---
title: "Преобразование выражений: определение, формулы, примеры"
description: "Тождественное преобразование — это замена выражения на тождественно равное. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 8, 16."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/preobrazovanie-vyrazheniy/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл); первый шаг в задании 16"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Преобразование выражений

Тождественное преобразование — это замена выражения на тождественно равное, то есть дающее те же значения везде, где определены оба выражения. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл) и как первый шаг в задании 16, где важно не потерять выколотые точки при сокращении дробей.

Преобразование выражений — не отдельная тема, а техника, которой ты пользуешься почти в каждом задании. На ЕГЭ это № 8 за 1 балл, и тот же навык даёт первый шаг в № 16. Главное здесь не список формул, а понимание: заменяя выражение на равное, легко изменить область определения, сам того не заметив.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл); первый шаг в задании 16  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое тождественное преобразование выражения?

Сами объекты — корни, степени, логарифмы, синусы — живут в соседних темах блока 1. Здесь речь о другом: что с ними **делать**. Преобразовать выражение — значит заменить его на другое, равное ему. Не «упростить», а именно заменить на равное: короче получилось или длиннее, зависит от того, куда ты идёшь.

Слово «равное» и есть всё содержание темы. Два выражения называют **тождественно равными**, если они принимают одинаковые значения при всех значениях переменной, **при которых определены оба**. Последняя оговорка выглядит формальностью — на ней теряют баллы.

Разложи числитель на множители и сократи:

$$
\dfrac{x^2-9}{x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3, \qquad x \neq 3
$$

Справа стоит обычная прямая — она прекрасно живёт при $x=3$ и даёт там 6. Слева при $x=3$ в знаменателе ноль, и выражения просто не существует.

Сокращение **не вернуло** эту точку: множитель $x-3$ исчез из записи, но ограничение осталось. Поэтому равенство верно везде, кроме $x=3$, и приписка справа обязательна.

Такую исключённую точку называют **выколотой** — на графике её рисуют пустым кружком, как здесь при $x=3$. Дальше это слово встретишь и в алгоритме, и в разборе неравенства: выколотая точка — короткое имя для «здесь выражения не существует».

На № 16 это работает буквально. Решаешь неравенство с дробью — нули знаменателя выкалываются из ответа, даже если после преобразований от знаменателя не осталось следа. Привыкай к рефлексу: **прежде чем сокращать, запиши, что ты теряешь**.

*Рисунок: Сократили дробь — получилась прямая, но точка x = 3 в область определения не вернулась*

![Прямая y равно x плюс 3 с выколотой точкой при x равно 3](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/preobrazovanie-vyrazheniy-1.png)

*После сокращения дроби ограничение области определения сохраняется: точка с x = 3 остаётся выколотой.*

## Как применять формулы сокращённого умножения в обе стороны?

Сразу о главном: **в справочных материалах профиля этих формул нет**. Там всего четыре формулы, и все четыре тригонометрические. Всё остальное — из головы.

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$

$$
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
$$

Читать их надо слева направо **и** справа налево. Слева направо — это раскрыть скобки; справа налево — **свернуть**, то есть разложить на множители. Второе на экзамене нужнее: множители можно сокращать, а сумму — нет.

Средний член $2ab$ — то самое место, где теряют балл. Записать $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ ничего не стоит, а результат неверен. Смотри, как это выглядит на корнях:

$$
(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}
$$

Обрати внимание на $\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{10}$: под корнем числа **перемножаются**, а не складываются. Ответ $7+2\sqrt{7}$ — типичный след этой ошибки.

А вот разность квадратов на корнях, наоборот, всё убивает — квадрат снимает корень:

$$
(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4
$$

Отсюда приём **умножения на сопряжённое**. Сопряжённое — это то же выражение, но с обратным знаком между слагаемыми: для $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ сопряжённым будет $\sqrt{7}+\sqrt{3}$. Чтобы убрать корни из знаменателя, домножь числитель и знаменатель на сопряжённое — в знаменателе получится разность квадратов, и корни исчезнут.

$$
\dfrac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \dfrac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \dfrac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}+\sqrt{3}
$$

Кубические формулы встречаются реже, но знать их нужно — особенно разложение суммы и разности кубов, которое даёт множители там, где их не ждут:

$$
(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3, \qquad a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
$$

И то, чего в этом списке нет: формулы для $a^2 + b^2$ не существует. На множители с действительными коэффициентами сумма квадратов не раскладывается — если ты «разложил» её, значит ошибся.

## Как вынести общий множитель за скобки?

Если формулу сокращённого умножения ещё надо узнать в лицо, то общий множитель — универсальная отмычка. Приём один и тот же: найти, что стоит в каждом слагаемом, и вынести это за скобку.

С многочленами всё привычно. Когда общего множителя во всех слагаемых сразу нет, помогает **группировка**: разбиваешь на пары, выносишь в каждой своё — и общий множитель появляется сам:

$$
x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x+2) - (x+2) = (x+2)(x^2-1) = (x+2)(x-1)(x+1)
$$

На последнем шаге снова разность квадратов: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Разложение доводят до конца — до множителей, которые дальше не раскладываются.

Со **степенями** приём тот же, и здесь он выручает чаще всего. Показатели разные, но у них общая часть: $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2$. Значит, $3^x$ и есть общий множитель:

$$
3^{x+2} - 3^x = 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 3^x(9-1) = 8 \cdot 3^x
$$

Проверь себя вопросом «что осталось в скобке?». Именно там ошибаются: выносят $3^x$ и забывают единицу от второго слагаемого, получая $9 \cdot 3^x$ вместо $8 \cdot 3^x$.

С числами это же движение решает задание № 8 в одну строчку. Выражение $\frac{5^{11}-5^9}{5^9}$ выглядит нерешаемым без калькулятора, пока не вынесешь $5^9$: числитель превращается в $5^9(25-1)$, всё сокращается и остаётся 24. Никаких огромных чисел считать не пришлось — в этом и был замысел составителя.

## Привести к одному виду: одно основание, одна функция

Пока в выражении разные объекты, делать с ними нечего. Складывать, сокращать и сравнивать можно только однотипное. Поэтому первое, что делает опытный решающий: приводит всё к **одному виду**. Три случая покрывают почти весь экзамен.

**Одно основание степени.** Равенство $7^{x+2} = 49^x$ сравнивать нельзя — основания разные. Но $49 = 7^2$, поэтому $49^x = (7^2)^x = 7^{2x}$:

$$
7^{x+2} = 49^x \;\Longleftrightarrow\; 7^{x+2} = 7^{2x}
$$

Всё преобразование закончилось, дальше сравнивают показатели — это уже тема показательных уравнений. Твоя работа здесь — увидеть, что 49 и 7 родственники.

**Одно основание логарифма.** Тот же приём, только формула запоминается хуже. Если основание — степень другого основания, лишний показатель уходит в множитель перед логарифмом:

$$
\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\,\log_a b
$$

Так $\log_4 (x+3)$ и $\log_2 (x+3)$ перестают быть чужими: $4 = 2^2$, значит $k=2$:

$$
\log_4 (x+3) = \dfrac{1}{2}\log_2 (x+3)
$$

Дробь $\tfrac{1}{k}$ идёт в **знаменатель**, а не в множитель. Записать $\log_4 t = 2\log_2 t$ — перевернуть формулу и сломать всё решение. Проверить направление можно за пять секунд на числах: $\log_4 16 = 2$, а $\log_2 16 = 4$ — логарифм по большему основанию **меньше**, значит делим.

**Одна тригонометрическая функция.** Основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это разрешение менять $\cos^2\alpha$ на $1-\sin^2\alpha$ и обратно. Так выражение с двумя функциями сводится к одной.

Здесь же — единственная поблажка от составителей. Справочные материалы дают $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, и из неё вместе с основным тождеством две рабочие формы выводятся прямо на бланке:

$$
\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1
$$

Подставь $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$ — получишь первую форму, подставь $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$ — вторую. Само основное тождество в справочных не выдают, его надо помнить.

И главная оговорка про тождество: оно работает, только когда аргумент у синуса и косинуса **один и тот же**. Выражение $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ похоже на тождество ровно настолько, чтобы рука сама написала «1». А там 30 и 60 — разные углы, и честный счёт даёт $(\tfrac12)^2 + (\tfrac12)^2 = 0{,}5$.

## Формулы и приёмы в одной таблице

*Преобразования выражений: формула и когда её применять*

| Приём | Формула | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Сокращение дроби | $\dfrac{x^2-9}{x-3} = x+3,\ x \neq 3$ | Множитель исчез, ограничение осталось: выколотая точка сохраняется |
| Квадрат суммы и разности | $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ | Средний член 2ab не теряют: (a − b)² ≠ a² − b² |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ | Читают и справа налево; для суммы квадратов a² + b² формулы нет |
| Сопряжённое | $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 4$ | Убрать корни из знаменателя: домножить числитель и знаменатель на сопряжённое |
| Сумма и разность кубов | $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ | Даёт множители там, где их не ждут |
| Общий множитель | $3^{x+2} - 3^x = 8 \cdot 3^x$ | Проверь, что осталось в скобке: единица от второго слагаемого не пропадает |
| Группировка | $x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x+2)(x-1)(x+1)$ | Когда общего множителя сразу нет; разложение доводят до конца |
| Одно основание логарифма | $\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\,\log_a b$ | Дробь 1/k, а не множитель k: log₄ 16 = 2, а log₂ 16 = 4 |
| Косинус двойного угла | $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ | Выводится из справочной формулы и основного тождества; тождество — только при одном аргументе |

## Разбор: задание 8 целиком

**Условие.** Найдите значение выражения $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{10}$.

**Решение.**

- Калькулятора нет, а $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$ — бесконечные дроби. Значит, считать «в лоб» не предполагается: корни обязаны уйти сами. Разворачиваем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$.
- Крайние члены: квадрат снимает корень, поэтому $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$.
- Двойное произведение: $2ab = 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{10}$. Под корнем числа перемножились: 5·2 = 10.
- $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$
- Теперь вычитаем то, что дано в условии:
- $7 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} = 7$
- Корень ушёл целиком — ответ получился целым числом. Это и есть сигнал, что преобразование доведено до конца: ответ части 1 записывают целым числом или конечной десятичной дробью, и $2\sqrt{10}$ в бланк не вписать.
- **Контрольная проверка.** Прикинь грубо: $\sqrt{5}\approx 2{,}2$, $\sqrt{2}\approx 1{,}4$, их сумма ≈ 3,6, квадрат ≈ 13,0. Вычитаем $2\sqrt{10}\approx 6{,}3$ — остаётся около 6,7. Близко к 7, значит грубой ошибки нет.

**Ответ:** 7.

## Разбор: то же умение в задании 16

**Условие.** Решите неравенство $\log_3 x + \log_9 x \leqslant 3$. Смотри, где заканчивается преобразование и начинается всё остальное.

**Решение.**

- **ОДЗ (область допустимых значений — то же самое, что область определения выражения из первого блока).** Под логарифмом должно стоять положительное число, поэтому $x > 0$. Это пишется до всяких преобразований, иначе шаг «пересечь с ОДЗ» в конце просто не из чего будет делать.
- **Здесь начинается наша тема.** Складывать $\log_3 x$ и $\log_9 x$ нельзя — основания разные. Но $9 = 3^2$, значит основания родственные:
- $\log_9 x = \log_{3^2} x = \dfrac{1}{2}\log_3 x$
- Теперь слагаемые однотипны, и левая часть сворачивается как обычные подобные слагаемые:
- $\log_3 x + \dfrac{1}{2}\log_3 x = \dfrac{3}{2}\log_3 x \leqslant 3$
- Делим обе части на $\tfrac{3}{2}$, то есть умножаем на $\tfrac{2}{3}$. Число положительное — знак неравенства сохраняется:
- $\log_3 x \leqslant 2$
- **Здесь наша тема заканчивается.** Преобразование сделало своё дело: было непонятное неравенство с двумя логарифмами, стало простейшее с одним. Как снимать логарифм — отдельный вопрос. Знак неравенства при этом сохраняется или меняется в зависимости от основания — это тема логарифмических неравенств, код 2.4.
- Доведём до ответа: основание 3 больше единицы, функция возрастает, знак сохраняется, поэтому $x \leqslant 3^2 = 9$. Пересекаем с ОДЗ $x>0$.
- **Проверка на числе.** Возьми границу $x=9$: $\log_3 9 + \log_9 9 = 2 + 1 = 3$ — равенство выполняется, граница входит. Возьми $x=27$: $\log_3 27 + \log_9 27 = 3 + 1{,}5 = 4{,}5 > 3$ — не входит, и правильно, что 27 отсеклось.
- Сравни с предыдущим разбором: формула одна и та же. Но № 8 стоит 1 балл и требует только число, а № 16 — 2 балла и требует записанного обоснования каждого шага, включая ОДЗ. Разница не в математике, а в том, сколько ты обязан объяснить.

**Ответ:** (0; 9].

## Как преобразовывать выражения по шагам?

1. **Сначала посмотри, куда идёшь.** Преобразование — не самоцель. В № 8 цель одна: чтобы корни, логарифмы и градусы исчезли и осталось число. В № 16 цель другая: свести к одному логарифму, одной степени, одной функции. Не зная цели, будешь «упрощать» вслепую.
2. **Запиши ограничения до преобразований.** Знаменатели не равны нулю, под чётным корнем и под логарифмом — положительное. Потом эти условия из записи исчезнут, и восстановить их будет неоткуда.
3. **Приведи к одному виду.** Разные основания степеней — ищи общее ($49=7^2$). Разные основания логарифмов — $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$. Синус и косинус вперемешку — основное тождество. Пока объекты разнотипные, дальше двигаться нечем.
4. **Вынеси общий множитель или сверни по формуле.** В сумме — ищи общее и выноси за скобку, не поленись проверить, что осталось в скобке. Узнал $a^2-b^2$ или полный квадрат — сворачивай: множители сокращаются, слагаемые нет.
5. **Сокращай — и вслух проговори, что теряешь.** Убрал множитель $x-3$ из дроби — точка $x=3$ всё равно выколота. В № 16 это прямо влияет на ответ.
6. **Проверь подстановкой числа.** Возьми любое удобное значение из области определения и посчитай исходное и полученное выражение. Сошлось — почти наверняка преобразование верное; не сошлось — ошибка найдена за 20 секунд, без перепроверки всей цепочки.

## Проверь себя

Пять вопросов по местам, где чаще всего теряют балл на № 8 и на первом шаге № 16. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равно (√5 + √2)²?
   - 7 + 2√10 — **верный ответ**
   - 7
   - 7 + √10
   - 7 + 2√7

   *Пояснение:* По формуле квадрата суммы: (√5)² + 2·√5·√2 + (√2)² = 5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10. Ответ «7» получается, если потерять двойное произведение. Ответ «7 + 2√7» — если сложить подкоренные числа вместо умножения: на самом деле √5·√2 = √(5·2) = √10.

2. Дробь (x² − 25)/(x − 5) сократили и получили x + 5. При каких значениях x эта запись верна?
   - При любых x
   - При всех x, кроме x = 5 — **верный ответ**
   - При всех x, кроме x = −5
   - Только при x > 5

   *Пояснение:* x² − 25 = (x − 5)(x + 5), после сокращения на (x − 5) остаётся x + 5. Но при x = 5 в исходной дроби знаменатель обращается в ноль, и выражения не существует. Сокращение множитель из записи убрало, а ограничение — нет. Число −5 знаменателю не мешает: оно обращает в ноль только числитель.

3. Чему равно значение выражения (sin 60°)² + (cos 30°)²?
   - 1
   - 0,5
   - 1,5 — **верный ответ**
   - 0,75

   *Пояснение:* Основное тождество sin²α + cos²α = 1 работает только при одинаковом аргументе, а здесь углы разные — 60° и 30°. Считаем честно: sin 60° = √3/2 и cos 30° = √3/2, каждый квадрат равен 3/4, сумма 3/4 + 3/4 = 1,5.

4. Как записать log₂₅x через логарифм по основанию 5?
   - 2·log₅x
   - log₅x / 2 — **верный ответ**
   - log₅x − 2
   - (log₅x)²

   *Пояснение:* 25 = 5², поэтому по формуле log_(a^k)b = (1/k)·log_a b получаем log₂₅x = (1/2)·log₅x. Направление легко проверить на числе: log₂₅625 = 2, а log₅625 = 4 — логарифм по большему основанию оказался меньше, значит делим на 2, а не умножаем.

5. Чему равно значение выражения (5¹¹ − 5⁹)/5⁹?
   - 25
   - 5
   - 24 — **верный ответ**
   - 120

   *Пояснение:* Возводить 5 в 11-ю степень не нужно. Выносим общий множитель: 5¹¹ = 5⁹·5², поэтому числитель равен 5⁹·(5² − 1) = 5⁹·24. Сокращаем на 5⁹ и получаем 24. Ответ «25» — след потерянной единицы в скобке.

## Какие ошибки делают при преобразовании выражений?

- **Ошибка 1.** **Теряют двойное произведение.** $(a-b)^2$ — это $a^2 - 2ab + b^2$, а не $a^2 - b^2$. Средний член пропадает молча, ответ остаётся правдоподобным, и ошибку не видно до критериев. Разность квадратов $a^2-b^2$ — это **произведение** $(a-b)(a+b)$, совсем другая формула.
- **Ошибка 2.** **Сокращают дробь и молча меняют область определения.** После $\frac{x^2-9}{x-3} = x+3$ точка $x=3$ остаётся выколотой, хотя в новой записи ничто на это не намекает. В № 8 это может обойтись, в № 16 — прямо портит ответ: нули знаменателя выкалываются из промежутка.
- **Ошибка 3.** **Применяют основное тождество к разным аргументам.** $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ = 0,5, а вовсе не 1: углы 30° и 60° разные. А вот $\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ$ действительно равно 1 — но не «по тождеству», а потому что сначала $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$ по формуле приведения, и только после этого аргументы совпали. Сначала уравняй аргумент, потом применяй тождество.
- **Ошибка 4.** **Переворачивают формулу перехода к новому основанию.** $\log_4 t = \tfrac12 \log_2 t$, а не $2\log_2 t$. Проверяй направление на числах за пять секунд: $\log_4 16 = 2$, $\log_2 16 = 4$ — большее основание даёт меньший логарифм.
- **Ошибка 5.** **Ошибаются в скобке при вынесении общего множителя.** $5^{x+1} - 5^x = 5^x(5-1) = 4\cdot 5^x$. Второе слагаемое — это $5^x \cdot 1$, и единица обязана остаться в скобке. Забыл её — получил $5\cdot 5^x$ и потерял балл на ровном месте.
- **Ошибка 6.** **«Раскладывают» сумму квадратов.** Формулы для $a^2+b^2$ в школьном курсе нет: с действительными коэффициентами она на множители не раскладывается. Раскладываются разность квадратов и обе кубические формулы — $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$. Сумма квадратов в этот список не входит.
- **Ошибка 7.** **Останавливаются на полпути в № 8.** Ответ части 1 — целое число или конечная десятичная дробь. Если в бланк просится $8-4\sqrt{3}$ или $\pi/6$, преобразование не доведено до конца либо где-то ошибка. Это бесплатная самопроверка: формат ответа сам сообщает, что ты ещё не закончил.

## Запомни для ЕГЭ

- $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
- $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
- $\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\,\log_a b$
- $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
- Сократил множитель — ограничение осталось. Выколотая точка никуда не делась

## На экзамене

- Задание 8 стоит 1 балл — держи его в пределах 3 минут. Это одно из самых дешёвых по времени заданий части 1, и на нём глупо застревать, когда впереди задачи по 2, 3 и 4 балла.
- Формул сокращённого умножения в справочных материалах **нет**. На профиле выдают ровно четыре формулы, и все четыре тригонометрические: $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$. Всё остальное — наизусть, и планировать подготовку надо исходя из этого.
- Зато выданное можно разворачивать. Из справочной $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ вместе с основным тождеством за пять секунд получаются обе рабочие формы: $1-2\sin^2\alpha$ и $2\cos^2\alpha - 1$. Выпиши их на черновик в самом начале экзамена, пока голова свежая.
- Формат ответа — бесплатная самопроверка. В № 8 ждут целое число или конечную десятичную дробь. Остался корень, логарифм или π — либо это не конец решения, либо ошибка. Ищи её сразу, не переписывая в бланк.
- Числа в № 8 всегда «хорошие»: степени двойки и тройки, логарифмы с целым значением, углы 30°, 45°, 60°, 90°, 135°. Если счёт полез в четырёхзначные числа или в длинную десятичную дробь — ты пошёл не тем путём. Вернись и поищи, что выносится или сворачивается.
- В № 16 преобразование — **первый шаг, а не ответ**. За 2 балла требуется вся цепочка: ОДЗ, приведение к одному виду, решение, пересечение с ОДЗ. По критериям 1 балл дают только за верную последовательность всех шагов при вычислительной ошибке — пропущенное ОДЗ спасти уже нечем.
- Сомневаешься в преобразовании — подставь число. Взял $x=1$ или $x=2$ (любое из области определения), посчитал исходное и полученное. Не сошлось — ошибка внутри, и ты нашёл её за полминуты вместо перечитывания всей выкладки.

## Словарь темы

- **Тождество** — Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Например, sin²α + cos²α = 1 верно для любого α, а x² = 4 — только для двух значений, и тождеством не является.
- **Тождественное преобразование** — Замена выражения на тождественно равное ему — то есть на такое, которое даёт те же значения при всех значениях переменной, где определены оба выражения. Именно последняя оговорка порождает выколотые точки при сокращении дробей.
- **Область определения выражения** — Множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл: знаменатель не равен нулю, под корнем чётной степени и под логарифмом стоит допустимое число. При преобразованиях она может незаметно расшириться — за этим следят отдельно.
- **Разложение на множители** — Представление выражения в виде произведения. Главный смысл на экзамене: множители можно сокращать и приравнивать к нулю по отдельности, а слагаемые — нет.
- **Формулы сокращённого умножения** — Готовые тождества для квадрата и куба суммы и разности, разности квадратов, суммы и разности кубов. В справочные материалы профильного ЕГЭ не входят.
- **Вынесение общего множителя** — Приём разложения на множители: общая часть всех слагаемых выносится за скобку. Работает и с многочленами, и со степенями, где общая часть спрятана в показателе: 3^(x+2) − 3^x = 3^x(9 − 1).
- **Группировка** — Приём разложения на множители, когда общего множителя сразу нет: слагаемые разбивают на группы, в каждой выносят своё, и общий множитель появляется между группами.
- **Сопряжённое выражение** — Для суммы a + b сопряжённой называют разность a − b, и наоборот. Умножение на сопряжённое даёт разность квадратов a² − b² и потому убирает корни: это стандартный способ избавиться от иррациональности в знаменателе.

## Частые вопросы

### Что такое тождественное преобразование?

Тождественное преобразование — замена выражения на тождественно равное ему, то есть на такое, которое даёт те же значения при всех значениях переменной, где определены оба выражения. Именно эта оговорка порождает выколотые точки при сокращении дробей.

### Как решать задания по теме «Преобразование выражений»?

Шаги такие:

1. сначала посмотри, куда идёшь
2. запиши ограничения до преобразований
3. приведи к одному виду
4. вынеси общий множитель или сверни по формуле
5. сокращай — и вслух проговори, что теряешь
6. проверь подстановкой числа.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Преобразование выражений»?

Теряют двойное произведение. (a-b)² — это a² - 2ab + b², а не a² - b². Средний член пропадает молча, ответ остаётся правдоподобным, и ошибку не видно до критериев. Разность квадратов a²-b² — это произведение (a-b)(a+b), совсем другая формула.

### Что нужно запомнить по теме «Преобразование выражений»?

Главное:

1. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
2. a² - b² = (a-b)(a+b)
3. (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
4. a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
5. logaᵏ b = 1/k logₐ b
6. cos 2α = 1 - 2 sin²α = 2 cos²α - 1.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.8 «Преобразование выражений».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.8 «Преобразование выражений» кодификатора ФИПИ-2026 по математике профильного уровня и в проекте КИМ 2027 проверяется заданиями 8 и 16.
- В проекте КИМ 2027 задание 8 — базового уровня, 1 балл; задание 16 — повышенного уровня, 2 балла.
- Ответ части 1 (задания 1–13, включая № 8) — целое число или конечная десятичная дробь. На этом построена самопроверка «остался корень — не конец решения».
- На профиле в справочных материалах выдают ровно четыре формулы, все тригонометрические: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Формул сокращённого умножения и основного тригонометрического тождества там нет.
- cos 2α = 1 − 2sin²α и cos 2α = 2cos²α − 1 выводятся из справочной формулы cos 2α = cos²α − sin²α подстановкой основного тождества.
- Формулы сокращённого умножения: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² − b² = (a−b)(a+b), (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³, a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).
- Сумма квадратов a² + b² не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, формулы для неё в школьном курсе нет.
- Формула перехода к новому основанию: log по основанию aᵏ от b равен (1/k)·logₐ b; её частный случай log₄(x+3) = (1/2)·log₂(x+3) — реальный шаг решения задания 16.
- Инвариант заданий 16: сначала ОДЗ, потом преобразование и решение, потом пересечение с ОДЗ. Критерий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
- Нули знаменателя выкалываются из ответа задания 16 даже после преобразований.
- Основное тригонометрическое тождество применимо только при одинаковом аргументе: sin²30° + cos²60° = 0,5, а не 1.
- sin²40° + sin²50° = 1 — но через формулу приведения sin 50° = cos 40°, а не прямым применением тождества.
- Вынесение общего множителя из степеней: 3^(x+2) − 3^x = 3^x(9 − 1) = 8·3^x; 5^(x+1) − 5^x = 5^x(5 − 1) = 4·5^x.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)
- [Формулы сокращённого умножения: все семь с примерами](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/preobrazovanie-vyrazheniy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.