---
title: "Первообразная, интеграл: определение, формулы, примеры"
description: "Первообразная для функции f — это такая функция F, производная которой равна f. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задание 9."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pervoobraznaya-integral/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 9 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Первообразная, интеграл

Первообразная для функции f — это такая функция F, производная которой равна f; первообразных бесконечно много, и отличаются они только постоянным слагаемым. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): по формуле Ньютона–Лейбница находят площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры под графиком функции.

Первообразная — это производная наоборот: дана функция, нужно восстановить ту, из которой она получилась дифференцированием. На профиле тема выходит в задании 9 как задача на площадь криволинейной трапеции — фигуры под графиком. Всё держится на трёх вещах: таблице первообразных, формуле Ньютона–Лейбница и умении не перепутать знак, когда фигура уходит под ось.

**Задание КИМ:** Задание 9 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 9  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое первообразная функции?

Возьми функцию $F(x) = x^2$ и продифференцируй — получишь $f(x) = 2x$. Первообразная задаёт обратный вопрос: дана $f(x) = 2x$, какую функцию нужно было продифференцировать, чтобы её получить? Ответ — $x^2$. Говорят так: **первообразная** для функции $f$ — это такая функция $F$, производная которой равна $f$.

$$
F'(x) = f(x)
$$

Здесь прячется первая тонкость. У функции $f(x) = 2x$ первообразная не одна. Подойдёт и $x^2$, и $x^2 + 5$, и $x^2 - 100$: производная константы равна нулю, поэтому любое постоянное слагаемое при дифференцировании бесследно исчезает. Значит, первообразных **бесконечно много**, и все они отличаются друг от друга только числом-добавкой.

Всю эту семью записывают сразу через знак **неопределённого интеграла**:

$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C
$$

Запись $\int f(x)\,dx$ читается как «все первообразные функции $f$». Буква $C$ — произвольная постоянная; забыть её при поиске неопределённого интеграла значит потерять часть ответа. Для площади эта $C$ позже сама сократится, но в неопределённом интеграле её пишут всегда.

## Как найти первообразную по таблице и правилам?

Раз первообразная — это дифференцирование наоборот, то и таблицу можно читать справа налево из таблицы производных. Несколько строк стоит знать наизусть: на профиле в справочных материалах лежат только четыре тригонометрические формулы, интегралов там нет.

$$
\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$

$$
\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C
$$

$$
\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C
$$

Первая формула — рабочая лошадка задания 9, но у неё есть запрет: **она не работает при $n = -1$**. Причина видна сразу: подставь $n = -1$ — в знаменателе окажется $n + 1 = 0$, а делить на ноль нельзя. Для этого единственного случая $f(x) = 1/x$ первообразная другая — $\ln|x|$, и обязательно с **модулем**: логарифм определён только для положительных чисел, а $1/x$ существует и при отрицательных $x$ — модуль как раз это и исправляет.

Дальше два правила, которые превращают таблицу в инструмент. **Постоянный множитель** выносится за знак интеграла, а **интеграл суммы** равен сумме интегралов:

$$
\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
$$

Этого хватает, чтобы взять первообразную любого многочлена — по слагаемым. Например, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = 3\cdot\tfrac{x^3}{3} + 4\cdot\tfrac{x^2}{2} = x^3 + 2x^2$ (плюс $C$). Проверить себя можно обратным ходом: продифференцируй $x^3 + 2x^2$ — вернётся $3x^2 + 4x$. Совпало — значит, первообразная найдена верно.

## Как вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона–Лейбница?

Неопределённый интеграл — это функция (точнее, целая семья функций). А площадь — это число. Чтобы из первообразной получить число, у интеграла ставят **пределы**: нижний $a$ и верхний $b$. Получается **определённый интеграл** $\int_a^b f(x)\,dx$, и считается он по **формуле Ньютона–Лейбница**:

$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$

Словами: находишь любую первообразную $F$, подставляешь верхний предел, потом нижний, и вычитаешь второе из первого. Порядок важен — сначала $F(b)$, затем минус $F(a)$; переставишь местами — получишь ответ с противоположным знаком.

Теперь видно, почему постоянную $C$ в определённом интеграле не пишут. Возьми первообразную вместе с ней, $F(x) + C$, и подставь в формулу: $(F(b) + C) - (F(a) + C)$. Обе $C$ сокращаются, остаётся чистое $F(b) - F(a)$. Поэтому берут самую простую первообразную, с $C = 0$, и про добавку больше не думают.

Посчитаем для примера $\int_1^2 x^2\,dx$. Первообразная $x^3/3$, дальше по формуле:

$$
\int_1^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}
$$

Вертикальная черта с пределами — это просто удобная запись того же вычитания: «подставь 2, потом 1, вычти». Пока перед нами чистая арифметика — но именно так будет считаться и площадь под графиком.

## Площадь криволинейной трапеции

Вот главное, ради чего тема попала в задание 9. **Криволинейная трапеция** — это фигура, ограниченная сверху графиком $y = f(x)$, снизу осью $Ox$, а с боков — вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$. Если на всём отрезке $[a; b]$ график не опускается ниже оси, то есть $f(x) \geqslant 0$, её площадь равна определённому интегралу:

$$
S = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$

Ради этого мы и возились с первообразными: площадь фигуры с кривой границей, которую не берёт ни одна формула из геометрии, сводится к вычитанию двух значений первообразной. Условие $f(x) \geqslant 0$ — не формальность: без него формула даёт неверный знак.

В задании 9 площадь спрашивают двумя способами. Либо дают формулу функции и просят посчитать интеграл, как мы сейчас сделаем в разборе. Либо дают **график** с закрашенной фигурой: тогда площадь иногда быстрее найти, посчитав целые клетки под кривой, — если по условию каждая клетка равна единице площади. И постоянная ловушка чтения графика: смотри, что именно нарисовано — график самой функции $f$ или её первообразной $F$. Если дан график $f$, площадь считают интегрированием; а если сразу график $F$, то ответ — это просто разность его значений $F(b) - F(a)$, без всякого интегрирования.

*Рисунок: Криволинейная трапеция под графиком f между x = a и x = b. При f ≥ 0 её площадь S равна определённому интегралу от a до b*

![Площадь под неотрицательным графиком функции между точками a и b](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/pervoobraznaya-integral-1.png)

*Для неотрицательной функции определённый интеграл от a до b равен площади под графиком.*

## Когда фигура ниже оси или между двумя кривыми

Формула $S = \int_a^b f\,dx$ честно работает, только пока график выше оси. Если на отрезке $f(x) \leqslant 0$, интеграл выйдет **отрицательным** — а площадь отрицательной не бывает. Дело не в ошибке: определённый интеграл считает площадь **со знаком**. То, что над осью, идёт с плюсом, то, что под осью, — с минусом. Чтобы получить обычную, положительную площадь фигуры под осью, у интеграла просто меняют знак:

$$
S = -\int_a^b f(x)\,dx \qquad (f(x) \leqslant 0 \text{ на } [a;b])
$$

Если же фигура зажата между **двумя** графиками — сверху $y = f(x)$, снизу $y = g(x)$, — её площадь считают через интеграл их **разности**, верхняя минус нижняя:

$$
S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx
$$

Пределы $a$ и $b$ здесь — абсциссы точек пересечения графиков, их находят из уравнения $f(x) = g(x)$. Легко ошибиться в том, какая функция сверху: перепутаешь местами — получишь ответ с минусом. Быстрая проверка — подставь любую точку между $a$ и $b$: чьё значение больше, та функция и есть верхняя. Заодно приём с разностью снимает вопрос про знак: он работает, даже если часть фигуры ушла под ось.

Например, парабола $y = x^2$ и прямая $y = x + 2$ пересекаются там, где $x^2 = x + 2$, то есть при $x = -1$ и $x = 2$. Между ними прямая идёт выше параболы, поэтому:

$$
S = \int_{-1}^{2} \big((x + 2) - x^2\big)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = 4{,}5
$$

*Рисунок: Определённый интеграл считает площадь со знаком: над осью — плюс, под осью — минус. Для площади фигуры под осью знак интеграла меняют*

## Формулы первообразной и интеграла в одной таблице

*От таблицы первообразных до площади фигуры: формула, смысл и условие*

| Формула | Что она даёт | Условие и тонкость |
| --- | --- | --- |
| $F'(x) = f(x)$ | Определение первообразной F для функции f | Проверка обратным ходом: продифференцируй F — должна вернуться f |
| $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ | Все первообразные сразу (неопределённый интеграл) | Постоянную C в неопределённом интеграле пишут всегда |
| $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | Первообразная степени | Только при n ≠ −1: иначе в знаменателе ноль |
| $\int \dfrac{dx}{x} = \ln\|x\| + C$ | Единственный случай n = −1 | Обязательно с модулем |
| $\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$ | Тригонометрические первообразные | У первообразной синуса знак минус |
| $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$; интеграл суммы — сумма интегралов | Первообразная многочлена по слагаемым | Постоянный множитель выносится за знак интеграла |
| $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ | Определённый интеграл (формула Ньютона–Лейбница) | Сначала F(b), потом минус F(a); C сокращается |
| $S = \int_a^b f(x)\,dx$ | Площадь криволинейной трапеции | Только если f(x) ≥ 0 на [a; b] |
| $S = -\int_a^b f(x)\,dx$ | Площадь фигуры под осью | Если f(x) ≤ 0 на [a; b]: интеграл считает площадь со знаком |
| $S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ | Площадь между двумя графиками | Верхняя функция минус нижняя; a и b — корни уравнения f(x) = g(x) |

## Разбор: площадь под параболой

**Условие.** Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 3x², осью Ox и прямыми x = 1 и x = 2.

**Решение.**

- Сначала проверим главное условие. На отрезке $[1; 2]$ функция $y = 3x^2$ положительна: квадрат неотрицателен, а множитель 3 знак не меняет. Значит, фигура — обычная криволинейная трапеция, и её площадь равна интегралу $S = \int_1^2 3x^2\,dx$.
- Находим первообразную: выносим множитель 3 и применяем табличную формулу для $x^2$ (степень $n = 2$, значит $n + 1 = 3$):
- $F(x) = \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} = x^3$
- Множитель 3 удачно сократился с тройкой в знаменателе — первообразная вышла совсем простой. Теперь формула Ньютона–Лейбница: подставляем верхний предел 2, потом нижний 1, и вычитаем.
- $S = x^3 \Big|_1^2 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$
- Проверим обратным ходом: производная $x^3$ равна $3x^2$ — исходная функция вернулась, первообразная верна. Площадь получилась целым числом, как и должно быть в ответе задания части 1.

**Ответ:** S = 7.

## Как найти площадь фигуры через интеграл?

1. **Проверь знак функции на отрезке.** Если $f(x) \geqslant 0$ на всём $[a; b]$ — площадь равна интегралу напрямую. Если график уходит под ось, интеграл даст знак минус, и площадь берут с обратным знаком.
2. **Найди первообразную.** Разбей функцию на слагаемые, вынеси числовые множители, к каждому слагаемому примени табличную формулу. Постоянную $C$ в определённом интеграле не пиши — она всё равно сократится.
3. **Подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница.** Сначала верхний предел $b$, потом нижний $a$, и вычти: $F(b) - F(a)$. Порядок не переставляй.
4. **Для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность.** Пределы — точки пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$, под интегралом — верхняя функция минус нижняя.
5. **Проверь ответ.** Продифференцируй первообразную — должна вернуться исходная функция. И убедись, что площадь положительна: отрицательный результат — верный признак потерянного знака.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 9 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Какая функция является первообразной для f(x) = 1/x?
   - $\ln|x| + C$ — **верный ответ**
   - $\ln x + C$ (без модуля)
   - $-1/x^2 + C$
   - $x^0 + C$

   *Пояснение:* Степенная формула xⁿ⁺¹/(n+1) при n = −1 не работает: в знаменателе появился бы ноль. Для 1/x первообразная — ln|x|, и модуль обязателен: без него функция была бы не определена при отрицательных x, где 1/x спокойно существует.

2. F — первообразная функции f на отрезке [a; b]. Чему равен определённый интеграл от a до b от f(x) dx?
   - $F(b) - F(a)$ — **верный ответ**
   - $F(a) - F(b)$
   - $f(b) - f(a)$
   - $F(b) + F(a)$

   *Пояснение:* Формула Ньютона–Лейбница: подставляем в первообразную сначала верхний предел, потом нижний, и вычитаем — F(b) − F(a). Перестановка местами даёт ответ с противоположным знаком, а подставлять нужно именно первообразную F, а не саму f.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = 2x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 3.
   - 9 — **верный ответ**
   - 6
   - 18
   - 3

   *Пояснение:* На отрезке [0; 3] функция положительна, поэтому S = ∫₀³ 2x dx = x²|₀³ = 9 − 0 = 9. Здесь фигура — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, и его площадь ½·3·6 = 9 совпадает: интеграл и геометрия дают один ответ.

4. График функции f на отрезке [a; b] целиком лежит ниже оси Ox. Чему равна площадь фигуры между графиком и осью?
   - $-\int_a^b f(x)\,dx$ — **верный ответ**
   - $\int_a^b f(x)\,dx$
   - Площадь равна нулю
   - Такую площадь найти нельзя

   *Пояснение:* Под осью интеграл получается отрицательным, а площадь отрицательной не бывает. Значит, берём интеграл с обратным знаком: S = −∫ₐᵇ f(x) dx, и результат выходит положительным. Сам интеграл здесь — это площадь со знаком минус, а не готовый ответ.

5. Сколько различных первообразных у функции f(x) = 2x?
   - Бесконечно много — они отличаются на постоянное слагаемое — **верный ответ**
   - Ровно одна — это $x^2$
   - Две
   - Ни одной

   *Пояснение:* Если x² — первообразная, то и x² + 5, и x² − 3 тоже: производная константы равна нулю, поэтому добавление любого числа ничего не меняет. Первообразных бесконечно много, и записывают их все сразу как x² + C.

## Какие ошибки делают в задачах на первообразную и интеграл?

- **Ошибка 1.** **Применяют степенную формулу к $1/x$.** Формула $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$ запрещена при $n = -1$ — там деление на ноль. Первообразная для $1/x$ — это $\ln|x|$, и модуль обязателен.
- **Ошибка 2.** **Путают порядок в формуле Ньютона–Лейбница.** Всегда $F(b) - F(a)$: из значения в верхнем пределе вычитают значение в нижнем. Перестановка даёт ответ с противоположным знаком, а в площади это сразу выглядит как отрицательное число.
- **Ошибка 3.** **Берут интеграл как площадь, когда фигура под осью.** Если $f(x) < 0$ на отрезке, интеграл отрицателен. Это площадь со знаком, а не сама площадь. Настоящую площадь получают, сменив знак: $S = -\int_a^b f\,dx$.
- **Ошибка 4.** **В площади между кривыми вычитают не в ту сторону.** Под интегралом должна стоять **верхняя** функция минус нижняя. Перепутал — получил минус. Проверь, какая функция выше, подстановкой любой точки между пределами.
- **Ошибка 5.** **Забывают проверить первообразную обратным ходом.** Нашёл первообразную — продифференцируй её. Если не вернулась исходная функция, где-то потерян множитель или знак. Эта проверка занимает секунды и ловит почти любую ошибку.
- **Ошибка 6.** **Путают график $f$ и график $F$.** В задании 9 по картинке важно понять, что нарисовано: сама функция или её первообразная. Площадь под графиком $f$ — это $F(b) - F(a)$, но если дан уже график $F$, ответ читается прямо с него, без интегрирования.

## Запомни для ЕГЭ

- $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1$
- $\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$
- $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- $S = \int_a^b f(x)\,dx \ \ (f \geqslant 0)$
- $S = -\int_a^b f(x)\,dx \ \ (f \leqslant 0)$
- $S = \int_a^b (f - g)\,dx \ \ (f \text{ — верхняя})$
- В определённом интеграле C не пишут — она сокращается

## На экзамене

- Задание 9 базовое, 1 балл — держи темп 3–5 минут. Тип «на площадь» узнаётся сразу по словам «площадь фигуры» или по закрашенной области на рисунке.
- Первым делом реши, что тебе дали. Формула функции — считай интеграл. График с сеткой — иногда быстрее сосчитать целые клетки под кривой, если по условию клетка равна единице площади.
- Перед интегрированием глянь, не уходит ли график под ось на этом отрезке. Уходит — готовься сменить знак или считать по модулю, иначе площадь выйдет отрицательной.
- Ответ задания 9 — целое число или конечная десятичная дробь. Получил громоздкую дробь вроде $7/3$ — это сигнал перепроверить пределы и первообразную: в бланк такое почти никогда не идёт.
- Секундная проверка первообразной — продифференцировать её обратно. Вернулась исходная функция — можно подставлять пределы. Это дешевле, чем потом искать ошибку во всём решении.

## Словарь темы

- **Первообразная** — Функция F, производная которой равна данной функции f (то есть F′ = f). Отвечает на вопрос «что нужно продифференцировать, чтобы получить f».
- **Неопределённый интеграл** — Множество всех первообразных функции f, записывается ∫ f(x) dx = F(x) + C. Результат — целая семья функций, отличающихся на постоянное слагаемое.
- **Определённый интеграл** — Число, равное F(b) − F(a), где F — первообразная f, а a и b — нижний и верхний пределы. Для неотрицательной функции равно площади под графиком.
- **Криволинейная трапеция** — Фигура, ограниченная сверху графиком y = f(x), снизу осью Ox и по бокам прямыми x = a, x = b. При f ≥ 0 её площадь равна ∫ₐᵇ f(x) dx.
- **Формула Ньютона–Лейбница** — Правило вычисления определённого интеграла: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Связывает интеграл с первообразной.
- **Постоянная интегрирования** — Произвольное число C в записи неопределённого интеграла F(x) + C. Возникает потому, что производная константы равна нулю; в определённом интеграле сокращается.

## Частые вопросы

### Что такое первообразная?

Первообразная для функции f — такая функция F, производная которой равна f. Первообразных у функции бесконечно много, и все они отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

### Как найти площадь фигуры через интеграл?

Шаги такие:

1. проверь знак функции на отрезке
2. найди первообразную
3. подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница
4. для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность
5. проверь ответ.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Первообразная, интеграл»?

Применяют степенную формулу к 1/x. Формула ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) запрещена при n = -1 — там деление на ноль. Первообразная для 1/x — это ln|x|, и модуль обязателен.

### Что нужно запомнить по теме «Первообразная, интеграл»?

Главное:

1. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1
2. ∫dx/x = ln|x| + C
3. ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
4. S = ∫ₐᵇ f(x) dx (f ≥ 0)
5. S = -∫ₐᵇ f(x) dx (f ≤ 0)
6. S = ∫ₐᵇ (f - g) dx (f — верхняя).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 4.3 «Первообразная. Интеграл».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 4.3 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Первообразная, интеграл (площадь криволинейной трапеции)», проверяется заданием 9.
- Первообразная функции f — это функция F, для которой F'(x) = f(x); первообразных бесконечно много, они отличаются на постоянное слагаемое, а всё семейство записывается неопределённым интегралом ∫f(x)dx = F(x) + C.
- Табличные первообразные: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C только при n ≠ −1; ∫dx/x = ln|x| + C (с модулем); ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.
- Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов.
- Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); постоянная C при этом сокращается.
- Площадь криволинейной трапеции (фигуры под графиком y = f(x) между x = a и x = b при f ≥ 0) равна S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Если график лежит ниже оси (f ≤ 0), площадь фигуры равна −∫ₐᵇ f(x) dx, потому что определённый интеграл даёт площадь со знаком.
- Площадь фигуры между двумя графиками (сверху f, снизу g) равна S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, где a и b — абсциссы точек пересечения из уравнения f(x) = g(x).
- Задание 9 — базовый уровень, 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь; в него входит нахождение площади с помощью интеграла.
- ∫₁² x² dx = 7/3; площадь под графиком y = 3x² на отрезке [1; 2] равна 7; ∫₀³ 2x dx = 9.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Таблица интегралов и первообразных](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pervoobraznaya-integral/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.