---
title: "Производная: определение, формулы, примеры"
description: "Производная — это скорость изменения функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение… ЕГЭ, задания 9, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Производная

Производная — это скорость изменения функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): угловой коэффициент и тангенс угла наклона касательной, скорость по закону движения, а с 2027 года и наибольшее или наименьшее значение функции. Считать производные придётся и в новом развёрнутом задании 17 (2 балла) — моделировании реальной ситуации.

Производная — это скорость, с которой меняется функция. За коротким определением стоят два смысла, которые на ЕГЭ путают чаще всего: геометрический — производная равна тангенсу угла наклона касательной, и механический — производная координаты по времени равна скорости. Плюс таблица производных и правила дифференцирования: на профиле их нужно знать наизусть. Это опора заданий 9 и 17.

**Задание КИМ:** Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл за № 9  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое производная функции простыми словами?

Возьмём любую функцию и зададим вопрос: насколько быстро она меняется в данной точке? Растёт медленно или круто? Именно на этот вопрос отвечает **производная**. Она измеряет не само значение функции, а темп, с которым это значение меняется.

Посмотрим, как это устроено. Дадим аргументу небольшую добавку $\Delta x$ и посмотрим, на сколько изменилась функция: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Отношение $\Delta y / \Delta x$ — это средняя скорость изменения на участке. Чтобы получить скорость **ровно в точке**, участок стягивают в точку: устремляют $\Delta x$ к нулю. Предел этого отношения и называют производной:

$$
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$

Производную обозначают штрихом: $f'(x)$ или $y'$. Саму операцию поиска производной называют **дифференцированием**. На ЕГЭ считать этот предел по определению почти не приходится: для всех школьных функций производные уже посчитаны и собраны в таблицу, а из готовых производных по нескольким правилам собирают любую формулу.

У одной и той же производной два прочтения, и на экзамене их постоянно путают. Если функция задаёт график, то $f'(x_0)$ — это наклон касательной в точке (геометрический смысл). Если функция задаёт координату тела во времени, та же $f'(x_0)$ — это скорость (механический смысл). Число считается одинаково, но означает разное — с этой развилки и начнём.

![Касательная к графику функции и треугольник наклона рядом с Мишей](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/proizvodnaya-1.png)

*Производная в точке показывает наклон касательной к графику функции.*

## В чём геометрический смысл производной?

Проведём к графику функции **касательную** в точке — прямую, которая в точке касания идёт вдоль графика, повторяя его направление. Оказывается, между этой касательной и производной есть точная связь, и на ней держится половина заданий 9.

Вспомни, как устроена прямая $y = kx + b$. Число $k$ называют **угловым коэффициентом**: оно показывает наклон прямой и равно тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Так вот, главный факт темы:

$$
f'(x_0) = k_{\text{кас}} = \operatorname{tg}\alpha
$$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке, а он равен тангенсу угла наклона. Отсюда сразу читается знак: если $f'(x_0) > 0$, касательная поднимается вправо (угол острый); если $f'(x_0) < 0$, опускается (угол тупой); если $f'(x_0) = 0$, касательная горизонтальна — параллельна оси $Ox$.

Зная производную, легко записать и саму касательную. Она проходит через точку касания $(x_0;\ f(x_0))$ с угловым коэффициентом $f'(x_0)$, поэтому её уравнение всегда одно и то же:

$$
y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
$$

Типичные формулировки задания 9 звучат так: «найдите угловой коэффициент касательной», «найдите тангенс угла наклона касательной», «в скольких точках касательная параллельна оси абсцисс (то есть оси Ox)». Все они — про одно и то же число $f'(x_0)$.

*Рисунок: Касательная касается графика в точке (x₀; f(x₀)); её угловой коэффициент k = tg α равен значению производной f'(x₀)*

## Как через производную найти скорость и ускорение?

Второй смысл производной пришёл из физики, и на нём построены прикладные задачи. Пусть тело движется по прямой, а его координата задана как функция времени $s(t)$. Тогда **мгновенная скорость** — это производная координаты по времени:

$$
v(t) = s'(t)
$$

Логика та же, что в определении: скорость — это темп, с которым меняется координата, а производная как раз измеряет темп изменения. А **ускорение** — темп изменения скорости, то есть производная от скорости, или вторая производная координаты:

$$
a(t) = v'(t) = s''(t)
$$

Разберём на числах. Пусть $s(t) = 2t^2 - 3t$ (координата в метрах, время в секундах). Тогда скорость $v(t) = s'(t) = 4t - 3$, и в момент $t = 2$ она равна $4 \cdot 2 - 3 = 5$ м/с. Ускорение $a(t) = v'(t) = 4$ м/с² — постоянное.

И вот здесь главная развилка темы, на которой теряют балл. **Не путай два смысла.** В геометрическом производная — это наклон касательной к графику функции. В механическом — скорость изменения координаты по времени. Операция одна и та же (дифференцирование), но отвечают эти производные на разные вопросы.

Простой приём — смотреть на слова условия. Говорят про «касательную», «угол наклона», «угловой коэффициент» — это геометрия, ищешь наклон. Говорят про «координату», «скорость», «время», «ускорение» — это механика, ищешь скорость.

## Какие производные основных функций нужно знать?

Чтобы дифференцировать, нужно знать производные основных функций. На профильной математике это критично: в справочных материалах экзамена таблицы производных нет (там только четыре тригонометрические формулы), а калькулятор запрещён. Значит, таблицу держим в голове. Вот рабочий минимум для ЕГЭ:

$$
C' = 0, \qquad x' = 1, \qquad (x^n)' = n x^{n-1}
$$

$$
\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}
$$

$$
(e^x)' = e^x, \qquad (a^x)' = a^x \ln a, \qquad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}
$$

$$
(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}
$$

Обрати внимание на несколько мест, где легко ошибиться. Производная косинуса — **со знаком минус**, а синуса — без; их постоянно путают. Производная $e^x$ равна самой себе, а вот у $a^x$ добавляется множитель $\ln a$. Константа при дифференцировании обращается в ноль — она ведь не меняется, а производная и есть скорость изменения.

Отдельно про степень. Формула $(x^n)' = n x^{n-1}$ работает не только для натуральных $n$. Корень и дробь удобно сводить к ней: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $1/x = x^{-1}$. Тогда, например, $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -1/x^2$ — та же табличная строчка, полученная из общего правила.

## Правила дифференцирования

Таблица даёт производные простых функций. Всё остальное собирают из них по четырём правилам. Их формулировки нужно знать дословно — именно здесь чаще всего перевирают знак или порядок множителей.

**Постоянный множитель выносится за знак производной, а производная суммы равна сумме производных:**

$$
(C u)' = C u', \qquad (u \pm v)' = u' \pm v'
$$

Благодаря им многочлен дифференцируется почленно. Например, $(3x^2 - 5x + 4)' = 6x - 5$: каждое слагаемое отдельно, свободный член 4 даёт ноль.

**Производная произведения** — не произведение производных, а сумма из двух слагаемых:

$$
(u v)' = u' v + u v'
$$

Смотри: $(x^2 e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(x^2 + 2x)$. Написать просто $2x \cdot e^x$ — грубая ошибка: пропущено второе слагаемое.

**Производная частного** — дробь, в числителе которой важен и порядок, и знак:

$$
\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}
$$

В числителе первым идёт $u' v$, потом минус $u v'$, а внизу — квадрат знаменателя. Например, $\left(\dfrac{x}{x+1}\right)' = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.

**Производная сложной функции** (функции от функции) — цепное правило. Дифференцируем внешнюю функцию, считая внутреннюю единым аргументом, и домножаем на производную внутренней:

$$
\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

Например, $\bigl((2x+1)^3\bigr)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$, а $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$. Забыть множитель $g'(x)$ (в этих примерах — двойку и тройку) — самая частая ошибка на цепном правиле.

## Таблица производных

*Рабочий минимум для ЕГЭ: в справочных материалах экзамена этой таблицы нет*

| Функция | Производная |
| --- | --- |
| Константа C и x | $C' = 0, \qquad x' = 1$ |
| Степень $x^n$ | $(x^n)' = n x^{n-1}$ |
| Корень $\sqrt{x}$ | $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| Дробь $\dfrac{1}{x}$ | $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ |
| Экспонента $e^x$ | $(e^x)' = e^x$ |
| Показательная $a^x$ | $(a^x)' = a^x \ln a$ |
| Логарифм $\ln x$ | $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ |
| Синус | $(\sin x)' = \cos x$ |
| Косинус | $(\cos x)' = -\sin x$ — со знаком минус |
| Тангенс | $(\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ |

## Смыслы производной и правила дифференцирования

*Формулы темы: что означает производная и как её считать*

| Правило | Формула | Когда применять |
| --- | --- | --- |
| Геометрический смысл | $f'(x_0) = k_{\text{кас}} = \operatorname{tg}\alpha$ | В условии «касательная», «угол наклона», «угловой коэффициент» |
| Уравнение касательной | $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ | Касательная через точку (x₀; f(x₀)) |
| Мгновенная скорость | $v(t) = s'(t)$ | В условии «координата», «скорость», «время» |
| Ускорение | $a(t) = v'(t) = s''(t)$ | Темп изменения скорости |
| Множитель и сумма | $(C u)' = C u', \qquad (u \pm v)' = u' \pm v'$ | Многочлен дифференцируют почленно |
| Произведение | $(u v)' = u' v + u v'$ | Два слагаемых, а не произведение производных |
| Частное | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$ | Важны порядок и знак в числителе |
| Сложная функция | $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | Функция от функции: не забыть множитель g′(x) |

## Разбор: угловой коэффициент и уравнение касательной (№ 9)

**Условие.** Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке с абсциссой x₀ = 2 и запишите уравнение этой касательной.

**Решение.**

- **Находим производную** — почленно, по правилу степени и суммы. Свободный член 1 даёт ноль:
- $f'(x) = 3x^2 - 4x$
- **Считаем угловой коэффициент.** Он равен значению производной в точке касания: $k = f'(x_0) = f'(2)$.
- $k = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4$
- Значит, угловой коэффициент равен 4. Это и есть тангенс угла наклона касательной — угол острый, касательная поднимается.
- **Находим точку касания.** Для уравнения нужна ещё ордината — значение самой функции в этой точке:
- $f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$
- **Подставляем в уравнение касательной** $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
- $y = 1 + 4(x - 2) = 4x - 7$
- Если бы в задании 9 спросили только угловой коэффициент (или тангенс угла наклона), ответом было бы одно число — 4. Уравнение касательной — это следующий шаг, когда нужна вся прямая.

**Ответ:** Угловой коэффициент k = 4; уравнение касательной y = 4x − 7.

## Как найти и применить производную

1. **Пойми, что спрашивают.** Значение производной в точке, угловой коэффициент касательной, скорость тела — это подскажет, какой смысл производной нужен и что подставлять в конце.
2. **Сначала упрости выражение, потом дифференцируй.** Раскрой скобки, а корень и дробь запиши степенью: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $1/x = x^{-1}$. Часто после этого правило произведения или частного вообще не нужно — многочлен дифференцируется почленно.
3. **Найди производную по таблице и правилам.** Постоянный множитель выноси, сумму дифференцируй почленно, для произведения и частного — свои формулы, для функции от функции не забудь домножить на производную внутренней.
4. **Подставь нужную точку.** Значение $f'(x_0)$ — это и есть угловой коэффициент $k = \operatorname{tg}\alpha$ в геометрии или скорость $v = s'(t_0)$ в механике.
5. **Доведи до ответа на вопрос.** Нужна касательная — подставь в $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Нужно число — запиши его. Проверь знак и разумность: корявый корень в ответе базового задания — сигнал ошибки.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x² − 3x в точке с абсциссой x = 2.
   - 1 — **верный ответ**
   - −2
   - 4
   - 7

   *Пояснение:* Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке. f'(x) = 2x − 3, значит k = f'(2) = 2·2 − 3 = 1. Вариант −2 — это значение самой функции f(2) = 4 − 6 = −2, а не производной: точку касания и наклон легко перепутать.

2. Тело движется по прямой, его координата задана функцией s(t) = t² + 4t (t — время в секундах). Найдите скорость тела в момент t = 3.
   - 21
   - 10 — **верный ответ**
   - 12
   - 7

   *Пояснение:* Мгновенная скорость — производная координаты по времени: v(t) = s'(t) = 2t + 4. При t = 3 получаем v(3) = 2·3 + 4 = 10 м/с. Вариант 21 — это сама координата s(3) = 9 + 12 = 21, то есть где тело находится, а не как быстро движется.

3. Найдите производную функции y = (2x + 1)³.
   - 3(2x + 1)²
   - 6(2x + 1)² — **верный ответ**
   - (2x + 1)²
   - 6x + 1

   *Пояснение:* Это сложная функция: внешняя — куб, внутренняя — 2x + 1. По цепному правилу y' = 3(2x + 1)² · (2x + 1)' = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Вариант 3(2x + 1)² — типичная ошибка: забыли домножить на производную внутренней функции, то есть на двойку.

4. Найдите производную функции y = x · sin x.
   - cos x
   - sin x + x cos x — **верный ответ**
   - x cos x
   - cos x − x sin x

   *Пояснение:* Это произведение, работает правило (uv)' = u'v + uv'. Здесь u = x, v = sin x, поэтому y' = 1 · sin x + x · cos x = sin x + x cos x. Вариант x cos x — попытка перемножить производные (x)'·(sin x)' или взять только второе слагаемое; производная произведения так не считается.

5. Координата тела на прямой задана функцией s(t). Что физически означает значение s'(t₀)?
   - Ускорение тела в момент t₀
   - Путь, пройденный к моменту t₀
   - Мгновенную скорость тела в момент t₀ — **верный ответ**
   - Координату тела в момент t₀

   *Пояснение:* Производная координаты по времени — это мгновенная скорость: v = s'(t). Ускорение было бы уже второй производной a = s''(t). Здесь работает механический смысл производной, а не геометрический: речь про скорость изменения координаты, а не про наклон касательной.

6. Касательная к графику функции в точке x₀ параллельна оси абсцисс. Чему равна f'(x₀)?
   - 0 — **верный ответ**
   - 1
   - −1
   - Определить нельзя

   *Пояснение:* Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона: k = f'(x₀) = tg α. Прямая, параллельная оси Ox, образует с ней угол 0°, а tg 0° = 0. Значит, f'(x₀) = 0. Именно по условию f'(x) = 0 в задании 9 ищут точки, где касательная горизонтальна.

## Какие ошибки делают при нахождении производной?

- **Ошибка 1.** **Считают производную произведения произведением производных.** Правило другое: $(uv)' = u'v + uv'$ — сумма из двух слагаемых. Записать $u'v'$ — значит потерять половину ответа. То же с частным: $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$, а не частное производных.
- **Ошибка 2.** **Забывают домножить на производную внутренней функции.** В $(2x+1)^3$ внутри сидит $2x+1$, и по цепному правилу нужен множитель $(2x+1)' = 2$: ответ $6(2x+1)^2$, а не $3(2x+1)^2$. Проверь: у любой функции от $kx$ в производной вылезает множитель $k$.
- **Ошибка 3.** **Путают знак у косинуса.** $(\sin x)' = \cos x$ (без минуса), а $(\cos x)' = -\sin x$ (с минусом). Их зеркалят по ошибке. Заодно помни: у $a^x$ производная $a^x \ln a$, а не просто $a^x$ — самого себя воспроизводит только $e^x$.
- **Ошибка 4.** **Смешивают геометрический и механический смысл.** Спрашивают угол наклона касательной — ищешь $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$. Спрашивают скорость по координате $s(t)$ — ищешь $v = s'(t)$. Дифференцирование одно, но подставляешь и трактуешь результат по-разному. Смотри на слова условия: «касательная, угол» или «скорость, время».
- **Ошибка 5.** **Рассчитывают на таблицу производных на экзамене.** На профиле в справочных материалах её нет — только четыре тригонометрические формулы. Таблицу производных и правила придётся знать наизусть, иначе задание 9 просто не с чего начать.
- **Ошибка 6.** **Путают точку касания и наклон.** В точке $x_0$ есть два разных числа: $f(x_0)$ — где находится график, и $f'(x_0)$ — насколько круто он идёт. Угловой коэффициент касательной — это второе. Не подставь по инерции значение функции вместо производной.

## Запомни для ЕГЭ

- $(x^n)' = n x^{n-1}$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной
- Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t)
- Таблицы производных на профиле не выдают — знай наизусть

## На экзамене

- Задание 9 стоит 1 балл и решается за 3–4 минуты. Связка «производная — это наклон касательной и скорость изменения» плюс таблица и правила закрывают почти все его варианты.
- Первым делом упрощай выражение: раскрой скобки, замени корень степенью, сократи дробь. Часто после этого функция становится многочленом и дифференцируется почленно — тяжёлые правила произведения и частного не понадобятся.
- Определи по словам условия, какой смысл производной нужен. «Угловой коэффициент», «тангенс угла наклона», «касательная параллельна оси» — это геометрия, ответ $f'(x_0)$. «Скорость», «координата», «ускорение» — механика, ответ $s'(t)$ или $s''(t)$.
- Калькулятора и таблицы производных на профиле не будет. Держи в голове таблицу и четыре правила; числа в ответах базового задания всегда «хорошие» — получился корявый корень, ищи ошибку в дифференцировании.
- Производная нужна и в вопросе о наибольшем и наименьшем значении — с 2027 года эта формулировка входит в задание 9: сначала находишь $f'(x)$, а потом по ней исследуешь функцию (точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение — это уже отдельная тема). Поэтому ошибка в самой производной тянет за собой и весь дальнейший ответ — считай её особенно аккуратно.

## Словарь темы

- **Производная** — Скорость изменения функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Обозначается f'(x) или y'.
- **Дифференцирование** — Операция нахождения производной функции. Выполняется по таблице производных и правилам дифференцирования: для суммы, постоянного множителя, произведения, частного и сложной функции.
- **Касательная** — Прямая, которая в точке касания идёт вдоль графика функции, повторяя его направление. Её угловой коэффициент равен значению производной в этой точке.
- **Угловой коэффициент** — Число k в уравнении прямой y = kx + b. Показывает наклон прямой и равно тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси Ox. Для касательной k = f'(x₀).
- **Мгновенная скорость** — Скорость тела в данный момент времени. Равна производной координаты по времени: v(t) = s'(t). Ускорение — производная скорости, то есть вторая производная координаты.
- **Сложная функция** — Функция от функции, например (2x + 1)³ или sin 3x. Дифференцируется по цепному правилу: производная внешней функции умножается на производную внутренней.

## Частые вопросы

### Что такое производная?

Производная — скорость изменения функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Она измеряет не само значение функции, а темп, с которым это значение меняется.

### Как решать задания по теме «Производная»?

Шаги такие:

1. пойми, что спрашивают
2. сначала упрости выражение, потом дифференцируй
3. найди производную по таблице и правилам
4. подставь нужную точку
5. доведи до ответа на вопрос.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Производная»?

Считают производную произведения произведением производных. Правило другое: (uv)' = u'v + uv' — сумма из двух слагаемых. Записать u'v' — значит потерять половину ответа. То же с частным: (u/v)' = (u'v - uv')/v², а не частное производных.

### Что нужно запомнить по теме «Производная»?

Главное:

1. (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
2. (uv)' = u'v + uv'
3. (u/v)' = (u'v - uv')/v²
4. (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
5. Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной
6. Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 4.1 «Производная функции. Производные элементарных функций».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 4.1 кодификатора ФИПИ «Производная функции. Производные элементарных функций». В проекте КИМ 2027 она проверяется заданием 9 (с 2027 года в него входит и формулировка о наибольшем и наименьшем значении функции), начала анализа нужны и в новом задании 17.
- В проекте КИМ 2027 задание 9 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (краткий ответ). В задании 9 проверяют функции и производные: значение производной, касательную, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, площадь через интеграл.
- Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0; обозначается f'(x) или y'; операция называется дифференцированием.
- Геометрический смысл: производная f'(x₀) равна угловому коэффициенту касательной в точке x₀, а он равен тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
- Механический смысл: если s(t) — координата тела, то мгновенная скорость v(t) = s'(t), а ускорение a(t) = v'(t) = s''(t).
- Таблица производных для ЕГЭ: C' = 0, x' = 1, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x², (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ·ln a, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tg x)' = 1/cos²x.
- Правила дифференцирования: (Cu)' = Cu', (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v², (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
- Для f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке x₀ = 2 угловой коэффициент касательной k = 4, уравнение касательной y = 4x − 7.
- На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Таблица интегралов и первообразных](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.