---
title: "Синус, косинус, тангенс числового аргумента: как решать, примеры"
description: "Синус числа t — это ордината точки единичной окружности, в которую точка (1; 0) переходит при повороте на t радиан, а косинус. Разбор для ЕГЭ, задания 8, 14."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sinus-kosinus-tangens-chislovogo-argumenta/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл); также в 14 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Синус, косинус, тангенс числового аргумента

Синус числа t — это ордината точки единичной окружности, в которую точка (1; 0) переходит при повороте на t радиан, а косинус — абсцисса той же точки. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл), где считают значения, и в задании 14 (2 балла), где по сериям корней отбирают ответы.

Здесь синус перестаёт быть про треугольник: аргументом становится любое число, а всю тему держит одна картинка — единичная окружность. Из неё вытекают знаки по четвертям, основное тождество, формулы приведения и серии корней. Это задание 8 за 1 балл и половина работы в задании 14. Формул много, а в справочных материалах профиля их почти нет.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл); также в 14 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое синус и косинус числа на единичной окружности?

Сначала синус и косинус вводят через прямоугольный треугольник, как отношение сторон. У такого определения жёсткий потолок: угол обязан быть острым. Синуса числа 100 в треугольнике не найти — такого треугольника нет.

Поэтому определение переносят на **единичную окружность**: центр в начале координат, радиус 1. Берём точку $(1;\,0)$ и поворачиваем её на $t$ радиан — против часовой стрелки, если $t > 0$, и по часовой, если $t < 0$. Точка приезжает куда-то на окружность; назовём её $P$. Тогда по определению:

$$
\cos t = x_P, \qquad \sin t = y_P
$$

**Косинус — абсцисса, синус — ордината.** Это вся тема в одной строке: дальше мы будем только читать эту картинку. Число $t$ тут — не градусы, а **радианы**. Один радиан — это центральный угол, который опирается на дугу длиной в радиус. Полный оборот равен $2\pi$, половина оборота — $\pi$, а значит:

$$
\pi = 180^\circ, \qquad 1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\ \text{рад}
$$

Отсюда рабочие переводы, которые надо знать без вывода: $30^\circ = \pi/6$, $45^\circ = \pi/4$, $60^\circ = \pi/3$, $90^\circ = \pi/2$. Правило одно: градусы умножаем на $\pi/180$.

Запись $\sin 2$ означает синус **числа** 2, то есть 2 радиан, а не 2 градусов. И это уже полезно: число 2 больше $\pi/2 \approx 1{,}57$, но меньше $\pi \approx 3{,}14$, значит точка $P$ сидит во второй четверти — выше оси Ox и левее оси Oy. Отсюда сразу: $\sin 2 > 0$, а $\cos 2 < 0$. Ни таблицы, ни калькулятора для этого не понадобилось.

Два следствия из определения, которые экономят время на экзамене. Первое: $\sin t$ и $\cos t$ существуют для **любого** числа $t$ — повернуть точку можно на сколько угодно. Второе: точка $P$ не покидает окружность радиуса 1, поэтому её координаты не вылезают за границы от −1 до 1:

$$
|\sin t| \leqslant 1, \qquad |\cos t| \leqslant 1
$$

Поэтому у уравнения $\sin x = 2$ корней нет вообще, и писать в ответ $\arcsin 2$ нельзя — такого числа не существует.

*Рисунок: Косинус — абсцисса точки P, синус — её ордината. Оба числа не выходят за пределы от −1 до 1.*

![Единичная окружность с проекциями радиуса и касательной рядом с Мишей](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/sinus-kosinus-tangens-chislovogo-argumenta-1.png)

*Координаты точки на единичной окружности задают косинус и синус, а касательная связана с тангенсом.*

## Знаки по четвертям, период, чётность

Три свойства читаются прямо с окружности, и учить их отдельно не нужно — достаточно понимать, что синус это ордината, а косинус это абсцисса.

**Знаки.** Синус положителен там, где точка выше оси Ox: в I и II четвертях. Косинус положителен там, где точка правее оси Oy: в I и IV. Тангенс — это их отношение, поэтому он положителен там, где знаки совпадают: в I и III четвертях.

**Период.** Обойди окружность на полный оборот — вернёшься в ту же точку, а значит координаты не изменятся. Отсюда для любого целого $n$:

$$
\sin(t + 2\pi n) = \sin t, \qquad \cos(t + 2\pi n) = \cos t
$$

У тангенса период **вдвое меньше**, и это не опечатка. Точки $t$ и $t + \pi$ лежат на концах одного диаметра: у них обе координаты меняют знак на противоположный. А в дроби $\sin t/\cos t$ два минуса сокращаются — отношение остаётся прежним:

$$
\operatorname{tg}(t + \pi n) = \operatorname{tg} t
$$

Разница между $2\pi n$ и $\pi n$ прямо стоит балла в задании 14: с неверным периодом отбор корней даёт лишние или потерянные ответы.

**Чётность.** Числу $-t$ отвечает точка, симметричная точке $t$ относительно оси Ox. Абсцисса при такой симметрии не меняется, а ордината меняет знак:

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t, \qquad \operatorname{tg}(-t) = -\operatorname{tg} t
$$

Косинус — чётная функция, синус и тангенс — нечётные. Проверь на числах: $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 0{,}5$, а $\sin(-\pi/6) = -0{,}5$.

*Рисунок: Знак синуса читается по ординате, знак косинуса — по абсциссе, а тангенс положителен там, где их знаки совпадают.*

## Основное тождество и связь функций

Точка $P(\cos t;\ \sin t)$ лежит на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности — $x^2 + y^2 = 1$. Подставь координаты точки — и получишь главную формулу тригонометрии:

$$
\sin^2 t + \cos^2 t = 1
$$

Это **основное тригонометрическое тождество**. Запись $\sin^2 t$ означает $(\sin t)^2$ — квадрат самого числа, а не «синус от t²».

**Тождество работает только при одинаковом аргументе.** Именно здесь легко потерять балл в задании 8: в бланк просят целое число или конечную десятичную дробь, единица выглядит правдоподобно, и рука пишет её не глядя. Сравни две строчки:

$$
\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1
$$

$$
(\sin 30^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 0{,}5
$$

Внешне почти одно и то же, а ответы разные: во второй строке аргументы 30° и 60° различаются, и тождество к ней просто неприменимо — приходится считать в лоб по таблице.

**Тангенс и котангенс** определяются через синус с косинусом, и у каждого своё ограничение:

$$
\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t}\ \ (t \neq \tfrac{\pi}{2} + \pi n), \qquad \operatorname{ctg} t = \dfrac{\cos t}{\sin t}\ \ (t \neq \pi n)
$$

Тангенс не определён там, где косинус обращается в ноль, то есть в точках $\pi/2 + \pi n$. Ограничений сверху и снизу у тангенса, в отличие от синуса, нет: он принимает любые действительные значения. Там, где определены оба, $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$.

Если разделить основное тождество на $\cos^2 t$, а потом на $\sin^2 t$, получатся ещё две формулы — выводить их за 10 секунд надёжнее, чем зубрить:

$$
1 + \operatorname{tg}^2 t = \dfrac{1}{\cos^2 t}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \dfrac{1}{\sin^2 t}
$$

Главный рабочий приём темы: **по одной функции и четверти находим все остальные**. Пусть $\cos t = -0{,}6$, причём $t \in (\pi;\ 3\pi/2)$. Из тождества $\sin^2 t = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, откуда $\sin t = \pm 0{,}8$. Тождество даёт два варианта, и выбрать между ними может только четверть: $t$ в третьей, синус там отрицателен, значит $\sin t = -0{,}8$. Дальше $\operatorname{tg} t = (-0{,}8)/(-0{,}6) = 4/3$. Без указания четверти задача имела бы два ответа — поэтому её в условии всегда дают.

## Какие значения синуса, косинуса и тангенса нужно знать наизусть?

Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля таблицы значений нет. Значит, эти числа нужно знать наизусть — без них тригонометрическое задание 8 не решить.

$$
\begin{array}{c|ccccc} \text{градусы} & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline t & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\ \sin t & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \cos t & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \operatorname{tg} t & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & - \end{array}
$$

Прочерк в последней клетке не для красоты: $\operatorname{tg}(\pi/2)$ не существует, потому что $\cos(\pi/2) = 0$, а на ноль не делят.

Таблицу удобно не заучивать построчно, а держать в голове три опоры. Первая: строка синуса растёт от 0 до 1, строка косинуса — та же самая, но задом наперёд. Вторая: в середине, при 45°, синус и косинус равны, потому что точка сидит ровно на биссектрисе первой четверти. Третья: тангенс — это частное строк, и его значения проверяются делением. Например, $\operatorname{tg}(\pi/6) = \tfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Ноль и $\pi/2$ надёжнее не запоминать, а читать с окружности: числу 0 отвечает точка $(1;\,0)$ — значит косинус 1, синус 0. Числу $\pi/2$ отвечает верхняя точка $(0;\,1)$ — косинус 0, синус 1. Тем же способом достаются $\pi$ и $3\pi/2$: $\cos \pi = -1$, $\sin \pi = 0$, $\cos(3\pi/2) = 0$, $\sin(3\pi/2) = -1$.

## Как пользоваться формулами приведения?

В таблице всего пять столбцов, а в заданиях встречаются $7\pi/6$, 135° и $5\pi/4$. Мост между ними — **формулы приведения**. Заучивать их десятками бессмысленно: работает одно правило из двух шагов.

**Шаг 1. Меняется ли имя функции?** Смотри, от чего отсчитываем аргумент. От $\pi/2$ или $3\pi/2$ — функция меняется на «соседнюю»: синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. От $\pi$ или $2\pi$ — имя остаётся прежним. Мнемоника: $\pi$ и $2\pi$ лежат на горизонтальной оси — по горизонтали не меняем; $\pi/2$ и $3\pi/2$ — на вертикальной, по вертикали меняем.

**Шаг 2. Какой знак?** Считай $t$ «острым» — то есть числом из интервала $(0;\ \pi/2)$, как острый угол в треугольнике, — найди четверть, в которую попал весь аргумент, и поставь знак **исходной** функции в этой четверти. Ключевое слово — исходной: той, что стоит слева, до всяких замен.

Разберём на трёх примерах. $\cos(\pi/2 + t)$: отсчитываем от $\pi/2$, значит имя меняем на синус; при остром $t$ точка $\pi/2 + t$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, — ставим минус.

$$
\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t
$$

$\sin(\pi - t)$: отсчитываем от $\pi$ — имя не трогаем; точка во второй четверти, синус там положителен. $\operatorname{tg}(\pi + t)$: имя не меняем, точка в третьей четверти, тангенс там положителен.

$$
\sin(\pi - t) = \sin t, \qquad \operatorname{tg}(\pi + t) = \operatorname{tg} t
$$

Отдельно выучи пару, которая постоянно встречается в задании 8:

$$
\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t, \qquad \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t
$$

Именно она объясняет, почему $\sin^2 75^\circ + \sin^2 15^\circ = 1$. Основное тождество тут сразу не применить — аргументы-то разные. Но $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$, поэтому $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$, и выражение превращается в $\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ$ — вот теперь аргумент общий и ответ равен 1. Сравни с $(\sin 30^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2 = 0{,}5$: там сумма в единицу не сворачивается, хотя выглядит похоже. Разница ровно одна — можно ли честно привести аргументы к общему.

Если аргумент больше полного оборота, сначала выбрось обороты. $\cos(13\pi/6) = \cos(13\pi/6 - 2\pi) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$.

И трезвая правда про экзамен: **формул приведения в справочных материалах профиля нет**. Там всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы. Всё остальное, включая приведение, знаки и таблицу, ты достаёшь из головы. Как раз поэтому правило из двух шагов ценнее списка из шестнадцати формул: список забывается, правило восстанавливается по окружности.

## Что такое арксинус, арккосинус и арктангенс?

Обратный вопрос: известно значение синуса — чему равно само число? На окружности таких чисел бесконечно много, поэтому договорились выбирать одно, «главное», и для каждой функции свой участок.

**Арксинус** $\arcsin a$ — это число из отрезка $[-\pi/2;\ \pi/2]$, синус которого равен $a$. **Арккосинус** $\arccos a$ — число из отрезка $[0;\ \pi]$ с косинусом $a$. Оба существуют только при $|a| \leqslant 1$. **Арктангенс** $\operatorname{arctg} a$ — число из интервала $(-\pi/2;\ \pi/2)$ с тангенсом $a$, и он определён при любом $a$.

Из-за разных участков отрицательный аргумент обрабатывается по-разному:

$$
\arcsin(-a) = -\arcsin a, \qquad \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a, \qquad \arccos(-a) = \pi - \arccos a
$$

Арккосинус выбивается не по прихоти: его отрезок $[0;\ \pi]$ не симметричен относительно нуля, отрицательных чисел там нет вовсе. Поэтому $\arccos(-1/2) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$, а вовсе не $-\pi/3$: число $-\pi/3$ лежит вне отрезка и арккосинусом быть не может.

Теперь **серии корней** — то, ради чего вся тема выходит в задание 14:

$$
\sin x = a \ \Rightarrow\ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

$$
\cos x = a \ \Rightarrow\ x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

$$
\operatorname{tg} x = a \ \Rightarrow\ x = \operatorname{arctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

Запись $n \in \mathbb{Z}$ — не украшение: без неё ответ формально не записан. Возьми за правило дописывать её сразу, вместе с формулой.

Разберись с периодами, иначе отбор развалится — у каждой функции своя логика шага.

**У косинуса** на окружности две точки с нужной абсциссой, они симметричны относительно оси Ox — отсюда $\pm$, а шаг $2\pi n$ совпадает с периодом.

**У тангенса** нужная точка повторяется через $\pi$, поэтому и шаг $\pi n$.

**У синуса** точек тоже две, но их склеили в одну запись множителем $(-1)^n$: при чётном $n$ получается одна серия, при нечётном — вторая. Так что $\pi n$ у синуса — это не период (период равен $2\pi$), а шаг склеенной записи.

Перепутать $2\pi n$ у косинуса с $\pi n$ у тангенса — самая дорогая ошибка отбора.

Частные случаи через общую формулу тоже проходят, но записывать их лучше сразу коротко — так меньше шансов запутаться при отборе:

$$
\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; \quad \sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad \sin x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n
$$

$$
\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n; \quad \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; \quad \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n
$$

Обрати внимание на $\cos x = 0$: две серии $\pm\pi/2 + 2\pi n$ склеиваются в одну $\pi/2 + \pi n$. И ещё раз про границы: если $|a| > 1$, у уравнений с синусом и косинусом корней нет — это законный ответ, а не тупик.

На этом территория нашей темы заканчивается. Мы умеем решать **простейшее** уравнение — то, где слева стоит одна функция, а справа число: это чтение окружности, а не метод. Приёмы, которые сводят к простейшему настоящее уравнение из задания 14 — замена через тождество, однородные уравнения, разложение на множители, вспомогательный угол, — живут в теме кода 2.5 «Тригонометрические уравнения/неравенства». Преобразования выражений с двойным углом и суммой углов — в теме кода 1.8.

## Формулы тригонометрии в одной таблице

*Определения и тождества темы: что они дают и когда применимы*

| Правило | Формула | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Определение | $\cos t = x_P,\ \sin t = y_P$ | Для любого числа t; поэтому \|sin t\| ≤ 1 и \|cos t\| ≤ 1 |
| Радианы | $\pi = 180^\circ,\ 1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ | Градусы умножают на π/180; sin 2 — синус 2 радиан, а не градусов |
| Основное тождество | $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ | Только при одинаковом аргументе: (sin 30°)² + (cos 60°)² = 0,5 |
| Тангенс и котангенс | $\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t},\ \operatorname{ctg} t = \dfrac{\cos t}{\sin t}$ | Тангенс — при t ≠ π/2 + πn, котангенс — при t ≠ πn |
| Следствие тождества | $1 + \operatorname{tg}^2 t = \dfrac{1}{\cos^2 t}$ | Получается делением тождества на cos² t; так же 1 + ctg² t = 1/sin² t |
| Период | $\sin(t + 2\pi n) = \sin t,\ \operatorname{tg}(t + \pi n) = \operatorname{tg} t$ | У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π |
| Чётность | $\cos(-t) = \cos t,\ \sin(-t) = -\sin t$ | Косинус чётный, синус и тангенс нечётные |
| Приведение | $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t$ | От π/2 и 3π/2 имя меняется, от π и 2π — нет; знак — исходной функции в четверти аргумента |

## Аркфункции и серии корней

*Главные значения и формулы корней простейших уравнений*

| Что ищем | Формула | Ограничения |
| --- | --- | --- |
| Арксинус | $\arcsin a \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ | \|a\| ≤ 1; arcsin(−a) = −arcsin a |
| Арккосинус | $\arccos a \in [0; \pi]$ | \|a\| ≤ 1; arccos(−a) = π − arccos a |
| Арктангенс | $\operatorname{arctg} a \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ | Любое a; arctg(−a) = −arctg a |
| sin x = a | $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ | \|a\| ≤ 1, n ∈ ℤ; πn здесь шаг склеенной записи, а не период |
| cos x = a | $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ | \|a\| ≤ 1, n ∈ ℤ; при \|a\| > 1 корней нет |
| tg x = a | $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$ | Любое a, n ∈ ℤ |
| Частные случаи | $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n;\ \cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ | Записывают сразу коротко: так меньше путаницы при отборе |

## Разбор задания 8: вычисление значения

**Условие.** Найди значение выражения sin²(7π/6) + cos(4π/3) + tg(5π/4).

**Решение.**

- Считаем каждое слагаемое отдельно. Общий приём один: представить аргумент в виде «π плюс острое число», определить четверть и снять знак.
- **Первое слагаемое.** $7\pi/6 = \pi + \pi/6$ — отсчитываем от $\pi$, поэтому имя функции не меняем. Точка попадает в третью четверть, синус там отрицателен:
- $\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$
- В выражении стоит квадрат синуса, а минус в квадрате пропадает:
- $\sin^2\dfrac{7\pi}{6} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
- **Второе слагаемое.** $4\pi/3 = \pi + \pi/3$: имя не меняем, точка снова в третьей четверти, косинус там отрицателен.
- $\cos\dfrac{4\pi}{3} = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -0{,}5$
- **Третье слагаемое.** $5\pi/4 = \pi + \pi/4$: имя не меняем, третья четверть, но тангенс в ней положителен — знаки синуса и косинуса совпали.
- $\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1$
- Складываем три числа:
- $0{,}25 + (-0{,}5) + 1 = 0{,}75$
- Проверь себя по формату: 0,75 — конечная десятичная дробь, ровно то, что принимает бланк части 1. Если бы вышло что-то вроде $\sqrt{3}/2$, это был бы сигнал вернуться и поискать ошибку в знаке или в приведении.

**Ответ:** 0,75.

## Разбор в стиле задания 14: серия корней и отбор

**Условие.** а) Реши уравнение cos x = −1/2. б) Найди корни, принадлежащие отрезку [0; 3π].

**Решение.**

- **Пункт а).** Сначала проверка на существование корней: $|-1/2| \leqslant 1$, значит корни есть. Работает формула для косинуса — с плюс-минус и периодом $2\pi$.
- Считаем арккосинус отрицательного числа по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$. Так как $\arccos(1/2) = \pi/3$, получаем $\arccos(-1/2) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.
- $x = \pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
- **Пункт б).** Отрезок $[0;\ 3\pi]$ длиннее полного оборота, поэтому окружность тут неудобна: точки на ней начнут накладываться. Надёжнее перебрать $n$ по каждой серии отдельно. Чтобы сравнивать без десятичных дробей, приведём границы к общему знаменателю: $0 = 0$, $3\pi = 9\pi/3$.
- **Серия 1:** $x = 2\pi/3 + 2\pi n$. При $n = 0$: $x = 2\pi/3$, и $0 \leqslant 2\pi/3 \leqslant 9\pi/3$ — подходит. При $n = 1$: $x = 2\pi/3 + 2\pi = 8\pi/3$, и $8\pi/3 < 9\pi/3$ — подходит.
- При $n = 2$: $x = 2\pi/3 + 4\pi = 14\pi/3$ — это больше $9\pi/3$, вылетело. При $n = -1$: $x = 2\pi/3 - 2\pi = -4\pi/3$ — меньше нуля, тоже вылетело. Дальше проверять незачем: серия монотонно уходит от отрезка в обе стороны.
- **Серия 2:** $x = -2\pi/3 + 2\pi n$. При $n = 0$: $x = -2\pi/3 < 0$ — не подходит. При $n = 1$: $x = -2\pi/3 + 2\pi = 4\pi/3$, и $4\pi/3 < 9\pi/3$ — подходит. При $n = 2$: $x = -2\pi/3 + 4\pi = 10\pi/3$ — больше $9\pi/3$, не подходит.
- Собираем корни из обеих серий по возрастанию: $2\pi/3;\ 4\pi/3;\ 8\pi/3$. Грубая проверка в уме: $3\pi \approx 9{,}4$, а корни примерно 2,1; 4,2 и 8,4 — все внутри отрезка, четвёртого корня рядом нет.
- Обрати внимание, что забытая вторая серия стоила бы здесь корня $4\pi/3$, а неверный период $\pi n$ вместо $2\pi n$ подарил бы лишние числа, которые уравнению не удовлетворяют. По критериям задания 14 пункт б) весит столько же, сколько пункт а), — ошибка отбора стоит ровно балл.

**Ответ:** а) x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ; б) 2π/3; 4π/3; 8π/3.

## Как считать тригонометрическое значение в задании 8

1. **Выбрось полные обороты.** У синуса и косинуса вычитай $2\pi$ (или 360°), у тангенса — $\pi$ (или 180°), пока аргумент не уместится в один оборот. Значение от этого не меняется — это и есть периодичность.
2. **Разложи аргумент на «опора плюс острое».** Опоры всего четыре: $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$. Например, $5\pi/4 = \pi + \pi/4$, а 135° = 180° − 45°.
3. **Реши, меняется ли имя функции.** Опора $\pi$ или $2\pi$ — имя остаётся. Опора $\pi/2$ или $3\pi/2$ — синус становится косинусом, тангенс котангенсом, и наоборот.
4. **Поставь знак по четверти.** Определи, в какой четверти лежит аргумент, и возьми знак **исходной** функции в этой четверти — той, что стояла в условии, а не той, на которую поменяли имя.
5. **Подставь табличное значение** для острого числа и доведи арифметику до конца. Если в выражении есть квадрат, возводи в квадрат уже после того, как снял знак, — минус при этом исчезнет.
6. **Проверь формат ответа.** В бланк части 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Остался корень или дробь с $\pi$ — ищи ошибку: либо потерян знак, либо аргументы в тождестве были разными, либо не дочитано условие.

## Проверь себя

Шесть вопросов по тем местам, где на экзамене теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равно значение выражения (sin 30°)² + (cos 60°)²?
   - 1
   - 0,5 — **верный ответ**
   - 0,25
   - 1,5

   *Пояснение:* Основное тождество здесь не работает: аргументы разные — 30° и 60°. Считаем в лоб по таблице: sin 30° = 1/2 и cos 60° = 1/2, значит сумма равна 1/4 + 1/4 = 0,5. А вот sin² 30° + cos² 30° действительно равно 1, потому что там аргумент один и тот же.

2. Число t принадлежит промежутку (π; 3π/2). Какие знаки у sin t, cos t и tg t?
   - sin t < 0, cos t < 0, tg t > 0 — **верный ответ**
   - sin t < 0, cos t < 0, tg t < 0
   - sin t > 0, cos t < 0, tg t < 0
   - sin t < 0, cos t > 0, tg t < 0

   *Пояснение:* Это третья четверть: точка лежит ниже оси Ox и левее оси Oy. Ордината отрицательна — значит sin t < 0; абсцисса отрицательна — значит cos t < 0. Тангенс равен их частному, а минус на минус даёт плюс: tg t > 0.

3. Известно, что cos t = 0,6 и число t принадлежит промежутку (3π/2; 2π). Чему равен sin t?
   - 0,8
   - −0,8 — **верный ответ**
   - 0,4
   - −0,4

   *Пояснение:* Из основного тождества sin² t = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64, откуда sin t = ±0,8. Выбрать знак может только четверть: промежуток (3π/2; 2π) — это четвёртая четверть, точка лежит ниже оси Ox, синус там отрицателен. Ответ −0,8.

4. Какая запись серии корней уравнения cos x = 1/2 верна?
   - x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ — **верный ответ**
   - x = ±π/3 + πn, n ∈ ℤ
   - x = (−1)ⁿ·π/3 + πn, n ∈ ℤ
   - x = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

   *Пояснение:* У косинуса период 2π, поэтому шаг серии равен 2πn. Абсциссу 1/2 имеют две точки окружности, симметричные относительно оси Ox, — их и собирает знак ±. Запись с (−1)ⁿ относится к синусу, шаг πn — к тангенсу, а вариант без ± теряет половину корней.

5. Чему равно sin(π/2 + t)?
   - cos t — **верный ответ**
   - −cos t
   - sin t
   - −sin t

   *Пояснение:* Опора π/2 стоит на вертикальной оси, поэтому имя функции меняется: синус становится косинусом. Знак берём у исходной функции — у синуса: при остром t точка π/2 + t лежит во второй четверти, где синус положителен. Значит sin(π/2 + t) = cos t. Проверка на числах: sin(2π/3) = √3/2 и cos(π/6) = √3/2.

6. Чему равен arccos(−1/2)?
   - −π/3
   - π/3
   - 2π/3 — **верный ответ**
   - 4π/3

   *Пояснение:* Арккосинус по определению принимает значения только из отрезка [0; π], поэтому отрицательным он быть не может — вариант −π/3 отпадает сразу. По формуле arccos(−a) = π − arccos a получаем π − π/3 = 2π/3. Число 4π/3 из отрезка [0; π] тоже выпадает.

## Какие ошибки делают при вычислении синуса, косинуса и тангенса?

- **Ошибка 1.** **Применяют основное тождество к разным аргументам.** $(\sin 30^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2$ равно 0,5, а не 1: аргументы 30° и 60° различаются. Тождество складывает квадраты синуса и косинуса **одного и того же** числа. Прежде чем свернуть сумму в единицу, посмотри на аргументы, а не на форму записи.
- **Ошибка 2.** **Берут знак не той функции.** В $\cos(\pi/2 + t)$ имя меняется на синус, но знак определяется по **косинусу** — по той функции, что стояла в условии. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому ответ $-\sin t$, а не $\sin t$. Правило: имя меняем по опоре, знак ставим по исходной функции.
- **Ошибка 3.** **Путают периоды в сериях корней.** У косинуса шаг $2\pi n$, у тангенса — $\pi n$. Записал $\pm\arccos a + \pi n$ — в отборе появятся числа, которые уравнению не удовлетворяют. Записал $\operatorname{arctg} a + 2\pi n$ — потеряешь половину корней.
- **Ошибка 4.** **Теряют вторую серию у косинуса.** Знак $\pm$ в формуле $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ означает две независимые серии, и перебирать $n$ надо в каждой отдельно. В разборе выше именно вторая серия дала корень $4\pi/3$.
- **Ошибка 5.** **Не дописывают $n \in \mathbb{Z}$.** Без этой оговорки серия корней не записана: $n$ остаётся неизвестно чем. В части 2 решение проверяет эксперт, и такая мелочь бьёт по обоснованности ответа. Дописывай сразу вместе с формулой, а не «потом, если останется время».
- **Ошибка 6.** **Считают арккосинус отрицательного числа отрицательным.** $\arccos(-1/2) = 2\pi/3$, а не $-\pi/3$: арккосинус живёт на отрезке $[0;\ \pi]$, где отрицательных чисел нет. Минус «выносится» только у арксинуса и арктангенса — их отрезки симметричны относительно нуля.
- **Ошибка 7.** **Ждут формулы приведения в справочных материалах.** На профиле выдают ровно четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Приведения, таблицы значений, знаков по четвертям и формул половинного угла там нет — рассчитывать на подсказку в КИМ нельзя.
- **Ошибка 8.** **Пишут $\arcsin 2$ и подобное.** Синус и косинус не выходят за пределы от −1 до 1, поэтому при $|a| > 1$ у уравнения $\sin x = a$ корней нет. «Корней нет» — это полноценный ответ, а не признак того, что ты застрял.

## Запомни для экзамена

- $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
- $\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \dfrac{\cos t}{\sin t}$
- $1 + \operatorname{tg}^2 t = \dfrac{1}{\cos^2 t}$
- $\sin(t + 2\pi n) = \sin t, \quad \operatorname{tg}(t + \pi n) = \operatorname{tg} t$
- $\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
- $\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi n$
- $\operatorname{tg} x = a \Rightarrow x = \operatorname{arctg} a + \pi n$
- В справочных материалах профиля только четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α + β), cos(α + β). Приведение, знаки и таблица значений — наизусть.

## На экзамене

- Задание 8 стоит 1 балл — держись в пределах трёх минут. Числа в нём всегда «хорошие»: углы 30°, 45°, 60°, 90°, 135° и их родственники на окружности. Если считается тяжело, значит выбран длинный путь.
- Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь. Получился корень или выражение с $\pi$ — это не «сложный ответ», а сигнал ошибки: чаще всего потерян знак или к разным аргументам применено основное тождество.
- Калькулятор запрещён, из инструментов только линейка. Поэтому первое, что стоит сделать на черновике в начале работы, — набросать окружность с четвертями и таблицу значений, пока голова свежая. Потом её оттуда достаёшь, а не вспоминаешь под тикающие часы.
- Задание 14 стоит 2 балла и состоит из двух пунктов. По критериям верно решённый один пункт даёт 1 балл, оба — 2. Отбор корней весит ровно столько же, сколько само решение уравнения, поэтому доводи пункт б) до конца, даже если время поджимает.
- Способ отбора выбирай под отрезок. Отрезок короче оборота ($2\pi$) — рисуй окружность и отмечай точки, так нагляднее. Отрезок длиннее оборота или с несимметричными границами — перебирай $n$ по каждой серии и записывай проверку неравенства: эксперт должен видеть, почему одни корни взяты, а другие отброшены.
- Не проверяй бесконечно много значений $n$. Серия монотонна: как только очередной корень вышел за границу отрезка, следующие уйдут дальше — в ту же сторону. Двух «промахов» с каждого края достаточно, чтобы остановиться.

## Словарь темы

- **Единичная окружность** — Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На ней определяют синус и косинус любого числа: точку (1; 0) поворачивают на t радиан и смотрят на координаты получившейся точки.
- **Радиан** — Центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус. Полный оборот равен 2π радиан, поэтому π радиан = 180°. Градусы переводят в радианы умножением на π/180.
- **Синус числа t** — Ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан. Не превосходит 1 по модулю и определён для любого числа t.
- **Косинус числа t** — Абсцисса той же точки. Тоже не превосходит 1 по модулю и определён для любого t. Чётная функция: cos(−t) = cos t.
- **Тангенс числа t** — Отношение sin t / cos t. Определён везде, кроме точек π/2 + πn, где косинус обращается в ноль. Значения ничем не ограничены, период равен π, а не 2π.
- **Основное тригонометрическое тождество** — Равенство sin² t + cos² t = 1. Это уравнение единичной окружности, записанное через координаты точки. Работает только при одинаковом аргументе у обоих слагаемых.
- **Формулы приведения** — Правило, сводящее синус, косинус или тангенс любого аргумента к острому. Имя функции меняется, если аргумент отсчитан от π/2 или 3π/2, и остаётся при π или 2π; знак берут у исходной функции по четверти.
- **Острое число** — Число из интервала (0; π/2) — аналог острого угла треугольника. К нему сводят любой аргумент в формулах приведения, чтобы затем взять готовое табличное значение.
- **Арксинус, арккосинус, арктангенс** — Числа, восстанавливаемые по известному значению функции: arcsin a лежит в [−π/2; π/2], arccos a — в [0; π], arctg a — в (−π/2; π/2). Первые два определены только при |a| ≤ 1.
- **Серия корней** — Запись всех решений уравнения одной формулой с целым параметром n, например x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ. Без оговорки n ∈ ℤ запись неполна.
- **Отбор корней** — Пункт б) задания 14: из бесконечной серии выбирают решения, попавшие в заданный отрезок. Оценивается наравне с решением самого уравнения.

## Частые вопросы

### Что такое синус числа?

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан, а косинус — абсцисса той же точки. Оба определены для любого числа t и по модулю не превосходят 1.

### Как решать задания по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Шаги такие:

1. выбрось полные обороты
2. разложи аргумент на «опора плюс острое»
3. реши, меняется ли имя функции
4. поставь знак по четверти
5. подставь табличное значение
6. проверь формат ответа.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Применяют основное тождество к разным аргументам. (sin 30°)² + (cos 60°)² равно 0,5, а не 1: аргументы 30° и 60° различаются. Тождество складывает квадраты синуса и косинуса одного и того же числа. Прежде чем свернуть сумму в единицу, посмотри на аргументы, а не на форму записи.

### Что нужно запомнить по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Главное:

1. sin² t + cos² t = 1
2. tg t = (sin t)/(cos t), ctg t = (cos t)/(sin t)
3. 1 + tg² t = 1/(cos² t)
4. sin (t + 2π n) = sin t, tg(t + π n) = tg t.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.5 «Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.5 кодификатора ФИПИ-2026 по математике профильного уровня и в проекте КИМ 2027 проверяется заданиями 8 и 14.
- Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, краткий ответ; задание 14 — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение.
- В задании 14 два пункта; 2 балла — оба пункта верно, 1 балл — верен только один пункт. Отбор корней весит столько же, сколько решение уравнения.
- На профильном экзамене калькулятор запрещён (разрешена линейка), а в справочных материалах КИМ есть только четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Формул приведения и таблицы значений там нет.
- Ответ части 1 — целое число или конечная десятичная дробь.
- Определение: cos t — абсцисса, sin t — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан. Отсюда |sin t| ≤ 1 и |cos t| ≤ 1, а обе функции определены при любом t.
- sin² t + cos² t = 1 (основное тригонометрическое тождество).
- Контраст в задании 8: sin² 30° + cos² 30° = 1, но (sin 30°)² + (cos 60°)² = 0,5, а sin² 75° + sin² 15° = 1 только после приведения sin 75° = cos 15°.
- Знаки по четвертям: sin положителен в I и II, cos — в I и IV, tg — в I и III.
- Период синуса и косинуса равен 2π, период тангенса — π: sin(t + 2πn) = sin t, tg(t + πn) = tg t.
- Чётность: cos(−t) = cos t, sin(−t) = −sin t, tg(−t) = −tg t.
- tg t = sin t / cos t определён при t ≠ π/2 + πn; ctg t = cos t / sin t определён при t ≠ πn; 1 + tg² t = 1/cos² t и 1 + ctg² t = 1/sin² t.
- Таблица значений для 0, π/6, π/4, π/3, π/2 (sin: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0; tg: 0, √3/3, 1, √3, не существует).
- Правило формул приведения: имя функции меняется на кофункцию при опорах π/2 и 3π/2 и сохраняется при π и 2π; знак определяется по четверти для исходной функции при остром t.
- arcsin a ∈ [−π/2; π/2] и arccos a ∈ [0; π] определены при |a| ≤ 1; arctg a ∈ (−π/2; π/2) определён при любом a. arcsin(−a) = −arcsin a, arctg(−a) = −arctg a, arccos(−a) = π − arccos a.
- Серии корней простейших уравнений: sin x = a → x = (−1)ⁿ arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn, n ∈ ℤ. При |a| > 1 у первых двух корней нет.
- Частные случаи: sin x = 0 → x = πn; sin x = ±1 → x = ±π/2 + 2πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Радианы в градусы и градусы в радианы: таблица перевода](https://neuromisha.ru/spravochnik/radiany-v-gradusy/)
- [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sinus-kosinus-tangens-chislovogo-argumenta/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.