---
title: "Прямые и плоскости в пространстве ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Прямые и плоскости в пространстве — это раздел стереометрии о том, как прямые и плоскости расположены друг относительно друга. Разбор для ЕГЭ, задания 3, 15."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 3 КИМ (1 балл); ядро задания 15 (3 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве — это раздел стереометрии о том, как прямые и плоскости расположены друг относительно друга: пересекаются, параллельны, перпендикулярны или, в случае прямых, скрещиваются. На ЕГЭ тема нужна в задании 3 (1 балл) и составляет ядро развёрнутого задания 15 (3 балла), где считают углы и расстояния между прямыми и плоскостями.

Пространство — не плоскость: две прямые здесь могут не пересекаться и при этом не быть параллельными. Эта тема учит видеть взаимное расположение прямых и плоскостей и правильно считать углы и расстояния между ними — то, на чём стоит всё задание 15 (3 балла), а в задании 3 она появляется лишь эпизодически. Главная опора — теорема о трёх перпендикулярах и грамотно построенный угол.

**Задание КИМ:** Задание 3 КИМ (1 балл); ядро задания 15 (3 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл (задание 3); задание 15 — 3 балла  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Как могут располагаться прямые и плоскости в пространстве?

На плоскости две несовпадающие прямые либо пересекаются, либо параллельны — третьего не дано. В пространстве появляется третий случай, и именно он даёт больше всего ошибок. Для двух прямых в пространстве есть три варианта. **Пересекаются** — лежат в одной плоскости и имеют общую точку. **Параллельны** — лежат в одной плоскости, но общих точек нет. **Скрещиваются** — не лежат ни в одной общей плоскости и общих точек не имеют.

Ключевые слова в определении параллельности — «в одной плоскости». Если две прямые не пересекаются, это ещё не значит, что они параллельны: сначала проверь, лежат ли они в одной плоскости. Возьми куб: ребро $AA_1$ и ребро $BC$ не пересекаются, но никакая плоскость не содержит их обоих — они скрещиваются.

У прямой и плоскости тоже три возможности: прямая **лежит в плоскости**, **параллельна** ей (общих точек нет) или **пересекает** её ровно в одной точке. С двумя плоскостями проще: они либо **параллельны**, либо **пересекаются по прямой**. Одной общей точки у двух плоскостей не бывает — если пересеклись, то сразу по целой линии.

Зачем это на экзамене: почти каждый пункт задания 15 начинается с того, что ты определяешь, как расположены нужные прямые и плоскости. Ошибёшься здесь — весь дальнейший счёт пойдёт не туда.

*Рисунок: Рёбра AA₁ и BC куба не пересекаются и не параллельны — они скрещиваются*

![Прямые в разных положениях относительно плоскости и Миша с прозрачной моделью](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve-1.png)

*В пространстве прямые могут лежать в плоскости, пересекать её или быть скрещивающимися.*

## Параллельность: признаки, которые реально нужны

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, не надо перебирать все прямые в этой плоскости. Работает **признак**: если прямая не лежит в плоскости и параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Нашёл в плоскости одну прямую-двойника — параллельность доказана.

Для двух плоскостей похоже: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Слово «пересекающиеся» здесь обязательно — по одной паре параллельных прямых судить о плоскостях нельзя.

И ещё одно свойство, без которого не обойтись в пункте с построением сечения: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны между собой. Поэтому если секущая плоскость проходит через две противоположные грани параллелепипеда, отрезки, которые она отсекает на этих гранях, окажутся параллельны.

## Что такое теорема о трёх перпендикулярах и как её применять?

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Проверять «каждую» невозможно, поэтому работает **признак**: если прямая перпендикулярна **двум пересекающимся** прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Две — и обязательно пересекающиеся: одной прямой мало, а двух параллельных недостаточно — они задают лишь одно направление, и перпендикулярность им равносильна перпендикулярности одной прямой.

Как только доказал, что прямая перпендикулярна плоскости, ты бесплатно получаешь её перпендикулярность любой прямой, лежащей в этой плоскости, — это и есть определение. На этом шаге строится половина доказательств в пункте а задания 15.

**Перпендикуляр, наклонная, проекция.** Опусти из точки $S$ перпендикуляр $SO$ на плоскость — точка $O$ станет его основанием. Любой другой отрезок из $S$ в плоскость называют **наклонной**, а отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной — её **проекцией**. Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, поэтому именно его длина и есть кратчайшее расстояние от точки до плоскости.

**Теорема о трёх перпендикулярах.** Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной. Проще говоря: чтобы проверить перпендикулярность прямой в плоскости и наклонной, достаточно проверить её перпендикулярность проекции — а это уже видно на плоском чертеже. Теорема работает в обе стороны и служит главным инструментом, когда нужно построить линейный угол двугранного угла или добраться до расстояния.

*Рисунок: Перпендикуляр, наклонная и её проекция: если прямая a перпендикулярна проекции, то она перпендикулярна и наклонной*

## Как найти угол между прямыми и между прямой и плоскостью?

Угол между прямыми в пространстве всегда берут **острым или прямым** — от 0° до 90°. Для пересекающихся прямых это просто угол между ними. Для **скрещивающихся** приём такой: через любую удобную точку проводим прямые, параллельные данным, — получаются две пересекающиеся прямые, и угол между ними и есть искомый. От выбора точки ответ не зависит.

На кубе это делается почти в уме: чтобы найти угол между скрещивающимися $AB_1$ и $BC_1$, замечаешь, что $BC_1$ параллельно $AD_1$, и считаешь угол между $AB_1$ и $AD_1$ уже в обычном треугольнике — полный разбор в примере ниже.

**Угол между прямой и плоскостью** — это угол между прямой и её **проекцией** на плоскость. Он же оказывается наименьшим из всех углов, которые прямая образует с прямыми плоскости. Чтобы его найти, опусти из точки прямой перпендикуляр на плоскость, соедини основание перпендикуляра с точкой, где прямая протыкает плоскость, — и работай в получившемся прямоугольном треугольнике.

Крайние случаи стоит помнить отдельно: если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, угол равен 0°; если перпендикулярна плоскости — угол считают равным 90°. Быстрый пример на кубе с ребром $a$: диагональ грани $AB_1$ и плоскость основания. Проекция $AB_1$ на основание — это ребро $AB$, а $BB_1 = AB = a$, поэтому $\tan\varphi = BB_1/AB = 1$ и угол равен 45°.

*Рисунок: Угол φ между прямой и её проекцией на плоскость — это и есть угол между прямой и плоскостью*

## Угол между плоскостями и двугранный угол

**Двугранный угол** образован двумя полуплоскостями, выходящими из общей прямой — **ребра**. Чтобы его измерить, строят **линейный угол**: на ребре берут точку и из неё в каждой грани проводят луч, **перпендикулярный ребру**. Угол между этими двумя лучами и есть величина двугранного угла. «Перпендикулярный ребру» — не украшение: луч, проведённый под другим углом, даст неверное число.

Строить линейный угол помогает теорема о трёх перпендикулярах. Типичный ход в четыре шага: 1) опусти перпендикуляр из точки одной грани на плоскость другой; 2) из его основания опусти перпендикуляр на ребро; 3) проекция и наклонная сами достраивают линейный угол; 4) считай его в получившемся прямоугольном треугольнике.

Тонкость, на которой теряют баллы. **Двугранный угол** может быть тупым — он измеряется от 0° до 180°. А вот **угол между двумя плоскостями** по определению острый или прямой — от 0° до 90°. Если в задании 15 просят «двугранный угол при ребре», считай честный угол, он вполне может оказаться больше 90°. Если просят «угол между плоскостями» — бери острый. Разница в одном слове меняет ответ, поэтому читай условие дословно.

## Как найти расстояние до плоскости и между скрещивающимися прямыми?

**Расстояние от точки до плоскости** — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Не наклонной, а именно перпендикуляра: он самый короткий. Найти его можно двумя путями — построить перпендикуляр напрямую, если видно, куда он падает, либо через объём: если точка и плоскость служат вершиной и гранью пирамиды, то из $V = \tfrac13 S h$ высота $h$ и есть искомое расстояние.

**Расстояние между скрещивающимися прямыми** — длина их **общего перпендикуляра**, то есть отрезка, перпендикулярного сразу обеим. Такой отрезок всегда существует и единственен. На практике удобнее другое: заключить две скрещивающиеся прямые в две параллельные плоскости — расстояние между этими плоскостями и равно расстоянию между прямыми.

Оба расстояния почти всегда сводятся к плоскому прямоугольному треугольнику или к уравнению для объёма. Никакой особой «пространственной» формулы зубрить не нужно: нужен аккуратный чертёж и умение опустить перпендикуляр в правильном месте.

## Углы и расстояния в одной таблице

*Как построить нужный угол или расстояние и в каких пределах он лежит*

| Что ищем | Как построить | Что важно помнить |
| --- | --- | --- |
| Угол между пересекающимися прямыми | Угол между самими прямыми | Берут острый или прямой: от 0° до 90° |
| Угол между скрещивающимися прямыми | Через удобную точку проводят прямые, параллельные данным | От выбора точки не зависит; от 0° до 90° |
| Угол между прямой и плоскостью | Угол между прямой и её проекцией на плоскость | Прямая в плоскости или параллельна ей — 0°, перпендикулярна — 90° |
| Двугранный угол | Линейный угол: из точки ребра в каждой грани луч, перпендикулярный ребру | Может быть тупым: от 0° до 180° |
| Угол между плоскостями | Тот же линейный угол | Берут острый или прямой: от 0° до 90° |
| Расстояние от точки до плоскости | Длина перпендикуляра из точки на плоскость или высота h из $V = \tfrac13 S h$ | Перпендикуляр короче любой наклонной |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | Длина общего перпендикуляра | Равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые |

## Признаки параллельности и перпендикулярности

*Что достаточно проверить, чтобы получить нужный вывод*

| Признак | Что проверить | Что получаем |
| --- | --- | --- |
| Параллельность прямой и плоскости | Прямая не лежит в плоскости и параллельна хотя бы одной прямой этой плоскости | Прямая параллельна всей плоскости |
| Параллельность плоскостей | Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой | Плоскости параллельны |
| Перпендикулярность прямой и плоскости | Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости | Прямая перпендикулярна любой прямой этой плоскости |
| Теорема о трёх перпендикулярах | Прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной | Она перпендикулярна и самой наклонной; верно и обратное |
| Третья плоскость пересекает две параллельные | Линии пересечения | Линии пересечения параллельны между собой |

## Разбор: угол между скрещивающимися прямыми

**Условие.** В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найди угол между скрещивающимися прямыми AB₁ и BC₁ — обе они диагонали граней куба.

**Решение.**

- Прямые $AB_1$ и $BC_1$ не лежат в одной плоскости — они скрещиваются. Значит, одну из них нужно параллельно перенести к другой, чтобы получить пересекающиеся прямые.
- Заметь, что $BC_1$ параллельно и равно $AD_1$: рёбра $AD$ и $BC$ параллельны и равны как противоположные стороны квадрата $ABCD$, а рёбра $DD_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Поэтому угол между $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle B_1AD_1$.
- Теперь всё в одном треугольнике $AB_1D_1$. Каждая его сторона — диагональ грани куба, а диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt2$:
- $AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2}$
- Все три стороны равны — треугольник равносторонний, а в нём каждый угол равен 60°. Значит, искомый угол:
- $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$
- Обрати внимание: ребро $a$ в ответ не вошло вовсе. Угол между прямыми не зависит от размера куба — масштаб углы не меняет, это стоит держать в голове как проверку.

**Ответ:** 60°.

## Как подступиться к стереометрии задания 15

1. **Определи взаимное расположение.** Прямые пересекаются, параллельны или скрещиваются? Прямая с плоскостью — лежит, параллельна или пересекает? От этого зависит весь дальнейший метод.
2. **Крупный чертёж плюс вынесенное плоское сечение.** Почти всё вычисление идёт в обычном треугольнике. Отдельный аккуратный рисунок этого треугольника рядом с общим чертежом экономит и время, и баллы.
3. **Угол между скрещивающимися — параллельным переносом.** Сдвинь одну прямую к другой, получи пересекающиеся и найди угол в треугольнике через теорему косинусов или прямоугольный треугольник.
4. **Угол с плоскостью и двугранный — через перпендикуляр и теорему о трёх перпендикулярах.** Опусти перпендикуляр на плоскость или на ребро, построй проекцию. Линейный угол двугранного строй строго перпендикулярно ребру.
5. **Расстояние — это перпендикуляр.** Точка до плоскости — через объём пирамиды или прямой перпендикуляр; между скрещивающимися — общий перпендикуляр либо две параллельные плоскости.
6. **В пункте а именно доказывай.** Ссылка на признак, теорему о трёх перпендикулярах или полный координатный расчёт — это доказательство. Фраза «из чертежа видно» балла не даёт.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. На плоскости две несовпадающие прямые либо пересекаются, либо параллельны. Какой третий случай добавляется в пространстве?
   - Никакой, случаев по-прежнему два
   - Прямые могут скрещиваться — **верный ответ**
   - Прямые могут совпасть
   - Прямые могут стать перпендикулярными

   *Пояснение:* В пространстве две прямые могут не пересекаться и при этом не лежать в одной плоскости — тогда они скрещиваются. Совпадение и перпендикулярность сюда не относятся: перпендикулярные прямые всё равно либо пересекаются, либо скрещиваются.

2. Прямая перпендикулярна одной прямой, лежащей в плоскости. Следует ли отсюда, что она перпендикулярна всей плоскости?
   - Да, одной прямой достаточно
   - Нет: нужны две пересекающиеся прямые плоскости — **верный ответ**
   - Да, если та прямая проходит через основание перпендикуляра
   - Нет, нужны сразу все прямые плоскости

   *Пояснение:* Признак перпендикулярности требует перпендикулярности двум пересекающимся прямым плоскости. Одной мало: прямая может быть перпендикулярна какой-то прямой плоскости, но к самой плоскости идти под наклоном.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотрим прямые AA₁ и BC. Как они расположены и каков угол между ними?
   - Пересекаются, угол 90°
   - Параллельны, угол 0°
   - Скрещиваются, угол 90° — **верный ответ**
   - Скрещиваются, угол 45°

   *Пояснение:* AA₁ и BC не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости — скрещиваются. AA₁ вертикально, BC горизонтально, их направления перпендикулярны, поэтому угол между этими скрещивающимися прямыми равен 90°. Скрещивающиеся прямые вполне могут быть перпендикулярны.

4. Чем по определению является угол между прямой и плоскостью?
   - Углом между прямой и перпендикуляром к плоскости
   - Углом между прямой и её проекцией на плоскость — **верный ответ**
   - Он всегда равен 90°
   - Углом между прямой и любой прямой плоскости

   *Пояснение:* Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, он же наименьший из углов с прямыми плоскости. Угол с перпендикуляром к плоскости дополняет его до 90° — это самая частая подмена.

5. Расстояние от точки до плоскости — это длина...
   - любой наклонной из точки на плоскость
   - самой короткой наклонной
   - перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость — **верный ответ**
   - проекции наклонной на плоскость

   *Пояснение:* Кратчайший путь от точки до плоскости — перпендикуляр, его длина и есть расстояние. Любая наклонная длиннее перпендикуляра, поэтому «самой короткой наклонной» не существует: короче перпендикуляра ничего нет.

## Какие ошибки делают в задачах на прямые и плоскости в пространстве?

- **Ошибка 1.** **Забывают про скрещивающиеся прямые.** Рассуждают по-плоскостному: раз прямые не пересекаются — значит, параллельны. В пространстве это неверно. Прежде чем назвать прямые параллельными, убедись, что они лежат в одной плоскости.
- **Ошибка 2.** **Берут угол между скрещивающимися прямыми «как нарисовалось».** Пока прямые не сведены к общей точке параллельным переносом, никакого угла между ними на чертеже просто нет. И берут его острым: тупой угол между прямыми — уже ошибка.
- **Ошибка 3.** **Путают угол прямой с плоскостью и угол с перпендикуляром к ней.** Нужен угол с проекцией на плоскость, а не с нормалью (перпендикуляром к плоскости). Эти два угла в сумме дают 90°, поэтому подмена мгновенно уводит ответ в сторону.
- **Ошибка 4.** **Считают, что перпендикулярности одной прямой хватает.** Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна **двум пересекающимся** прямым этой плоскости. Одна прямая — ещё не доказательство.
- **Ошибка 5.** **Строят линейный угол двугранного не перпендикулярно ребру.** Оба луча в гранях обязаны быть перпендикулярны ребру и выходить из одной его точки. Луч под произвольным углом даёт неверное значение двугранного угла.
- **Ошибка 6.** **В пункте а задания 15 пишут «из рисунка видно».** Пункт а стоит балла именно за доказательство — со ссылкой на признак, теорему о трёх перпендикулярах или на координатный расчёт. Ссылка на очевидность балла не приносит.

## Запомни для ЕГЭ

- Прямые в пространстве: пересекаются, параллельны или скрещиваются
- Прямая ⊥ плоскости, если она ⊥ двум пересекающимся прямым в ней
- Угол между скрещивающимися — параллельным переносом, всегда 0°–90°
- Угол прямой с плоскостью — это угол с её проекцией на плоскость
- Теорема о трёх перпендикулярах: прямая ⊥ наклонной ⇔ ⊥ её проекции
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра

## На экзамене

- Задание 15 стоит 3 балла и делится на два пункта: а — доказательство, б — вычисление. Пункт а часто проще, чем кажется, и приносит целый балл за аккуратную ссылку на признак или теорему. Не пропускай его, даже если пункт б не берёшь.
- У стереометрии задания 15 два честных подхода. Синтетический — перпендикуляры, проекции, теорема о трёх перпендикулярах — и координатный, когда фигуру удобно посадить в оси (куб, прямая призма, прямоугольный параллелепипед). Координатный метод разбирается в теме «Координаты и векторы»; держи оба в запасе и выбирай по фигуре.
- В задании 3 из этой темы по существу встречается только длина диагонали прямоугольного параллелепипеда $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — следствие того, что рёбра попарно перпендикулярны, обычная теорема Пифагора, только в пространстве. Основная часть задания 3 — объёмы и площади поверхности тел, а это уже соседние темы кодификатора.
- Перед вычислением проговори, что именно спрашивают: угол между прямыми, угол с плоскостью или двугранный угол — считаются они по-разному, а перепутать легко. И помни про диапазон: угол между прямыми и угол с плоскостью тупыми не бывают.
- Заложи на задание 15 порядка 20–25 минут и обязательно оставь время на пункт а. Доказательство без вычислений часто и есть самый доступный балл во второй части геометрии.

## Словарь темы

- **Скрещивающиеся прямые** — Прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Третий, чисто пространственный случай взаимного расположения прямых — на плоскости его нет.
- **Признак перпендикулярности прямой и плоскости** — Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости, а значит любой прямой в ней.
- **Перпендикуляр и наклонная** — Перпендикуляр — отрезок из точки на плоскость под прямым углом; точка его падения называется основанием. Наклонная — любой другой отрезок из той же точки на плоскость. Перпендикуляр всегда короче наклонной.
- **Проекция наклонной** — Отрезок от основания перпендикуляра до точки, где наклонная встречает плоскость. Именно с проекцией сравнивают прямые в теореме о трёх перпендикулярах.
- **Теорема о трёх перпендикулярах** — Прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной. Главный инструмент построения линейного угла и поиска расстояний.
- **Угол между прямой и плоскостью** — Угол между прямой и её проекцией на плоскость; он же наименьший из углов между прямой и прямыми плоскости. Лежит в пределах от 0° до 90°.
- **Двугранный угол** — Фигура из двух полуплоскостей с общим ребром. Измеряется линейным углом и может быть тупым — от 0° до 180°.
- **Линейный угол двугранного угла** — Угол между двумя лучами, выходящими из одной точки ребра, по одному в каждой грани, причём оба луча перпендикулярны ребру. Именно им измеряют двугранный угол.

## Частые вопросы

### Что такое скрещивающиеся прямые?

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Это третий, чисто пространственный случай взаимного расположения прямых: на плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны.

### Как решать задания по теме «Прямые и плоскости в пространстве»?

Шаги такие:

1. определи взаимное расположение
2. крупный чертёж плюс вынесенное плоское сечение
3. угол между скрещивающимися — параллельным переносом
4. угол с плоскостью и двугранный — через перпендикуляр и теорему о трёх перпендикулярах
5. расстояние — это перпендикуляр.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Прямые и плоскости в пространстве»?

Забывают про скрещивающиеся прямые. Рассуждают по-плоскостному: раз прямые не пересекаются — значит, параллельны. В пространстве это неверно. Прежде чем назвать прямые параллельными, убедись, что они лежат в одной плоскости.

### Что нужно запомнить по теме «Прямые и плоскости в пространстве»?

Главное:

1. Прямые в пространстве: пересекаются, параллельны или скрещиваются
2. Прямая ⊥ плоскости, если она ⊥ двум пересекающимся прямым в ней
3. Угол между скрещивающимися — параллельным переносом, всегда 0°–90°
4. Угол прямой с плоскостью — это угол с её проекцией на плоскость.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 7.2 «Прямые и плоскости в пространстве».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 7.2 кодификатора ФИПИ по математике (профиль): прямые и плоскости в пространстве.
- В проекте КИМ 2027 задание 15 (бывшее 14) — развёрнутая стереометрия, 3 балла, два пункта: а (доказательство) и б (вычисление); задание 3 — базовый уровень, 1 балл.
- Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; параллельные прямые обязаны лежать в одной плоскости, скрещивающиеся — не лежат ни в одной общей плоскости.
- Признак параллельности прямой и плоскости и признак параллельности плоскостей (через две пересекающиеся прямые), свойство линий пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью.
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости: перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости влечёт перпендикулярность всей плоскости и любой прямой в ней.
- Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной. Перпендикуляр из точки на плоскость — кратчайшее расстояние, короче любой наклонной.
- Угол между скрещивающимися прямыми находят параллельным переносом одной из них к общей точке; угол берут в пределах 0°–90° и он не зависит от выбора точки.
- Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость; он наименьший из углов прямой с прямыми плоскости; для прямой, перпендикулярной плоскости, считают равным 90°.
- Двугранный угол измеряется линейным углом (лучи в гранях, перпендикулярные ребру, из одной точки ребра) и может быть тупым (0°–180°); угол между плоскостями берут острым или прямым (0°–90°).
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра (в том числе через объём пирамиды); расстояние между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра, равная расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
- В кубе с ребром a угол между скрещивающимися диагоналями граней AB₁ и BC₁ равен 60°, потому что BC₁ ∥ AD₁, а треугольник AB₁D₁ равносторонний со стороной a√2.
- Угол между диагональю грани куба AB₁ и плоскостью основания равен 45°, так как проекция AB₁ на основание — ребро AB, а BB₁ = AB = a, откуда tan φ = 1.
- В задании 15 пункт а оценивается за доказательство, а не за проверку на примере; координатный метод — полноценное доказательство. Фигура задания 3 из этой темы — диагональ прямоугольного параллелепипеда d = √(a²+b²+c²) как пространственная теорема Пифагора.
- Углы между прямыми и между прямой и плоскостью не зависят от масштаба фигуры (в примере ребро a сокращается).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/)
- [Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-o-treh-perpendikulyarah/)
- [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/)
- [Формулы стереометрии и планиметрии для ЕГЭ: таблица, 87 формул](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-planimetriya-stereometriya-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.