяй правило.
- **Ошибка 4.** **Теряют граничные точки.** Для нестрогого $\geqslant$ или $\leqslant$ нули числителя нужно включить (квадратная скобка), а нули знаменателя выколоть в любом случае. Лишняя или потерянная точка — это уже другой ответ.
- **Ошибка 5.** **Неверно ведут змейку через кратный корень.** Через корень чётной кратности (в квадрате) знак не меняется. Забыл про это — и половина промежутков получит неверный знак. Не уверен в кратности — подставь пробную точку.
- **Ошибка 6.** **Начинают искать корни при отрицательном дискриминанте.** Если $D<0$, корней нет: квадратное выражение сохраняет знак старшего коэффициента при всех $x$. Ответ — либо «все числа», либо «решений нет», в зависимости от знака неравенства.

## Запомни для ЕГЭ

- $D = b^2 - 4ac$
- a>0: «больше» — снаружи корней, «меньше» — между
- $D<0,\ a>0:\ ax^2+bx+c>0\ \text{всегда}$
- $\dfrac{P}{Q}\gtrless 0 \Leftrightarrow P\cdot Q\gtrless 0,\ Q\neq 0$
- Нестрогое: нули числителя входят, знаменателя — нет
- Чётная кратность корня — знак не меняется
- Ответ №16 — объединение промежутков, не число

## На экзамене

- Задание 16 стоит 2 балла, и они почти всё или ничего: 2 за верный ответ, 1 — только за верный ход с вычислительной ошибкой. Поэтому цена аккуратности здесь выше, чем в первой части, — доводи оформление до конца.
- Первым делом переноси всё в одну часть и раскладывай на множители. Если внутри дробь — ни в коем случае не домножай на знаменатель, это самый частый способ потерять оба балла.
- Перед тем как записать ответ, отдельно проверь каждую граничную точку: строгое или нестрогое, нуль числителя или знаменателя. Именно тут теряют балл на верном по сути решении.
- «Некрасивый» корень через дискриминант (вида $\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$) для задания 16 — норма, пугаться его не нужно. А вот если корни не находятся вручную вовсе, перепроверь: скорее всего, где-то ошибка в преобразованиях.
- Показательные и логарифмические неравенства этого задания после замены переменной или рационализации превращаются в те же рациональные — метод интервалов работает и там. Освоенный здесь навык расстановки знаков пригодится во всех типах номера 16.

## Словарь темы

- **Метод интервалов** — Способ решения неравенств: выражение приводят к произведению или дроби, отмечают на числовой прямой нули, определяют знак на каждом промежутке и выбирают промежутки нужного знака.
- **Дискриминант** — Число D = b² − 4ac для квадратного трёхчлена. D > 0 — два корня, D = 0 — один (двойной), D < 0 — действительных корней нет.
- **Нуль функции** — Значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Именно в нулях выражение может сменить знак.
- **Кратность корня** — Показатель степени соответствующей скобки. Через корень нечётной кратности знак произведения меняется, через корень чётной кратности — сохраняется.
- **Строгое и нестрогое неравенство** — Строгое — со знаком > или < (концы выколоты). Нестрогое — со знаком ≥ или ≤ (нули выражения включаются).
- **Выколотая точка** — Точка, не входящая в ответ: изображается пустым кружком, в записи ей соответствует круглая скобка. Нули знаменателя выколоты всегда.
- **ОДЗ** — Область допустимых значений — множество x, при которых все выражения имеют смысл. Для дроби это условие «знаменатель не равен нулю».

## Частые вопросы

### Что такое метод интервалов?

Метод интервалов — способ решения неравенств: выражение приводят к произведению или дроби, отмечают на числовой прямой нули, определяют знак на каждом промежутке и выбирают промежутки нужного знака.

### Как решать неравенство методом интервалов?

Шаги такие:

1. перенеси всё в одну часть
2. разложи на множители
3. выпиши ОДЗ и отметь нули
4. расставь знаки
5. выбери нужные промежутки
6. реши судьбу граничных точек
7. запиши ответ множеством.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Квадратичные неравенства, метод интервалов»?

Домножают на знаменатель, не зная его знак. Умножение неравенства на отрицательное выражение переворачивает знак, а знак знаменателя заранее неизвестен. Переноси всё в одну часть и работай с дробью через метод интервалов — домножать нельзя.

### Что нужно запомнить по теме «Квадратичные неравенства, метод интервалов»?

Главное:

1. D = b² - 4ac
2. a>0: «больше» — снаружи корней, «меньше» — между
3. D 0: ax²+bx+c>0 всегда
4. P/Q ≷ 0 ⇔ P · Q ≷ 0, Q ≠ 0
5. Нестрогое: нули числителя входят, знаменателя — нет
6. Чётная кратность корня — знак не меняется.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.5 «Целые и дробно-рациональные неравенства».

**Что сверено по документам:**

- В кодификаторе ФИПИ квадратичные и дробно-рациональные неравенства входят в элемент 2.5 «Целые и дробно-рациональные неравенства»; тема проверяется заданием 16.
- Задание 16 — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение; ответ — множество (решение неравенства), а не число.
- Критерии задания 16: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов, но вычислительная ошибка; 0 — иначе.
- Задание 16 включает квадратные, дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства; показательные/логарифмические сводятся к рациональным (метод рационализации/замены) и решаются методом интервалов; ОДЗ логарифмов критична.
- Квадратное неравенство ax²+bx+c ⋛ 0 решается через дискриминант D=b²−4ac и знак старшего коэффициента a; при a>0 и D>0 «больше нуля» — вне корней, «меньше нуля» — между корнями.
- Случаи D=0 (один двойной корень, парабола касается оси) и D<0 (корней нет, знак выражения совпадает со знаком a при всех x) — часть разбора квадратного неравенства.
- Метод интервалов: выражение приводят к произведению скобок (x−a), нули разбивают прямую на промежутки, знак на каждом определяется пробной точкой или чередованием от правого промежутка (там «плюс»); через корень чётной кратности знак не меняется.
- Дробное неравенство P(x)/Q(x) ⋛ 0 равносильно P(x)·Q(x) ⋛ 0 при условии Q(x)≠0; домножать неравенство на знаменатель нельзя, так как его знак неизвестен.
- Граничные точки: при строгом неравенстве все нули выколоты; при нестрогом нули числителя включаются, а нули знаменателя выколоты всегда (там дробь не определена).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-16/)
- [Метод интервалов: алгоритм и правило знаков](https://neuromisha.ru/spravochnik/metod-intervalov/)
- [Дискриминант: формула и как найти корни квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kvadratichnye-neravenstva-metod-intervalov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.