---
title: "Многогранники ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Многогранник — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками-гранями. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 3, 15."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 3 КИМ (1 балл); также опора для задания 15 (развёрнутое, 3 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Многогранники

Многогранник — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками-гранями; их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. На ЕГЭ тема нужна в задании 3 (1 балл, объём и площадь поверхности по формуле) и служит опорой для развёрнутого задания 15 (3 балла) с сечениями и расстояниями.

Многогранники — это призмы, пирамиды и параллелепипеды: тела, у которых все грани плоские. В задании 3 их объём и поверхность находят прямой подстановкой в формулу, а в задании 15 по ним строят сечения, ищут расстояния и доказывают перпендикулярность. Главная ловушка темы — коэффициент одна треть: он есть у пирамиды и его нет у призмы.

**Задание КИМ:** Задание 3 КИМ (1 балл); также опора для задания 15 (развёрнутое, 3 балла)  
**Баллы:** Задание 3 — 1 балл, задание 15 — 3 балла  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Чем призма отличается от пирамиды?

**Многогранник** — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называют **гранями**, их стороны — **рёбрами**, а точки, где рёбра сходятся, — **вершинами**.

Слово «плоскими» здесь ключевое: как только появляется закруглённая поверхность — цилиндр, конус, шар, — это уже не многогранник, а тело вращения, и живёт оно в отдельной теме со своими формулами. Здесь их не будет.

На экзамене всё сводится к трём фигурам, и различать их надо мгновенно.

**Призма** — два одинаковых основания в параллельных плоскостях, соединённых боковыми гранями. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется **прямой**, а если в основании ещё и правильный многоугольник — **правильной**.

Частный случай призмы — **параллелепипед**: у него в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — это «коробка» с прямыми углами, а куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

**Пирамида** — одно основание-многоугольник и одна общая вершина, к которой сходятся все боковые грани-треугольники. Пирамида называется **правильной**, если в основании правильный многоугольник, а вершина стоит ровно над его центром. Тогда высота падает точно в центр основания — это свойство мы будем использовать в каждой задаче части 2.

Запомни главное различие ещё до формул: у призмы «крыша» такая же, как «пол», а у пирамиды она сходится в одну точку. Из-за этого их объёмы отличаются в три раза — и именно путаница с этой тройкой стоит балла в задании 3.

## Как найти объём призмы и пирамиды?

Всего две формулы объёма, но перепутать их — классическая потеря балла.

**Объём призмы** (и параллелепипеда, и куба — это её частные случаи) равен площади основания на высоту:

$$
V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h
$$

**Объём пирамиды** — та же площадь основания на высоту, но с коэффициентом одна треть:

$$
V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}\, S_{\text{осн}} \cdot h
$$

Смысл тройки простой: если у пирамиды и призмы одинаковые основание и высота, в призму помещается ровно три такие пирамиды. Поэтому у пирамиды объём втрое меньше. Не «на треть меньше», а **в три раза** — это разные вещи.

Для самых частых тел формулы удобно держать наизусть отдельно. Куб с ребром $a$ и прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a, b, c$:

$$
V_{\text{куба}} = a^3, \qquad V_{\text{парал.}} = a \cdot b \cdot c
$$

Отдельно — **диагональ прямоугольного параллелепипеда**, отрезок между двумя его противоположными вершинами. Она находится по «трёхмерной теореме Пифагора»:

$$
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}, \qquad d_{\text{куба}} = a\sqrt{3}
$$

Не путай эту диагональ с диагональю грани: диагональ квадратной грани куба равна $a\sqrt{2}$, а вот через всё тело — уже $a\sqrt{3}$. В задании 3 регулярно спрашивают именно вторую, а рука по привычке пишет первую.

*Рисунок: Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c; оранжевым пунктиром — пространственная диагональ d*

![Призма и пирамида с выделенными основаниями и высотами, Миша держит модель пирамиды](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/mnogogranniki-1.png)

*При одинаковых основании и высоте объём пирамиды втрое меньше объёма призмы.*

## Как найти площадь боковой и полной поверхности?

Кроме объёма, в задании 3 спрашивают площадь поверхности. Различай два слова: **боковая** поверхность — только боковые грани, **полная** — боковые плюс основания.

У **прямой призмы** все боковые грани — прямоугольники высотой $h$, а их суммарная ширина — это периметр основания. Поэтому боковая поверхность считается на удивление просто:

$$
S_{\text{бок призмы}} = P_{\text{осн}} \cdot h
$$

Здесь $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, а не его площадь. Это первая ловушка: под боковую поверхность идёт именно периметр. Полная поверхность добавляет два основания: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 S_{\text{осн}}$.

У **правильной пирамиды** боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания, называется **апофемой** (обозначим её $m$). Через неё боковая поверхность записывается так:

$$
S_{\text{бок пирамиды}} = \dfrac{1}{2}\, P_{\text{осн}} \cdot m
$$

Не путай апофему с высотой пирамиды и с боковым ребром: апофема идёт в **середину** стороны основания, высота — в **центр** основания, а боковое ребро — в **вершину** основания. Это три разных отрезка, и их подмена — одна из самых частых причин неверного ответа.

Куб держим отдельно: у него шесть одинаковых квадратных граней, поэтому полная поверхность равна $6a^2$.

*Рисунок: Правильная четырёхугольная пирамида: зелёная высота h идёт в центр, оранжевая апофема m — в середину стороны, боковое ребро — в угол основания*

## Что подставлять под S основания

Формула $V = S \cdot h$ бесполезна, пока не знаешь $S$ самого основания. В задании 3 основанием бывает не только квадрат, но и правильный треугольник или шестиугольник, а их площади нужно знать наизусть — в справочных материалах профиля их нет.

**Квадрат** со стороной $a$: площадь $a^2$. **Правильный (равносторонний) треугольник** и **правильный шестиугольник** со стороной $a$:

$$
S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\, a^2, \qquad S_{\text{шест.}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, a^2
$$

Шестиугольник легко не запоминать отдельно, а собрать: он режется на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$, отсюда $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Главное — не потерять множитель $\sqrt{3}$: без него объём призмы или пирамиды выйдет неверным.

Для части 2 пригодятся ещё два расстояния в правильном основании — от центра до вершины и от центра до середины стороны. Для квадрата со стороной $a$ они равны $\tfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина диагонали) и $\tfrac{a}{2}$. Именно они превращают высоту пирамиды, апофему и боковое ребро в стороны прямоугольных треугольников — этим мы и займёмся дальше.

## Задание 15: доказать и вычислить

Задание 15 стоит 3 балла и почти всегда состоит из двух пунктов: **а)** что-то доказать, **б)** что-то вычислить. За пункт «а» балл дают **только за доказательство в общем виде** — рассуждение, которое годится при любых числах. Подстановка конкретных длин и проверка «сходится» доказательством не считается: за неё балл не начислят. Это самая обидная и самая частая потеря в этой задаче.

Три приёма закрывают почти весь пункт «б».

**1. Высота правильной пирамиды — через прямоугольный треугольник.** Высота, отрезок от центра основания до вершины основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник (высота перпендикулярна основанию). Поэтому боковое ребро $l$ связано с высотой $h$ и радиусом описанной около основания окружности $R$ так: $l^2 = h^2 + R^2$.

Например, в правильной четырёхугольной пирамиде со стороной 4 и боковым ребром 6 половина диагонали основания $R = 2\sqrt{2}$, значит $h = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Точно так же апофема связана с высотой и радиусом вписанной в основание окружности: $m^2 = h^2 + r^2$.

**2. Расстояние от точки до плоскости — методом объёма.** Когда опустить перпендикуляр напрямую трудно, берут вспомогательную пирамиду, для которой искомое расстояние — это высота. Её объём считают двумя способами: удобным (через другое основание) и через нужную грань. Приравняв, получают:

$$
d = \dfrac{3V}{S}
$$

Здесь $V$ — объём вспомогательной пирамиды, $S$ — площадь той грани, до плоскости которой ищем расстояние. Приём выручает в задачах вида «найдите расстояние от вершины до плоскости», которые в задании 15 встречаются постоянно.

**3. Сечение** — это многоугольник, по которому секущая плоскость режет многогранник. Строят его по опорному правилу: если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, соединяем их отрезком прямо в этой грани. Помогает и параллельность: плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.

Невидимые рёбра на чертеже проводят пунктиром. Это часть аккуратного оформления: за небрежно построенное сечение в пункте «б» снимают баллы.

## Формулы многогранников в одной таблице

*Объёмы, поверхности, диагонали и площади оснований*

| Тело или величина | Формула | Что обозначают буквы |
| --- | --- | --- |
| Объём призмы | $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h$ | S осн — площадь основания, h — высота |
| Объём пирамиды | $V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}\, S_{\text{осн}} \cdot h$ | Те же буквы; при равных основании и высоте втрое меньше призмы |
| Куб | $V_{\text{куба}} = a^3, \quad S = 6a^2, \quad d_{\text{куба}} = a\sqrt{3}$ | a — ребро, d — диагональ через всё тело; диагональ грани a√2 |
| Прямоугольный параллелепипед | $V = a \cdot b \cdot c, \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ | a, b, c — рёбра, d — диагональ |
| Боковая поверхность прямой призмы | $S_{\text{бок призмы}} = P_{\text{осн}} \cdot h$ | P осн — периметр (не площадь!) основания; полная: S бок + 2·S осн |
| Боковая поверхность правильной пирамиды | $S_{\text{бок пирамиды}} = \dfrac{1}{2}\, P_{\text{осн}} \cdot m$ | m — апофема, высота боковой грани к стороне основания |
| Основание: правильный треугольник | $S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\, a^2$ | a — сторона основания |
| Основание: правильный шестиугольник | $S_{\text{шест.}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, a^2$ | a — сторона; шесть равносторонних треугольников |
| Правильная пирамида | $l^2 = h^2 + R^2, \qquad m^2 = h^2 + r^2$ | l — боковое ребро, m — апофема, R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей основания |
| Расстояние методом объёма | $d = \dfrac{3V}{S}$ | V — объём вспомогательной пирамиды, S — площадь нужной грани |

## Разбор: правильная четырёхугольная пирамида

**Условие.** В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота равна 4. Найди: а) объём пирамиды; б) апофему и площадь полной поверхности.

**Решение.**

- В основании квадрат со стороной 6, значит $S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$. Пирамида, поэтому в объёме обязателен коэффициент одна треть:
- $V = \dfrac{1}{3}\, S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot 36 \cdot 4 = 48$
- **Апофема.** Она идёт из вершины в середину стороны основания, поэтому опирается на радиус вписанной в квадрат окружности $r = \tfrac{a}{2} = 3$. Вместе с высотой они дают прямоугольный треугольник:
- $m = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$
- **Боковая поверхность.** Периметр основания $P = 4 \cdot 6 = 24$, апофема 5:
- $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}\, P \cdot m = \dfrac{1}{2}\cdot 24 \cdot 5 = 60$
- **Полная поверхность** добавляет одно основание (у пирамиды оно одно):
- $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 60 + 36 = 96$
- Обрати внимание, где всплывала тройка: в объёме — как множитель одна треть, а в апофеме — совсем из другого места, из радиуса 3 = 6/2. Смешивать эти «тройки» нельзя.

**Ответ:** а) V = 48; б) апофема m = 5, полная поверхность S = 96.

## Как решать задание 3 на многогранники?

1. **Опознай фигуру.** Призма, параллелепипед, куб — объём без коэффициента, $V = S \cdot h$. Пирамида — с коэффициентом одна треть. Ошибка на этом шаге тянет за собой весь ответ.
2. **Найди площадь основания отдельно.** Квадрат — $a^2$, правильный треугольник — $\tfrac{\sqrt3}{4}a^2$, шестиугольник — $\tfrac{3\sqrt3}{2}a^2$. Не теряй $\sqrt3$.
3. **Реши, что спрашивают: объём или поверхность.** Для поверхности уточни — боковая или полная. Под боковую поверхность призмы идёт периметр, а не площадь основания.
4. **Для диагонали параллелепипеда бери три ребра.** $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$, у куба $a\sqrt3$. Не путай с диагональю грани $a\sqrt2$.
5. **Считай руками и проверь красоту ответа.** Калькулятора нет. Числа в задании 3 подобраны так, чтобы корни извлекались, а дроби сокращались. Некрасивый ответ — сигнал вернуться и проверить.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл в задании 3. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. У призмы и у пирамиды одинаковые основание и одинаковая высота. Во сколько раз объём призмы больше объёма пирамиды?
   - Они равны
   - В 2 раза
   - В 3 раза — **верный ответ**
   - В 6 раз

   *Пояснение:* Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h. При одинаковых S и h призма ровно втрое больше. Именно этот коэффициент одна треть — главная ловушка задания 3.

2. Ребро куба равно 2. Чему равна диагональ куба — отрезок между двумя противоположными вершинами?
   - 2√2
   - 2√3 — **верный ответ**
   - 4
   - 6

   *Пояснение:* Пространственная диагональ куба d = a√3 = 2√3. Значение 2√2 — это диагональ грани (a√2), она короче и проходит по одной стороне куба, а не сквозь его тело.

3. Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5.
   - 45
   - 15 — **верный ответ**
   - 22,5
   - 9

   *Пояснение:* Основание — квадрат: S = 3² = 9. Пирамида, поэтому V = ⅓·9·5 = 15. Ответ 45 получается, если забыть про коэффициент одна треть.

4. Все рёбра куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз вырос его объём?
   - В 3 раза
   - В 9 раз
   - В 27 раз — **верный ответ**
   - В 6 раз

   *Пояснение:* Объём куба V = a³, ребро входит в третьей степени. Увеличение ребра втрое даёт 3³ = 27 раз. Ответ «в 9 раз» — это про площадь поверхности (a² входит во второй степени), а не про объём.

5. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4, а высота 10. Чему равна площадь боковой поверхности?
   - 120 — **верный ответ**
   - 40√3
   - 480
   - 160√3

   *Пояснение:* Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высота. Периметр треугольника 3·4 = 12, значит S = 12·10 = 120. Площадь самого треугольного основания (с множителем √3) в боковую поверхность не входит — это дистрактор 40√3.

## Какие ошибки делают в задачах на многогранники?

- **Ошибка 1.** **Теряют коэффициент одна треть у пирамиды (или лишний раз ставят его у призмы).** У пирамиды $V = \tfrac13 S h$, у призмы, параллелепипеда и куба просто $V = S h$. Прежде чем считать объём, вслух назови фигуру — призма это или пирамида.
- **Ошибка 2.** **Путают диагональ куба с диагональю грани.** Диагональ грани равна $a\sqrt2$, а пространственная диагональ куба — $a\sqrt3 = \sqrt{a^2+a^2+a^2}$. В задании 3 чаще спрашивают вторую.
- **Ошибка 3.** **В боковую поверхность призмы подставляют площадь основания вместо периметра.** Боковая поверхность прямой призмы — это $P_{\text{осн}} \cdot h$, где P — периметр. Площадь основания идёт только в объём и в полную поверхность.
- **Ошибка 4.** **Считают боковое ребро пирамиды её высотой.** Высота падает в центр основания перпендикулярно, а боковое ребро идёт в вершину основания под наклоном — это разные отрезки, и ребро всегда длиннее. Связь: $l^2 = h^2 + R^2$, где R — расстояние от центра до вершины основания.
- **Ошибка 5.** **Забывают множитель √3 в площади правильного треугольника и шестиугольника.** $S_\triangle = \tfrac{\sqrt3}{4}a^2$, $S_{\text{шест}} = \tfrac{3\sqrt3}{2}a^2$. Без √3 объём призмы или пирамиды с таким основанием сразу неверный.
- **Ошибка 6.** **В пункте «а» задания 15 проверяют утверждение на конкретных числах.** Подстановка длин и слова «сходится» — это не доказательство, и балл за пункт «а» за них не дают. Доказывать нужно в общем виде: рассуждением, которое верно при любых данных.

## Запомни для ЕГЭ

- $V_{\text{призмы}} = S \cdot h$
- $V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3} S \cdot h$
- $V_{\text{куба}} = a^3,\ \ S = 6a^2,\ \ d = a\sqrt3$
- $d_{\text{парал.}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
- $S_{\text{бок призмы}} = P \cdot h,\quad S_{\text{бок пир.}} = \tfrac12 P m$
- $S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2,\quad S_{\text{шест}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$
- $d(\text{точка};\text{плоск.}) = \dfrac{3V}{S}$

## На экзамене

- Задание 3 стоит 1 балл — трать на него 3–4 минуты. Формулы объёма и поверхности держи наизусть: в справочных материалах профиля есть только четыре тригонометрические формулы, ни одной стереометрической.
- Первым делом называй фигуру. Пирамида — значит коэффициент одна треть; призма, параллелепипед, куб — без него. Определение фигуры — первая и самая частая причина потери балла в задании 3.
- Цилиндр, конус и шар — это тела вращения, отдельная тема. У многогранников все грани плоские, и формул с числом π здесь не бывает. Если в ответ полезло π — ты перепутал тему.
- Задание 15 даёт 3 балла и делится на «а) доказать» и «б) вычислить». Пункт «а» доказывай в общем виде — проверка на примере балла не приносит. Рисуй чертёж крупно и подписывай, где высота, где апофема, где боковое ребро.
- Если в задании 15 нужно расстояние от точки до плоскости, а перпендикуляр строится тяжело, посчитай его методом объёма: $d = 3V/S$. Часто это короче, чем искать основание перпендикуляра.

## Лаборатория: разверни многогранник

Главное про три тела разобрано выше: у куба, призмы и пирамиды все грани плоские; объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h, диагональ куба d = a√3. Повращай фигуры мысленно по чертежам в блоках «Объём» и «Поверхность».

## Словарь темы

- **Многогранник** — Тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. Тела с закруглённой поверхностью (цилиндр, конус, шар) многогранниками не являются.
- **Призма** — Многогранник с двумя равными основаниями в параллельных плоскостях и боковыми гранями между ними. Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям; правильная — в основании ещё и правильный многоугольник.
- **Параллелепипед** — Призма, у которой в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — «коробка» с прямыми углами; куб — прямоугольный параллелепипед со всеми равными рёбрами.
- **Пирамида** — Многогранник с одним основанием-многоугольником и общей вершиной, к которой сходятся боковые грани-треугольники. Правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а вершина стоит над его центром.
- **Высота пирамиды** — Перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. У правильной пирамиды его основание попадает точно в центр основания.
- **Апофема** — Высота боковой грани правильной пирамиды — отрезок из вершины пирамиды в середину стороны основания. Не путать с высотой пирамиды (в центр) и боковым ребром (в вершину основания).
- **Диагональ параллелепипеда** — Отрезок между двумя противоположными вершинами, проходящий сквозь тело. Для прямоугольного параллелепипеда d = √(a²+b²+c²), для куба d = a√3. Отличается от диагонали грани.
- **Сечение многогранника** — Многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает многогранник. Строится по точкам: две точки плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.
- **Двугранный угол** — Угол между двумя гранями, сходящимися к общему ребру. Его величину измеряют линейным углом — углом между перпендикулярами к ребру, проведёнными в каждой грани из одной точки ребра.

## Частые вопросы

### Что такое многогранник?

Многогранник — тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами; тела с закруглённой поверхностью (цилиндр, конус, шар) многогранниками не являются.

### Как решать задание 3 на многогранники?

Шаги такие:

1. опознай фигуру
2. найди площадь основания отдельно
3. реши, что спрашивают: объём или поверхность
4. для диагонали параллелепипеда бери три ребра
5. считай руками и проверь красоту ответа.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Многогранники»?

Теряют коэффициент одна треть у пирамиды (или лишний раз ставят его у призмы). У пирамиды V = (1/3) S h, у призмы, параллелепипеда и куба просто V = S h. Прежде чем считать объём, вслух назови фигуру — призма это или пирамида.

### Что нужно запомнить по теме «Многогранники»?

Главное:

1. Vпризмы = S · h
2. Vпирамиды = (1/3) S · h
3. Vкуба = a³, S = 6a², d = a√3
4. d_(парал.) = √(a² + b² + c²)
5. S_(бок призмы) = P · h, S_(бок пир.) = (1/2) P m
6. S_(△) = (√3/4)a², Sшест = (3√3/2)a²
7. d(точка;плоск.) = 3V/S.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 7.3 «Многогранники».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 7.3 «Многогранники» кодификатора ФИПИ по математике профиля и проверяется в заданиях 3 (базовое) и 15 (развёрнутое).
- Задание 3 базового уровня — прямая подстановка в формулы объёма и площади поверхности многогранников (куб, параллелепипед, призма, пирамида).
- Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h; из-за коэффициента одна треть при равных основании и высоте призма втрое больше пирамиды.
- Куб: V = a³, S = 6a², пространственная диагональ d = a√3; диагональ грани a√2. Прямоугольный параллелепипед: V = abc, d = √(a²+b²+c²).
- Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высоту; полная = боковая + 2·основания. Боковая поверхность правильной пирамиды = ½·периметр основания·апофема.
- Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна (√3/4)a², правильного шестиугольника — (3√3/2)a².
- Высота правильной пирамиды, радиус описанной около основания окружности и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: l² = h² + R²; для квадрата R = a√2/2, r = a/2.
- Расстояние от точки до плоскости в задании 15 удобно искать методом объёма: d = 3V/S.
- Задание 15 состоит из пунктов «а) доказать» и «б) вычислить»; за пункт «а» балл даётся только за доказательство в общем виде, не за проверку на числах.
- Сечение многогранника строится по опорному правилу: две точки секущей плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.
- На профиле в справочных материалах КИМ выдаются только тригонометрические формулы, стереометрические формулы нужно знать наизусть; калькулятор запрещён.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/)
- [Правильные многогранники: таблица и формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravilnye-mnogogranniki/)
- [Площадь поверхности пирамиды: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-piramidy/)
- [Площадь поверхности призмы: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-prizmy/)
- [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/)
- [Объём куба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-kuba/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.