---
title: "Рациональные числа: определение, формулы, примеры"
description: "Рациональное число — это число, которое можно записать дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное; любое целое число тоже рационально. ЕГЭ, задания 8, 20."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/racionalnye-chisla/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл); также в 20"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное; любое целое число тоже рационально. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там без калькулятора считают дроби и степени с дробным показателем. Её инструменты пригодятся и в задании 20.

Тема выглядит как шестой класс, но именно она даёт задание 8: посчитать без калькулятора за три минуты. И именно здесь решается, будет ли ответ конечной десятичной дробью, которую вообще можно записать в бланк, и как дробь в показателе степени превращается в корень.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл); также в 20  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое рациональное число?

Рациональное число — это число, которое **можно** записать дробью $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное. Всё множество таких чисел обозначают $\mathbb{Q}$. Слово «можно» тут несущее: число не обязано быть записано дробью — важно, что его так записать реально.

Отсюда сразу следует то, что многие упускают: **любое целое число рационально**. Семёрка — это $7/1$, ноль — это $0/1$, минус тройка — это $-3/1$. Поэтому множества вкладываются одно в другое:

$$
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
$$

Конечная десятичная дробь тоже рациональна: $-0{,}25 = -\dfrac{1}{4}$. И даже бесконечная периодическая: $0{,}(3) = 0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}$ — скобки означают, что тройка повторяется без конца. Любую такую периодическую запись тоже можно свернуть обратно в обыкновенную дробь.

Складывай, вычитай, умножай и дели рациональные числа сколько угодно (кроме деления на ноль) — из $\mathbb{Q}$ ты не выйдешь. Видно прямо из формулы сложения:

$$
\dfrac{m}{n} + \dfrac{p}{q} = \dfrac{mq + np}{nq}
$$

Справа снова целое, делённое на натуральное, — снова дробь. С произведением и частным то же самое. Это свойство называют **замкнутостью**. Практический смысл простой: сумму или разность нескольких дробей всегда можно свести к одной дроби, а с единственной дробью уже удобно рассуждать про её числитель и знаменатель по отдельности.

И последнее из базы. У одного и того же числа записей-дробей бесконечно много: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{300}{400}$. Поэтому договорились работать с **несократимой** — той, у которой числитель и знаменатель взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме единицы.

У каждого рационального числа такая несократимая запись ровно одна, если знаменатель брать натуральным. Дальше вся тема держится на этом слове: почти каждое утверждение верно именно для несократимой дроби. Это не придирка — уже в следующем блоке признак конечной записи работает только после сокращения.

*Рисунок: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ: каждое целое число — тоже рациональное, знаменатель у него единица*

![Вложенные числовые множества на координатной прямой и модели дробей](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/racionalnye-chisla-1.png)

*Натуральные числа входят в целые, а целые — в множество рациональных чисел.*

## Когда дробь записывается конечной десятичной, а когда периодической?

Раздели 3 на 8 столбиком — получишь 0,375, деление закончится. Раздели 1 на 3 — не закончится никогда: 0,333… Вопрос, который стоит и за заданием 8, и за форматом бланка: как понять заранее, чем кончится дело, не деля?

**Признак.** Несократимая дробь $\dfrac{m}{n}$ записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда её знаменатель раскладывается только на двойки и пятёрки:

$$
n = 2^a \cdot 5^b, \qquad a \geqslant 0,\ b \geqslant 0
$$

Почему так — видно с обеих сторон, и оба рассуждения стоит понимать, а не запоминать. Конечная десятичная дробь — это всегда что-то, делённое на степень десятки: $0{,}375 = \dfrac{375}{1000}$. А $10^s = 2^s \cdot 5^s$ — других простых множителей у степени десятки нет. Значит, у несократимой дроби с конечной записью знаменатель обязан делить какую-то степень десятки, а туда, кроме двоек и пятёрок, ничего не пролезает.

Обратно: если $n = 2^a \cdot 5^b$, домножь числитель и знаменатель на недостающее. Возьми $s$ — наибольшее из $a$ и $b$, тогда знаменатель станет ровно $10^s$, и запись конечна. Проверь на $\dfrac{7}{40}$: сорок — это $2^3 \cdot 5$, до тысячи не хватает двух пятёрок, домножаем на 25:

$$
\dfrac{7}{40} = \dfrac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \dfrac{175}{1000} = 0{,}175
$$

**Слово «несократимая» здесь несёт весь смысл.** Посмотри на $\dfrac{9}{12}$. Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$, тройка есть — казалось бы, запись периодическая. Но $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$, и она конечна. Признак применяют не к той дроби, которую видят, а к той, которая останется после сокращения. Порядок жёсткий: сначала сократи, потом смотри на знаменатель.

А если после сокращения в знаменателе остался хоть один простой множитель, кроме 2 и 5, деление не закончится никогда — и запись будет бесконечной **периодической**. Не «какой-то бесконечной», а именно периодической, и вот почему.

При делении столбиком на $n$ остаток может быть только одним из чисел $0, 1, \ldots, n-1$ — их всего $n$ штук. Значит, не позже чем через $n$ шагов остаток либо обнулится, и деление закончится, либо повторится — а вместе с повтором остатка по кругу пойдёт и цепочка цифр.

Третьего варианта у рационального числа нет: либо конечная запись, либо периодическая.

И вот зачем это на экзамене. В бланк № 1 разрешено писать целое число или конечную десятичную дробь — больше ничего. Получилось в задании 8 число $\dfrac{3}{8}$ — паниковать не надо: $8 = 2^3$, запись конечна, пиши 0,375. А если вышло $\dfrac{1}{3}$, то в бланк это не переносится никак — и значит, ошибка где-то в решении: ответ задания части 1 обязан укладываться в этот формат.

*Рисунок: Судьба десятичной записи решается знаменателем несократимой дроби*

## Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?

Превратить периодическую запись обратно в дробь можно одним приёмом: домножить на такую степень десятки, чтобы период встал сам на себя, и вычесть. Хвосты уничтожатся.

Возьмём $x = 0{,}(27)$. Период — две цифры, значит домножаем на 100:

$$
x = 0{,}(27), \qquad 100x = 27{,}(27)
$$

После запятой у обоих чисел стоит одна и та же бесконечная цепочка 272727… Вычитаем — и она исчезает:

$$
100x - x = 27 \ \Rightarrow \ 99x = 27 \ \Rightarrow \ x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}
$$

Проверить можно делением: 3 разделить на 11 действительно даёт 0,2727…

Если перед периодом есть лишние цифры, домножаем дважды — так, чтобы у обоих чисел после запятой остался ровно период. Пусть $x = 0{,}2(3)$:

$$
10x = 2{,}(3), \qquad 100x = 23{,}(3)
$$

Хвост «(3)» одинаков у обоих, поэтому вычитание его убирает:

$$
100x - 10x = 23 - 2 \ \Rightarrow \ 90x = 21 \ \Rightarrow \ x = \dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30}
$$

Отсюда мнемоника. В числителе — всё число до конца первого периода **минус** то, что стояло до периода. В знаменателе — девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр перед периодом. Для 0,2(3) это $\dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$. Но если мнемоника вылетела из головы, просто повтори вычитание руками — оно работает всегда.

Побочный результат этого приёма ставит в тупик каждого, кто видит его впервые. Возьми $x = 0{,}(9)$. Тогда $10x = 9{,}(9)$, вычитаем: $9x = 9$, то есть $x = 1$. Не «почти единица», а ровно единица. Ошибки здесь нет: у любого числа с конечной записью, кроме самого нуля, десятичных записей ровно две, и $0{,}(9) = 1$ — самая известная такая пара.

Сложим два факта. Любую дробь можно развернуть в конечную или периодическую запись, и любую периодическую запись можно свернуть обратно в дробь. Получается точное описание: **рациональные числа — это ровно те числа, чья десятичная запись конечна или периодична.** Это рабочее определение для задания 20, когда про число надо доказать, что оно представимо дробью.

## Как считать степень с дробным показателем?

Задание 8 регулярно ставит рациональное число туда, где привычнее видеть целое, — в показатель степени. Определение такое:

$$
a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}, \qquad a > 0,\ m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N},\ n \geqslant 2
$$

Свойства самих корней — тема соседнего кода 1.3, здесь важно другое: показатель стал рациональным числом, а правила обращения с ним остались ровно те же, что были для целого показателя.

**Почему требуется a > 0** — это не формальность, а необходимость, и её стоит понять один раз. Одно и то же рациональное число записывается разными дробями: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Разреши отрицательное основание — и одно выражение даст два разных ответа:

$$
(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2, \qquad (-8)^{2/6} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2
$$

Определение, которое выдаёт два ответа на один вопрос, никуда не годится. Поэтому степень с дробным показателем определяют только для положительного основания — и в задании 8 отрицательных оснований под дробной степенью ты не встретишь.

Отрицательный показатель переворачивает дробь. Правило то же, что и для целых показателей:

$$
a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{r}
$$

**Рабочий приём тут ровно один**, и он решает почти любое такое вычисление: приведи основание к степени простого числа — дальше показатели просто перемножатся.

$$
27^{2/3} = \left(3^{3}\right)^{2/3} = 3^{\,3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{2} = 9
$$

$$
16^{3/4} = \left(2^{4}\right)^{3/4} = 2^{3} = 8, \qquad \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3} = \left(2^{-3}\right)^{-2/3} = 2^{2} = 4
$$

Смотри, что произошло: тройка из показателя основания сократилась со знаменателем дроби. Ради этого сокращения основание и раскладывают. Калькулятора на экзамене нет, поэтому числа в задании 8 подбирают так, чтобы сокращение происходило. Не вышло сократить — скорее всего, основание разложено не до конца.

И сразу про то, чего делать нельзя: **показатель — не множитель**. $27^{2/3}$ — это не $27 \cdot \dfrac{2}{3} = 18$. Это кубический корень из 27 в квадрате, то есть 9.

## Как рациональные числа выходят в задании 20

Код 1.2 привязан не только к заданию 8, но и к заданию 20 — тому самому, про числа и их свойства, на 4 балла. Только не обманывайся: само задание 20 чаще держится на целых числах и остатках, а это соседний код 1.1. Рациональные числа дают там свой набор инструментов, и он небольшой — ровно три штуки.

**Первый: несократимость как данные.** Фраза «дробь $\dfrac{m}{n}$ несократима» — это не описание, а условие задачи, из которого сразу тянутся следствия. Знаменатель чётный — значит, числитель обязан быть нечётным, иначе двойку можно было бы сократить. Знаменатель делится на 3 — значит, числитель на 3 не делится. Каждое такое следствие уже готовый шаг доказательства.

**Второй: общий знаменатель и контроль чётности.** Сложив дроби, ты получаешь один числитель и один знаменатель — это и есть замкнутость в работе. Дальше вопрос «целое ли это число?» превращается в вопрос «делится ли числитель на знаменатель?», а это уже чистая делимость — аппарат соседнего кода 1.1. Чаще всего хватает чётности: разбор такой задачи ниже, во втором примере, и решает там именно она.

**Третий: представимость.** Чтобы доказать, что число рационально, достаточно предъявить дробь — либо прямо, либо свернув периодическую запись приёмом из блока выше. Обратная задача — доказать, что дробью число **не** представимо, — это уже код 1.7 про действительные числа, и техника там другая.

Больше в коде 1.2 для задания 20 ничего не заложено, и это честная новость: не пытайся вытянуть из темы то, чего в ней нет. Основной вес «Рациональных чисел» всё-таки в задании 8.

## Правила темы в одной таблице

*Рациональные числа: формулы, признаки и когда их применять*

| Правило | Запись | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Вложение множеств | $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ | Любое целое число рационально: 7 = 7/1, 0 = 0/1 |
| Сумма дробей | $\dfrac{m}{n} + \dfrac{p}{q} = \dfrac{mq + np}{nq}$ | Сумма рациональных снова рациональна; сводит сумму нескольких дробей к одной |
| Признак конечной записи | $n = 2^a \cdot 5^b$ | Только для несократимой дроби: сначала сократи, потом смотри на знаменатель (9/12 = 3/4 = 0,75) |
| Период в дробь | $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ | Домножь на степень десятки по длине периода и вычти: хвосты уничтожатся |
| Период с предпериодом | $0{,}2(3) = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$ | В знаменателе девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр перед ним |
| Дробный показатель | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}$ | Только при a > 0; показатель — не множитель: 27^(2/3) = 9, а не 18 |
| Отрицательный показатель | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{r}$ | Переворачивает дробь; основание удобно приводить к степени простого числа |
| Формат ответа части 1 | целое число или конечная десятичная дробь | 3/4 записывают как 0,75; ответ вида 1/3 означает ошибку в решении |

## Как считать задание 8 с дробями и дробными показателями

1. **Убери десятичные дроби из основания.** 0,2 неудобно, 1/5 — удобно, $5^{-1}$ — идеально. Переводи десятичную запись в обыкновенную сразу, до всяких степеней.
2. **Разложи каждое основание на степень простого числа.** 27 = 3³, 16 = 2⁴, 81 = 3⁴, 1/8 = 2⁻³, 0,04 = 5⁻². После этого выражение почти всегда сворачивается само.
3. **Перемножь показатели** по правилу $(a^{p})^{q} = a^{pq}$. Дробный показатель здесь сократится со степенью основания — ради этого и делался шаг 2.
4. **Отрицательный показатель переверни.** $a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}$. Если в основании дробь, это просто переворот: $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3}$. Знак самого числа при этом не меняется.
5. **Складывай в обыкновенных дробях,** а в десятичную переводи один раз — в самом конце. Калькулятора нет, и промежуточные десятичные дроби только добавляют шансов ошибиться.
6. **Переведи ответ в формат бланка.** Получилась обыкновенная дробь — сократи, проверь знаменатель на «только двойки и пятёрки» и запиши конечной десятичной: $\dfrac{199}{4} = 49{,}75$. Разделитель — запятая. Знаменатель не сошёлся к двойкам и пятёркам — возвращайся искать ошибку.

## Разбор: задание 8 со степенями

**Условие.** Найди значение выражения $81^{3/4} - \left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} + 0{,}2^{-2}$.

**Решение.**

- Три слагаемых с тремя разными основаниями — считаем каждое отдельно, потом собираем. Начинаем всегда с разложения оснований.
- **Первое слагаемое.** 81 — это 3⁴, показатели перемножаются, и четвёрка сокращается со знаменателем дроби:
- $81^{3/4} = \left(3^{4}\right)^{3/4} = 3^{\,4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{3} = 27$
- **Второе слагаемое.** Показатель отрицательный — переворачиваем дробь в основании, знак показателя становится плюсом:
- $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3}$
- Теперь замечаем, что 27/8 — это куб дроби 3/2, потому что 27 = 3³ и 8 = 2³:
- $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$
- **Третье слагаемое.** Десятичную дробь сразу переводим в обыкновенную и дальше в степень: 0,2 = 1/5 = 5⁻¹.
- $0{,}2^{-2} = \left(5^{-1}\right)^{-2} = 5^{\,(-1) \cdot (-2)} = 5^{2} = 25$
- Собираем всё вместе. Минус относится ко второму слагаемому целиком, поэтому вычитаем 9/4:
- $27 - \dfrac{9}{4} + 25 = 52 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{208 - 9}{4} = \dfrac{199}{4}$
- Последний шаг — формат бланка. Дробь 199/4 несократима, знаменатель 4 = 2², только двойки — значит, десятичная запись конечна и ответ записать можно:
- $\dfrac{199}{4} = 49{,}75$
- Если бы в знаменателе после сокращения осталась, скажем, тройка, это был бы сигнал вернуться и искать арифметическую ошибку: у задания части 1 такого ответа быть не может.

**Ответ:** 49,75.

## Разбор: дроби в стиле задания 20

**Условие.** Дробь $\dfrac{m}{4}$ несократима, $k$ — целое число. Может ли сумма $\dfrac{m}{4} + \dfrac{k}{6}$ быть целым числом?

**Решение.**

- Условие «несократима» само по себе в вычислениях не участвует. Первым делом переводим его в свойство числа m — иначе оно так и останется лежать без дела.
- **Что даёт несократимость.** У четвёрки единственный простой делитель — двойка. Раз у m и 4 нет общих делителей, кроме единицы, значит m на двойку не делится: **m нечётное**. Это всё, что нам понадобится.
- Теперь складываем дроби. Общий знаменатель у 4 и 6 — это 12:
- $\dfrac{m}{4} + \dfrac{k}{6} = \dfrac{3m}{12} + \dfrac{2k}{12} = \dfrac{3m + 2k}{12}$
- Предположим, что сумма всё-таки равна целому числу N, и посмотрим, к чему это приведёт:
- $\dfrac{3m + 2k}{12} = N \ \Rightarrow \ 3m + 2k = 12N$
- Смотрим на чётность обеих частей. Справа $12N$ чётно при любом целом N — двенадцать само чётное.
- Слева: m нечётное, значит 3m — произведение двух нечётных — тоже нечётное. Слагаемое 2k чётно при любом целом k. Нечётное плюс чётное даёт нечётное.
- Нечётное число не может равняться чётному. Значит, предположение неверно, и целой суммы не бывает.
- Обрати внимание на устройство решения: ни одного вычисления, только цепочка «несократимость → чётность → противоречие». Так и выглядит рабочий кусок задания 20, когда в нём появляются дроби.

**Ответ:** Нет, не может ни при каком целом k: числитель 3m + 2k всегда нечётен, а чтобы сумма была целой, он обязан делиться на 12..

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где эта тема стоит балла. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Какая из дробей записывается конечной десятичной дробью?
   - 7/30
   - 9/12 — **верный ответ**
   - 5/14
   - 2/21

   *Пояснение:* Признак применяют к несократимой дроби, поэтому сначала сокращаем: 9/12 = 3/4, знаменатель 4 = 2², только двойки — запись конечна, 3/4 = 0,75. Остальные три дроби уже несократимы, и в знаменателях сидят лишние простые множители: 30 = 2·3·5, 14 = 2·7, 21 = 3·7. Каждая из них даёт бесконечную периодическую запись.

2. Чему равно значение выражения (1/32)^(−2/5)?
   - 4 — **верный ответ**
   - 1/4
   - −4
   - 2

   *Пояснение:* 1/32 = 2⁻⁵, дальше показатели перемножаются: (2⁻⁵)^(−2/5) = 2^((−5)·(−2/5)) = 2² = 4. Минус в показателе означает не отрицательный ответ, а переворот дроби — можно было сразу написать (1/32)^(−2/5) = 32^(2/5) = (2⁵)^(2/5) = 2² = 4.

3. Запиши число 0,1(6) обыкновенной дробью.
   - 1/6 — **верный ответ**
   - 16/99
   - 1/60
   - 8/45

   *Пояснение:* Домножаем так, чтобы после запятой у обоих чисел остался только период: 100x = 16,(6) и 10x = 1,(6). Вычитаем — хвосты уничтожаются: 90x = 15, значит x = 15/90 = 1/6. Вариант 16/99 — это 0,(16), там период начинается сразу после запятой и цифра 1 в него входит; у нас же единица стоит до периода, поэтому её и вычитают.

4. В задании 8 у тебя получился ответ 3/8. Что писать в бланк № 1?
   - 0,375 — **верный ответ**
   - 3/8
   - 0,38
   - 0,4

   *Пояснение:* Бланк № 1 принимает целое число или конечную десятичную дробь, поэтому обыкновенная дробь 3/8 не подходит. Знаменатель 8 = 2³ — только двойки, значит запись конечна и точна: 3/8 = 0,375. Округлять нельзя: ответ должен быть точным, а 0,375 записывается полностью, без обрезки.

5. Известно, что дробь m/4 несократима. Что из этого следует про целое число m?
   - m чётное
   - m нечётное — **верный ответ**
   - m делится на 3
   - m — простое число

   *Пояснение:* Единственный простой делитель четвёрки — двойка. Несократимость значит, что общих делителей, кроме единицы, у m и 4 нет, поэтому m на 2 не делится, то есть m нечётное. Простым при этом m быть не обязано: дробь 9/4 несократима, а 9 — составное число.

## Какие ошибки делают в вычислениях с рациональными числами?

- **Ошибка 1.** **Проверяют знаменатель, не сократив дробь.** Увидели 9/12, нашли тройку в разложении 12 = 2²·3 и записали «периодическая». А 9/12 = 3/4 = 0,75 — запись конечная. Признак «только двойки и пятёрки» работает исключительно для несократимой дроби, поэтому порядок действий жёсткий: сначала сокращение, потом разложение знаменателя.
- **Ошибка 2.** **Умножают основание на дробный показатель.** $27^{2/3}$ — это не $27 \cdot \dfrac{2}{3} = 18$. Показатель не множитель: $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^{2}} = \sqrt[3]{729} = 9$.
- **Ошибка 3.** **Переносят минус из показателя в ответ.** $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3}$ равно 4, а не −4. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а знака самого числа не трогает: основание степени с дробным показателем всегда положительно — значит, и результат положителен.
- **Ошибка 4.** **Записывают в бланк обыкновенную дробь или округляют.** Часть 1 принимает целое число или конечную десятичную дробь. Число 3/4 в бланке — это «0,75», а не «3/4» и не «0,8». А если ответ принципиально не переводится в конечную десятичную — вышло, например, 1/3, — это сигнал вернуться и пересчитать: у задания части 1 такого ответа быть не может.
- **Ошибка 5.** **Теряют вычитание при переводе периодической дроби.** 0,2(3) — это $\dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$, а не 23/90 (это, кстати, совсем другое число — 0,2(5)). Двойка стоит до периода, поэтому её вычитают. Забыл формулу — разверни вычитание руками: 100x − 10x = 23 − 2.
- **Ошибка 6.** **Считают, что целые числа не рациональные.** Семёрка рациональна: 7 = 7/1. Ноль тоже: 0 = 0/1. Это прямо следует из определения — знаменатель у целого числа равен единице, и никакого запрета на это в определении нет.

## Запомни для ЕГЭ

- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, \quad m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}$
- $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}, \quad a > 0$
- $a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{r}$
- $\text{несократимая } \dfrac{m}{n} \text{ конечна} \iff n = 2^{a} \cdot 5^{b}$
- $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}, \quad 0{,}2(3) = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$
- $25^{3/2} = \left(5^{2}\right)^{3/2} = 5^{3} = 125$
- Ответ части 1 — целое число или конечная десятичная дробь. 3/4 записывается как 0,75

## На экзамене

- Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, и по нашему разбору спецификации на него разумно закладывать около трёх минут. Это не задание, над которым думают: либо основание разложилось на степень простого числа, либо ты смотришь не туда. Не увидел за минуту, к какому простому приводить, — отметь и вернись позже.
- Свойств степеней в справочных материалах нет. На профиле выдают всего четыре формулы, и все тригонометрические: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Всё, что нужно этой теме, придётся помнить самому.
- Калькулятор запрещён, поэтому числа в задании 8 подобраны под устный счёт. Если вычисление получается громоздким — это почти всегда признак, что основание разложено не до конца, а не повод считать столбиком.
- Перед переносом ответа в бланк проверь формат. Обыкновенную дробь надо превратить в конечную десятичную, разделитель — запятая: 0,75, а не 0.75.
- Задание 20 стоит 4 балла, и код 1.2 к нему привязан — но сама тема «Рациональные числа» весит один балл задания 8. В задании 20 дроби чаще инструмент, а не сюжет: сюжет там обычно про целые числа и остатки, то есть про соседний код 1.1. Не переоценивай тему из-за присутствия двадцатого номера в списке.
- Если дроби всё-таки появились в задании 20, помни про устройство его критериев: пункты а), б) и в) стоят не поровну — пункт в) весит больше остальных. При нехватке времени сначала честно закрывай пункт а): это самый дешёвый балл в задании.

## Словарь темы

- **Рациональное число** — Число, представимое дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное. Множество всех таких чисел обозначают ℚ. Целые числа тоже рациональны: у них знаменатель равен единице.
- **Взаимно простые числа** — Два числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Составными при этом они быть могут: 9 и 4 взаимно просты, хотя ни одно из них не простое.
- **Несократимая дробь** — Дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно просты. У каждого рационального числа такая запись ровно одна, если знаменатель брать натуральным. Почти все утверждения темы верны только для несократимой дроби.
- **Период десятичной дроби** — Группа цифр, которая бесконечно повторяется в десятичной записи. Её пишут в скобках: 0,41(6) означает 0,41666…
- **Периодическая десятичная дробь** — Бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого места цифры повторяются группами. Любое рациональное число записывается либо конечной, либо периодической десятичной дробью — третьего не дано.
- **Степень с рациональным показателем** — Выражение a^(m/n) при a > 0, равное корню степени n из a^m. Для отрицательного основания не определено: одно и то же рациональное число записывается разными дробями, и ответы разошлись бы.
- **Замкнутость множества** — Свойство множества не выпускать за свои пределы. Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел снова рациональны — значит, ℚ замкнуто относительно этих действий.

## Частые вопросы

### Что такое рациональное число?

Рациональное число — число, которое можно записать дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное. Множество таких чисел обозначают ℚ; любое целое число тоже рационально — у него знаменатель равен единице.

### Как решать задания по теме «Рациональные числа»?

Шаги такие:

1. убери десятичные дроби из основания
2. разложи каждое основание на степень простого числа
3. перемножь показатели
4. отрицательный показатель переверни
5. складывай в обыкновенных дробях
6. переведи ответ в формат бланка.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Рациональные числа»?

Проверяют знаменатель, не сократив дробь. Увидели 9/12, нашли тройку в разложении 12 = 2²·3 и записали «периодическая». А 9/12 = 3/4 = 0,75 — запись конечная. Признак «только двойки и пятёрки» работает исключительно для несократимой дроби, поэтому порядок действий жёсткий: сначала сокращение, потом разложение знаменателя.

### Что нужно запомнить по теме «Рациональные числа»?

Главное:

1. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ
2. a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0
3. a^(-r) = 1/(a^r), (a/b)^(-r) = (b/a)^r
4. несократимая m/n конечна ⇔ n = 2ᵃ · 5ᵇ
5. 0,(27) = 27/99 = 3/11, 0,2(3) = (23 - 2)/90 = 7/30
6. 25^(3/2) = (5²)^(3/2) = 5³ = 125.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.2 «Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби»; 1.4 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня и называется «Рациональные числа».
- Ядро темы — задание 8 (базовый уровень, 1 балл, около 3 минут), а не задание 20.
- Задание 20 — высокий уровень, 4 балла, «числа и их свойства»; в нём пункт в) весит больше пунктов а) и б), а пункт а) даёт минимальный балл.
- Ответы части 1 (№ 1–13, включая № 8) записываются в бланк № 1 как целое число или конечная десятичная дробь. Следовательно, 3/4 записывается как 0,75, а ответ вида 1/3 в части 1 невозможен.
- Признак: несократимая дробь m/n записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда n = 2^a · 5^b.
- Десятичная запись любого рационального числа конечна или периодична; иных вариантов нет.
- Перевод периодической дроби в обыкновенную: 0,(27) = 27/99 = 3/11; 0,2(3) = (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30; 0,1(6) = 15/90 = 1/6; 0,(9) = 1.
- Степень с рациональным показателем определяется как a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) только при a > 0.
- Задание 8 реально спрашивает степени с рациональным показателем вида 27^(2/3) = 9, 16^(3/4) = 8, (1/8)^(−2/3) = 4.
- На профиле в справочных материалах выдают только 4 формулы, все тригонометрические; свойств степеней и корней там нет.
- Калькулятор на экзамене запрещён.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/racionalnye-chisla/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.