---
title: "Показательные уравнения/неравенства: как решать, примеры"
description: "Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени; его ОДЗ. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 7, 14, 16."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Показательные уравнения/неравенства

Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени; его ОДЗ — все действительные числа, а первый ход — привести обе части к одному основанию. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла).

Показательное уравнение решается одним переходом: равны основания — равны и показатели. Вся сложность темы в двух местах: не потерять условие t > 0 при замене и не перепутать знак неравенства, когда основание меньше единицы. Одна и та же теория даёт задание 7 за 1 балл и задания 14 и 16 — по 2 балла.

**Задание КИМ:** Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 7  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Почему показательная функция всегда положительна?

Показательная функция — это $y = a^x$, где основание $a$ — фиксированное число, а переменная сидит в показателе. На основание наложены два условия. Во-первых, $a > 0$ — чтобы степень имела смысл при любом действительном показателе. Во-вторых, $a \neq 1$ — потому что $1^x$ тождественно равна единице и никакой информации об $x$ не несёт.

Первое свойство, ради которого стоит читать дальше: **показательная функция принимает только положительные значения**. Ни при каком показателе $2^x$ не станет нулём и не уйдёт в минус. При больших отрицательных $x$ она подбирается к нулю сколь угодно близко, но нуля не достигает.

$$
a^x > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}
$$

Второе свойство — **монотонность**. При $a > 1$ функция возрастает: больший показатель даёт большее значение. При $0 < a < 1$ — убывает: больший показатель даёт меньшее значение. Промежуточного варианта нет. Обе кривые проходят через точку $(0;\,1)$ — любое основание в нулевой степени равно единице.

Из монотонности следует третье свойство, самое рабочее. Раз функция строго возрастает или строго убывает, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Значит равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей:

$$
a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x), \qquad a > 0,\ a \neq 1
$$

И последнее, о чём забывают. В показателе нет ни знаменателя с переменной, ни корня чётной степени, ни логарифма — ограничивать нечего. **Область допустимых значений показательного уравнения — все действительные числа.** Строчка «ОДЗ» в решении $5^{x^2-1} = 125$ не нужна: там нет ни одного запрета. Привычка приписывать ОДЗ на всякий случай безобидна ровно до того момента, когда из неё вырастает ложное правило и рука начинает вычёркивать верные корни.

*Рисунок: Основание больше единицы — функция возрастает; основание между нулём и единицей — убывает. Обе кривые целиком выше оси x и проходят через точку (0; 1)*

## Как привести показательное уравнение к общему основанию?

Переход «равные основания — равные показатели» работает только тогда, когда основания действительно равны. Поэтому первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию. Инструмент — свойства степени, и знать их придётся наизусть. Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Свойств степеней там нет.

$$
a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}, \qquad \dfrac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}, \qquad (a^{x})^{y} = a^{xy}, \qquad a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}
$$

Разберём на числах. В уравнении $2^x \cdot 8^x = 16$ три разных числа — 2, 8 и 16, — но все они степени двойки. Пишем $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ и $16 = 2^4$. Слева перемножаются степени с одинаковым основанием, значит показатели складываются:

$$
2^{x} \cdot 2^{3x} = 2^{4}, \qquad 2^{4x} = 2^{4}, \qquad 4x = 4, \qquad x = 1
$$

Похожий случай — $7^{x+2} = 49^{x}$. Справа $49 = 7^2$, поэтому $49^x = 7^{2x}$, и уравнение превращается в $x + 2 = 2x$, откуда $x = 2$. Проверка: $7^4 = 2401$ и $49^2 = 2401$ — сходится.

**Отдельно про дробные основания: здесь теряют знак чаще всего.** Переворот основания — это возведение в минус первую степень, и минус умножает **весь показатель целиком**, а не первое слагаемое в нём:

$$
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-3} = \left(2^{-1}\right)^{x-3} = 2^{-(x-3)} = 2^{3-x}
$$

Минус перед скобкой обязан раскрыться на оба слагаемых — получается $2^{3-x}$, а не $2^{x-3}$. Проверь на уравнении $(1/2)^{x-3} = 8$: после переворота оно читается как $2^{3-x} = 2^{3}$, значит $3 - x = 3$ и $x = 0$. Подставляем в исходное: $(1/2)^{-3} = 2^{3} = 8$ — верно. А если бы знак потеряли, вышло бы $x = 6$, и та же подстановка сразу выдала бы $(1/2)^{3} = 1/8$ вместо восьмёрки. Подстановка в этой теме ловит почти любую ошибку и стоит двадцать секунд.

## Вынесение общего множителя

Уравнение $3^{x+2} - 3^{x} = 72$ выглядит так, будто без логарифма не обойтись. Обойтись можно, и приём здесь ровно один: **показатели, отличающиеся на константу, — это множители, отличающиеся в известное число раз.**

$$
a^{x+k} = a^{x} \cdot a^{k}
$$

Значит $3^{x+2} = 3^x \cdot 9$, и слева выносится общий множитель $3^x$. В скобке остаётся обычное число:

$$
3^{x}\cdot 9 - 3^{x} = 72, \qquad 3^{x}(9 - 1) = 72, \qquad 3^{x} = \dfrac{72}{8} = 9, \qquad x = 2
$$

Проверка: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$. Тот же приём работает и со сложением: $2^{x+2} + 2^{x} = 20$ сворачивается в $2^{x}(4 + 1) = 20$, дальше $2^{x} = 4$ и $x = 2$.

Признак, по которому узнаёшь этот тип: **основание у всех слагаемых одно, а показатели отличаются на число.** Увидел — выноси наименьшую из степеней за скобку. Логарифмировать такое уравнение бессмысленно: логарифм суммы не раскладывается, и попытка «взять логарифм от обеих частей» заведёт в тупик.

## Замена переменной: условие t > 0 — не формальность

Второй частый тип — когда в уравнении одновременно сидят $4^x$ и $2^x$ или $9^x$ и $3^x$. К одному основанию всё привести можно, а вот приравнять показатели — уже нет: слагаемых несколько. Ключ в том, что одно выражение — квадрат другого:

$$
4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}, \qquad 9^{x} = (3^{x})^{2}, \qquad a^{2x} = (a^{x})^{2}
$$

Обозначаем $t = 2^x$ — и показательное уравнение становится квадратным. Но вместе с заменой обязана появиться **строчка $t > 0$**. Это не ритуал и не украшение: $2^x$ положительна при любом $x$, поэтому $t$ никогда не окажется нулём или отрицательным числом. Не написал строчку — не имеешь основания отбрасывать посторонние корни, и решение начинает выдавать ответы, которых не существует.

Смотри, как одно это условие решает исход. Уравнение $4^x - 3\cdot 2^x - 4 = 0$ после замены даёт $t^2 - 3t - 4 = 0$ с корнями $t = 4$ и $t = -1$. Второй отбрасываем — $2^x = -1$ невозможно ни при каком $x$. Остаётся $2^x = 4$, то есть $x = 2$. Единственный корень.

А теперь почти такое же уравнение: $2^{2x} - 5\cdot 2^x + 4 = 0$. Здесь $t^2 - 5t + 4 = 0$, корни $t = 1$ и $t = 4$ — **оба положительные, оба годятся**. Возвращаемся к $x$: $2^x = 1$ даёт $x = 0$, $2^x = 4$ даёт $x = 2$. В ответе два корня.

Два почти одинаковых уравнения — и противоположный исход. Поэтому механическое «после замены всегда что-нибудь отбрасываем» так же ошибочно, как и «ничего не отбрасываем». Правило одно: проверяй каждый корень по отдельности. Положителен — возвращай к $x$, не положителен — отбрасывай, прямо сославшись на то, что $t = a^x > 0$.

## Когда в показательном неравенстве меняется знак?

Всё, что было выше, переносится на неравенства с одной поправкой — но эта поправка способна перевернуть ответ. Переход от степеней к показателям в неравенстве опирается не просто на монотонность, а на её **направление**.

$$
a > 1: \quad a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)
$$

$$
0 < a < 1: \quad a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)
$$

Одной строкой: **основание больше единицы — знак сохраняется; основание между нулём и единицей — знак меняется.** Причина видна на графике из первого блока: возрастающая функция сохраняет порядок, убывающая переворачивает его.

**Возрастающее основание.** В неравенстве $2^{x^2-3x} \leqslant 16$ справа $16 = 2^4$, основание 2 больше единицы, знак оставляем как есть: $x^2 - 3x \leqslant 4$. Переносим и раскладываем: $x^2 - 3x - 4 \leqslant 0$, то есть $(x-4)(x+1) \leqslant 0$. Парабола ветвями вверх, значит решение между корнями. Ответ: $x \in [-1;\,4]$.

**Убывающее основание.** В неравенстве $(1/2)^{x-1} \geqslant 8$ приводим правую часть к тому же основанию: $8 = 2^3 = (1/2)^{-3}$. Основание лежит между нулём и единицей, поэтому знак **переворачиваем**: $x - 1 \leqslant -3$, откуда $x \leqslant -2$. Ответ: $x \in (-\infty;\,-2]$.

Если сомневаешься, в какую сторону ушёл промежуток, подставь любое число. При $x = -5$ слева $(1/2)^{-6} = 64$, и $64 \geqslant 8$ — верно, число входит. При $x = 0$ слева $(1/2)^{-1} = 2$, а $2 \geqslant 8$ неверно — не входит. Промежуток действительно уходит влево, знак перевёрнут правильно.

Оба приёма встречаются в одном неравенстве: $(1/3)^{x^2-2x} \geqslant 1/27$. Справа $1/27 = (1/3)^3$, основание меньше единицы — меняем знак: $x^2 - 2x \leqslant 3$, затем $(x-3)(x+1) \leqslant 0$ и $x \in [-1;\,3]$.

Замена в неравенстве работает так же, только условие $t > 0$ теперь не отбрасывает корни, а **пересекается с решением**. В $4^x - 3\cdot 2^x - 4 \leqslant 0$ квадратное неравенство $t^2 - 3t - 4 \leqslant 0$ даёт $t \in [-1;\,4]$. Пересекаем с $t > 0$ и получаем $0 < t \leqslant 4$. Левая граница выполняется сама собой — $2^x > 0$ и так всегда, — а правая даёт $2^x \leqslant 4$ и ответ $x \in (-\infty;\,2]$.

![Сравнение показательных выражений при возрастающем и убывающем основании](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva-1.png)

*При основании больше единицы знак сохраняется, а при основании между нулём и единицей меняется.*

## Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Показательные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них одна и та же — разные цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: ты уже всё умеешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

**Задание 7** — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, обоснование не нужно — нужен верный ответ. Типичный вид: $5^{2x-1} = 125$ или $2^x \cdot 4^x = 64$. Если корней вышло несколько, условие обычно уточняет, какой записать — больший или положительный. Эта оговорка и есть половина задания: прочитай её до того, как перенесёшь ответ в бланк.

**Задание 14** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура железная: пункт а) — решить уравнение, пункт б) — отобрать корни, попадающие в указанный отрезок. Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение, но показательные там тоже встречаются. Критерий простой и неприятный: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один. **Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение.** Решил уравнение блестяще, забыл про пункт б) — потерял половину.

**Задание 16** — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ здесь не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность **всех** шагов при вычислительной ошибке. Прочитай правило про 1 балл ещё раз. Балл дают за то, что шаги записаны и ни один не пропущен. Решение в уме, от которого на бумаге остался только ответ, при малейшей арифметической осечке даёт ноль вместо единицы. Пиши переход к общему основанию, пиши замену, пиши $t > 0$, пиши возврат к $x$ — каждая из этих строк оплачена.

## Переходы и приёмы в одной таблице

*Показательные уравнения и неравенства: формула и когда её применять*

| Правило | Формула | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Положительность | $a^x > 0$ | Поэтому при замене t = aˣ сразу пишут t > 0 |
| Равенство степеней | $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ | a > 0, a ≠ 1; основания сначала делают одинаковыми; ОДЗ — все действительные числа |
| Общее основание | $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y},\ (a^{x})^{y} = a^{xy}$ | Так 8ˣ = 2³ˣ и 49ˣ = 7²ˣ |
| Дробное основание | $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-3} = 2^{3-x}$ | Минус умножает весь показатель, а не первое слагаемое |
| Вынесение множителя | $a^{x+k} = a^{x} \cdot a^{k}$ | Основание одно, показатели отличаются на число: выносят наименьшую степень |
| Замена | $a^{2x} = (a^{x})^{2},\ t = a^x > 0$ | В уравнении корни t ≤ 0 отбрасывают, в неравенстве условие t > 0 пересекают с решением |
| Неравенство, a > 1 | $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ | Функция возрастает: знак сохраняется |
| Неравенство, 0 < a < 1 | $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ | Функция убывает: знак меняется на противоположный |

## Разбор: уравнение с отбором корней (№ 14)

**Условие.** а) Решите уравнение 9^x − 4·3^x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5; 3].

**Решение.**

- **Пункт а).** Основания 9 и 3 разные, но 9 — это 3². Значит $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, и всё уравнение выражается через одно выражение $3^x$.
- Делаем замену $t = 3^x$ и сразу выписываем ограничение — показательная функция положительна при любом показателе:
- $t = 3^{x}, \qquad t > 0$
- Уравнение становится квадратным:
- $t^2 - 4t + 3 = 0, \qquad D = 16 - 12 = 4, \qquad t_1 = 1,\ t_2 = 3$
- Проверяем корни на условие $t > 0$: единица положительна, тройка положительна. **Оба корня годятся** — отбрасывать здесь нечего. Это важно проговорить: условие $t > 0$ не обязано что-то отсекать, оно обязано быть проверено.
- Возвращаемся к $x$. Первый корень:
- $3^{x} = 1 = 3^{0} \ \Longrightarrow \ x = 0$
- Второй корень:
- $3^{x} = 3 = 3^{1} \ \Longrightarrow \ x = 1$
- Проверка подстановкой: при $x = 0$ получаем $1 - 4 + 3 = 0$; при $x = 1$ получаем $9 - 12 + 3 = 0$. Оба верны. Ответ пункта а): $x = 0$ и $x = 1$.
- **Пункт б).** Отрезок $[0{,}5;\,3]$. Корень $x = 0$ меньше левой границы 0,5 — не подходит. Корень $x = 1$ лежит между 0,5 и 3 — подходит.
- Этот пункт нужно записать, а не подразумевать. Одна строчка «$0 \notin [0{,}5;\,3]$, $1 \in [0{,}5;\,3]$» — это ровно тот балл, который отделяет 1 от 2.

**Ответ:** а) x = 0; x = 1. б) x = 1.

## Разбор: неравенство с убывающим основанием (№ 16)

**Условие.** Решите неравенство (1/3)^(2x) − 2·(1/3)^x − 3 ≤ 0.

**Решение.**

- Слева стоят $(1/3)^{2x}$ и $(1/3)^{x}$. Первое — квадрат второго: $(1/3)^{2x} = \left((1/3)^{x}\right)^2$. Значит подойдёт замена.
- Замена и обязательное ограничение:
- $t = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}, \qquad t > 0$
- Неравенство превращается в квадратное:
- $t^2 - 2t - 3 \leqslant 0, \qquad (t - 3)(t + 1) \leqslant 0, \qquad t \in [-1;\,3]$
- Теперь **пересекаем с условием $t > 0$**. Кусок от −1 до 0 отваливается целиком: таких значений у $(1/3)^x$ не бывает.
- $t \in [-1;\,3] \ \cap \ (0;\,+\infty) \ = \ (0;\,3]$
- Левая граница $t > 0$ выполняется автоматически — возвращать её к $x$ не нужно, она не даёт никаких ограничений. Работаем с правой:
- $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \leqslant 3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
- Основание $1/3$ лежит между нулём и единицей — функция убывающая, значит при переходе к показателям **знак меняется**:
- $x \geqslant -1$
- Проверка на числах. При $x = -1$ слева $9 - 6 - 3 = 0$, и $0 \leqslant 0$ — граница входит. При $x = 0$ слева $1 - 2 - 3 = -4$ — входит. При $x = -2$ слева $81 - 18 - 3 = 60$, а $60 \leqslant 0$ неверно — не входит. Промежуток уходит вправо, как и должен.
- Если бы знак не перевернули, получилось бы $x \leqslant -1$ — ровно противоположный луч, и проверка одним числом это бы вскрыла.

**Ответ:** x ∈ [−1; +∞).

## Как решать показательные уравнения и неравенства?

1. **Определи тип по внешнему виду.** Все числа — степени одного основания и слагаемое одно с каждой стороны: приводим к общему основанию. Основание одно, показатели отличаются на константу: выносим общий множитель. Есть $a^{2x}$ и $a^{x}$ одновременно: замена.
2. **Приведи к одному основанию.** Переворачивая дробное основание, не потеряй минус перед всем показателем: $(1/a)^{x} = a^{-x}$. Число справа тоже переведи в степень того же основания.
3. **Сделал замену — сразу пиши t > 0.** Не в конце, не «потом вспомню», а в той же строке, где ввёл $t$. Это единственное ограничение темы, и оно берётся не из ОДЗ, а из области значений: показательная функция положительна всегда.
4. **Реши то, что получилось.** Линейное или квадратное уравнение либо квадратное неравенство. Ничего показательного здесь уже нет.
5. **Вернись к x.** Каждый корень $t$ проверь на положительность: положителен — решай $a^{x} = t$, не положителен — отбрасывай со ссылкой на $a^{x} > 0$. В неравенстве — пересеки решение с $t > 0$.
6. **Следи за знаком по основанию.** Для неравенства при переходе к показателям: $a > 1$ — знак сохраняешь, $0 < a < 1$ — переворачиваешь. Проверь ответ подстановкой одного числа из промежутка и одного снаружи.
7. **Проверь, что ответили на вопрос.** В № 7 — подставь корень в исходное уравнение и посмотри на оговорку про больший или положительный. В № 14 — не забудь пункт б). В № 16 — правильные скобки: строгое неравенство даёт круглую, нестрогое — квадратную, бесконечность всегда круглую.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. При решении уравнения 4^x + 2^x = 6 сделали замену t = 2^x и получили корни t = 2 и t = −3. Что делать дальше?
   - Вернуться к x от обоих корней: 2^x = 2 и 2^x = −3
   - Отбросить t = −3, потому что 2^x > 0 при любом x, и решить 2^x = 2 — **верный ответ**
   - Отбросить t = 2, потому что корень должен быть один
   - Найти ОДЗ уравнения и проверить оба корня по нему

   *Пояснение:* Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому t = 2^x не может равняться −3: уравнение 2^x = −3 не имеет корней. Остаётся 2^x = 2, то есть x = 1. Проверка: 4¹ + 2¹ = 4 + 2 = 6 — верно. Про ОДЗ речи нет: у показательного уравнения ОДЗ — все действительные числа, ограничение t > 0 берётся из области значений функции, а не из ОДЗ.

2. Решите неравенство (1/2)^x > 4.
   - x > −2
   - x < −2 — **верный ответ**
   - x > 2
   - x < 2

   *Пояснение:* Приводим к одному основанию: 4 = 2² = (1/2)^(−2). Основание 1/2 лежит между нулём и единицей, функция убывает, поэтому при переходе к показателям знак меняется: x < −2. Проверка: при x = −3 слева (1/2)^(−3) = 8 > 4 — верно; при x = 0 слева 1, а 1 > 4 неверно. Если бы знак сохранили, получили бы x > −2 — ровно противоположный луч.

3. Как записать (1/3)^(2−x) в виде степени с основанием 3?
   - 3^(2−x)
   - 3^(x−2) — **верный ответ**
   - 3^(−2x)
   - 3^(x+2)

   *Пояснение:* (1/3)^(2−x) = (3^(−1))^(2−x) = 3^(−(2−x)) = 3^(x−2). Минус умножает весь показатель целиком, поэтому раскрывается на оба слагаемых. Проверка на числе: при x = 0 слева (1/3)² = 1/9, справа 3^(−2) = 1/9 — сходится. Вариант 3^(2−x) — это как раз потеря минуса, самая частая ошибка при перевороте основания.

4. Какова область допустимых значений уравнения 5^(x²−1) = 125?
   - x ≥ 1
   - x² − 1 ≥ 0
   - Все действительные числа — **верный ответ**
   - x > 0

   *Пояснение:* Показательная функция определена при любом действительном показателе: нет ни знаменателя, ни корня чётной степени, ни логарифма — ограничивать нечего. ОДЗ — все действительные числа, и писать его в решении не нужно. Само уравнение решается так: 125 = 5³, значит x² − 1 = 3, то есть x² = 4 и x = ±2. Заметь: если бы ты «на всякий случай» потребовал x² − 1 ≥ 0, ответ бы не изменился, но привычка вычёркивать корни по несуществующему ограничению рано или поздно съест верный корень.

5. Найдите корень уравнения 2^x · 8^x = 16.
   - 1 — **верный ответ**
   - 2
   - 0,5
   - 4

   *Пояснение:* Все числа — степени двойки: 8 = 2³, 16 = 2⁴. Значит 8^x = 2^(3x), и слева 2^x · 2^(3x) = 2^(4x). Уравнение 2^(4x) = 2⁴ равносильно 4x = 4, откуда x = 1. Проверка: 2¹ · 8¹ = 2 · 8 = 16 — верно. Ответ 2 получается, если перепутать 8 с 4 и решить 2^(3x) = 2⁴.

6. Решите неравенство 3^(2x) − 4·3^x + 3 < 0.
   - x ∈ (0; 1) — **верный ответ**
   - x ∈ [0; 1]
   - x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞)
   - x ∈ (1; 3)

   *Пояснение:* Замена t = 3^x, t > 0. Получаем t² − 4t + 3 < 0, то есть (t − 1)(t − 3) < 0 и 1 < t < 3. Оба конца положительны, условие t > 0 ничего не отсекает. Возвращаемся: 3⁰ < 3^x < 3¹, основание 3 больше единицы, знаки сохраняются — 0 < x < 1. Неравенство строгое, поэтому скобки круглые: при x = 0 слева 1 − 4 + 3 = 0, а строго меньше нуля не выполняется. Вариант (1; 3) — это не доведённый до конца ответ: там записан промежуток для t, а не для x.

## Какие ошибки делают в показательных уравнениях и неравенствах?

- **Ошибка 1.** **Теряют условие $t > 0$ при замене.** В $4^x - 3\cdot 2^x - 4 = 0$ квадратное уравнение даёт $t = 4$ и $t = -1$. Без строчки $t > 0$ второй корень тянут обратно и пишут «$2^x = -1$» — ответ, которого не существует. И обратная крайность: в $2^{2x} - 5\cdot 2^x + 4 = 0$ корни $t = 1$ и $t = 4$ оба положительны, и отбрасывать не надо ничего. Условие проверяют, а не применяют по привычке.
- **Ошибка 2.** **Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы.** $(1/3)^{x+1} > 9$ и $3^{x+1} > 9$ дают противоположные ответы, хотя выглядят почти одинаково. Взгляни на основание **до** того, как перейдёшь к показателям: больше единицы — знак остаётся, между нулём и единицей — переворачивается.
- **Ошибка 3.** **Теряют знак показателя при перевороте основания.** $(1/2)^{x-3} = 2^{3-x}$, а не $2^{x-3}$: минус первой степени умножает весь показатель, и минус раскрывается на оба слагаемых. Одна подстановка числа ловит эту ошибку мгновенно.
- **Ошибка 4.** **Останавливаются на $t$ и не возвращаются к $x$.** Нашли $t = 9$ и записали 9 в бланк, хотя спрашивали $x$, а $3^x = 9$ даёт $x = 2$. В неравенствах то же самое: в ответ уходит промежуток для $t$ вместо промежутка для $x$. Замена — это половина решения, а не всё решение.
- **Ошибка 5.** **Складывают показатели там, где складываются множители.** $2^x + 2^x = 2\cdot 2^x = 2^{x+1}$, а вовсе не $2^{2x}$: показатели складываются при **умножении** степеней, а не при сложении. Из той же серии: $(2^x)^2 = 2^{2x}$, но $2^{x^2}$ — совсем другое число.
- **Ошибка 6.** **Логарифмируют вместо вынесения множителя.** $5^{x+1} - 5^{x} = 20$ решается в две строки: $5^{x}(5 - 1) = 20$, значит $5^{x} = 5$ и $x = 1$. Логарифм от суммы или разности не раскладывается, и попытка «взять логарифм от обеих частей» просто съест время.
- **Ошибка 7.** **В № 14 решают пункт а) и забывают пункт б).** По критерию 2 балла ставят только за оба пункта, за один — 1 балл. Полностью верно решённое уравнение без отбора корней стоит ровно половину. Отрезок в условии написан не для красоты.

## Запомни для ЕГЭ

- $a^x > 0 \ \text{при любом } x$
- $a^{f} = a^{g} \iff f = g \quad (a>0,\ a \neq 1)$
- $a>1:\ a^{f} > a^{g} \iff f > g$
- $0<a<1:\ a^{f} > a^{g} \iff f < g$
- $a^{x+k} = a^{x}a^{k}, \quad (a^{x})^{y} = a^{xy}, \quad a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}$
- $\left(\tfrac{1}{a}\right)^{x} = a^{-x}, \qquad a^{2x} = (a^{x})^{2}$
- Замена t = a^x — сразу строчка t > 0. ОДЗ показательного уравнения: все действительные числа

## На экзамене

- Задание 7 стоит 1 балл — закладывай 3 минуты. Найденный корень обязательно подставь в исходное уравнение: в этой теме подстановка занимает секунд двадцать и ловит почти любую ошибку, включая потерянный знак при перевороте основания.
- В задании 7 числа всегда «хорошие»: степени двойки, тройки, пятёрки. Если получилось что-то вроде $2^x = 5$, ищи ошибку — ответ части 1 должен быть целым числом или конечной десятичной дробью, и логарифм там взяться не может.
- Задание 16 даёт 2 балла, и 1 балл из них дают за верную последовательность **всех** шагов при вычислительной ошибке. Поэтому пиши шаги, даже если решаешь неравенство в уме: переход к общему основанию, замена, $t > 0$, возврат к $x$. Голый ответ при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.
- В задании 14 пункт б) весит столько же, сколько а). Если время кончается, а уравнение решено, лучше потратить минуту на отбор корней, чем на красоту записи пункта а).
- Держи «хорошие» степени в активной памяти: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128; 3, 9, 27, 81, 243; 5, 25, 125; 7, 49. Калькулятора на экзамене нет, а вся тема держится на том, чтобы мгновенно узнать общее основание — увидеть, что 128 — это $2^7$, а 243 — это $3^5$. Прогоняй эти степени устно или карточками, пока распознавание не станет автоматическим.
- Ответ задания 16 — промежуток, а не число. Следи за скобками: строгое неравенство даёт круглую скобку, нестрогое — квадратную, у бесконечности скобка всегда круглая. Проверь границу подстановкой — на неё чаще всего и приходится потерянный балл.
- Задания 7, 14 и 16 по этой теме проверяются одинаковой теорией, но 7 идёт в бланк № 1 (краткий ответ), а 14 и 16 — в бланк № 2 (развёрнутое решение). Не перепутай бланки: развёрнутое решение, записанное в бланк кратких ответов, эксперт не увидит.

## Словарь темы

- **Показательная функция** — Функция вида y = a^x, где основание a — фиксированное число, a > 0 и a ≠ 1, а переменная стоит в показателе. Определена при любом действительном x, принимает только положительные значения.
- **Основание степени** — Число a в записи a^x. Именно оно решает, возрастает функция (a > 1) или убывает (0 < a < 1), а значит — сохранится или перевернётся знак при переходе от неравенства степеней к неравенству показателей.
- **Монотонность** — Свойство функции всюду возрастать или всюду убывать. Из монотонности следует, что каждое своё значение функция принимает ровно один раз — на этом и держится переход a^f = a^g ⟺ f = g.
- **Область значений** — Множество чисел, которые функция может принимать. У показательной функции это промежуток (0; +∞) — отсюда и берётся условие t > 0 при замене. С ОДЗ не путать: ОДЗ — про то, какие x допустимы, область значений — про то, какие y достижимы.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении или неравенстве имеют смысл. У чистого показательного уравнения ОДЗ — все действительные числа: ограничивать там нечего.
- **Замена переменной** — Приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой буквой. В показательных уравнениях замена t = a^x превращает уравнение в квадратное. Обязательная часть приёма — ограничение t > 0.

## Частые вопросы

### Что такое показательное уравнение?

Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени. Его область допустимых значений — все действительные числа, а первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию.

### Как решать показательные уравнения и неравенства?

Шаги такие:

1. определи тип по внешнему виду
2. приведи к одному основанию
3. сделал замену — сразу пиши t > 0
4. реши то, что получилось
5. вернись к x
6. следи за знаком по основанию.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Показательные уравнения/неравенства»?

Теряют условие t > 0 при замене. В 4ˣ - 3 · 2ˣ - 4 = 0 квадратное уравнение даёт t = 4 и t = -1. Без строчки t > 0 второй корень тянут обратно и пишут «2ˣ = -1» — ответ, которого не существует. И обратная крайность: в 2²ˣ - 5 · 2ˣ + 4 = 0 корни t = 1 и t = 4 оба положительны, и отбрасывать не надо ничего.

### Что нужно запомнить по теме «Показательные уравнения/неравенства»?

Главное:

1. aˣ > 0 при любом x
2. a^f = a^g ⇔ f = g (a>0, a ≠ 1)
3. a>1: a^f > a^g ⇔ f > g
4. 0 a^g ⇔ f < g
5. aˣ⁺ᵏ = aˣaᵏ, (aˣ)^y = a^xy, a⁻ˣ = 1/aˣ
6. (1/a)ˣ = a⁻ˣ, a²ˣ = (aˣ)².

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.4 «Показательные и логарифмические уравнения»; 2.7 «Показательные и логарифмические неравенства».

**Что сверено по документам:**

- В кодификаторе ФИПИ показательные уравнения входят в элемент 2.4, показательные неравенства — в элемент 2.7; в КИМ 2027 тема проверяется заданиями 7, 14, 16.
- Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, часть 1, ответ в бланк № 1 (целое число или конечная десятичная дробь). Задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла, часть 2, развёрнутая запись в бланк № 2.
- Критерий задания 14: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один пункт.
- Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
- Калькулятор на профильной математике запрещён; справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β).
- Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) определена при всех действительных x и принимает только положительные значения; при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает; a^0 = 1 при любом допустимом a.
- Переход a^f(x) = a^g(x) ⟺ f(x) = g(x) при a > 0, a ≠ 1 равносилен и обоснован строгой монотонностью показательной функции.
- Для неравенств: при a > 1 переход a^f > a^g ⟺ f > g сохраняет знак; при 0 < a < 1 знак меняется на противоположный.
- ОДЗ чистого показательного уравнения — все действительные числа; ограничение t > 0 берётся из области значений функции, а не из ОДЗ.
- Свойства степеней: a^x·a^y = a^(x+y), a^x/a^y = a^(x−y), (a^x)^y = a^(xy), a^(−x) = 1/a^x, (1/a)^x = a^(−x), a^(2x) = (a^x)².
- Уравнение вида 5^(x+1) − 5^x = 20 решается вынесением общего множителя: 5^x(5 − 1) = 20, 5^x = 5, x = 1.
- В уравнении 4^x − 3·2^x − 4 = 0 корень t = −1 отбрасывается по условию t = 2^x > 0, остаётся x = 2; в уравнении 2^(2x) − 5·2^x + 4 = 0 оба корня t = 1 и t = 4 положительны, и корней два: x = 0 и x = 2.
- Тождества 2^x + 2^x = 2^(x+1) и (2^x)² = 2^(2x) ≠ 2^(x²) верны.
- Задание 14 — «чаще всего тригонометрическое уравнение с отбором корней», но не всегда: показательные уравнения там встречаются.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/)
- [Показательная функция y = aˣ: график и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.