---
title: "Системы и совокупности уравнений/неравенств: свойства и примеры"
description: "Система уравнений или неравенств — это несколько условий, связанных союзом «и»: решение удовлетворяет всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sistemy-i-sovokupnosti-uravneniy-neravenstv/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задания 14 и 16 КИМ (по 2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Системы и совокупности уравнений/неравенств

Система уравнений или неравенств — это несколько условий, связанных союзом «и»: решение удовлетворяет всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением. Совокупность связывает условия союзом «или», и её ответ — объединение. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 14 и 16 (по 2 балла), где эта развилка встроена в решение.

Система — это «И»: все условия выполняются сразу, а решения пересекаются. Совокупность — это «ИЛИ»: хватает одного, и решения объединяются. Спутать пересечение с объединением — потерять ответ там, где всё было решено верно. Эта развилка встроена в задания 14 и 16, каждое по 2 балла.

**Задание КИМ:** Задания 14 и 16 КИМ (по 2 балла)  
**Баллы:** Макс. 2 балла  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Чем система отличается от совокупности уравнений и неравенств?

Два уравнения или неравенства можно связать двумя разными способами, и от выбора зависит весь ответ. **Система** означает «И»: искомое обязано удовлетворять **всем** условиям одновременно. **Совокупность** означает «ИЛИ»: достаточно, чтобы выполнилось **хотя бы одно**.

У этих слов даже разные скобки, и их нельзя путать. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной:

$$
\begin{cases} \text{условие 1} \\ \text{условие 2} \end{cases} \;-\; \text{система (И)}, \qquad \left[\begin{array}{l} \text{условие 1} \\ \text{условие 2} \end{array}\right] \;-\; \text{совокупность (ИЛИ)}
$$

Дальше начинается самое важное. Каждое условие само по себе задаёт какое-то множество решений. Чтобы собрать ответ, эти множества комбинируют — и вот здесь «И» и «ИЛИ» расходятся окончательно.

Решение системы — это **пересечение** множеств: точки, которые попали **во все** сразу. Решение совокупности — это **объединение**: точки, которые попали **хоть куда-нибудь**.

Отсюда два следствия, которые экономят время. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет решений, вся система решений не имеет — пересекать не с чем. А совокупность остаётся без решений только тогда, когда пусто **каждое** из её условий.

*Рисунок: Система: решение — пересечение условий, здесь отрезок [3; 5]*

![Пересечение и объединение промежутков на двух числовых прямых](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/sistemy-i-sovokupnosti-uravneniy-neravenstv-1.png)

*Для системы берут пересечение решений, а для совокупности — их объединение.*

## Как решать системы уравнений и неравенств?

Схема одна на все системы: реши каждое условие по отдельности, потом **пересеки** ответы. Для систем уравнений «пересечь» значит найти общие корни, для систем неравенств — общий кусок числовой прямой.

У систем уравнений три рабочих приёма. **Подстановка**: из одного уравнения выражаешь переменную и вставляешь во второе — так две неизвестных схлопываются в одну. **Алгебраическое сложение**: складываешь или вычитаешь уравнения, чтобы одна переменная ушла. **Замена**: вводишь новую переменную, если в обоих уравнениях повторяется одинаковый кусок.

С системой неравенств проще всего работать на числовой прямой: рисуешь решение каждого неравенства своей штриховкой и берёшь участок, где штриховки наложились. Наложились — значит, там выполняются **оба**. Например:

$$
\begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 4 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x \in (1;\,4]
$$

Обрати внимание на скобки в ответе: у единицы круглая (неравенство строгое, сама единица не входит), у четвёрки квадратная (нестрогое, входит). Эти скобки — не формальность: на них тоже теряют баллы.

## Как решать совокупность уравнений и неравенств?

Здесь схема зеркальная: реши каждое условие и **объедини** ответы, ничего не выбрасывая. Всё, что подошло хотя бы под одно условие, идёт в ответ.

Совокупность редко пишут явной квадратной скобкой — чаще она возникает сама, когда задача разваливается на случаи. Три ситуации, где это происходит почти всегда:

**Произведение равно нулю.** Оно обращается в ноль, если ноль хотя бы один множитель — это и есть «ИЛИ»:

$$
P(x)\cdot Q(x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} P(x) = 0 \\ Q(x) = 0 \end{array}\right]
$$

**Модуль равен числу.** Уравнение $|x| = a$ при неотрицательном $a$ распадается на два случая:

$$
|x| = a \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array}\right], \quad a \geqslant 0
$$

**Ответ неравенства из нескольких промежутков.** Когда решение — не один кусок прямой, а несколько, их соединяют знаком объединения. Такой ответ и есть записанная совокупность:

$$
\left[\begin{array}{l} x \leqslant 2 \\ x \geqslant 5 \end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad x \in (-\infty;\,2] \cup [5;\,+\infty)
$$

*Рисунок: Совокупность: решение — объединение условий, здесь два луча*

## Как найти ОДЗ системы уравнений и неравенств?

В логарифмах, корнях и дробях у каждого выражения своя область допустимых значений. Когда такие выражения собраны в систему, ловушка в том, чтобы найти ОДЗ **одного** уравнения и забыть про ограничение соседнего.

Правило простое: **ОДЗ системы — это пересечение ОДЗ всех её частей сразу**. Условие годится, только если оно выполняется одновременно для каждого уравнения и неравенства системы. Стоит держать все ограничения в одном списке и пересекать их вместе, а не по очереди.

Возьмём систему с двумя корнями. Первый корень требует $x - 2 \geqslant 0$, второй — $5 - x \geqslant 0$. Оба должны выполняться сразу, поэтому ОДЗ — пересечение:

$$
\begin{cases} x - 2 \geqslant 0 \\ 5 - x \geqslant 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x \in [2;\,5]
$$

Если пересечение оказалось пустым, дальше можно не решать: система заведомо без решений, ведь ни одно число не проходит все ограничения. Это не тупик, а готовый ответ.

## Где теряются и лишними появляются корни

Главная опасность систем и уравнений с преобразованиями — по дороге незаметно выбросить верный корень или притащить чужой. Два места, где это случается чаще всего.

**Деление на выражение с переменной.** Когда обе части уравнения делят на что-то, содержащее $x$, молча теряют те корни, при которых этот делитель обращается в ноль. Поэтому не дели — переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители. Уравнение превращается в совокупность, и ни один случай не пропадает.

**Возведение в квадрат.** Оно способно добавить посторонний корень: у чисел разного знака квадраты совпадают, и уравнение «забывает» про знак. Спастись можно двумя способами. Способ первый — в конце подставить найденные корни в исходное уравнение и отбросить лишние. Способ второй — сразу заменить уравнение **равносильной системой** (той, что даёт ровно те же корни, без лишних и без потерь), куда вписано недостающее условие. Для квадратного корня это выглядит так:

$$
\sqrt{f(x)} = g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}
$$

Условие $g(x) \geqslant 0$ здесь не украшение: корень не бывает отрицательным, поэтому и правая часть обязана быть неотрицательной. А отдельное требование $f(x) \geqslant 0$ дописывать не нужно — оно выполняется само, ведь $f(x)$ приравнена к квадрату.

Тот же приём спасает дробь. Дробь равна нулю не там, где ноль числитель, а там, где ноль числитель **и** при этом знаменатель в ноль не обратился:

$$
\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \ne 0 \end{cases}
$$

## Где это встроено в задания 14 и 16

Отдельного номера «реши систему» в профильном ЕГЭ нет. Зато система и совокупность прячутся внутри двух дорогих заданий второй части, и увидеть их там — половина решения.

**Задание 14** — уравнение с отбором корней на отрезке. Пункт «а» просит найти все корни, пункт «б» — оставить только те, что попали в заданный промежуток.

Второй пункт и есть система: пересечение множества всех корней с отрезком. Ученик, который держит это в голове, не выпишет корни наугад, а аккуратно отберёт нужные — и не потеряет балл за пункт «б».

**Задание 16** — неравенство, чаще логарифмическое или показательное. Оно почти всегда сворачивается в систему: первой строкой идёт ОДЗ, второй — само преобразованное неравенство, а решают их пересечением.

Итоговый же ответ обычно получается объединением нескольких промежутков — то есть совокупностью. В одной задаче участвуют обе конструкции сразу.

Путать, где пересекать, а где объединять, тут особенно дорого.

Механику самих логарифмов, корней и тригонометрии разбираем в своих темах. Здесь важно другое: научиться видеть под задачей её каркас — систему или совокупность — и не перепутать «И» с «ИЛИ».

## Система и совокупность в одной таблице

*Равносильные переходы темы и как собирать из них ответ*

| Конструкция | Запись | Как собирать ответ |
| --- | --- | --- |
| Система | фигурная скобка, союз «и» | Пересечение решений; если одно условие без решений — вся система без решений |
| Совокупность | квадратная скобка, союз «или» | Объединение решений; пуста, только если пусто каждое условие |
| Система неравенств | $\begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 4 \end{cases} \Rightarrow x \in (1;\,4]$ | Общий участок штриховок на прямой; скобки — по строгости неравенств |
| Произведение равно нулю | $P(x)\cdot Q(x) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} P(x) = 0 \\ Q(x) = 0 \end{array}\right.$ | Вместо деления на выражение с x: так ни один корень не теряется |
| Модуль равен числу | $\|x\| = a \iff \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array}\right.$ | При a ≥ 0 |
| ОДЗ системы | пересечение ОДЗ всех частей | Все ограничения держат в одном списке; пустое пересечение — готовый ответ «решений нет» |
| Корень равен выражению | $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}$ | Отсекает посторонние корни после возведения в квадрат |
| Дробь равна нулю | $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \ne 0 \end{cases}$ | Нули знаменателя из ответа выбрасывают |
| Системы уравнений | подстановка, сложение, замена | Подстановка сводит две неизвестные к одной, сложение убирает переменную, замена — повторяющийся кусок |

## Разбор: система уравнений подстановкой

**Условие.** Реши систему уравнений: x + y = 5 и x² + y² = 13.

**Решение.**

- Первое уравнение линейное — из него удобно выразить одну переменную. Возьмём $y$:
- $y = 5 - x$
- Подставим это во второе уравнение — две неизвестных превратятся в одну:
- $x^2 + (5 - x)^2 = 13$
- Раскроем скобки и приведём к привычному квадратному уравнению:
- $2x^2 - 10x + 25 = 13 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 5x + 6 = 0$
- Корни находим по теореме Виета (сумма корней 5, произведение 6 — подходят 2 и 3) или через разложение $(x-2)(x-3)=0$. Это уже совокупность: $x = 2$ или $x = 3$.
- Возвращаемся к $y = 5 - x$ и находим напарника для каждого корня:
- $x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 3, \qquad x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 2$
- Решение системы — это пары чисел, а не отдельные числа. Каждую пару стоит подставить обратно в оба уравнения и убедиться, что сходится.

**Ответ:** (2; 3) и (3; 2).

## Разбор: как теряют корень при делении

**Условие.** Реши уравнение x² = 4x. Покажи, какой корень исчезает, если сразу поделить обе части на x.

**Решение.**

- Соблазнительный, но неверный путь: разделить обе части на $x$ и получить $x = 4$. Второй корень при этом пропал — деление на $x$ втихую отбросило случай $x = 0$.
- Верный путь — перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель:
- $x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0$
- Произведение равно нулю — значит, задача распалась на совокупность двух случаев:
- $\left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}\right]$
- Оба множителя дают свой корень, и ни один не потерян. Проверка: $0^2 = 4\cdot 0$ и $4^2 = 4\cdot 4$ — верно оба раза.

**Ответ:** x = 0 и x = 4 (при делении на x теряется корень x = 0).

## Как не перепутать систему и совокупность

1. **Определи связку: «И» или «ИЛИ».** Условия должны выполняться все сразу — это система, фигурная скобка. Достаточно любого — это совокупность, квадратная скобка. От ответа на этот вопрос зависит всё дальнейшее.
2. **Реши каждое условие по отдельности** и запиши его решение — числом, парой или промежутком на прямой. Пока не комбинируй.
3. **Собери ответ нужной операцией.** Для системы — пересечение (общая часть), для совокупности — объединение (всё вместе). Промежутки удобнее пересекать и объединять на числовой прямой, а не в уме.
4. **Сведи ОДЗ воедино.** Если есть логарифмы, корни или дроби, собери ограничения всех частей в один список и пересеки их — это ОДЗ всей системы.
5. **Не теряй и не добавляй корни.** Не дели на выражение с переменной — раскладывай на множители. Возводил в квадрат или делал замену — либо проверь корни подстановкой, либо сразу пиши равносильную систему с условием.
6. **Проверь, что именно спросили.** Решение системы — пересечение, совокупности — объединение. Перепутать их — записать в бланк верно решённое, но не то множество.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ путают «И» и «ИЛИ» и теряют корни. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равно решение системы неравенств: x > 1 и x ≤ 4?
   - (1; 4] — **верный ответ**
   - [1; 4)
   - (-∞; 1) ∪ (4; +∞)
   - Решений нет

   *Пояснение:* Система — это «И», её решение — пересечение условий, то есть общий кусок прямой. Оба неравенства выполняются на промежутке (1; 4]: у единицы скобка круглая (неравенство строгое), у четвёрки квадратная (нестрогое).

2. Совокупность двух условий x ≤ 2 или x ≥ 5 задаёт множество:
   - (-∞; 2] ∪ [5; +∞) — **верный ответ**
   - [2; 5]
   - Пустое множество
   - (2; 5)

   *Пояснение:* Совокупность — это «ИЛИ», её решение — объединение условий. Подходит любое число, которое не больше 2 либо не меньше 5, а промежуток между ними в ответ не входит.

3. Решая уравнение x² = 6x, ученик разделил обе части на x и получил x = 6. Какой корень он потерял?
   - x = 0 — **верный ответ**
   - x = 6
   - x = -6
   - Ничего не потерял

   *Пояснение:* Деление на x отбрасывает случай x = 0, при котором делитель обращается в ноль. Правильно: x² − 6x = 0, x(x − 6) = 0, откуда совокупность x = 0 или x = 6. Оба корня на месте.

4. Какой равносильной системе соответствует уравнение √(x − 1) = x − 3?
   - x − 1 = (x − 3)² и x − 3 ≥ 0 — **верный ответ**
   - x − 1 = (x − 3)² и x − 1 ≥ 0
   - x − 1 = x − 3 и x ≥ 0
   - (x − 1)² = x − 3 и x − 3 ≥ 0

   *Пояснение:* Возводим в квадрат и добавляем условие на правую часть: корень неотрицателен, значит x − 3 ≥ 0. Требование x − 1 ≥ 0 отдельно не нужно — оно выполняется само, ведь x − 1 приравнена к квадрату.

5. В задании 14 после решения уравнения нужно отобрать корни, попавшие на заданный отрезок. Этот отбор по своей сути — это:
   - Пересечение множества корней с отрезком (система) — **верный ответ**
   - Объединение множества корней с отрезком (совокупность)
   - Замена переменной
   - Проверка ОДЗ

   *Пояснение:* Отбор корней — это система «И»: число должно быть и корнем уравнения, и точкой отрезка одновременно. Поэтому берут пересечение множества всех корней с заданным промежутком, а не объединение.

## Какие ошибки делают в системах и совокупностях уравнений?

- **Ошибка 1.** **Путают пересечение с объединением.** В системе берут объединение вместо пересечения (или наоборот в совокупности). Задача решена, а ответ записан не тот. Держи в голове: система — «И», пересечение; совокупность — «ИЛИ», объединение.
- **Ошибка 2.** **Делят обе части на выражение с переменной.** Так молча теряют корни, при которых делитель обращается в ноль. Всегда переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители — уравнение станет совокупностью, и ни один случай не пропадёт.
- **Ошибка 3.** **Не сводят ОДЗ всех частей воедино.** Находят ОДЗ одного уравнения системы и забывают про ограничение второго. ОДЗ системы — это пересечение ограничений **всех** её частей сразу, а не любого из них по отдельности.
- **Ошибка 4.** **После возведения в квадрат забывают проверку.** Возведение в квадрат добавляет посторонние корни. Либо подставь найденные корни в исходное уравнение, либо сразу пиши равносильную систему с условием $g(x) \geqslant 0$.
- **Ошибка 5.** **В задании 14 пропускают отбор корней.** Выписывают все корни и на этом останавливаются, забыв пересечь их с отрезком из пункта «б». Пункт «б» оценивается отдельным баллом, и теряют его именно здесь.
- **Ошибка 6.** **Ошибаются в скобках промежутка.** Строгому неравенству отвечает круглая скобка (точка не входит), нестрогому — квадратная (входит). На границе промежутка перепутанная скобка стоит балла даже при верном ходе решения.

## Запомни для ЕГЭ

- Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются
- Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются
- $\sqrt{f} = g \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f = g^2 \\ g \geqslant 0 \end{cases}$
- $\dfrac{P}{Q} = 0 \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} P = 0 \\ Q \ne 0 \end{cases}$
- $|x| = a \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array}\right]$
- ОДЗ системы — пересечение ОДЗ всех её частей. Не дели на выражение с x — раскладывай на множители

## На экзамене

- Задания 14 и 16 стоят по 2 балла каждое, и балл в них дробится. В задании 14 пункт «а» (решить уравнение) и пункт «б» (отбор корней) оцениваются отдельно — если не успел отобрать, всё равно запиши решение пункта «а» и забери свой балл.
- В задании 16 первой строкой выписывай ОДЗ, ещё до преобразований. Неравенство почти всегда сворачивается в систему «ОДЗ и преобразованное неравенство», а забытая ОДЗ — самая частая потеря балла в этом номере.
- Промежутки не комбинируй в уме — рисуй числовую прямую. Для системы бери общий заштрихованный кусок (пересечение), для совокупности — всё закрашенное (объединение). Так не перепутаешь операцию под спешку.
- Прежде чем делить обе части на выражение с переменной, остановись: если оно может обратиться в ноль, ты теряешь корень. Надёжнее перенести всё влево и разложить на множители.
- Возводил в квадрат, снимал логарифм или делал замену — считай, что мог притащить посторонний корень. Либо проверь корни подстановкой в исходное, либо сразу пиши равносильную систему с нужным условием: в развёрнутом решении это ещё и требуется по критериям.

## Словарь темы

- **Система уравнений (неравенств)** — Несколько условий, связанных союзом «И»: решение обязано удовлетворять всем сразу. Записывается фигурной скобкой, решается пересечением множеств решений.
- **Совокупность уравнений (неравенств)** — Несколько условий, связанных союзом «ИЛИ»: достаточно выполнения хотя бы одного. Записывается квадратной скобкой, решается объединением множеств решений.
- **Пересечение множеств** — Элементы, входящие сразу во все множества. Именно так собирают ответ системы.
- **Объединение множеств** — Элементы, входящие хотя бы в одно из множеств. Именно так собирают ответ совокупности.
- **Равносильные уравнения (системы)** — Имеют ровно одно и то же множество решений. Заменяя уравнение равносильной системой, мы ничего не теряем и не добавляем.
- **Посторонний корень** — Значение, которое появилось в ходе преобразований (например, при возведении в квадрат), но не удовлетворяет исходному уравнению. Отсеивается проверкой или условием равносильности.
- **Потеря корня** — Исчезновение верного решения из-за необратимого шага — чаще всего деления обеих частей на выражение с переменной. Предотвращается разложением на множители.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения задачи имеют смысл. Для системы — пересечение ОДЗ всех её частей.
- **Метод подстановки** — Приём решения системы уравнений: из одного уравнения выражают переменную и подставляют в другое, снижая число неизвестных.
- **Метод алгебраического сложения** — Приём решения системы уравнений: уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла.

## Частые вопросы

### Что такое система уравнений?

Система уравнений (неравенств) — несколько условий, связанных союзом «и»: решение обязано удовлетворять всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением множеств решений. Совокупность связывает условия союзом «или», и её ответ — объединение.

### Как решать задания по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Шаги такие:

1. определи связку: «И» или «ИЛИ»
2. реши каждое условие по отдельности
3. собери ответ нужной операцией
4. сведи ОДЗ воедино
5. не теряй и не добавляй корни
6. проверь, что именно спросили.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Путают пересечение с объединением. В системе берут объединение вместо пересечения (или наоборот в совокупности). Задача решена, а ответ записан не тот. Держи в голове: система — «И», пересечение; совокупность — «ИЛИ», объединение.

### Что нужно запомнить по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Главное:

1. Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются
2. Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются
3. √f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0}
4. P/Q = 0 ⇔ {P = 0; Q ≠ 0}
5. |x| = a ⇔ [x = a; x = -a].

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.9 «Системы и совокупности уравнений и неравенств».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 2.9 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Системы и совокупности уравнений/неравенств») и проверяется в заданиях 13 и 15.
- В проекте КИМ 2027 задания 14 и 16 профильного ЕГЭ дают по 2 балла каждое (часть 2, развёрнутое решение).
- Система означает одновременное выполнение всех условий (логическое «И»), её решение — пересечение множеств решений; совокупность означает выполнение хотя бы одного условия (логическое «ИЛИ»), её решение — объединение. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной.
- ОДЗ системы равна пересечению ОДЗ всех входящих в неё уравнений и неравенств.
- Равносильный переход √f(x) = g(x) ⟺ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}. Отдельное условие f(x) ≥ 0 не требуется, так как оно следует из равенства f(x) = g²(x).
- Дробь P(x)/Q(x) = 0 равносильна системе {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}; произведение P(x)·Q(x) = 0 равносильно совокупности [P(x) = 0; Q(x) = 0]; |x| = a при a ≥ 0 равносильно совокупности [x = a; x = −a].
- Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной может привести к потере корней (тех, при которых делитель равен нулю); безопасная замена — перенос в одну сторону и разложение на множители, дающее совокупность.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней; они отсеиваются проверкой подстановкой или условием равносильности (например, g(x) ≥ 0).
- Системы уравнений решают методом подстановки, алгебраического сложения и замены переменной; систему неравенств — пересечением решений на числовой прямой.
- В задании 14 отбор корней на отрезке является пересечением множества корней уравнения с заданным промежутком (то есть системой), и оценивается отдельным баллом; в задании 16 неравенство сводится к системе «ОДЗ и преобразованное неравенство», а итоговый ответ обычно записывается объединением промежутков (совокупностью).

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sistemy-i-sovokupnosti-uravneniy-neravenstv/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.