---
title: "Логарифм числа: определение и решение задач профильного ЕГЭ"
description: "Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 8, 16."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifm-chisla/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл); также в 16"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Логарифм числа: определение и решение задач

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b; он существует при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. На профильном ЕГЭ задачи на логарифм решают в задании 8 (1 балл), где считают значение выражения, и в задании 16, где логарифмы сравнивают по монотонности.

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить число. Из этого определения выводятся все свойства темы — их не нужно зубрить, нужно уметь получить. На ЕГЭ логарифм проверяют в задании 8 за 1 балл, а в задании 16 без понимания его монотонности не обойтись.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл); также в 16  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое логарифм числа?

Всё, что здесь будет дальше, вырастает из одной строчки. **Логарифм числа $b$ по основанию $a$** — это показатель степени, в которую надо возвести $a$, чтобы получить $b$.

$$
\log_a b = c \iff a^c = b
$$

Читать это надо в обе стороны. Слева направо — «чему равен логарифм». Справа налево — «а как проверить». Именно вторая сторона и есть рабочий приём: увидел $\log_5 125$ — спроси себя, в какую степень возвести 5, чтобы вышло 125. В третью. Значит, $\log_5 125 = 3$. Никаких формул для этого не нужно.

Но запись $\log_a b$ имеет смысл не при любых числах. Условия такие:

$$
a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0
$$

Это не формальность из учебника — каждое условие объясняется за одну фразу.

**Основание положительно** $a > 0$, потому что иначе степень $a^c$ перестаёт существовать для многих показателей: $(-4)^{1/2}$ — это корень из отрицательного числа.

**Основание не равно единице** $a \neq 1$, потому что единица в любой степени даёт единицу: уравнение $1^c = 7$ не имеет решений вообще, а $1^c = 1$ — бесконечно много, и в обоих случаях никакого одного числа $c$ не получится.

**Аргумент положителен** $b > 0$, потому что положительное число в любой степени остаётся положительным — значит, $a^c$ никогда не даст ни нуля, ни отрицательного числа.

Из определения сразу выпадают два значения, которые надо узнавать мгновенно:

$$
\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1
$$

Первое — потому что $a^0 = 1$ при любом допустимом основании. Второе — потому что $a^1 = a$.

И ещё одно: **логарифм спокойно бывает отрицательным**. Например, $\log_4 \tfrac{1}{16} = -2$, потому что $4^{-2} = \tfrac{1}{16}$. Отрицательным должен быть не аргумент — аргумент всегда строго больше нуля, — а само значение логарифма. Эти две вещи путают чаще всего, и стоит это ровно один балл в задании 8.

**Об обозначениях.** Два основания встречаются так часто, что для них завели короткую запись: $\lg b = \log_{10} b$ — десятичный логарифм, $\ln b = \log_e b$ — натуральный, по основанию $e \approx 2{,}718$ (особое иррациональное число, как $\pi$).

И десятичный, и натуральный логарифм — не отдельные объекты со своими правилами: все свойства ниже работают для них ровно так же.

![Ступени повторного умножения увеличивают блок, а обратные стрелки возвращают к числу шагов](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/logarifm-chisla-1.png)

*Логарифм отвечает на обратный к возведению в степень вопрос: сколько одинаковых шагов умножения было выполнено.*

## Основное логарифмическое тождество

Возьми определение $\log_a b = c \iff a^c = b$ и подставь $c$ прямо в правое равенство. Получится тождество, без которого не решается заметная часть задания 8:

$$
a^{\log_a b} = b, \qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0
$$

Никакого нового содержания в нём нет — это то же определение, записанное одной строкой. Смысл простой: **возведение в степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга**. Работает это и в другом порядке:

$$
\log_a a^{\,c} = c
$$

Проверь на числах: $2^{\log_2 7} = 7$, $\log_3 3^5 = 5$.

В задании 8 это тождество почти никогда не стоит в чистом виде. Обычно в показателе к логарифму что-то приписано, и **первый ход — разбить степень**. Смотри:

$$
3^{\,2 + \log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36
$$

Тот же приём с множителем в показателе. Множитель заносим внутрь логарифма как степень аргумента — и тождество снова срабатывает:

$$
25^{\log_5 3} = \left(5^2\right)^{\log_5 3} = 5^{\,2\log_5 3} = \left(5^{\log_5 3}\right)^2 = 3^2 = 9
$$

Каждый шаг этой цепочки опирается только на то, что уже разобрано, — новых свойств логарифма здесь не понадобилось. Сначала замечаем, что $25 = 5^2$, и приводим основание степени к той же пятёрке, что и у логарифма. Дальше работают обычные правила действий со степенями, а в самой сердцевине снова срабатывает основное тождество: $5^{\log_5 3} = 3$.

Оба приёма стоит довести до автоматизма: увидел логарифм в показателе степени — ищи, как привести основание степени и основание логарифма к одному и тому же числу.

## Какие свойства у логарифмов?

Дальше идут четыре свойства. Все они верны **при $a > 0,\ a \neq 1$ и строго положительных аргументах** $x > 0,\ y > 0$. Условия — не приписка мелким шрифтом: без них свойства становятся неверными, и именно на этом строят задание 16.

$$
\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y
$$

$$
\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
$$

$$
\log_a x^{\,p} = p \log_a x
$$

$$
\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b, \qquad k \neq 0
$$

Первое свойство полезно уметь получить самому — тогда его точно не переврёшь. Обозначь $m = \log_a x$ и $n = \log_a y$. По определению это значит $a^m = x$ и $a^n = y$. Перемножь: $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. А это по определению и означает $\log_a(xy) = m + n$. Всё свойство — это правило умножения степеней, переписанное наоборот.

Отсюда же видно, **почему нужны условия** $x > 0$ и $y > 0$: справа стоят $\log_a x$ и $\log_a y$, а они существуют только для положительных аргументов. Слева при этом $\log_a(xy)$ может существовать и тогда, когда оба множителя отрицательны: их произведение положительно. То есть равенство работает не всегда, а только в свою сторону.

Тот же подвох в третьем свойстве. Запись $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верна **только при $x > 0$**. Возьми $x = -3$: слева $\log_a 9$ — существует; справа $2\log_a(-3)$ — не существует. Честная запись без оговорок выглядит так:

$$
\log_a x^2 = 2 \log_a |x|
$$

А теперь — чего **нельзя** никогда. Это самая дорогая часть темы, потому что ошибки здесь выглядят убедительно.

**Логарифм произведения — это сумма, а не произведение.** Записи $\log_a(xy) = \log_a x \cdot \log_a y$ не существует. Проверь на числах: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5$, а $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$. Пять и шесть — разные числа.

**Логарифм суммы не раскладывается вообще.** Для $\log_a(x + y)$ нет никакой формулы — ни через сумму, ни через произведение, никак. $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, тогда как $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Если в аргументе стоит сумма — её сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом логарифмируют.

**Частное логарифмов — не логарифм частного.** Частное аргументов даёт **разность** логарифмов, а вот дробь $\log_a x / \log_a y$ — это совсем другой зверь, и он тоже полезен: о нём в следующем блоке.

## Как перейти к новому основанию логарифма?

Свойства из прошлого блока работают, пока основание у всех логарифмов одно. Как только оснований стало два — нужен переход. Формула такая:

$$
\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad c > 0,\ c \neq 1
$$

Новое основание $c$ ты выбираешь сам — любое допустимое. На практике берут то, к которому легко приводятся все числа в задаче.

Возьми основное тождество $a^{\log_a b} = b$ и прологарифмируй обе части по основанию $c$. Слева показатель выносится вперёд по третьему свойству, и выходит $\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b$. Осталось поделить.

В этой промежуточной строчке уже спрятано главное следствие. Подставь $c = b$: слева получится $\log_a b \cdot \log_b a$, справа $\log_b b = 1$. То есть:

$$
\log_a b \cdot \log_b a = 1, \qquad \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}
$$

Здесь нужно и $b \neq 1$ — иначе $\log_b a$ не существует. Проверь на числах: $\log_2 8 = 3$ и $\log_8 2 = \tfrac13$, их произведение равно 1. Заодно это отвечает на вопрос, который многие задают себе на экзамене: $\log_a b$ и $\log_b a$ — **разные числа**, а не одно и то же. Перепутать местами основание и аргумент — значит получить обратное число вместо исходного.

И обещанное про дробь. Если поделить два логарифма с одинаковым основанием, то по той же формуле перехода (прочитанной справа налево) получится:

$$
\dfrac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x
$$

Основание нижнего логарифма всплывает наверх и становится основанием результата. Числа: $\log_2 8 / \log_2 4 = 3/2 = 1{,}5$, и правда $\log_4 8 = 1{,}5$, ведь $4^{1{,}5} = 8$. Сравни с разностью: $\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2 2 = 1$. Разность и частное дают разные ответы — путать их нельзя.

Четвёртое свойство из прошлого блока, $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$, — тоже частный случай перехода. Считаем $\log_9 27$: и 9, и 27 — степени тройки, поэтому берём $c = 3$ и получаем $\log_3 27 / \log_3 9 = 3/2 = 1{,}5$. Проверка обязательна и занимает секунду: $9^{1{,}5} = (\sqrt{9})^3 = 27$. Сошлось.

## Монотонность и знак: мост к заданию 16

До сих пор логарифм был числом, которое надо посчитать. Для задания 16 этого мало: там его надо **сравнивать**, а сравнение целиком держится на одном свойстве.

Зафиксируй основание $a$ и меняй аргумент. Получится функция $y = \log_a x$, определённая при $x > 0$. Она ведёт себя двумя способами, и от того, каким именно, зависит вся дальнейшая работа:

**При $a > 1$ логарифм возрастает.** Больше аргумент — больше логарифм. Значит, при сравнении можно спокойно переходить от логарифмов к аргументам, **сохраняя знак**: $\log_a x > \log_a y \iff x > y$.

**При $0 < a < 1$ логарифм убывает.** Больше аргумент — меньше логарифм. При переходе к аргументам **знак меняется на противоположный**: $\log_a x > \log_a y \iff x < y$.

Оба перехода верны только вместе с условием $x > 0,\ y > 0$ — область допустимых значений (ОДЗ) никуда не девается и после перехода. Забыть о ней — потерять баллы там, где всё остальное решено верно.

Обе кривые пересекаются в точке $(1;\,0)$ — это видно на графике ниже. Так и должно быть: $\log_a 1 = 0$ при любом допустимом основании, ведь $a^0 = 1$.

Из картинки читается и правило знака, которое экономит время в задании 8. Логарифм положителен, когда **основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы**, и отрицателен, когда по разные:

$$
\log_a b > 0 \iff \begin{cases} a > 1,\ b > 1 \\ \text{или} \\ 0 < a < 1,\ 0 < b < 1 \end{cases}
$$

Проверь на себе: $\log_{0{,}5} 3$ — основание меньше единицы, аргумент больше, стороны разные, значит число отрицательное. А $\log_{0{,}5} 0{,}25 = 2$ — обе величины меньше единицы, сторона одна, число положительное.

Тут же и приём оценки, когда точное значение не берётся. $\log_2 10$ — некрасивое число, но зажать его между целыми легко: $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$, основание больше единицы, логарифм возрастает — значит $3 < \log_2 10 < 4$. Так же оценивается любой логарифм: ищешь ближайшие степени основания и зажимаешь аргумент между ними.

Само решение логарифмических неравенств — соседняя тема, и там будет свой алгоритм. Отсюда ты должен унести два вопроса, с которых это решение начинается: **с какой стороны от единицы основание** и **что требует ОДЗ**.

*Рисунок: Логарифм с любым основанием обращается в ноль при аргументе 1: при a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает*

## Свойства логарифмов в одной таблице

*Формулы темы и условия, при которых они верны*

| Правило | Формула | Когда верно |
| --- | --- | --- |
| Определение | $\log_a b = c \iff a^c = b$ | a > 0, a ≠ 1, b > 0; сам логарифм может быть отрицательным |
| Два частных значения | $\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1$ | Потому что a⁰ = 1 и a¹ = a |
| Основное тождество | $a^{\log_a b} = b$ | Логарифм в показателе: приведи основание степени и основание логарифма к одному числу |
| Логарифм произведения | $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ | x > 0 и y > 0; произведения логарифмов не получается, логарифм суммы не раскладывается |
| Логарифм частного | $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ | x > 0 и y > 0; частное логарифмов — это другое: logₐ x / logₐ y = log_y x |
| Логарифм степени | $\log_a x^{\,p} = p \log_a x$ | x > 0; без этого условия logₐ x² = 2·logₐ \|x\| |
| Переход к новому основанию | $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ | c > 0, c ≠ 1; основание выбирают, к которому легко приводятся все числа |
| Перестановка основания и аргумента | $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ | Нужно ещё b ≠ 1; logₐ b и log_b a — взаимно обратные числа |
| Монотонность | $\log_a x > \log_a y$ | При a > 1 равносильно x > y, при 0 < a < 1 — x < y; вместе с ОДЗ x > 0, y > 0 |

Все свойства с условиями и примерами — в справочнике: [«Свойства логарифмов»: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/) (есть PDF для печати).

## Разбор: считаем значение выражения

**Условие.** Найди значение выражения log₃ 45 − log₃ 5 + 3^(1 + log₃ 2).

**Решение.**

- Выражение распадается на два независимых куска: разность логарифмов и степень с логарифмом в показателе. Считаем по отдельности, потом складываем.
- **Разность логарифмов.** Основания одинаковые — сворачиваем в логарифм частного:
- $\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \dfrac{45}{5} = \log_3 9 = 2$
- Последний шаг — по определению: в какую степень возвести 3, чтобы вышло 9? Во вторую.
- **Степень.** В показателе стоит сумма, поэтому первым делом разбиваем степень на множители:
- $3^{\,1 + \log_3 2} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 2}$
- Теперь основное логарифмическое тождество срабатывает в чистом виде: основание степени и основание логарифма совпали, значит $3^{\log_3 2} = 2$.
- $3^1 \cdot 3^{\log_3 2} = 3 \cdot 2 = 6$
- **Складываем:**
- $2 + 6 = 8$
- Обрати внимание, чего мы **не** делали: не пытались считать log₃ 45 и log₃ 5 по отдельности. Это некрасивые числа, и калькулятора на экзамене нет. Смысл задания 8 в том, что всё некрасивое обязано сократиться — если не сокращается, ищи ошибку в преобразованиях, а не хватайся за приближённые значения.

**Ответ:** 8.

## Разбор: сравниваем логарифмы без калькулятора

**Условие.** Расположи в порядке возрастания числа log₀,₄ 3, log₃ 0,4 и log₃ 5.

**Решение.**

- Точные значения тут не считаются, да они и не нужны. Работаем знаком и монотонностью.
- **Шаг 1. Определяем знак каждого числа** по правилу «стороны от единицы».
- $\log_3 5$: основание 3 > 1 и аргумент 5 > 1 — одна сторона, число положительное. Уточним: $3^1 = 3 < 5 < 9 = 3^2$, основание больше единицы, логарифм возрастает, значит $1 < \log_3 5 < 2$.
- $\log_3 0{,}4$: основание больше единицы, аргумент меньше — стороны разные, число отрицательное.
- $\log_{0{,}4} 3$: основание меньше единицы, аргумент больше — стороны разные, число тоже отрицательное.
- Значит, log₃ 5 больше двух остальных. Осталось сравнить два отрицательных числа между собой.
- **Шаг 2. Сравниваем каждое отрицательное число с −1.** Это стандартный приём: подбираем «эталон», который сам записывается логарифмом с нужным основанием.
- Для $\log_3 0{,}4$ эталон такой: $-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3 \tfrac13$. Основание 3 > 1, логарифм возрастает — сравниваем аргументы с сохранением знака. Так как $0{,}4 > \tfrac13$, получаем $\log_3 0{,}4 > -1$.
- Для $\log_{0{,}4} 3$ эталон свой: $-1 = \log_{0{,}4} 0{,}4^{-1} = \log_{0{,}4} 2{,}5$. Основание 0,4 < 1, логарифм убывает — при сравнении аргументов знак меняется. Так как $3 > 2{,}5$, получаем $\log_{0{,}4} 3 < -1$.
- **Шаг 3. Собираем цепочку.** Одно число меньше −1, второе больше −1, третье больше 1:
- $\log_{0{,}4} 3 < -1 < \log_3 0{,}4 < 0 < 1 < \log_3 5$
- Сравни два средних шага между собой — в них вся тема. Аргументы сравнивались одинаково, а знак в ответе развернулся, и только потому, что во втором случае основание оказалось меньше единицы.

**Ответ:** log₀,₄ 3 < log₃ 0,4 < log₃ 5.

## Как вычислить значение логарифмического выражения?

1. **Оцени, что мешает.** Мешать может ровно три вещи: разные основания, сумма или разность логарифмов вместо одного, логарифм в показателе степени. Каждая лечится своим приёмом — определи, что именно перед тобой, до того как начнёшь писать.
2. **Приведи основания к одному.** Чаще всего все числа в задании — степени одного и того же основания (двойки, тройки, пятёрки). Тогда работает $\log_a b = \log_c b / \log_c a$ с удобным $c$, либо частный случай $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$.
3. **Сверни сумму и разность в один логарифм.** Сумма даёт произведение аргументов, разность — частное. Множитель перед логарифмом заноси внутрь как степень аргумента. После свёртки некрасивые числа обычно сокращаются — в этом и был замысел составителя.
4. **Логарифм в показателе — разбей степень.** $a^{k + \log_a b} = a^k \cdot b$. Если основание степени не совпало с основанием логарифма, приведи его: $25^{\log_5 3} = 5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 9} = 9$.
5. **Досчитай по определению, а не по формулам.** Когда остался один логарифм, формулы кончились. Спроси прямо: в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент? Дробный или отрицательный ответ здесь — норма, а не сигнал об ошибке.
6. **Проверь ответ подстановкой.** Получил $\log_9 27 = 1{,}5$ — возведи 9 в степень 1,5 и убедись, что вышло 27. Это десять секунд и полная гарантия от ошибки в знаке или в перевёрнутой дроби.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в этой теме теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равно log₄ 64 + log₄ (1/16)?
   - 1 — **верный ответ**
   - 5
   - −1
   - 4

   *Пояснение:* Считаем по определению каждое слагаемое. 4³ = 64, поэтому log₄ 64 = 3. Далее 4⁻² = 1/16, поэтому log₄ (1/16) = −2. Сумма: 3 + (−2) = 1. Отрицательное значение логарифма здесь абсолютно нормально: аргумент меньше единицы при основании больше единицы, стороны от единицы разные — значит логарифм отрицателен.

2. Чему равно log₂ 3 + log₂ 5?
   - log₂ 15 — **верный ответ**
   - log₂ 8
   - log₄ 15
   - log₂ 3 · log₂ 5

   *Пояснение:* Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения аргументов: log₂ 3 + log₂ 5 = log₂ (3·5) = log₂ 15. Аргументы перемножаются, основание не трогаем. Вариант log₂ 8 получается, если по ошибке сложить аргументы; вариант с произведением логарифмов — самая частая выдумка в этой теме, такого свойства не существует.

3. Найди значение выражения 3^(2 + log₃ 4).
   - 36 — **верный ответ**
   - 12
   - 81
   - 13

   *Пояснение:* В показателе сумма, поэтому разбиваем степень на множители: 3^(2 + log₃ 4) = 3² · 3^(log₃ 4). Основания степени и логарифма совпали, значит по основному логарифмическому тождеству 3^(log₃ 4) = 4. Итого 9 · 4 = 36.

4. Какое из этих чисел отрицательно?
   - log₂ 5
   - log₀,₅ 3 — **верный ответ**
   - log₃ 9
   - log₀,₅ 0,25

   *Пояснение:* Логарифм отрицателен ровно тогда, когда основание и аргумент лежат по разные стороны от единицы. У log₀,₅ 3 основание 0,5 меньше единицы, а аргумент 3 больше — стороны разные, число отрицательное. У log₀,₅ 0,25 обе величины меньше единицы, сторона одна: log₀,₅ 0,25 = 2, оно положительное. log₃ 9 = 2, а log₂ 5 лежит между 2 и 3 — оба положительны.

5. Известно, что log₀,₃ x > log₀,₃ 7. Что верно про x?
   - x > 7
   - 0 < x < 7 — **верный ответ**
   - x = 7
   - x < 0

   *Пояснение:* Основание 0,3 меньше единицы, значит логарифм убывает: большему значению логарифма отвечает меньший аргумент. При переходе к аргументам знак неравенства меняется, получаем x < 7. Плюс ОДЗ: аргумент логарифма строго положителен, то есть x > 0. Итоговый ответ — 0 < x < 7. Если бы основание было больше единицы, вышло бы x > 7.

6. Чему равно log₉ 27?
   - 1,5 — **верный ответ**
   - 3
   - 0,5
   - 2

   *Пояснение:* И 9, и 27 — степени тройки: 9 = 3², 27 = 3³. Переходим к основанию 3: log₉ 27 = log₃ 27 / log₃ 9 = 3/2 = 1,5. Проверка подстановкой: 9^1,5 = (√9)³ = 3³ = 27. Сошлось. Дробный ответ у логарифма — обычное дело, ждать целого числа не нужно.

## Какие ошибки делают в задачах на логарифмы?

- **Ошибка 1.** **Превращают логарифм произведения в произведение логарифмов.** Верно только $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ — сумма, не произведение. Числа не дадут соврать: $\log_2(4\cdot8) = \log_2 32 = 5$, а $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$. Сомневаешься в свойстве — подставь степени двойки и проверь за десять секунд.
- **Ошибка 2.** **Раскладывают логарифм суммы.** Для $\log_a(x+y)$ формулы не существует вообще. $\log_2(4+4) = 3$, а $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Сумму в аргументе сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом применяют свойства.
- **Ошибка 3.** **Путают частное логарифмов с логарифмом частного.** Логарифм частного даёт **разность**: $\log_2(8/4) = \log_2 2 = 1$. А дробь из двух логарифмов — это переход к новому основанию: $\log_2 8 / \log_2 4 = \log_4 8 = 1{,}5$. Разные операции, разные ответы.
- **Ошибка 4.** **Применяют свойства без условий.** $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верно только при $x > 0$: при $x = -3$ слева стоит существующий $\log_a 9$, справа — несуществующий $2\log_a(-3)$. Без оговорок верна запись $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$. В задании 16 это ровно та деталь, на которой строят ловушку.
- **Ошибка 5.** **Не меняют знак при основании меньше единицы.** При $0 < a < 1$ логарифм убывает, и переход от логарифмов к аргументам разворачивает неравенство. Проверить направление можно на пальцах: $\log_{0{,}5} 4 = -2$, а $\log_{0{,}5} 8 = -3$ — аргумент вырос, логарифм упал.
- **Ошибка 6.** **Меняют местами основание и аргумент.** $\log_2 8 = 3$, но $\log_8 2 = \tfrac13$ — это взаимно обратные числа, а не одно и то же. Их произведение равно единице, и этим удобно себя проверять: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.
- **Ошибка 7.** **Считают, что логарифм обязан быть положительным.** Строго положителен только **аргумент**. Само значение бывает любым: $\log_3 \tfrac19 = -2$, $\log_5 1 = 0$, $\log_9 27 = 1{,}5$. Отрицательный или дробный ответ в задании 8 — не повод пересчитывать всё заново.

## Запомни для ЕГЭ

- $\log_a b = c \iff a^c = b$
- $a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$
- $a^{\log_a b} = b, \quad \log_a a^{\,c} = c$
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a x^{\,p} = p\log_a x, \quad \log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b$
- $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \quad \log_a b \cdot \log_b a = 1$
- a > 1 — логарифм возрастает, знак при переходе к аргументам сохраняется. 0 < a < 1 — убывает, знак меняется

## На экзамене

- Логарифмических формул в справочных материалах **нет**. На профильной математике выдают всего четыре формулы, и все четыре тригонометрические: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Определение логарифма, свойства и переход к новому основанию — только наизусть.
- Это меняет тактику подготовки: список из блока «Запомни» должен воспроизводиться на черновике за минуту, без единой заминки.
- Задание 8 стоит 1 балл — закладывай на него около трёх минут. Числа там всегда «хорошие»: степени двойки, тройки и пятёрки, логарифмы с целым или коротким дробным ответом. Если в вычислениях полезло что-то, что без калькулятора не берётся, — это не сложное задание, а твоя ошибка в преобразованиях. Вернись на шаг назад и ищи, что должно было сократиться.
- Проверка подстановкой занимает секунды и ловит почти любую ошибку этой темы. Получил число $c$ в ответе на $\log_a b$ — возведи $a$ в степень $c$ и сверься с $b$. Не сошлось — скорее всего, перевёрнута дробь или потерян минус.
- Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, и десятичный разделитель — запятая. Получил 3/2 — пиши в бланк 1,5.
- В задании 16 логарифм — частый гость, и первые два вопроса там всегда одни и те же: с какой стороны от единицы основание и что требует ОДЗ. Сам разбор неравенств идёт в отдельной теме, но если в решении вообще нет ОДЗ и анализа знака основания — по критериям это ноль.

## Словарь темы

- **Логарифм** — Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент: log_a b = c означает ровно то же, что a^c = b. Существует при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- **Основание логарифма** — Число a в записи log_a b — то, которое возводят в степень. Строго положительно и не равно единице. Именно от того, больше оно единицы или меньше, зависит направление неравенства при сравнении логарифмов.
- **Аргумент логарифма** — Число b в записи log_a b, его же называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго положительно — это и есть ОДЗ любого выражения с логарифмом.
- **ОДЗ** — Область допустимых значений — множество значений переменной, при которых все выражения в записи имеют смысл. Для логарифма это одновременно основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.
- **Основное логарифмическое тождество** — Равенство a^(log_a b) = b. Не новое свойство, а определение логарифма, записанное одной строкой: степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга.
- **Десятичный логарифм** — Логарифм по основанию 10, для которого завели короткую запись: lg b = log₁₀ b. Отдельных правил не имеет, все свойства логарифма работают для него как обычно.
- **Натуральный логарифм** — Логарифм по основанию e ≈ 2,718, записывается ln b = log_e b. Как и десятичный, подчиняется всем общим свойствам логарифма.
- **Переход к новому основанию** — Приём, позволяющий переписать log_a b через логарифмы по любому другому допустимому основанию c: log_a b = log_c b / log_c a. Нужен, когда в выражении встретились логарифмы с разными основаниями.
- **Потенцирование** — Действие, обратное логарифмированию: переход от равенства логарифмов к равенству самих аргументов. Законно только при выполнении ОДЗ — иначе появляются посторонние корни.

## Частые вопросы

### Что такое логарифм?

Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Он существует, когда основание положительно и не равно единице, а само число b строго положительно.

### Как вычислить значение логарифмического выражения?

Шаги такие:

1. оцени, что мешает
2. приведи основания к одному
3. сверни сумму и разность в один логарифм
4. логарифм в показателе — разбей степень
5. досчитай по определению, а не по формулам
6. проверь ответ подстановкой.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Логарифм числа»?

Превращают логарифм произведения в произведение логарифмов. Верно только logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y — сумма, не произведение. Числа не дадут соврать: log₂(4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 · log₂ 8 = 6. Сомневаешься в свойстве — подставь степени двойки и проверь за десять секунд.

### Что нужно запомнить по теме «Логарифм числа»?

Главное:

1. logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
2. a > 0, a ≠ 1, b > 0
3. a^(logₐ b) = b, logₐ aᶜ = c
4. logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y
5. logₐ x/y = logₐ x - logₐ y.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.6 «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.6 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Логарифм числа») и проверяется в заданиях 8 и 16; задание 8 — базовый уровень, 1 балл.
- Определение: log_a b = c равносильно a^c = b при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- Основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b и обратное log_a(a^c) = c.
- Свойства при a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a x^p = p·log_a x; log_(a^k) b = (1/k)·log_a b при k ≠ 0.
- log_a x² = 2·log_a x верно только при x > 0; в общем случае log_a x² = 2·log_a |x|.
- log_a(xy) ≠ log_a x · log_a y и log_a(x + y) не раскладывается ни в какую комбинацию log_a x и log_a y.
- Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a при c > 0, c ≠ 1. Следствия: log_a b · log_b a = 1 (при b ≠ 1) и log_a x / log_a y = log_y x.
- Функция y = log_a x возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов знак неравенства во втором случае меняется. График при любом допустимом основании проходит через точку (1; 0).
- Логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные.
- Логарифм оценивается целыми числами через ближайшие степени основания: 3 < log₂ 10 < 4 и 1 < log₃ 5 < 2.
- Задания вида «Найдите значение выражения» с логарифмами — это задание 8 (базовый уровень, 1 балл), числа в них подобраны под счёт без калькулятора.
- Калькулятор на профильной математике запрещён, а в справочных материалах выдают только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Логарифмических формул среди них нет.
- Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, десятичный разделитель — запятая.
- В задании 16 логарифмические неравенства встречаются часто, и решение начинается с ОДЗ и сравнения основания с единицей.
- Обозначения lg b = log₁₀ b и ln b = log_e b, где e ≈ 2,718.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifm-chisla/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.