---
title: "Монотонность, экстремумы: определение, формулы, примеры"
description: "Монотонность и экстремумы — это промежутки, где функция только возрастает или только убывает. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 9, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/monotonnost-ekstremumy/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Монотонность, экстремумы

Монотонность и экстремумы — это промежутки, где функция только возрастает или только убывает, и точки, где рост сменяется спадом или наоборот; и то и другое находят по знаку производной. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): по графику производной ищут промежутки возрастания и точки экстремума, а с 2027 года здесь же — точка минимума и наибольшее значение на отрезке.

Монотонность и экстремумы — про то, где функция растёт, где падает и где разворачивается. На профиле это задание 9: по графику производной найти промежутки возрастания, точку минимума или наибольшее значение на отрезке. Вся тема на одной связке: знак производной задаёт направление, а смена знака — экстремум. Главные ловушки — спутать нуль производной с экстремумом и забыть про концы отрезка.

**Задание КИМ:** Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 9  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Как по производной понять, где функция возрастает и убывает?

Начнём с самих слов, потому что задание 9 любит спрашивать именно их смысл. Функция **возрастает** на промежутке, если большему аргументу отвечает большее значение: для любых $x_1 < x_2$ из этого промежутка выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. График такой функции идёт вверх, если смотреть слева направо. Функция **убывает**, если наоборот: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$, график идёт вниз. Если на промежутке функция только растёт или только падает, её называют **монотонной**, а сам промежуток — промежутком монотонности.

Определять монотонность прямо по определению неудобно: перебрать все пары $x_1 < x_2$ нельзя. Поэтому работает универсальный инструмент — **производная**. Правило короткое и его стоит помнить наизусть:

$$
f'(x) > 0 \ \text{на промежутке} \Rightarrow f \ \text{возрастает}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \ \text{убывает}
$$

Смысл прозрачный: производная — это скорость изменения функции. Скорость положительна — значение растёт, скорость отрицательна — падает. Как считать саму производную (таблица, правила суммы и множителя) — тема кода 4.1; здесь мы считаем это умение уже освоенным и учимся по знаку производной **читать поведение функции**.

Важная тонкость про направление: знак производной говорит о том, растёт функция или падает, а **не** о том, положительна ли она сама. Функция может принимать отрицательные значения и при этом возрастать — например, подниматься от −10 к −3. Не путай знак $f(x)$ со знаком $f'(x)$: первое про то, где график, второе про то, куда он идёт.

*Рисунок: На спуске касательная наклонена вниз (f' < 0), на подъёме — вверх (f' > 0), в самой нижней точке горизонтальна (f' = 0)*

## Всегда ли в нуле производной есть экстремум?

Это самое важное место темы и любимая ловушка составителей. Точку, где $f'(x_0) = 0$, называют **стационарной**. В такой точке касательная к графику (прямая, которая в этой точке идёт вдоль графика) горизонтальна. Но горизонтальная касательная сама по себе ещё не значит, что там вершина холма или дно ямы.

Формально это **необходимое условие**: если у функции в некоторой внутренней точке экстремум, то её производная там равна нулю (или не существует). Обратное — неверно. Классический контрпример — $f(x) = x^3$. Её производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль при $x = 0$, но экстремума там нет: слева от нуля производная положительна и справа положительна, функция всё время возрастает. Просто на мгновение останавливается и разгоняется снова.

Значит, стационарная точка — это лишь **кандидат**. Чтобы он оказался настоящим экстремумом, нужно **достаточное условие**: производная должна **сменить знак** при переходе через эту точку.

$$
f' : \ - \to + \ \text{в точке} \ x_0 \Rightarrow \text{минимум}; \qquad f' : \ + \to - \Rightarrow \text{максимум}
$$

Логика простая: если функция сначала убывала ($f' < 0$), а потом стала возрастать ($f' > 0$), то между ними у неё дно — точка минимума. Сменила рост на спад — вершина, точка максимума. Не сменила знак вовсе (как у $x^3$) — никакого экстремума, функция едет дальше в ту же сторону.

И различай два слова, которые на экзамене легко перепутать. **Точка максимума** — это значение аргумента $x$, при котором функция достигает вершины. А **максимум** — это уже само значение функции $y = f(x)$ в этой точке. Задание 9 (с 2027 года в него входят и такие вопросы) спрашивает то одно, то другое: «найдите точку минимума» и «найдите наименьшее значение» — это разные вопросы с разными ответами.

![График функции и согласованная таблица знаков производной, Миша указывает на смену знака](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/monotonnost-ekstremumy-1.png)

*Минимум возникает при смене знака производной с минуса на плюс, максимум — с плюса на минус.*

## Как читать график производной в задании 9?

Отдельный тип задания 9: дан не график функции, а график её **производной** $f'(x)$, и по нему нужно рассказать про саму функцию. Здесь и подстерегает главная путаница — принять график производной за график функции. Не смешивай их: у тебя перед глазами $f'$, а вопрос почти всегда про $f$.

Читается график производной по двум правилам, которые ты уже знаешь:

**Где график производной выше оси** ($f' > 0$), там функция **возрастает**. **Где ниже оси** ($f' < 0$) — **убывает**. А **точки, где график производной пересекает ось** и при этом меняет знак, — это точки экстремума функции.

Отсюда быстрый приём для вопроса «сколько у функции точек экстремума»: посчитай, сколько раз график производной **пересекает ось со сменой знака**. Если производная лишь касается оси, не переходя на другую сторону (как у $x^3$ в нуле), — эта точка не считается.

Посмотри на схему ниже. График производной идёт выше оси, потом ныряет под неё и снова выходит наверх. На первом пересечении знак меняется с плюса на минус — здесь у функции **максимум**. На втором с минуса на плюс — **минимум**. Между ними функция убывает, а по краям возрастает. Двух пересечений со сменой знака достаточно, чтобы уверенно ответить: у функции две точки экстремума.

*Рисунок: График производной f'(x): пока он выше оси, функция растёт; ныряет под ось — функция убывает. Первое пересечение (+ на −) даёт максимум, второе (− на +) — минимум*

## Ищем точку минимума и максимума (№ 9)

Другой тип задания 9 — не график, а формула: «найдите точку минимума функции $f(x)$». Работает один и тот же алгоритм из знака производной.

Возьмём $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$. Находим производную и приравниваем к нулю:

$$
f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{или}\ x = 3
$$

Две стационарные точки — два кандидата. Теперь расставим знаки производной на числовой прямой. Множители подсказывают: при $x < -1$ обе скобки отрицательны, произведение положительно — $f' > 0$. Между $-1$ и $3$ одна скобка сменила знак — $f' < 0$. При $x > 3$ снова $f' > 0$. Получается цепочка знаков **+ − +**.

Читаем по достаточному условию. В точке $x = -1$ знак меняется с плюса на минус — это **точка максимума**. В точке $x = 3$ с минуса на плюс — **точка минимума**. Если в задании спросили точку минимума, ответ — $3$.

Для квадратичной функции даже производная не нужна: график — парабола, и её вершина находится по формуле $x = -\dfrac{b}{2a}$. Ветви вверх ($a > 0$) — вершина это минимум, ветви вниз ($a < 0$) — максимум. Например, у $f(x) = x^2 - 8x + 3$ точка минимума $x = \dfrac{8}{2} = 4$ — тот же ответ дала бы и производная $f'(x) = 2x - 8 = 0$.

## Как найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке?

Третий частый вопрос задания 9: «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a;\,b]$». И вот здесь спрятана ошибка, которая стоит балла чаще всего в этой теме, — забыть про концы отрезка.

Разберёмся, почему концы важны. Непрерывная функция на отрезке своё самое большое и самое маленькое значение обязательно где-то принимает. Но эта точка не всегда внутри: функция может расти до самого правого конца или падать до левого, так и не развернувшись внутри отрезка. Тогда рекорд стоит именно на конце, а никакой стационарной точки внутри может и не быть вовсе.

Отсюда рабочий алгоритм. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается **либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов**. Поэтому найди стационарные точки и отбери те, что лежат внутри $[a;\,b]$. Затем вычисли значение функции в них **и на обоих концах** $a$ и $b$, сравни получившиеся числа и выбери самое большое или самое маленькое.

Обрати внимание: сравниваем сами значения $f(x)$, а не точки. И различать минимум и максимум по знакам производной здесь уже не обязательно — достаточно посчитать все значения-кандидаты и сравнить.

Если же вместо отрезка дан открытый промежуток или луч, а внутри него ровно одна стационарная точка, ответ — именно она. Единственный минимум на промежутке — это и есть наименьшее значение, единственный максимум — наибольшее. Но как только появляются концы отрезка, их из рассмотрения не выкидывай.

## Признаки монотонности и экстремума в одной таблице

*Что говорит знак производной о поведении функции*

| Правило | Признак или формула | Что это даёт |
| --- | --- | --- |
| Возрастание | $f'(x) > 0$ на промежутке | Функция возрастает, график идёт вверх слева направо |
| Убывание | $f'(x) < 0$ на промежутке | Функция убывает, график идёт вниз |
| Необходимое условие экстремума | $f'(x_0) = 0$ или производная не существует | Стационарная точка — только кандидат: у x³ в нуле экстремума нет |
| Точка минимума | Знак f' меняется с − на + в точке x₀ | Функция убывала, потом стала возрастать |
| Точка максимума | Знак f' меняется с + на − в точке x₀ | Функция возрастала, потом стала убывать |
| Вершина параболы | $x = -\dfrac{b}{2a}$ | При a > 0 это точка минимума, при a < 0 — максимума |
| График производной (№ 9) | Выше оси — f' > 0, ниже оси — f' < 0 | Пересечение оси со сменой знака — точка экстремума функции |
| Наибольшее и наименьшее на отрезке (№ 9) | Значения f в стационарных точках внутри $[a;\,b]$ и на обоих концах | Сравнить все значения-кандидаты и выбрать самое большое или самое маленькое |

## Разбор: наибольшее значение на отрезке (№ 9)

**Условие.** Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ − 12x + 5 на отрезке [0; 3].

**Решение.**

- **Ищем стационарные точки.** Считаем производную и приравниваем к нулю:
- $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) = 0 \ \Rightarrow\ x = 2 \ \text{или}\ x = -2$
- **Отбираем те, что внутри отрезка.** Отрезок — $[0;\,3]$. Точка $x = 2$ внутри, а $x = -2$ за пределами отрезка — её отбрасываем сразу.
- **Считаем значения-кандидаты:** в стационарной точке внутри и на обоих концах. Именно здесь чаще всего теряют балл — берут только $x = 2$ и забывают про концы.
- $f(0) = 5, \qquad f(2) = 8 - 24 + 5 = -11, \qquad f(3) = 27 - 36 + 5 = -4$
- **Сравниваем три числа** и выбираем наибольшее: $5 > -4 > -11$. Самое большое значение — $5$, и достигается оно на **конце** $x = 0$, а вовсе не в стационарной точке $x = 2$ — там как раз минимум.
- Вот почему концы нельзя пропускать: если бы мы посмотрели только на стационарную точку, получили бы −11 и ошиблись бы в ответе на целых 16.

**Ответ:** 5 (достигается на конце x = 0).

## Как найти точку экстремума или наибольшее значение

1. **Посчитай производную и приравняй к нулю.** Решение уравнения $f'(x) = 0$ даёт стационарные точки — кандидатов в экстремумы. Как дифференцировать — тема кода 4.1; здесь считаем это умение готовым.
2. **Расставь знаки производной на числовой прямой.** Отметь стационарные точки и определи знак $f'$ на каждом промежутке — удобнее всего по множителям разложенной производной. Знак задаёт направление: плюс — возрастает, минус — убывает.
3. **Определи характер каждой точки по смене знака.** С минуса на плюс — точка минимума, с плюса на минус — точка максимума. Знак не сменился — экстремума нет, это просто стационарная точка.
4. **Ответь ровно на заданный вопрос.** Спросили точку — это значение $x$. Спросили наибольшее или наименьшее значение — подставь и найди $y = f(x)$. Это разные ответы.
5. **Для отрезка добавь концы.** Наибольшее и наименьшее значение на $[a;\,b]$ ищи, сравнивая $f$ в стационарных точках внутри и на концах $a$, $b$. Концы — обязательные кандидаты.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. На промежутке (2; 7) производная функции всюду положительна: f'(x) > 0. Как ведёт себя функция на этом промежутке?
   - Возрастает — **верный ответ**
   - Убывает
   - Постоянна
   - Имеет максимум в точке 2

   *Пояснение:* Положительная производная означает, что функция возрастает: скорость изменения больше нуля, значение растёт. Раз f' > 0 на всём промежутке, функция строго возрастает и никакого экстремума внутри нет. Знак производной задаёт именно направление, а не значение функции.

2. Известно, что f'(x₀) = 0. Верно ли, что x₀ — обязательно точка экстремума?
   - Да, всегда
   - Нет: производная должна ещё и сменить знак в этой точке — **верный ответ**
   - Да, если функция непрерывна
   - Нет: там, где f' = 0, экстремума не бывает

   *Пояснение:* Равенство f'(x₀) = 0 — только необходимое условие: это стационарная точка, кандидат в экстремумы. Экстремум есть лишь тогда, когда производная меняет знак при переходе через точку. Контрпример: f(x) = x³, f'(0) = 0, но слева и справа f' > 0 — функция всё время возрастает, экстремума в нуле нет. Последний вариант тоже неверен: экстремумы как раз и ищут среди точек, где f' = 0.

3. Найдите точку минимума функции f(x) = x² − 10x + 3.
   - 5 — **верный ответ**
   - −5
   - 3
   - 10

   *Пояснение:* Производная f'(x) = 2x − 10 обращается в ноль при x = 5. Слева от неё f' < 0 (функция убывает), справа f' > 0 (возрастает) — значит, x = 5 точка минимума. Тот же ответ даёт формула вершины параболы x = −b/(2a) = 10/2 = 5. Число 3 — свободный член, на абсциссу вершины оно не влияет. А число 10 в этой формуле — это −b, поэтому именно оно и задаёт точку минимума.

4. На отрезке [1; 4] производная функции всюду отрицательна. В какой точке функция принимает наибольшее значение на этом отрезке?
   - В точке x = 1 (на левом конце) — **верный ответ**
   - В точке x = 4 (на правом конце)
   - В середине отрезка
   - Наибольшего значения нет

   *Пояснение:* Раз f' < 0 на всём отрезке, функция убывает от левого конца к правому. Самое большое значение стоит в самой левой точке x = 1, самое маленькое — в x = 4. Стационарных точек внутри нет, поэтому ответ дают именно концы отрезка.

5. Чтобы найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b], достаточно вычислить её значения только в стационарных точках внутри отрезка. Так ли это?
   - Да, концы не важны
   - Нет: нужно сравнить значения и в стационарных точках, и на концах a и b — **верный ответ**
   - Да, если стационарная точка одна
   - Нет: достаточно взять только концы

   *Пояснение:* Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри, либо на конце. Поэтому сравнивают значения f во всех стационарных точках внутри И в точках a, b. Пропуск концов — самая частая потеря балла в задании 9: рекорд нередко стоит именно на конце.

6. График производной f'(x) пересекает ось Ox в точке x₀, меняя знак с минуса на плюс. Что это за точка для самой функции f?
   - Точка минимума — **верный ответ**
   - Точка максимума
   - Точка, где f = 0
   - Точка, где функцию нельзя вычислить

   *Пояснение:* Слева от x₀ производная отрицательна — функция убывает, справа положительна — возрастает. Функция сначала падает, потом растёт, значит в x₀ у неё дно — точка минимума. Смена знака производной с минуса на плюс всегда даёт минимум, с плюса на минус — максимум. Про само значение f(x₀) (равно ли оно нулю) график производной ничего не говорит.

## Какие ошибки делают в задачах на экстремумы?

- **Ошибка 1.** **Считают нуль производной сразу экстремумом.** Равенство $f'(x_0) = 0$ — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная **меняет знак**. У $f(x) = x^3$ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.
- **Ошибка 2.** **Забывают концы отрезка в наибольшем/наименьшем значении.** Рекорд непрерывной функции на $[a;\,b]$ достигается в стационарной точке внутри **или на конце**. Считать надо значения и в стационарных точках, и в $a$, и в $b$, а потом сравнивать. Пропустил концы — потерял балл.
- **Ошибка 3.** **Путают точку экстремума и само значение.** Точка максимума — это $x$, где вершина; максимум (наибольшее значение) — это $y = f(x)$ в этой точке. Задание 9 спрашивает то одно, то другое. Перечитай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк.
- **Ошибка 4.** **Неверно расставляют знаки производной.** Знак $f'$ на промежутке определяют по множителям разложенной производной, а не на глаз. Ошибся со знаком на одном участке — и минимум превратился в максимум. Проверяй знак подстановкой любого числа из промежутка.
- **Ошибка 5.** **Путают график функции с графиком её производной.** В задании 9 часто дают именно график $f'(x)$. Возрастание функции читается по тому, что производная **выше оси**, а не по тому, растёт ли сам график производной. Сначала пойми, чей график перед тобой.
- **Ошибка 6.** **Смешивают знак функции со знаком производной.** $f(x) < 0$ не мешает функции возрастать — она может подниматься, оставаясь в минусе. Направление задаёт $f'$, а не сам знак $f$. Это разные вопросы: где график и куда он идёт.

## Запомни для ЕГЭ

- f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает
- f'(x₀) = 0 — стационарная точка, ещё не экстремум
- Экстремум там, где f' меняет знак: − на + минимум, + на − максимум
- $(x^n)' = n x^{n-1}$
- Наиб/наим на [a; b]: сравни f в стационарных точках внутри и на концах a, b
- Точка максимума — это x; наибольшее значение — это y = f(x)

## На экзамене

- Задание 9 стоит 1 балл и решается за 3–4 минуты. Не зависай: связка «знак производной — направление, смена знака — экстремум» закрывает почти все его варианты.
- В задании 9 первым делом пойми, чей график перед тобой — функции или её производной. Если производной, читай по знаку: выше оси — функция растёт, ниже — падает, пересечение со сменой знака — экстремум.
- Если в задании 9 спрашивают наибольшее/наименьшее значение, сразу выписывай кандидатов: стационарные точки внутри отрезка плюс оба конца. Для квадратичной функции точка экстремума — это вершина параболы x = −b/(2a), производная даже не нужна.
- Калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах профиля нет — там всего четыре тригонометрические формулы. Производную $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правила знай наизусть; числа в ответах всегда «хорошие», получился корявый корень — ищи ошибку.
- Перед тем как записать ответ, перечитай вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y). На этой мелочи в задании 9 теряют больше баллов, чем на самой производной.
- Нашёл ответ — проверь его смыслом: точка минимума кубической функции должна лежать там, где производная переходит с минуса на плюс, а наибольшее значение на отрезке не может быть меньше значения на конце. Быстрая сверка ловит арифметику.

## Словарь темы

- **Возрастающая функция** — Функция, у которой на промежутке большему аргументу соответствует большее значение: для любых x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Её график идёт вверх слева направо, а производная на промежутке положительна.
- **Убывающая функция** — Функция, у которой большему аргументу соответствует меньшее значение: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂). График идёт вниз, производная на промежутке отрицательна.
- **Монотонность** — Свойство функции только возрастать или только убывать на промежутке. Промежуток, где функция сохраняет направление, называют промежутком монотонности.
- **Стационарная точка** — Точка, в которой производная равна нулю: f'(x) = 0. Касательная к графику в ней горизонтальна. Это кандидат в экстремумы, но не обязательно экстремум.
- **Критическая точка** — Более широкое понятие, чем стационарная точка: производная в ней либо равна нулю, либо не существует. У многочленов, где производная есть всюду, критические точки совпадают со стационарными — поэтому в этой теме достаточно слова «стационарная».
- **Точка экстремума** — Значение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Определяется по смене знака производной.
- **Наибольшее и наименьшее значение на отрезке** — Самое большое и самое маленькое значение функции на отрезке [a; b]. Для непрерывной функции достигается в стационарной точке внутри отрезка или на одном из его концов.

## Частые вопросы

### Что такое точка экстремума?

Точка экстремума — значение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Её определяют по смене знака производной.

### Что такое монотонность?

Свойство функции только возрастать или только убывать на промежутке. Промежуток, где функция сохраняет направление, называют промежутком монотонности.

### Как решать задания по теме «Монотонность, экстремумы»?

Шаги такие:

1. посчитай производную и приравняй к нулю
2. расставь знаки производной на числовой прямой
3. определи характер каждой точки по смене знака
4. ответь ровно на заданный вопрос
5. для отрезка добавь концы.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Монотонность, экстремумы»?

Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство f'(x₀) = 0 — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У f(x) = x³ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.

### Что нужно запомнить по теме «Монотонность, экстремумы»?

Главное:

1. f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает
2. f'(x₀) = 0 — стационарная точка, ещё не экстремум
3. Экстремум там, где f' меняет знак: − на + минимум, + на − максимум
4. (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 4.2 «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы»; 3.2 «Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции».

**Что сверено по документам:**

- Тема относится к элементам кодификатора ФИПИ о промежутках монотонности, максимумах и минимумах функции и о применении производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы; в КИМ 2027 проверяется заданием 9, куда вошёл и поиск наибольшего и наименьшего значения функции.
- В КИМ 2027 задание 9 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (задания 1–13 с кратким ответом по 1 баллу); отдельного номера на наибольшее и наименьшее значение функции больше нет, эта формулировка вошла в задание 9.
- Достаточный признак монотонности: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0 — убывает.
- Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума производная равна нулю или не существует. Оно не достаточно — стационарная точка не обязана быть экстремумом; контрпример f(x) = x³, f'(0) = 0, экстремума нет.
- Достаточный признак экстремума (первая производная): при переходе через точку смена знака f' с − на + даёт минимум, с + на − — максимум; без смены знака экстремума нет.
- Точка экстремума (точка максимума/минимума) — это значение аргумента x, а наибольшее/наименьшее значение (максимум/минимум) — значение функции y = f(x). Это разные вопросы задания 9.
- Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из концов; концы обязательно включаются в сравнение.
- Наибольшее значение f(x) = x³ − 12x + 5 на отрезке [0; 3] равно 5 и достигается на конце x = 0.
- Точку минимума квадратичной функции можно находить по вершине параболы x = −b/(2a): при a > 0 это минимум, при a < 0 — максимум. Для f(x) = x² − 8x + 3 точка минимума x = 4; для f(x) = x² − 10x + 3 — x = 5.
- По графику производной: где f'(x) выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает, а точки пересечения оси со сменой знака — точки экстремума. Число точек экстремума равно числу пересечений оси со сменой знака.
- На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β)).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/monotonnost-ekstremumy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.