---
title: "Логарифмические уравнения/неравенства: как решать, примеры"
description: "Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, где переменная стоит под знаком логарифма. Разбор для ЕГЭ, задания 7, 14, 16."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifmicheskie-uravneniya-neravenstva/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Логарифмические уравнения/неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, где переменная стоит под знаком логарифма; их решают переходом к аргументам с учётом основания, а ответ пересекают с ОДЗ. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла), где без ОДЗ не обойтись.

Логарифмическое уравнение решается снятием логарифма, а неравенство — тем же переходом, но с оглядкой на основание. Вся тема держится на одном шаге, который нельзя пропустить, — ОДЗ. Именно она отсекает посторонние корни, которые появляются при свёртке логарифмов. Одна теория кормит задание 7 за 1 балл и задания 14 и 16 — по 2 балла.

**Задание КИМ:** Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 7  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Как найти ОДЗ логарифмического уравнения?

Логарифм $\log_a b$ существует не всегда: под ним обязано стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Само определение логарифма и его свойства разбираются в теме кода 1.6 — здесь мы считаем их известными и учимся ими **решать уравнения и неравенства**. Первое, что для этого нужно, — привычка выписывать область допустимых значений раньше любых преобразований.

**Область допустимых значений (ОДЗ)** логарифмического уравнения — это все значения переменной, при которых каждый аргумент каждого логарифма строго положителен. Не «желательно проверить», а обязательное условие: вне ОДЗ выражения в уравнении просто не имеют смысла.

Самый простой вид уравнения — логарифм равен числу. Здесь работает переход прямо по определению:

$$
\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^{c}, \qquad a > 0,\ a \neq 1
$$

Например, $\log_2 x = 5$ даёт $x = 2^5 = 32$, а $\log_3(2x-1) = 2$ превращается в $2x - 1 = 3^2 = 9$, откуда $x = 5$. Проверяем ОДЗ: $2\cdot 5 - 1 = 9 > 0$ — корень годится. В этом виде ОДЗ выполняется почти автоматически: $a^c$ всегда положительно, и аргумент не может выйти в минус. Опасность начинается там, где логарифмов несколько и их приходится сворачивать.

Если переменная попала не только в аргумент, но и в **основание** (встречается вид $\log_{2-x}(x+1)$), к ОДЗ добавляются ещё два условия на само основание: $2-x > 0$ и $2-x \neq 1$. Такие задачи решают через систему из всех этих условий — но встречаются они редко, а вот забыть про них легко.

## Почему свёртка логарифмов даёт посторонние корни?

Главный приём при решении — собрать сумму или разность логарифмов в один логарифм. Свойства берём из темы 1.6 — их нужно знать наизусть: в справочных материалах профиля логарифмов нет.

$$
\log_a f + \log_a g = \log_a (fg), \qquad \log_a f - \log_a g = \log_a \dfrac{f}{g}
$$

И вот здесь спрятана ловушка № 1 всей темы. Левая часть $\log_a f + \log_a g$ определена, только когда **оба** числа положительны: $f > 0$ и $g > 0$. А правая часть $\log_a (fg)$ определена, как только положительно их **произведение** — а это выполняется ещё и когда оба множителя отрицательны. Свёртка **расширяет** область: после неё в решение могут попасть корни, которых в исходном уравнении не было.

Смотри, как это работает. Уравнение $\log_3 x + \log_3(x-8) = 2$. Сначала ОДЗ: нужно $x > 0$ и $x - 8 > 0$, то есть $x > 8$. Теперь сворачиваем и снимаем логарифм:

$$
\log_3\big(x(x-8)\big) = 2 \ \Longrightarrow\ x(x-8) = 3^2 = 9 \ \Longrightarrow\ x^2 - 8x - 9 = 0
$$

Корни квадратного уравнения — $x = 9$ и $x = -1$. Второй лежит вне ОДЗ $x > 8$ и отбрасывается — не потому что «так принято», а потому что при $x = -1$ под логарифмом стоит отрицательное число и уравнение теряет смысл. Ответ — только $x = 9$. Проверка: $\log_3 9 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2$.

Вывод, который стоит балла на № 16: **ОДЗ пишут до свёртки, а лишние корни отсекают ей, а не «на всякий случай».** Пропустил ОДЗ — и в ответ уходит корень, которого не существует.

## Одно основание и замена переменной

Свернуть логарифмы можно, только когда у них одно основание. Если оснований несколько, их сначала приводят к общему — переходом к новому основанию (формула из темы 1.6). Чаще всего одно основание оказывается степенью другого, и тогда переход короткий:

$$
\log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\,\log_a b
$$

Вот где легко ошибиться: $\log_4 y = \dfrac{\log_2 y}{2}$, потому что $4 = 2^2$, а не $2\log_2 y$. Основание в степени $k$ делит логарифм на $k$, а не умножает. Разберём $\log_2 x + \log_4 x = 3$. ОДЗ: $x > 0$. Заменяем $\log_4 x = \tfrac12 \log_2 x$ и обозначаем $u = \log_2 x$:

$$
u + \dfrac{u}{2} = 3 \ \Longrightarrow\ \dfrac{3u}{2} = 3 \ \Longrightarrow\ u = 2 \ \Longrightarrow\ x = 2^2 = 4
$$

Проверка: $\log_2 4 + \log_4 4 = 2 + 1 = 3$. Сошлось.

Второй частый ход — **замена переменной**, когда во всём уравнении повторяется один и тот же логарифм. Уравнение $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0$ после замены $t = \log_2 x$ становится квадратным: $t^2 - 5t + 6 = 0$, корни $t = 2$ и $t = 3$. Возвращаемся: $\log_2 x = 2$ даёт $x = 4$, $\log_2 x = 3$ даёт $x = 8$. Оба в ОДЗ $x > 0$ — оба годятся.

**Важное отличие от показательных уравнений.** Там замена $t = a^x$ всегда тянет за собой условие $t > 0$. Здесь ничего подобного нет: логарифм принимает **любые** действительные значения, поэтому на $t = \log_a x$ никаких ограничений не накладывают. Приписать сюда ложное $t > 0$ — значит вычеркнуть верный корень. Единственное ограничение темы — это ОДЗ по $x$, и оно про аргумент, а не про $t$.

## Когда в логарифмическом неравенстве меняется знак?

Всё то же самое переносится на неравенства с одной поправкой — и эта поправка переворачивает половину ответов на № 16. Переход от логарифмов к их аргументам опирается на монотонность логарифмической функции, а у неё есть **направление**: при $a > 1$ функция возрастает, при $0 < a < 1$ — убывает. Отсюда два правила, и в каждом аргументы обязаны оставаться в ОДЗ:

$$
a > 1: \quad \log_a f > \log_a g \iff f > g
$$

$$
0 < a < 1: \quad \log_a f > \log_a g \iff f < g
$$

Одной фразой: **основание больше единицы — знак сохраняется; основание между нулём и единицей — знак меняется.** И то и другое верно лишь на ОДЗ, где оба аргумента положительны, поэтому финальный ответ всегда пересекают с ОДЗ.

**Возрастающее основание.** Решим $\log_3(2x+1) - \log_3(x-2) \geqslant 1$. ОДЗ: $2x+1 > 0$ и $x-2 > 0$, вместе — $x > 2$. Сворачиваем разность и представляем единицу как $\log_3 3$:

$$
\log_3 \dfrac{2x+1}{x-2} \geqslant \log_3 3
$$

Основание $3 > 1$ — знак сохраняем: $\dfrac{2x+1}{x-2} \geqslant 3$. На ОДЗ знаменатель $x-2 > 0$, поэтому умножаем на него без смены знака: $2x + 1 \geqslant 3(x-2)$, откуда $7 \geqslant x$. Пересекаем с ОДЗ $x > 2$ и получаем $x \in (2;\,7]$.

**Убывающее основание.** Здесь знак переворачивается. Возьмём совсем короткое $\log_{0{,}5} x > -1$. Представим $-1 = \log_{0{,}5} 2$ (ведь $0{,}5^{-1} = 2$). Основание $0{,}5 < 1$ — знак **меняем**: $x < 2$. С учётом ОДЗ $x > 0$ ответ $x \in (0;\,2)$. Сомневаешься в направлении — подставь число: при $x = 1$ слева $\log_{0{,}5} 1 = 0 > -1$ — верно, единица входит; при $x = 3$ слева $\log_{0{,}5} 3 \approx -1{,}58$, и $-1{,}58 > -1$ неверно — тройка не входит. Промежуток и правда ушёл влево.

*Рисунок: Обе кривые лежат правее оси y (аргумент строго положителен) и проходят через точку (1; 0). Основание больше единицы — логарифм возрастает и сохраняет порядок; основание между нулём и единицей — убывает и переворачивает его*

![Графики возрастающей и убывающей логарифмических функций на области x больше нуля, Миша указывает на допустимую область](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/logarifmicheskie-uravneniya-neravenstva-1.png)

*Логарифмическая функция определена только при x > 0, а направление неравенства зависит от основания.*

## Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Логарифмические уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

**Задание 7** — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид: $\log_5(2x-3) = 2$ или сумма логарифмов со свёрткой $\log_4(x-1) + \log_4(x+2) = 1$. Если корней вышло несколько, ОДЗ обычно оставляет один — но проверить её всё равно нужно, иначе в бланк уйдёт посторонний корень.

**Задание 14** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на указанном отрезке. Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение, но логарифмические там тоже попадаются — например $\log_2 x + \log_2(x-6) = 4$. У логарифмических отбор часто делает уже ОДЗ, но пункт б) всё равно нужно записать: критерий даёт 2 балла за оба пункта и 1 балл за один. **Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение.**

**Задание 16** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Именно логарифмическое неравенство здесь самый частый гость. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность **всех** шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: **пропуск ОДЗ — это не вычислительная ошибка, а ноль.** Балл за «правильную последовательность» дают только тому, у кого выписаны ОДЗ, переход по основанию и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.

## Переходы и приёмы в одной таблице

*Логарифмические уравнения и неравенства: формула и когда её применять*

| Правило | Формула | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| ОДЗ | все аргументы логарифмов > 0 | Пишут до любых преобразований; если переменная в основании — ещё основание > 0 и ≠ 1 |
| Логарифм равен числу | $\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^{c}$ | a > 0, a ≠ 1; здесь ОДЗ выполняется почти автоматически |
| Свёртка суммы | $\log_a f + \log_a g = \log_a (fg)$ | Расширяет область: лишние корни отсекает ОДЗ, записанная до свёртки |
| Свёртка разности | $\log_a f - \log_a g = \log_a \dfrac{f}{g}$ | Только при одном основании; те же предосторожности с ОДЗ |
| Основание-степень | $\log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\,\log_a b$ | Делит на k, а не умножает: log₄ y = (log₂ y)/2 |
| Замена | $t = \log_a x$ | Ограничения t > 0 нет: логарифм принимает любые значения |
| Неравенство, a > 1 | $\log_a f > \log_a g \iff f > g$ | Знак сохраняется; ответ пересекают с ОДЗ |
| Неравенство, 0 < a < 1 | $\log_a f > \log_a g \iff f < g$ | Знак меняется; ответ пересекают с ОДЗ |

## Разбор: уравнение со свёрткой и отсевом (№ 7 / 14)

**Условие.** Решите уравнение log₂(x + 2) + log₂(x − 2) = 5.

**Решение.**

- **Сначала ОДЗ.** Оба числа под логарифмами обязаны быть положительны: $x + 2 > 0$ даёт $x > -2$, а $x - 2 > 0$ даёт $x > 2$. Пересечение — более сильное условие:
- $x > 2$
- Запомним его: с ним в конце сверим корни. Теперь сворачиваем сумму логарифмов в логарифм произведения:
- $\log_2\big((x+2)(x-2)\big) = 5$
- Произведение $(x+2)(x-2)$ — это разность квадратов $x^2 - 4$. Снимаем логарифм по определению: справа $2^5 = 32$.
- $x^2 - 4 = 32 \ \Longrightarrow\ x^2 = 36 \ \Longrightarrow\ x = 6 \ \text{или}\ x = -6$
- **Отсев по ОДЗ.** Условие $x > 2$: корень $x = 6$ подходит, а $x = -6$ — нет. И это не формальность: при $x = -6$ под логарифмами стоят $-4$ и $-8$, логарифма от них не существует. Именно свёртка втащила лишний корень — ОДЗ его убирает.
- **Проверка.** При $x = 6$: $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ — сходится.

**Ответ:** x = 6.

## Разбор: неравенство с убывающим основанием (№ 16)

**Условие.** Решите неравенство log₀,₅(x² − 5x + 4) ≥ −2.

**Решение.**

- **Сначала ОДЗ.** Аргумент логарифма строго положителен: $x^2 - 5x + 4 > 0$. Раскладываем на множители: $(x-1)(x-4) > 0$. Парабола ветвями вверх, значит решение — вне корней:
- $x < 1 \ \text{или}\ x > 4$
- Отложим это условие — на нём в конце пересечём. Теперь правую часть представим логарифмом того же основания: $-2 = \log_{0{,}5} 4$, потому что $0{,}5^{-2} = 4$.
- $\log_{0{,}5}(x^2 - 5x + 4) \geqslant \log_{0{,}5} 4$
- **Основание $0{,}5 < 1$ — функция убывает, знак меняем** на противоположный:
- $x^2 - 5x + 4 \leqslant 4 \ \Longrightarrow\ x^2 - 5x \leqslant 0 \ \Longrightarrow\ x(x-5) \leqslant 0$
- Отсюда $0 \leqslant x \leqslant 5$ — решение неравенства после перехода.
- **Пересекаем с ОДЗ** $x < 1\ \text{или}\ x > 4$. Отрезок $[0;\,5]$ распадается на две части: с куском $x < 1$ он даёт $[0;\,1)$, с куском $x > 4$ — $(4;\,5]$.
- $x \in [0;\,1) \cup (4;\,5]$
- Обрати внимание на скобки: на границах ОДЗ ($x = 1$ и $x = 4$) аргумент обращается в ноль — они выколоты, скобка круглая. А $x = 0$ и $x = 5$ входят: там аргумент равен $4 > 0$, а неравенство нестрогое.
- **Проверка границ.** При $x = 0$: аргумент $4$, $\log_{0{,}5} 4 = -2 \geqslant -2$ — входит. При $x = 6$: аргумент $10$, $\log_{0{,}5} 10 \approx -3{,}32$, а $-3{,}32 \geqslant -2$ неверно — не входит, и правильно: 6 не в ответе.

**Ответ:** x ∈ [0; 1) ∪ (4; 5].

## Как решать логарифмические уравнения и неравенства?

1. **Выпиши ОДЗ первой строкой.** Каждый аргумент логарифма строго больше нуля. Если переменная в основании — добавь условия «основание > 0» и «основание ≠ 1». Реши систему: это множество, с которым в конце пересечёшь ответ.
2. **Приведи к одному основанию.** Свернуть логарифмы можно только при равных основаниях. Переходя к новому основанию, помни: $\log_4 y = \tfrac12\log_2 y$ — делишь на показатель, а не умножаешь.
3. **Сверни или замени.** Сумма логарифмов — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Если повторяется один и тот же логарифм, введи $t = \log_a x$. Ложное $t > 0$ сюда не приписывай: логарифм принимает любые значения.
4. **Сними логарифм.** В уравнении: $\log_a f = \log_a g \Rightarrow f = g$, а $\log_a f = c \Rightarrow f = a^{c}$. В неравенстве следи за основанием: $a > 1$ — знак сохраняешь, $0 < a < 1$ — переворачиваешь.
5. **Реши то, что получилось.** Обычно это линейное или квадратное уравнение либо квадратное неравенство. Логарифмов здесь уже нет.
6. **Пересеки с ОДЗ и ответь на вопрос.** Отбрось корни вне ОДЗ, для неравенства — пересеки промежутки. В № 7 подставь корень в исходное. В № 14 не забудь пункт б). В № 16 проверь скобки: граница ОДЗ выколота, бесконечность всегда круглая.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Найдите корень уравнения log₃(2x − 5) = 3.
   - 16 — **верный ответ**
   - 13,5
   - 11
   - 4

   *Пояснение:* По определению логарифма 2x − 5 = 3³ = 27, откуда 2x = 32 и x = 16. ОДЗ 2x − 5 > 0 (то есть x > 2,5) корень удовлетворяет. Проверка: log₃(2·16 − 5) = log₃ 27 = 3 — верно. Вариант 4 получается, если забыть возвести основание в степень и решить 2x − 5 = 3; вариант 11 — если при переносе вычесть 5 вместо того чтобы прибавить: 2x = 27 − 5 = 22.

2. Уравнение log₂ x + log₂(x − 2) = 3 после свёртки дало корни x = 4 и x = −2. Какой ответ верный?
   - 4 и −2
   - только 4 — **верный ответ**
   - только −2
   - корней нет

   *Пояснение:* ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, вместе x > 2. Корень x = −2 в неё не попадает — при нём под логарифмами стоят отрицательные числа, логарифма от них нет. Остаётся только x = 4. Проверка: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Свёртка суммы в логарифм произведения и втащила лишний корень x = −2 — его убирает именно ОДЗ.

3. Решите неравенство log₀,₅ x ≥ −2.
   - (0; 4] — **верный ответ**
   - [4; +∞)
   - (0; 0,25]
   - (−∞; 4]

   *Пояснение:* Представим −2 = log₀,₅ 4, ведь 0,5⁻² = 4. Основание 0,5 меньше единицы — функция убывает, знак меняется: log₀,₅ x ≥ log₀,₅ 4 ⟺ x ≤ 4. С учётом ОДЗ x > 0 получаем (0; 4]. Вариант (−∞; 4] забывает про ОДЗ и пускает в ответ неположительные x, у которых логарифма нет.

4. Как правильно записать log₄(x + 3) через логарифм по основанию 2?
   - (log₂(x + 3))/2 — **верный ответ**
   - 2·log₂(x + 3)
   - log₂(x + 3) − 2
   - log₂((x + 3)/2)

   *Пояснение:* Основание 4 = 2², а при переходе к основанию в степени k логарифм делится на k: log₄ y = (log₂ y)/2. Значит log₄(x + 3) = (log₂(x + 3))/2. Вариант 2·log₂(x + 3) — самая частая ошибка: показатель степени основания путают, умножая вместо деления. Проверка на числе: log₄ 16 = 2, а (log₂ 16)/2 = 4/2 = 2 — сходится.

5. В уравнении (log₃ x)² − 2·log₃ x − 3 = 0 сделали замену t = log₃ x. Какое ограничение на t нужно записать?
   - t > 0
   - t ≠ 0
   - Никакого: логарифм принимает любые значения — **верный ответ**
   - t ≥ 1

   *Пояснение:* Логарифм принимает любые действительные значения, поэтому на t = log₃ x ограничений нет — в отличие от показательных уравнений, где t = aˣ > 0. Ограничение здесь только одно и только по x: ОДЗ x > 0. Решаем: t² − 2t − 3 = 0, корни t = 3 и t = −1, оба годятся. Возврат: log₃ x = 3 даёт x = 27, log₃ x = −1 даёт x = 1/3. Приписать t > 0 — значит потерять верный корень x = 1/3.

6. Сколько корней у уравнения log₇((x − 2)²) = 0 с учётом ОДЗ?
   - ни одного
   - один
   - два — **верный ответ**
   - три

   *Пояснение:* ОДЗ: (x − 2)² > 0, то есть x ≠ 2 (в самой точке 2 квадрат равен нулю, логарифма нет). Само уравнение: (x − 2)² = 7⁰ = 1, значит x − 2 = ±1, откуда x = 3 и x = 1. Оба удовлетворяют условию x ≠ 2, поэтому корней два. Ловушка в том, что ОДЗ здесь — не «x больше чего-то», а выколотая точка: аргумент — полный квадрат.

## Какие ошибки делают в логарифмических уравнениях?

- **Ошибка 1.** **Не пишут ОДЗ или приписывают её в конце.** Свёртка суммы логарифмов расширяет область, поэтому посторонние корни появляются закономерно, а не случайно. В $\log_3 x + \log_3(x-8) = 2$ выходят $x = 9$ и $x = -1$; без условия $x > 8$ второй уходит в ответ. ОДЗ выписывают **до** преобразований — тогда есть с чем сверить корни.
- **Ошибка 2.** **Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы.** $\log_{0{,}5} f \geqslant \log_{0{,}5} g$ означает $f \leqslant g$, а не $f \geqslant g$. Взгляни на основание **до** перехода к аргументам: больше единицы — знак остаётся, между нулём и единицей — переворачивается. Перепутать направление — потерять половину заданий № 16.
- **Ошибка 3.** **Путают свёртку суммы с логарифмом суммы.** $\log_a f + \log_a g = \log_a(fg)$ — логарифм **произведения**, а не $\log_a(f+g)$. И наоборот: $\log_a(f+g)$ вообще не раскладывается. Отдельно: $\log_a f \cdot \log_a g$ — это не $\log_a(fg)$.
- **Ошибка 4.** **Умножают вместо деления при смене основания.** $\log_4 y = \tfrac12\log_2 y$, потому что $4 = 2^2$ и логарифм делится на показатель. Запись $\log_4 y = 2\log_2 y$ неверна — проверь на числе: $\log_4 16 = 2$, а не 8.
- **Ошибка 5.** **Приписывают замене ложное $t > 0$.** Для $t = \log_a x$ никакого ограничения нет: логарифм бывает и отрицательным, и нулём. Это $t > 0$ — из показательных уравнений, там оно уместно, а здесь съедает верные корни. Единственное ограничение темы — ОДЗ по $x$.
- **Ошибка 6.** **В № 16 пишут голый ответ без шагов.** Балл дают за верную последовательность **всех** шагов при вычислительной ошибке, а пропуск ОДЗ — это не вычислительная ошибка, это ноль. Записывай ОДЗ, приведение к одному основанию, переход по основанию и пересечение — каждая строка оплачена.

## Запомни для ЕГЭ

- $\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^{c}$
- $\log_a f + \log_a g = \log_a(fg), \ f,g>0$
- $\log_a f - \log_a g = \log_a \dfrac{f}{g}$
- $\log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\log_a b$
- $a>1:\ \log_a f > \log_a g \iff f>g$
- Сначала ОДЗ: все аргументы > 0. Свёртка расширяет область — лишние корни убивает ОДЗ. Замена t = log_a x без ограничения t > 0

## На экзамене

- Задание 7 стоит 1 балл — закладывай около 3–4 минут. Простейшее $\log_a f = c$ решается переходом $f = a^{c}$; найденный корень подставь в исходное и проверь ОДЗ — это ловит почти любую ошибку за двадцать секунд.
- Задание 16 — главный дом темы: логарифмические неравенства занимают больше половины заданий 16. Из двух баллов один дают за верную последовательность всех шагов при вычислительной ошибке — поэтому выписывай ОДЗ, приведение к одному основанию, переход по основанию и пересечение даже при решении в уме. И снова: забыл ОДЗ на бумаге — это тот самый ноль. По времени № 16 не самое дорогое в части 2 — если увяз, зафиксируй, что успел, и вернись к нему после более простых номеров: каждый выписанный шаг может принести тот самый один балл.
- Основание меньше единицы — отдельный класс № 16, где легче всего потерять балл на направлении знака. Взгляни на основание **до** перехода к аргументам и проверь границу подстановкой одного числа изнутри промежутка и одного снаружи — именно на границе чаще всего и теряется балл.
- Ответ № 16 — промежуток, а не число. Следи за скобками: на границе ОДЗ аргумент обращается в ноль, поэтому она всегда выколота (круглая скобка); нестрогое неравенство внутри ОДЗ даёт квадратную; у бесконечности скобка всегда круглая.
- Калькулятор запрещён, а справочные материалы на профиле содержат всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Свойств логарифма среди них нет: их нужно знать наизусть. Числа в заданиях всегда «хорошие» — если получился логарифм, который не берётся целым, ищи ошибку.
- В № 14 чаще идёт тригонометрия, но если попалось логарифмическое уравнение — отбор корней делает уже ОДЗ, и всё равно запиши пункт б): по критерию он весит столько же, сколько само решение. И не перепутай бланки: № 7 идёт в бланк № 1 (краткий ответ), № 14 и № 16 — в бланк № 2 (развёрнутое решение).

## Словарь темы

- **Логарифм** — log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b. Определён при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Подробно разбирается в теме кода 1.6; здесь используется как инструмент решения.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения имеют смысл. Для логарифмического уравнения это положительность каждого аргумента (а если переменная в основании — ещё и основание > 0, ≠ 1). Центральное условие темы: вне ОДЗ уравнение не определено.
- **Потенцирование** — Переход от логарифмов к их аргументам: свёртка суммы логарифмов в логарифм произведения и снятие логарифма. Расширяет область, поэтому обязательно сопровождается отсевом по ОДЗ.
- **Переход к новому основанию** — Приведение логарифмов к общему основанию по формуле log_a b = log_c b / log_c a. Частый случай: log_(aᵏ) b = (1/k)·log_a b, когда одно основание — степень другого.
- **Логарифмическое неравенство** — Неравенство, где переменная стоит под знаком логарифма. Решается переходом к аргументам с учётом направления монотонности: при основании больше единицы знак сохраняется, при основании между нулём и единицей — меняется; результат пересекается с ОДЗ.

## Частые вопросы

### Что такое логарифмическое неравенство?

Логарифмическое неравенство — неравенство, где переменная стоит под знаком логарифма. Его решают переходом к аргументам с учётом монотонности: при основании больше единицы знак сохраняется, при основании между нулём и единицей меняется, а результат пересекают с ОДЗ.

### Что такое логарифм?

log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b. Определён при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Подробно разбирается в теме кода 1.6; здесь используется как инструмент решения.

### Как решать логарифмические уравнения и неравенства?

Шаги такие:

1. выпиши ОДЗ первой строкой
2. приведи к одному основанию
3. сверни или замени
4. сними логарифм
5. реши то, что получилось
6. пересеки с ОДЗ и ответь на вопрос.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Логарифмические уравнения/неравенства»?

Не пишут ОДЗ или приписывают её в конце. Свёртка суммы логарифмов расширяет область, поэтому посторонние корни появляются закономерно, а не случайно. В log₃ x + log₃(x-8) = 2 выходят x = 9 и x = -1; без условия x > 8 второй уходит в ответ. ОДЗ выписывают до преобразований — тогда есть с чем сверить корни.

### Что нужно запомнить по теме «Логарифмические уравнения/неравенства»?

Главное:

1. logₐ f(x) = c ⇔ f(x) = aᶜ
2. logₐ f + logₐ g = logₐ(fg), f,g>0
3. logₐ f - logₐ g = logₐ f/g
4. logaᵏ b = (1/k) logₐ b
5. a>1: logₐ f > logₐ g ⇔ f>g.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.4 «Показательные и логарифмические уравнения»; 2.7 «Показательные и логарифмические неравенства».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует элементам 2.4 (уравнения) и 2.7 (неравенства) кодификатора ФИПИ по математике и проверяется заданиями 7, 14, 16.
- Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, часть 1, ответ в бланк № 1 (целое число или конечная десятичная дробь). Задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла, часть 2, развёрнутая запись в бланк № 2.
- Критерий задания 14: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один пункт. Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
- Калькулятор на профильной математике запрещён; справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Свойств логарифма там нет.
- Свёртка суммы логарифмов log_a f + log_a g = log_a(fg) расширяет область определения (правая часть определена при fg>0, левая — при f>0 и g>0), поэтому после неё возможны посторонние корни, которые отсекаются по ОДЗ.
- Переход к основанию-степени: log_(aᵏ) b = (1/k)·log_a b, в частности log₄ y = (log₂ y)/2 (а не 2·log₂ y).
- При замене t = log_a x ограничение t > 0 не ставится: логарифм принимает любые действительные значения. Ограничение темы — только ОДЗ по x. Это отличает логарифмические уравнения от показательных, где t = aˣ > 0.
- Для логарифмических неравенств: при a>1 переход log_a f > log_a g ⟺ f > g сохраняет знак; при 0<a<1 знак меняется; в обоих случаях результат пересекается с ОДЗ (f>0, g>0).
- Задание 14 — «чаще всего тригонометрическое уравнение с отбором корней», но не всегда: логарифмические уравнения там встречаются.
- Если переменная стоит в основании логарифма, к ОДЗ добавляются условия: основание > 0 и основание ≠ 1.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifmicheskie-uravneniya-neravenstva/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.