---
title: "Показательные и логарифмические функции: как решать, примеры"
description: "Показательная функция — это функция вида y = aˣ с постоянным основанием a > 0, a ≠ 1. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 12, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funkcii/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 12 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Показательные и логарифмические функции

Показательная функция — это функция вида y = aˣ с постоянным основанием a > 0, a ≠ 1; она определена при всех x и принимает только положительные значения, а логарифмическая с тем же основанием ей обратна. На ЕГЭ тема нужна в задании 12 (1 балл), где функцию восстанавливают по графику; её наибольшее значение с 2027 года ищут в задании на производную.

Показательная и логарифмическая функции — зеркальное отражение друг друга. Одна определена при всех x, но всегда положительна; вторая живёт только при положительном аргументе. На ЕГЭ они держат задание 12 (восстановить функцию по графику) и пригодятся в развёрнутом задании 17. Главные ловушки темы — направление монотонности при основании меньше единицы и путаница области определения с множеством значений.

**Задание КИМ:** Задание 12 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое показательная функция y = aˣ и какие у неё свойства?

Показательная функция — это $y = a^x$, где основание $a$ фиксировано, а показатель $x$ пробегает все значения. Чтобы степень $a^x$ имела смысл при любом $x$ — целом, дробном, иррациональном, — на основание накладывают два условия:

$$
a > 0, \quad a \neq 1
$$

При $a = 1$ вышла бы скучная прямая $y = 1$ — её из рассмотрения исключают. Три свойства графика надо знать наизусть: именно из них собирается всё задание 12.

**Область определения — все действительные числа.** В показатель можно поставить любое число, запретов нет.

**Множество значений — только положительные числа** $y > 0$. Положительное основание в любой степени остаётся положительным: $2^{10} = 1024$, а $2^{-10} = \tfrac{1}{1024}$ — мало, но всё равно больше нуля. График целиком лежит выше оси Ox и никогда её не пересекает.

**График всегда проходит через точку $(0;\,1)$**, потому что $a^0 = 1$ при любом основании. Это точка, за которую удобно зацепиться глазом на любом графике показательной функции.

Ось Ox — **горизонтальная асимптота**: график подходит к прямой $y = 0$ сколь угодно близко, но не касается её. С одной стороны от нуля функция стремительно растёт, с другой — прижимается к оси.

Куда именно она растёт, а куда прижимается, решает основание. **Если $a > 1$ — функция возрастает** (чем больше $x$, тем больше $y$). **Если $0 < a < 1$ — убывает.** Это и есть первая ловушка темы: при основании меньше единицы график идёт вниз слева направо, хотя по привычке его рисуют растущим.

*Рисунок: Показательная функция: при a > 1 (синяя) возрастает, при 0 < a < 1 (оранжевая) убывает; обе проходят через точку (0; 1)*

## Как устроена логарифмическая функция y = logₐx?

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ — это показательная, вывернутая наизнанку. Основание подчиняется тем же условиям $a > 0,\ a \neq 1$, а вот с аргументом всё меняется местами.

**Область определения — только положительные числа** $x > 0$. Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не существуют: под знаком $\log$ обязано стоять что-то строго больше нуля. График целиком лежит правее оси Oy.

**Множество значений — все действительные числа.** Логарифм спокойно бывает и большим положительным, и большим отрицательным: $\log_2 1024 = 10$, а $\log_2 \tfrac{1}{1024} = -10$.

**График всегда проходит через точку $(1;\,0)$**, потому что $\log_a 1 = 0$ при любом основании.

Ось Oy — **вертикальная асимптота**: у самого нуля график уходит вниз (при $a > 1$) или вверх (при $0 < a < 1$) сколь угодно круто, но прямой $x = 0$ не достигает.

Монотонность — по тому же правилу, что у показательной: **при $a > 1$ возрастает, при $0 < a < 1$ убывает.** Логарифм по основанию 2 растёт, логарифм по основанию $\tfrac{1}{2}$ падает.

*Рисунок: Логарифмическая функция: при a > 1 (синяя) возрастает, при 0 < a < 1 (оранжевая) убывает; обе проходят через (1; 0), ось Oy — вертикальная асимптота*

## Одна пара, симметричная относительно y = x

Показательная и логарифмическая функции с одним основанием — **взаимно обратные**. Одна отменяет действие другой: возведёшь в степень, а потом возьмёшь логарифм по тому же основанию — вернёшься к исходному числу.

$$
\log_a a^{\,x} = x, \qquad a^{\log_a x} = x
$$

У взаимно обратных функций графики **симметричны относительно прямой $y = x$** — той самой биссектрисы первого и третьего координатных углов. Отрази график показательной функции в этой прямой, как в зеркале, — получишь график логарифмической.

Эта симметрия — не украшение, а способ не запутаться. Она объясняет, почему у функций всё переставлено местами.

**Область определения одной равна множеству значений другой.** У показательной область определения — вся ось, у логарифмической — только $x > 0$. У показательной значения только $y > 0$, у логарифмической — вся ось. Ровно здесь и путаются: $y > 0$ — это про показательную (её значения), а $x > 0$ — про логарифмическую (её аргумент).

**Точки и асимптоты тоже меняются местами.** Показательная проходит через $(0;\,1)$ — логарифмическая через $(1;\,0)$, координаты просто переставлены. Горизонтальная асимптота $y = 0$ превращается в вертикальную $x = 0$.

*Рисунок: Графики y = 2ˣ и y = log₂x симметричны относительно прямой y = x: точка (0; 1) переходит в точку (1; 0)*

![Графики показательной и логарифмической функций, симметричные относительно прямой y равно x](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funkcii-1.png)

*У взаимно обратных функций координаты соответствующих точек меняются местами.*

## Как их спрашивают на ЕГЭ

Обе функции монотонны — возрастают или убывают на всей своей области без единого перегиба. На этом свойстве и держатся оба типа вопросов, где тема встречается: задание 12 и поиск наибольшего и наименьшего значения (с 2027 года эта формулировка входит в задание 9).

**Задание 12 — восстановить функцию по графику.** Тебе дают график и формулу с неизвестным параметром, например $y = a^x$ или $y = \log_a x$, и одну точку, через которую график проходит. Приём один: подставь координаты точки в формулу и реши получившееся равенство относительно параметра. Показательную от логарифмической на графике различают по асимптоте — горизонтальная у показательной, вертикальная у логарифмической.

**Задание 9 — наибольшее и наименьшее значение функции.** Здесь важно различать два случая. Если перед тобой **чистая** $y = a^x$ или $y = \log_a x$, она строго монотонна, экстремумов внутри нет, и на отрезке $[m;\,n]$ крайние значения лежат **только на концах**: у возрастающей наименьшее — в левом конце, наибольшее — в правом, у убывающей наоборот. Тогда достаточно подставить оба конца и сравнить, производная не нужна.

Но голая показательная или логарифмическая в задачах на наибольшее и наименьшее значение почти не встречается — она слишком проста. Обычно там стоит **произведение или композиция**, например $y = (2x - 3)\cdot 2^x$ или $y = \ln(x^2 + 1)$. Такая функция уже не монотонна, приём с концами не работает — нужна производная и поиск стационарной точки. Поэтому правило простое: сначала проверь монотонность, и только для строго монотонной функции подставляй концы без производной.

Та же монотонность помогает сравнивать числа без калькулятора. Что больше — $\log_2 5$ или $\log_2 7$? Функция $\log_2 x$ возрастает, а $7 > 5$, значит $\log_2 7 > \log_2 5$. А вот у основания $\tfrac{1}{2}$ знак перевернётся: большему аргументу отвечает меньшее значение.

## Чем показательная функция отличается от логарифмической?

*Свойства двух взаимно обратных функций с одним основанием a*

| Свойство | Показательная y = aˣ | Логарифмическая y = logₐx |
| --- | --- | --- |
| Основание | $a > 0,\ a \neq 1$ | $a > 0,\ a \neq 1$ |
| Область определения | Все действительные числа | Только $x > 0$ |
| Множество значений | Только $y > 0$ | Все действительные числа |
| Опорная точка графика | $(0;\,1)$, так как a⁰ = 1 | $(1;\,0)$, так как logₐ1 = 0 |
| Асимптота | Горизонтальная: ось Ox, y = 0 | Вертикальная: ось Oy, x = 0 |
| При $a > 1$ | Возрастает | Возрастает |
| При $0 < a < 1$ | Убывает | Убывает |
| Крайние значения на отрезке [m; n] | Только на концах отрезка | Только на концах отрезка |

## Разбор: восстановить показательную функцию

**Условие.** Показательная функция y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) проходит через точку (3; 8). Найди значение этой функции при x = −2.

**Решение.**

- Подставь координаты известной точки в формулу: возьми $x = 3$ и $y = 8$.
- $a^3 = 8$
- Найди положительное основание, которое в кубе даёт 8. Это $a = 2$; условие $a > 0$ отсекает любые другие варианты. Функция найдена: $y = 2^x$.
- Теперь подставь нужное значение $x = -2$:
- $y = 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
- Отрицательный показатель дал не отрицательное число, а маленькую положительную дробь — ровно как обещает множество значений $y > 0$.

**Ответ:** 0,25.

## Как восстановить показательную или логарифмическую функцию по графику?

1. **Определи тип функции по асимптоте.** График жмётся к горизонтальной прямой — показательная $y = a^x$. К вертикальной, то есть к оси Oy, — логарифмическая $y = \log_a x$.
2. **Определи основание по направлению.** Возрастает слева направо — основание $a > 1$. Убывает — $0 < a < 1$. Это сразу отсекает половину вариантов ответа.
3. **Найди якорную точку.** У показательной это $(0;\,1)$, у логарифмической — $(1;\,0)$. Она есть на графике всегда и помогает не спутать тип.
4. **Подставь данную точку в формулу** и реши равенство относительно параметра. Одна точка — одно уравнение — один параметр.
5. **Проверь ответ на разумность.** Основание положительно и не равно единице. Если получилось $a = 1$ или $a < 0$ — где-то ошибка.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Каково множество значений показательной функции y = 3ˣ?
   - Все действительные числа
   - Только y > 0 — **верный ответ**
   - Только y ≥ 0
   - Только y > 1

   *Пояснение:* Положительное основание в любой степени остаётся положительным, поэтому значения показательной функции строго больше нуля: y > 0. Ноль и отрицательные числа недостижимы — график не касается оси Ox. Вариант y ≥ 0 неверен именно из-за нуля: его функция не принимает.

2. Какова область определения функции y = log₅x?
   - Все действительные числа
   - x > 0 — **верный ответ**
   - x ≥ 0
   - x ≠ 0

   *Пояснение:* Под знаком логарифма может стоять только строго положительное число, поэтому область определения — x > 0. Ноль и отрицательные значения аргумента запрещены, значит x ≥ 0 и x ≠ 0 не подходят.

3. Функция y = (1/3)ˣ возрастает или убывает?
   - Возрастает
   - Убывает — **верный ответ**
   - Постоянна
   - То возрастает, то убывает

   *Пояснение:* Основание 1/3 лежит между нулём и единицей (0 < a < 1), поэтому показательная функция убывает: чем больше x, тем меньше y. Это и есть главная ловушка темы — по привычке такой график рисуют растущим.

4. Через какую точку проходит график любой функции вида y = logₐx?
   - (0; 1)
   - (1; 0) — **верный ответ**
   - (0; 0)
   - (1; 1)

   *Пояснение:* logₐ1 = 0 при любом основании, потому что a⁰ = 1. Значит график проходит через (1; 0). Точку (0; 1) проходит показательная функция — у обратной функции координаты переставлены местами.

5. Чему равно наибольшее значение функции y = 2ˣ на отрезке [−1; 3]?
   - 1/2
   - 2
   - 8 — **верный ответ**
   - Достигается внутри отрезка

   *Пояснение:* Показательная функция монотонна, экстремумов внутри нет, поэтому крайние значения лежат на концах отрезка. Функция возрастает, значит наибольшее — в правом конце: y(3) = 2³ = 8. В левом конце наименьшее: y(−1) = 1/2.

## Какие ошибки делают с показательной и логарифмической функциями?

- **Ошибка 1.** **Рисуют убывающую функцию растущей.** При основании $0 < a < 1$ и показательная, и логарифмическая функции **убывают** — идут вниз слева направо. График $y = (1/2)^x$ падает, а не растёт. На этом построены дистракторы задания 12.
- **Ошибка 2.** **Путают область определения логарифма и множество значений показательной.** У логарифмической функции ограничен **аргумент**: $x > 0$. У показательной ограничены **значения**: $y > 0$. Это разные вещи на разных осях, и менять их местами нельзя.
- **Ошибка 3.** **Считают, что показательная функция бывает нулём или отрицательной.** $a^x$ всегда строго положительно, поэтому равенство вида $2^x = -4$ или $2^x = 0$ решений не имеет: график не пересекает ось Ox.
- **Ошибка 4.** **Берут логарифм нуля или отрицательного числа.** $\log_a 0$ и $\log_a(-5)$ не существуют. На графике это значит, что левее оси Oy логарифмической кривой нет вообще.
- **Ошибка 5.** **Думают, что график пересекает свою асимптоту.** Показательная подходит к оси Ox, логарифмическая — к оси Oy, но ни одна из них своей асимптоты не достигает и не пересекает. Точки пересечения с этой осью на графике нет.

## Запомни для ЕГЭ

- y = aˣ: область — вся ось, значения — только y > 0
- y = logₐx: область — только x > 0, значения — вся ось
- Показательная проходит через точку (0; 1)
- Логарифмическая проходит через точку (1; 0)
- a > 1 — возрастает; 0 < a < 1 — убывает
- Асимптота: y = 0 у показательной, x = 0 у логарифмической

## На экзамене

- Задание 12 стоит 1 балл и решается за пару минут: подставил точку в формулу — нашёл параметр. Не выводи функцию с нуля, работай с готовой формулой из условия.
- На графике первым делом смотри на асимптоту. Кривая прижимается к горизонтальной оси — перед тобой показательная; к вертикальной — логарифмическая. Это отсекает лишние варианты быстрее всего.
- Направление важнее вида формулы: возрастает — основание больше единицы, убывает — меньше. Если среди вариантов есть и то и другое основание, направление графика сразу оставляет только один.
- В задании 9 на наибольшее и наименьшее значение приём «крайние значения — на концах отрезка» работает только для строго монотонной функции: голой $y = a^x$ или $y = \log_a x$. Если же в условии стоит произведение или композиция с показательной или логарифмической, функция уже не монотонна — без производной и стационарной точки не обойтись. Сначала проверь монотонность, потом решай, нужна ли производная.
- Держи в голове две якорные точки: $(0;\,1)$ для показательной и $(1;\,0)$ для логарифмической. Если график якобы показательной не проходит через $(0;\,1)$, значит перед тобой не чистая $y = a^x$, а сдвинутая или домноженная — читай формулу внимательнее.

## Словарь темы

- **Показательная функция** — Функция вида y = aˣ с постоянным основанием a > 0, a ≠ 1. Определена при всех x, принимает только положительные значения.
- **Логарифмическая функция** — Функция вида y = logₐx с основанием a > 0, a ≠ 1. Определена только при x > 0, принимает любые значения. Обратна показательной с тем же основанием.
- **Область определения** — Множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. У показательной — вся числовая ось, у логарифмической — только положительные числа.
- **Множество значений** — Множество значений, которые функция реально принимает. У показательной — только положительные числа, у логарифмической — вся числовая ось.
- **Асимптота** — Прямая, к которой график подходит сколь угодно близко, но не пересекает её. У показательной это ось Ox, у логарифмической — ось Oy.
- **Взаимно обратные функции** — Пара функций, каждая из которых отменяет действие другой. Их графики симметричны относительно прямой y = x. Показательная и логарифмическая с одним основанием — такая пара.
- **Монотонность** — Свойство функции всюду возрастать или всюду убывать. И показательная, и логарифмическая монотонны: направление задаёт основание.

## Частые вопросы

### Что такое показательная функция?

Показательная функция — функция вида y = aˣ с постоянным основанием a > 0, a ≠ 1. Она определена при всех x и принимает только положительные значения, а логарифмическая функция с тем же основанием ей обратна.

### Как решать задания по теме «Показательные и логарифмические функции»?

Шаги такие:

1. определи тип функции по асимптоте
2. определи основание по направлению
3. найди якорную точку
4. подставь данную точку в формулу
5. проверь ответ на разумность.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Показательные и логарифмические функции»?

Рисуют убывающую функцию растущей. При основании 0 убывают — идут вниз слева направо. График y = (1/2)ˣ падает, а не растёт. На этом построены дистракторы задания 12.

### Что нужно запомнить по теме «Показательные и логарифмические функции»?

Главное:

1. y = aˣ: область — вся ось, значения — только y > 0
2. y = logₐx: область — только x > 0, значения — вся ось
3. Показательная проходит через точку (0; 1)
4. Логарифмическая проходит через точку (1; 0).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 3.5 «Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 3.5 кодификатора ФИПИ по математике (профиль); в КИМ 2027 графики функций проверяет задание 12, а наибольшее и наименьшее значение функции входит в задание 9.
- Показательная функция y = aˣ определена при a > 0, a ≠ 1; область определения — все действительные числа, множество значений — y > 0; график проходит через (0; 1); ось Ox — горизонтальная асимптота; при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
- Логарифмическая функция y = logₐx определена при a > 0, a ≠ 1; область определения — x > 0, множество значений — все действительные числа; график проходит через (1; 0); ось Oy — вертикальная асимптота; монотонность по тому же правилу, что у показательной.
- Показательная и логарифмическая функции с одним основанием взаимно обратны; их графики симметричны относительно прямой y = x, а область определения одной равна множеству значений другой.
- Задание 12 (в КИМ 2026 — задание 11) сводится к восстановлению функции по графику: в готовую формулу с параметром подставляют координаты данной точки и решают относительно параметра.
- Наибольшее/наименьшее значение функции в КИМ 2026 было заданием 12, с 2027 года эта формулировка входит в задание 9; для монотонной функции (показательной или логарифмической) экстремальные значения на отрезке достигаются на его концах.
- Монотонность позволяет сравнивать значения без калькулятора: для возрастающей функции большему аргументу отвечает большее значение, для убывающей — меньшее.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-12/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/)
- [Показательная функция y = aˣ: график и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funkcii/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.