---
title: "Применение производной к исследованию функций: правило и примеры"
description: "Исследовать функцию — значит понять её поведение, не строя график по точкам. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 9, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Применение производной к исследованию функций

Исследовать функцию — значит понять её поведение, не строя график по точкам: где она поднимается, где опускается, где у неё вершины и провалы. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): по знаку производной или её графику ищут рост, спад и экстремумы, а с 2027 года здесь же — наибольшее или наименьшее значение на отрезке.

Производная — это инструмент, которым функцию «просвечивают»: по её знаку видно, где функция растёт, где падает и где разворачивается. На профиле это задание 9 — найти точку экстремума, наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Разберём метод по шагам. Две главные ловушки темы: принять нуль производной сразу за экстремум и забыть про концы отрезка.

**Задание КИМ:** Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 9  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Как по производной понять, где функция возрастает и убывает?

Исследовать функцию — значит понять её поведение, не строя график по точкам: где она поднимается, где опускается, где у неё вершины и провалы. Ключ ко всему этому — **знак производной**. Как считать саму производную (таблица, правила суммы и множителя) — тема кода 4.1; здесь мы считаем это умение готовым и учимся по производной **читать функцию**.

Правило короткое и его стоит помнить наизусть: производная — это скорость изменения функции. Скорость положительна — значение растёт, скорость отрицательна — падает.

$$
f'(x) > 0 \ \text{на промежутке} \Rightarrow f \ \text{возрастает}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \ \text{убывает}
$$

Одна тонкость, на которой в задании 9 регулярно теряют балл: знак производной говорит о том, **растёт функция или падает**, а не о том, положительна ли она сама. Функция вполне может подниматься, оставаясь в минусе, — например, от −8 к −2. Не смешивай знак $f(x)$ (где график) со знаком $f'(x)$ (куда график идёт).

На этом одном правиле держатся оба вопроса, ради которых тема и существует на экзамене: **найти точку экстремума** (где функция разворачивается) и **найти наибольшее или наименьшее значение** на отрезке. Разберём их по очереди.

## Как найти точки экстремума функции?

Точку, где $f'(x_0) = 0$, называют **стационарной**: касательная к графику в ней горизонтальна. Но горизонтальная касательная сама по себе ещё не значит, что там вершина холма или дно ямы. Это самое важное место темы и любимая ловушка составителей.

Формально $f'(x_0) = 0$ — лишь **необходимое условие**: в точке экстремума производная обращается в ноль, но обратное неверно. Классический контрпример — $f(x) = x^3$. Её производная $f'(x) = 3x^2$ равна нулю при $x = 0$, но экстремума там нет: и слева, и справа производная положительна, функция всё время возрастает — просто на мгновение замирает и разгоняется снова.

Значит, стационарная точка — только **кандидат**. Чтобы он оказался настоящим экстремумом, нужно **достаточное условие**: производная должна **сменить знак** при переходе через эту точку.

$$
f' : \ - \to + \ \Rightarrow \ \text{минимум}; \qquad f' : \ + \to - \ \Rightarrow \ \text{максимум}
$$

Логика простая: функция сначала убывала ($f' < 0$), потом стала возрастать ($f' > 0$) — между ними у неё дно, точка минимума. Сменила рост на спад — вершина, точка максимума. Знак не сменился (как у $x^3$) — экстремума нет.

Пройдём метод на функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$. Приравниваем производную к нулю:

$$
f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0 \ \Rightarrow\ x = -3 \ \text{или}\ x = 1
$$

Два кандидата. Расставляем знаки производной по множителям. При $x < -3$ обе скобки отрицательны, произведение положительно — $f' > 0$. Между $-3$ и $1$ одна скобка сменила знак — $f' < 0$. При $x > 1$ снова $f' > 0$. Получилась цепочка **+ − +**. В точке $x = -3$ знак сменился с плюса на минус — это точка **максимума**, в точке $x = 1$ с минуса на плюс — точка **минимума**.

И различай два слова, которые на экзамене легко перепутать. **Точка минимума** — это значение аргумента $x$ (здесь $x = 1$). А **минимум** — уже само значение функции $y = f(1) = -5$. Задание спрашивает то одно, то другое, и это разные ответы.

*Рисунок: В вершине и на дне касательная горизонтальна (f' = 0). Слева от максимума f' > 0, между максимумом и минимумом f' < 0, справа снова f' > 0 — цепочка знаков + − +*

## Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Второй вопрос задания 9 (с 2027 года эта формулировка входит в него): «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a;\,b]$». Здесь спрятана ошибка, которая стоит балла чаще всего в этой теме, — забыть про концы отрезка.

Почему концы важны. Непрерывная функция (её график — сплошная линия без разрывов и скачков) на отрезке своё самое большое и самое маленькое значение обязательно где-то принимает. Но эта точка не всегда внутри: функция может расти до самого правого конца или падать до левого, так и не развернувшись внутри отрезка. Тогда рекорд стоит именно на конце, а стационарной точки внутри может и не быть вовсе.

Отсюда рабочий алгоритм. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается **либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов**. Поэтому найди стационарные точки, отбери те, что лежат внутри $[a;\,b]$, вычисли значение функции в них **и на обоих концах** $a$ и $b$, а затем сравни получившиеся числа и выбери нужное.

Обрати внимание на две вещи. Первая: сравниваем сами значения $f(x)$, а не точки. Вторая: различать минимум и максимум по знакам производной здесь уже не нужно — достаточно посчитать все значения-кандидаты и сравнить их напрямую. Это заметно короче, чем полное исследование со сменой знаков.

Если же вместо отрезка дан открытый промежуток или луч и внутри него ровно одна стационарная точка — ответ именно она. Единственный минимум на промежутке и есть наименьшее значение, единственный максимум — наибольшее. Но как только в условии появляются концы отрезка, из рассмотрения их не выкидывай.

*Рисунок: Наибольшее значение стоит на левом конце a, а самое маленькое — в стационарной точке внутри отрезка. Вот почему концы нельзя пропускать*

![Сравнение значений функции в концах отрезка и во внутренней стационарной точке](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy-1.png)

*На закрытом отрезке сравнивают значения в стационарных точках и на обоих концах.*

## Что можно узнать о функции по графику её производной?

Отдельный тип задания 9: дан не график функции, а график её **производной** $f'(x)$, и по нему нужно рассказать про саму функцию. Здесь подстерегает главная путаница — принять график производной за график функции. Перед глазами $f'$, а вопрос почти всегда про $f$.

Читается такой график по двум уже знакомым правилам. **Где график производной выше оси** ($f' > 0$), там функция **возрастает**. **Где ниже оси** ($f' < 0$) — **убывает**. А **точки, где график производной пересекает ось и меняет знак**, — это точки экстремума функции.

Отсюда быстрый приём для частого вопроса «сколько у функции точек экстремума»: посчитай, сколько раз график производной **пересекает ось со сменой знака**. Если производная лишь касается оси, не переходя на другую сторону (как у $x^3$ в нуле), — эта точка не считается: там нет смены знака, значит нет и экстремума.

И тот же признак различает максимум с минимумом. Пересечение оси **сверху вниз** (с плюса на минус) — точка максимума функции. **Снизу вверх** (с минуса на плюс) — точка минимума. Не наоборот: держи в голове, что минимум — это разворот с падения на рост, то есть $-\to+$.

## Вопросы задания 9 в одной таблице

*Что спрашивают, как отвечать по производной и где теряют балл*

| Вопрос | Что делать | Где ловушка |
| --- | --- | --- |
| Где функция растёт и где падает | $f'(x) > 0$ — возрастает, $f'(x) < 0$ — убывает | Знак f′ не равен знаку f: функция может подниматься в минусе, от −8 к −2 |
| Точка экстремума по формуле | Решить $f'(x) = 0$ и расставить знаки: − → + минимум, + → − максимум | Нуль производной — только кандидат: у x³ в нуле экстремума нет |
| Точка минимума или минимум | Точка — значение аргумента x, минимум — значение функции y = f(x) | У x³ + 3x² − 9x точка минимума x = 1, а минимум равен −5 |
| Наибольшее и наименьшее на отрезке | Посчитать f в стационарных точках внутри $[a;\,b]$ и на обоих концах, сравнить | Забыть концы отрезка: рекорд может стоять именно на конце |
| Промежуток без концов | Если внутри ровно одна стационарная точка, ответ — она | Как только появляются концы отрезка, их не выкидывают |
| Сколько точек экстремума по графику f′ | Посчитать пересечения оси со сменой знака | Касание оси без смены знака не считается |
| Максимум или минимум по графику f′ | Пересечение сверху вниз — максимум, снизу вверх — минимум | Не перепутать: минимум — разворот с падения на рост |

## Разбор: наибольшее значение на отрезке (№ 9)

**Условие.** Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ − 6x² + 5 на отрезке [1; 5].

**Решение.**

- **Ищем стационарные точки.** Считаем производную и приравниваем к нулю:
- $f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \text{или}\ x = 4$
- **Отбираем те, что внутри отрезка.** Отрезок — $[1;\,5]$. Точка $x = 4$ внутри, а $x = 0$ за пределами отрезка — её отбрасываем сразу.
- **Считаем значения-кандидаты:** в стационарной точке внутри и на обоих концах. Именно здесь чаще всего теряют балл — берут только $x = 4$ и забывают про концы.
- $f(1) = 1 - 6 + 5 = 0, \qquad f(4) = 64 - 96 + 5 = -27, \qquad f(5) = 125 - 150 + 5 = -20$
- **Сравниваем три числа** и выбираем наибольшее: $0 > -20 > -27$. Самое большое значение — $0$, и достигается оно на **конце** $x = 1$, а вовсе не в стационарной точке $x = 4$ — там как раз минимум.
- Вот почему концы нельзя пропускать: если бы мы взяли только стационарную точку, получили бы −27 и ошиблись бы в ответе на 27.

**Ответ:** 0 (достигается на конце x = 1).

## Как исследовать функцию производной

1. **Посчитай производную и приравняй к нулю.** Решение уравнения $f'(x) = 0$ даёт стационарные точки — кандидатов в экстремумы. Как дифференцировать — тема кода 4.1; здесь это готовый инструмент.
2. **Расставь знаки производной на числовой прямой.** Удобнее всего по множителям разложенной производной: подставь любое число из каждого промежутка. Плюс — функция возрастает, минус — убывает.
3. **Определи характер точки по смене знака.** С минуса на плюс — минимум, с плюса на минус — максимум. Знак не сменился — экстремума нет, просто стационарная точка.
4. **Для отрезка сравни значения на концах.** Наибольшее и наименьшее на $[a;\,b]$ ищи, вычисляя $f$ в стационарных точках внутри и на концах $a$, $b$, а потом сравнивая числа. Концы — обязательные кандидаты.
5. **Ответь ровно на заданный вопрос.** Спросили точку — это значение $x$. Спросили наибольшее или наименьшее значение — подставь и найди $y = f(x)$. Это разные ответы.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. В точке x₀ производная функции меняет знак с плюса на минус. Что это за точка для функции?
   - Точка максимума — **верный ответ**
   - Точка минимума
   - Точка, где функция равна нулю
   - Точка, где функция возрастает

   *Пояснение:* Слева от x₀ производная положительна — функция возрастает, справа отрицательна — убывает. Рост сменился спадом, значит в x₀ у функции вершина — точка максимума. Смена знака производной с плюса на минус всегда даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

2. Найдите точку минимума функции f(x) = x³ − 12x.
   - 2 — **верный ответ**
   - −2
   - 0
   - 12

   *Пояснение:* Производная f'(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) обращается в ноль при x = 2 и x = −2. Знаки образуют цепочку + − +: в точке x = −2 смена с плюса на минус (максимум), в точке x = 2 с минуса на плюс (минимум). Точка минимума — 2.

3. На отрезке [−3; 5] производная функции всюду положительна. В какой точке функция принимает наибольшее значение?
   - На правом конце x = 5 — **верный ответ**
   - На левом конце x = −3
   - В середине отрезка
   - Наибольшего значения нет

   *Пояснение:* Раз f' > 0 на всём отрезке, функция возрастает от левого конца к правому. Самое большое значение стоит в самой правой точке x = 5, самое маленькое — в x = −3. Стационарных точек внутри нет, поэтому ответ дают именно концы.

4. Дан график производной f'(x). В точке x₀ он пересекает ось Ox, меняя знак с минуса на плюс. Что это за точка для самой функции f?
   - Точка минимума — **верный ответ**
   - Точка максимума
   - Точка, где f(x₀) = 0
   - Точка, где f не определена

   *Пояснение:* Слева от x₀ производная отрицательна — функция убывает, справа положительна — возрастает. Функция сначала падает, потом растёт, значит в x₀ у неё дно — точка минимума. Про само значение f(x₀) график производной ничего не сообщает: не путай график f' с графиком f.

5. Производная функции равна f'(x) = 3x². Сколько у функции точек экстремума?
   - Ни одной — **верный ответ**
   - Одна
   - Две
   - Бесконечно много

   *Пояснение:* Выражение 3x² обращается в ноль только при x = 0, но знака не меняет: и слева, и справа оно положительно. Значит функция всюду возрастает, экстремума нет. Это ровно случай f(x) = x³ + C: горизонтальная касательная в нуле есть, а разворота нет.

6. Найдите наименьшее значение функции f(x) = x² − 6x + 11 на отрезке [0; 5].
   - 2 — **верный ответ**
   - 11
   - 6
   - −6

   *Пояснение:* Производная f'(x) = 2x − 6 равна нулю при x = 3 — точка внутри отрезка. Считаем кандидатов: f(3) = 9 − 18 + 11 = 2, f(0) = 11, f(5) = 25 − 30 + 11 = 6. Наименьшее из чисел 2, 11, 6 — это 2, и достигается оно в стационарной точке x = 3.

## Какие ошибки делают при исследовании функции с помощью производной?

- **Ошибка 1.** **Считают нуль производной сразу экстремумом.** Равенство $f'(x_0) = 0$ — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная **меняет знак**. У $f(x) = x^3$ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.
- **Ошибка 2.** **Забывают концы отрезка в наибольшем/наименьшем значении.** Рекорд непрерывной функции на $[a;\,b]$ достигается в стационарной точке внутри **или на конце**. Считать надо значения и в стационарных точках, и в $a$, и в $b$, а потом сравнивать. Пропустил концы — потерял балл.
- **Ошибка 3.** **Путают максимум с минимумом.** Минимум — там, где производная меняет знак с минуса на плюс ($-\to+$), максимум — с плюса на минус ($+\to-$). Перепутал направление смены — и ответ противоположный. Держи опору: минимум это дно, разворот с падения на рост.
- **Ошибка 4.** **Путают точку экстремума и само значение.** Точка минимума — это $x$, где дно; минимум (наименьшее значение) — это $y = f(x)$ в этой точке. Задание 9 спрашивает то одно, то другое. Перечитай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк.
- **Ошибка 5.** **Путают график функции с графиком её производной.** В задании 9 часто дают именно график $f'(x)$. Возрастание функции читается по тому, что производная **выше оси**, а не по тому, растёт ли сам график производной. Сначала пойми, чей график перед тобой.
- **Ошибка 6.** **Для наибольшего значения берут стационарную точку, не проверив её характер.** Стационарная точка внутри отрезка может оказаться **минимумом** — тогда наибольшее значение будет на конце, как в разборе выше (рекорд на $x = 1$, а в стационарной точке минимум). Поэтому и сравнивают все значения-кандидаты, а не хватаются за первую же стационарную точку.

## Запомни для ЕГЭ

- f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает
- Минимум: f' меняет знак − на +. Максимум: + на −
- f'(x₀) = 0 — только кандидат, проверь смену знака
- $(x^n)' = n x^{n-1}$
- Наиб/наим на [a; b]: стационарные точки внутри и оба конца a, b
- Точка экстремума — это x; наибольшее значение — это y = f(x)

## На экзамене

- Задание 9 стоит 1 балл и решается ориентировочно за 3–4 минуты. Не зависай: связка «знак производной — направление, смена знака — экстремум» закрывает почти все его варианты.
- В задании 9 первым делом пойми, чей график перед тобой — функции или её производной. Если производной, читай по знаку: выше оси — функция растёт, ниже — падает, пересечение со сменой знака — экстремум.
- В задании 9 на наибольшее/наименьшее значение сразу выписывай кандидатов: стационарные точки внутри отрезка плюс оба конца. Различать среди них максимумы и минимумы не обязательно — просто подставь все и сравни числа.
- Для квадратичной функции точка экстремума — это вершина параболы $x = -\dfrac{b}{2a}$: при $a > 0$ минимум, при $a < 0$ максимум. Производная даст тот же ответ, но вершина быстрее.
- Калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах профиля нет — там всего четыре тригонометрические формулы. Производную $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правила знай наизусть; числа в ответах всегда «хорошие», получился корявый корень — ищи ошибку.
- Перед тем как записать ответ, перечитай вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y). На этой мелочи в задании 9 теряют больше баллов, чем на самой производной.

## Словарь темы

- **Стационарная точка** — Точка, в которой производная равна нулю: f'(x) = 0. Касательная к графику в ней горизонтальна. Это кандидат в экстремумы, но ещё не обязательно экстремум.
- **Точка экстремума** — Значение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Определяется по смене знака производной при переходе через точку.
- **Максимум и минимум функции** — Само значение функции y = f(x) в точке максимума или минимума — в отличие от точки экстремума, которая является значением аргумента x. Задание 9 спрашивает то одно, то другое.
- **Необходимое условие экстремума** — Если у функции во внутренней точке есть экстремум, то её производная там равна нулю или не существует (второй случай — график с изломом, «уголком», как у y = |x| в нуле: вершина есть, а производной нет; в заданиях 8 и 12 такого не встречается — там всюду f'(x₀) = 0). Обратное неверно: контрпример f(x) = x³, где f'(0) = 0, но экстремума нет.
- **Достаточное условие экстремума** — Если производная при переходе через точку меняет знак — экстремум есть: с минуса на плюс это минимум, с плюса на минус максимум. Без смены знака экстремума нет.
- **Наибольшее и наименьшее значение на отрезке** — Самое большое и самое маленькое значение функции на отрезке [a; b]. Для непрерывной функции достигается в стационарной точке внутри отрезка либо на одном из его концов.

## Частые вопросы

### Что такое исследование функции?

Исследовать функцию — значит понять её поведение, не строя график по точкам: где она поднимается, где опускается, где у неё вершины и провалы. Ключ к этому — знак производной: положительна — значение растёт, отрицательна — падает.

### Как исследовать функцию производной?

Шаги такие:

1. посчитай производную и приравняй к нулю
2. расставь знаки производной на числовой прямой
3. определи характер точки по смене знака
4. для отрезка сравни значения на концах
5. ответь ровно на заданный вопрос.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Применение производной к исследованию функций»?

Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство f'(x₀) = 0 — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У f(x) = x³ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.

### Что нужно запомнить по теме «Применение производной к исследованию функций»?

Главное:

1. f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает
2. Минимум: f' меняет знак − на +. Максимум: + на −
3. f'(x₀) = 0 — только кандидат, проверь смену знака
4. (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 4.2 «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 4.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Применение производной к исследованию функций» (охват: экстремумы, наибольшее/наименьшее значение). В проекте КИМ 2027 она проверяется заданием 9 (с 2027 года в него входит и формулировка о наибольшем и наименьшем значении функции), начала анализа нужны и в новом задании 17.
- В проекте КИМ 2027 задание 9 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (задания 1–13 с кратким ответом по 1 баллу); задание 17 — часть 2, развёрнутый ответ, 2 балла.
- Достаточный признак монотонности: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0 — убывает.
- Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума производная равна нулю или не существует; оно не достаточно. Контрпример f(x) = x³: f'(x) = 3x² = 0 при x = 0, но знак не меняется — экстремума нет, функция всюду возрастает.
- Достаточный признак экстремума по первой производной: смена знака f' с − на + даёт минимум, с + на − — максимум; без смены знака экстремума нет.
- Точка экстремума (точка максимума/минимума) — это значение аргумента x, а максимум/минимум (наибольшее/наименьшее значение) — значение функции y = f(x). Это разные вопросы задания 9.
- Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов; концы обязательно включаются в сравнение.
- Наибольшее значение f(x) = x³ − 6x² + 5 на отрезке [1; 5] равно 0 и достигается на конце x = 1; в стационарной точке x = 4 находится минимум −27.
- По графику производной: где f'(x) выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает; точки пересечения оси со сменой знака — точки экстремума. Число точек экстремума равно числу пересечений оси со сменой знака; пересечение сверху вниз даёт максимум, снизу вверх — минимум.
- Точку экстремума квадратичной функции можно находить по вершине параболы x = −b/(2a): при a > 0 это минимум, при a < 0 — максимум.
- На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β)).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.