---
title: "Степень с целым показателем на профильном ЕГЭ: правило и примеры"
description: "Степень — это результат возведения основания в показатель: при натуральном n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. ЕГЭ, задание 8."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/stepen-s-celym-pokazatelem/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 8 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Степень с целым показателем

Степень — это результат возведения основания в показатель: при натуральном n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там без калькулятора находят значение степенного выражения, а баллы чаще всего теряют на знаке и отрицательном показателе.

Пять правил, ноль и минус в показателе — вот и всё содержание темы. Но на ней стоят логарифмы, показательные уравнения и заметная часть задания 8. А балл здесь теряют на мелочах: на знаке (−2⁴ и (−2)⁴ — разные числа), на неопределённости 0⁰ и на порядке действий, когда показатель сразу отрицательный и дробный. Каждая такая мелочь стоит целого балла.

**Задание КИМ:** Задание 8 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Что такое степень с нулевым и отрицательным показателем?

Натуральный показатель — это просто счётчик множителей: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Пока показатель натуральный, всё честно считается по определению. Но что такое $2^0$ — ноль множителей? А $2^{-3}$ — «минус три множителя»? Через подсчёт множителей это не объясняется никак. Определение приходится придумывать заново.

Придумывают его не наугад, и это важно понять один раз. Для натуральных показателей работает правило деления $a^m : a^n = a^{m-n}$. Разумно потребовать, чтобы оно продолжало работать и для новых показателей — иначе зачем их вводить.

Возьмём $m = n$. С одной стороны, $a^n : a^n = 1$ — число делится само на себя. С другой стороны, по правилу это $a^{n-n} = a^0$. Сравниваем:

$$
a^0 = 1 \quad (a \ne 0)
$$

Тот же ход даёт отрицательный показатель. Посчитаем $2^3 : 2^5$ двумя способами. В лоб: $8 : 32 = \tfrac{1}{4}$. По правилу: $2^{3-5} = 2^{-2}$. Значит, $2^{-2} = \tfrac14 = \tfrac{1}{2^2}$. В общем виде:

$$
a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)
$$

Теперь посмотри, где здесь прячется оговорка $a \ne 0$. Мы всё время делили на $a^n$ — а делить на ноль нельзя. Поэтому **выражения $0^0$ и $0^{-n}$ не определены**: их неоткуда взять, никакого «правдоподобного» значения у них в школьном курсе нет. А вот $0^n$ при натуральном $n$ прекрасно определён и равен нулю.

Запомни главное следствие: ноль и минус в показателе — это не отдельные экзотические правила, которые надо зубрить, а продолжение той же лестницы. И это проверяется руками на любом числе: возьми $3^{-2}$ и просто спустись по лестнице от $3^0 = 1$ — дважды поделив на 3, получишь $\tfrac{1}{9}$, ровно то же, что даёт правило $3^{-2} = \tfrac{1}{3^2}$. Одна лестница, два способа спуститься к одному ответу.

*Рисунок: Каждый шаг вправо уменьшает показатель на 1 и делит значение на 2. Продли лестницу — и 2⁰ = 1 с отрицательными показателями получатся сами.*

![Последовательное уменьшение числа множителей и переход к обратным величинам](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/stepen-s-celym-pokazatelem-1.png)

*При уменьшении показателя на единицу степень делят на основание, а отрицательный показатель даёт обратную величину.*

## Какие свойства у степени с целым показателем?

Вся тема держится на пяти равенствах. Выучить их надо буквально: в справочных материалах профильного экзамена их нет.

$$
a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
$$

$$
(a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}
$$

Ради чего мы городили ноль и минус: **все пять работают для любых целых $m$ и $n$** — положительных, нулевых, отрицательных — при $a \ne 0$ и $b \ne 0$. Никаких отдельных правил «для отрицательных показателей» не существует. Правила те же самые, просто теперь показатели можно складывать и вычитать свободно, не следя за тем, что больше.

Два условия, в которых чаще всего промахиваются.

**Первое: одинаковые основания.** Правила умножения и деления складывают показатели только тогда, когда основание одно и то же. Запись $2^3 \cdot 5^3$ по этому правилу не считается вообще — там разные основания. Зато к ней применимо другое правило, $(ab)^n = a^n b^n$, прочитанное справа налево: $2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000$. Проверь в лоб: 8·125 = 1000.

**Второе: правила про произведение, а не про сумму.** Скобку $(a+b)^n$ раскрыть по ним нельзя, и равенства $(a+b)^n = a^n + b^n$ не существует. Одного контрпримера хватит навсегда: $(2+3)^2 = 25$, а $2^2 + 3^2 = 13$.

Кстати, про контрпримеры. Если на экзамене засомневался в правиле, не вспоминай — проверь на маленьких числах прямо в черновике. $2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5$: показатели сложились, а не перемножились. Пятнадцать секунд — и сомнения нет.

## Как возводить число в отрицательную степень?

Первое и самое важное: **минус в показателе не делает число отрицательным**. Он делает его перевёрнутым. $2^{-3} = \tfrac{1}{2^3} = \tfrac18 = 0{,}125$ — это положительное число, и никакого «минус восемь» здесь нет. Знак результата определяет только основание, а показатель отвечает за то, перевернём мы дробь или нет.

Частный случай, который стоит опознавать сразу: $a^{-1} = \tfrac1a$ — это просто обратное число.

Если основание — дробь, отрицательный показатель её переворачивает. Это не новое правило, а следствие двух старых:

$$
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}} = \dfrac{b^n}{a^n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}
$$

На практике это экономит время: $\left(\tfrac14\right)^{-2} = 4^2 = 16$. Перевернул — и считаешь обычную степень, никаких дробей в знаменателе.

Десятичные основания сначала переводи в обыкновенные дроби, иначе без калькулятора будет больно. $0{,}2^{-2}$: замечаем, что $0{,}2 = \tfrac15$, переворачиваем и получаем $5^2 = 25$. То же с $0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$ и $0{,}25^{-1} = 4$.

Обратный ход тоже пригодится — в задании 8 ответ надо записать целым числом или конечной десятичной дробью. Степени десятки переводятся мгновенно: $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$.

## Знак: место, где теряют балл

Здесь всё решают скобки, и это стоит проговорить вслух один раз, чтобы больше не путаться.

**Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1.** Поэтому в записи $-2^4$ показатель относится только к двойке: сначала $2^4 = 16$, потом минус. Итог: $-2^4 = -16$. А в записи $(-2)^4$ основание — это всё, что в скобках, вместе с минусом. Четыре отрицательных множителя перемножаются, минусы гасятся попарно. Выходит $(-2)^4 = 16$.

Когда основание уже отрицательное, знак результата решает **чётность показателя**:

$$
(-a)^{2k} = a^{2k}, \qquad (-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}
$$

Проще словами: чётный показатель — результат положительный, минусы разбились на пары и сократились. Нечётный — одному минусу пары не хватило, он и остаётся в ответе. $(-3)^2 = 9$, $(-3)^3 = -27$.

Отрицательный показатель на это правило не влияет вообще — он занимается дробью, а не знаком. Сначала определи знак по чётности, потом переворачивай: $(-2)^{-3} = \tfrac{1}{(-2)^3} = \tfrac{1}{-8} = -0{,}125$. Показатель нечётный — минус остался; показатель отрицательный — дробь перевернулась. Два независимых решения, каждое по своему правилу.

И ещё одна мелочь, которая на экзамене превращается в потерянный балл. Ноль в показателе гасит основание целиком, каким бы громоздким оно ни было: $(7^{13} - 5)^0 = 1$, потому что скобка заведомо не ноль. Считать $7^{13}$ не нужно.

*Рисунок: Скобки решают знак: слева в степень идёт −2, справа — только 2, а минус остаётся снаружи множителем.*

## Главный приём задания 8: одно основание

Правила складывают показатели только при одинаковых основаниях. Значит, первый ход в любом вычислении — **привести всё к одному основанию**. Практически все степенные выражения в задании 8 собраны из степеней двойки, тройки или пятёрки, и составитель прячет это за числами вроде 4, 8, 16, 27 или 125.

Смотри, как это работает. Выражение $\dfrac{4^5 \cdot 8^2}{2^{17}}$ выглядит страшновато, пока в нём три разных основания. Заменяем: $4 = 2^2$, значит $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$; $8 = 2^3$, значит $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$. Дальше всё складывается само:

$$
\dfrac{4^5 \cdot 8^2}{2^{17}} = \dfrac{2^{10} \cdot 2^{6}}{2^{17}} = \dfrac{2^{16}}{2^{17}} = 2^{-1} = 0{,}5
$$

Второй приём — **разложить основание на множители**, если оно составное. Возьмём $\dfrac{6^7}{2^7 \cdot 3^5}$. Никакое из оснований к другому не сводится, но $6 = 2 \cdot 3$, а правило $(ab)^n = a^n b^n$ позволяет это разнести:

$$
\dfrac{6^7}{2^7 \cdot 3^5} = \dfrac{2^7 \cdot 3^7}{2^7 \cdot 3^5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9
$$

Чтобы этот приём работал на скорости, нужны в голове три коротких ряда. Степени двойки до 1024, тройки до 729, пятёрки до 625 — этого хватает на подавляющее большинство заданий. Калькулятора на экзамене не будет, а узнавать 243 как $3^5$ надо мгновенно, иначе приём просто не запустится.

## Мост к дробному показателю

Тема называется «степень с целым показателем», но в задании 8 регулярно попадаются записи вроде $27^{2/3}$ или $16^{3/4}$. Это уже соседняя тема — арифметический корень натуральной степени, код 1.3. Разбирать её здесь не будем, но мост навести стоит, потому что мост короткий.

Дробный показатель — это тот же корень, записанный по-другому. Если тему 1.3 ты ещё не проходил, вот короткая опора. **Корень $n$-й степени из $a$ — это такое число, которое в степени $n$ даёт само $a$**. Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$. Полный разбор корней — в теме 1.3; сюда за мостом удобнее возвращаться уже после неё. Связь с показателем такая:

$$
a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)
$$

Ценно вот что: **все пять правил из этой темы продолжают работать и там**. Ради этого дробный показатель и придумали — точно так же, как раньше придумали ноль и минус. Поэтому $81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^{4 \cdot 3/4} = 3^3 = 27$ — сработало обычное правило $(a^m)^n = a^{mn}$, ничего нового.

Единственное место, где стоит притормозить, — **порядок действий, когда показатель дробный и отрицательный сразу**. Минус относится ко всей дроби, поэтому основание переворачивается **первым**, до всяких корней. Разберём $\left(\tfrac{1}{32}\right)^{-2/5}$: сначала минус переворачивает основание — получаем $32^{2/5}$, и только теперь работаем с дробью: $32^{2/5} = (2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$. Ответ 4. Если полезть за корнем раньше, чем перевернёшь дробь, запутаешься гарантированно.

Подробности про корни, их область определения и преобразования — в теме кода 1.3. Здесь достаточно знать, что фундамент у обеих тем общий: те же пять правил.

## Правила степеней в одной таблице

*Свойства степени с целым показателем и условия их применения*

| Правило | Формула | Когда применять и ограничения |
| --- | --- | --- |
| Нулевой показатель | $a^0 = 1$ | Только при a ≠ 0; 0⁰ не определено. (7¹³ − 5)⁰ = 1 без вычислений |
| Отрицательный показатель | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ | a ≠ 0; минус переворачивает число, а не делает его отрицательным |
| Умножение и деление | $a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | Только при одинаковых основаниях; m и n — любые целые |
| Степень степени | $(a^m)^n = a^{mn}$ | Показатели перемножаются: так 4⁵ превращается в 2¹⁰ |
| Произведение и частное | $(ab)^n = a^n b^n$ | Только для произведения, не для суммы: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ; справа налево 2³·5³ = 10³ |
| Дробь в отрицательной степени | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$ | Десятичное основание сначала переводят в дробь: 0,2⁻² = 5² = 25 |
| Знак степени | $(-a)^{2k} = a^{2k},\ (-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$ | Знак решает чётность показателя; без скобок минус в основание не входит: −2⁴ = −16 |
| Дробный показатель | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ | a > 0; при отрицательной дроби сначала переворачивают основание |

## Разбор: приводим к одному основанию

**Условие.** Найди значение выражения $\dfrac{2^{-3} \cdot 4^4}{8^2}$.

**Решение.**

- Основания разные — 2, 4 и 8, — но все три являются степенями двойки. Значит, приводим выражение к основанию 2.
- Переписываем каждый кусок. Для скобок работает правило $(a^m)^n = a^{mn}$:
- $4^4 = (2^2)^4 = 2^{8}, \qquad 8^2 = (2^3)^2 = 2^{6}$
- Подставляем и собираем числитель по правилу умножения — показатели складываются:
- $2^{-3} \cdot 2^{8} = 2^{-3+8} = 2^{5}$
- Теперь делим. Показатели вычитаются, и отрицательный результат нас уже не пугает:
- $\dfrac{2^{5}}{2^{6}} = 2^{5-6} = 2^{-1}$
- Осталось развернуть отрицательный показатель в дробь и записать десятичной, как требует бланк № 1:
- $2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
- Проверка в лоб, если осталось время: $2^{-3} = \tfrac18$, $4^4 = 256$, $8^2 = 64$. Тогда $\tfrac18 \cdot 256 = 32$, а $32 : 64 = 0{,}5$. Сошлось.

**Ответ:** 0,5.

## Разбор: знак и перевёрнутая дробь в одном выражении

**Условие.** Найди значение выражения $(-3)^5 \cdot (-3)^{-3} + \left(\tfrac12\right)^{-3}$.

**Решение.**

- В выражении два независимых слагаемых. Считаем каждое отдельно и не пытаемся связать их правилами — основания разные.
- **Первое слагаемое.** Основание одно и то же — число $(-3)$ целиком, вместе с минусом. Значит, работает правило умножения, и показатели складываются. То, что один из них отрицательный, ничего не меняет:
- $(-3)^5 \cdot (-3)^{-3} = (-3)^{5 + (-3)} = (-3)^{2} = 9$
- Показатель получился чётным — результат положительный. Обрати внимание, чего мы **не** делали: не считали $(-3)^5 = -243$ и не возились с дробью $-\tfrac{1}{27}$. Правило избавило от обоих вычислений.
- **Второе слагаемое.** Основание — дробь, показатель отрицательный: переворачиваем основание и считаем обычную степень.
- $\left(\dfrac12\right)^{-3} = \left(\dfrac21\right)^{3} = 2^3 = 8$
- Складываем результаты:
- $9 + 8 = 17$
- Ответ целый — это хороший признак: в задании 8 числа всегда подобраны так, чтобы всё сошлось без калькулятора.

**Ответ:** 17.

## Как найти значение выражения со степенями?

1. **Опознай основания.** Посмотри, к какому одному числу сводятся все основания: 4, 8, 16, 32 — это двойка; 9, 27, 81, 243 — тройка; 25, 125, 625 — пятёрка. Составное основание вроде 6 или 12 раскладывай на множители: $6^n = 2^n \cdot 3^n$.
2. **Переведи десятичные дроби в обыкновенные.** $0{,}2 = \tfrac15$, $0{,}25 = \tfrac14$, $0{,}5 = \tfrac12$. В таком виде степень видна сразу, а в десятичном — нет.
3. **Убери скобки.** Правила $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$ превращают этажи в один показатель. После этого шага у тебя останутся только произведения и частные степеней с одинаковым основанием.
4. **Определи знак отдельно.** Основание отрицательное — реши судьбу минуса по чётности показателя и дальше считай с положительным числом. Смешивать знак с арифметикой показателей — прямой путь к ошибке.
5. **Сложи и вычти показатели.** Умножение — плюс, деление — минус. Отрицательные показатели складывай как обычные числа: $5 + (-3) = 2$. Не разворачивай их в дроби заранее — это лишняя работа.
6. **Разверни минус в самом конце.** Только когда остался один показатель, примени $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}$ и досчитай число.
7. **Сверь форму ответа.** В бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Получилась 0,5 или 25 — нормально. Получилась 1/3 или 1/9 — это не конечная дробь, значит где-то ошибка: вернись и проверь знаки показателей.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в задании 8 теряют балл. Считай в уме, калькулятора на экзамене всё равно не будет.

1. Чему равно значение выражения −3²?
   - 9
   - −9 — **верный ответ**
   - 6
   - −6

   *Пояснение:* Возведение в степень идёт раньше умножения на −1, поэтому показатель относится только к тройке: сначала 3² = 9, потом минус. Итог −9. Число 9 получилось бы у выражения (−3)², где основанием служит вся скобка вместе с минусом.

2. Чему равно значение выражения (1/4)⁻²?
   - 16 — **верный ответ**
   - 1/16
   - −16
   - −8

   *Пояснение:* Отрицательный показатель переворачивает основание: (1/4)⁻² = 4² = 16. Минус в показателе не делает число отрицательным — он отвечает только за переворот дроби, поэтому варианты со знаком минус отпадают сразу.

3. Чему равно значение выражения 2³·5³?
   - 1000 — **верный ответ**
   - 1000000
   - 343
   - 32768

   *Пояснение:* Основания разные, поэтому складывать показатели нельзя — правило a^m·a^n = a^(m+n) требует одинакового основания. Зато показатели одинаковые, и работает (ab)^n = a^n·b^n, прочитанное справа налево: 2³·5³ = (2·5)³ = 10³ = 1000. Проверка в лоб: 8·125 = 1000.

4. Чему равно 0⁰?
   - 0
   - 1
   - Не определено — **верный ответ**
   - Бесконечность

   *Пояснение:* Правило a⁰ = 1 выведено делением a^n на a^n, а делить на ноль нельзя — поэтому оно действует только при a ≠ 0. По той же причине не определено и 0⁻ⁿ. А вот 0ⁿ при натуральном n определён и равен нулю: 0³ = 0.

5. Чему равно значение выражения 15⁴/(3⁴·5²)?
   - 25 — **верный ответ**
   - 5
   - 75
   - 15

   *Пояснение:* Раскладываем составное основание: 15 = 3·5, поэтому 15⁴ = 3⁴·5⁴ по правилу (ab)^n = a^n·b^n. Подставляем: 3⁴·5⁴/(3⁴·5²) = 5⁴⁻² = 5² = 25. Тройки сократились полностью.

6. Чему равно значение выражения (−2)⁻³?
   - 8
   - −8
   - 0,125
   - −0,125 — **верный ответ**

   *Пояснение:* Два независимых шага. Показатель нечётный, значит знак отрицательный: (−2)³ = −8. Показатель отрицательный, значит дробь переворачивается: (−2)⁻³ = 1/(−8) = −0,125. Вариант 0,125 получается, если забыть про знак, а −8 — если забыть про переворот.

## Какие ошибки делают в вычислениях со степенями?

- **Ошибка 1.** **Теряют скобки у отрицательного основания.** $-2^4 = -16$, но $(-2)^4 = 16$. Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в степень не идёт. Если основание отрицательное, пиши скобки в черновике всегда, даже когда «и так понятно».
- **Ошибка 2.** **Считают, что минус в показателе даёт отрицательное число.** $2^{-3} = \tfrac18$, а не −8. Знак ответа зависит только от основания и чётности показателя; минус в показателе переворачивает дробь и к знаку отношения не имеет.
- **Ошибка 3.** **Перемножают показатели вместо сложения.** $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$, а не $2^{12}$. Показатели перемножаются в другом правиле — при возведении степени в степень: $(2^3)^4 = 2^{12}$. Два похожих правила, и путают их постоянно.
- **Ошибка 4.** **Складывают показатели при разных основаниях.** Правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ требует одинакового основания. Для $2^3 \cdot 5^3$ оно неприменимо; здесь работает $(ab)^n = a^n b^n$, и ответ $10^3 = 1000$.
- **Ошибка 5.** **Раскрывают степень суммы.** Равенства $(a+b)^n = a^n + b^n$ не существует: все пять правил говорят про произведение и частное, а не про сумму. Контрпример на всю жизнь: $(2+3)^2 = 25$, а $2^2 + 3^2 = 13$.
- **Ошибка 6.** **Забывают оговорку $a \ne 0$.** $a^0 = 1$ верно для любого основания, кроме нуля. Выражения $0^0$ и $0^{-n}$ не определены — придумывать им «логичное» значение не надо. При этом $0^n = 0$ при натуральном $n$ — совершенно нормальная запись.
- **Ошибка 7.** **Путают порядок при отрицательном дробном показателе.** В $\left(\tfrac{1}{32}\right)^{-2/5}$ минус относится ко всему показателю, поэтому основание переворачивается первым: $\left(\tfrac{1}{32}\right)^{-2/5} = 32^{2/5} = 4$. Кто лезет за корнем до переворота — запутывается в дробях и не доходит до ответа.
- **Ошибка 8.** **Считают большие степени вместо того, чтобы сократить.** Увидев $\dfrac{6^7}{2^7 \cdot 3^5}$, начинают перемножать 6 семь раз. Калькулятора нет, время уходит, ошибка почти неизбежна. Сначала приведи к одному основанию и сократи — останется $3^2 = 9$.

## Запомни для ЕГЭ

- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- $(a^m)^n = a^{mn}$
- $(ab)^n = a^n b^n, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$
- $a^0 = 1 \ (a \ne 0); \quad 0^0,\ 0^{-n} \text{ — не определены}$
- $(-a)^{2k} = a^{2k}, \quad -a^{2k} = -(a^{2k})$
- Двойка: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
- Тройка: 3, 9, 27, 81, 243, 729. Пятёрка: 5, 25, 125, 625

## На экзамене

- Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, примерно 3 минуты. Это одно из самых дешёвых по времени заданий части 1: тратить на него десять минут нельзя, дальше идут задания по 2, 3 и 4 балла.
- Свойств степеней в справочных материалах нет. На профиле выдают всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы углов. Всё остальное, включая эти пять правил, ты держишь в голове сам.
- Первый ход всегда один: привести к одному основанию. Если основания не сводятся друг к другу, разложи составное на множители — $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$.
- Отрицательные показатели не разворачивай в дроби, пока не досчитал показатель до конца. Сложить $-3 + 8 - 6 = -1$ проще, чем возиться с тремя дробями, а результат тот же.
- Ответ в задании 8 — целое число или конечная десятичная дробь. Если у тебя вышло 1/3 или 1/7, это не «неудобный ответ», а сигнал ошибки: проверь знаки показателей и вернись к шагу с приведением оснований.
- Приём с проверкой на маленьких числах (см. выше) работает и на других правилах. Забыл, что делать с показателями при делении, — не вспоминай, а посчитай: $\dfrac{2^5}{2^3} = \dfrac{32}{8} = 4 = 2^2$. Показатели вычлись, а не поделились — ответ получен за пятнадцать секунд и без всякой памяти.
- Тема отдаёт балл не только в задании 8. Показательные уравнения из заданий 7 и 14 начинаются ровно с этого приёма: $2^x \cdot 4^x = 64$ решается только после приведения к одному основанию. Так что эти пять правил ты возвращаешь себе не один раз за экзамен.

## Словарь темы

- **Степень** — Результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. Для нулевого и отрицательного показателя определение задаётся отдельно — так, чтобы правила действий со степенями продолжали выполняться.
- **Основание степени** — Число, которое возводят в степень. В записи (−2)⁴ основание равно −2, а в записи −2⁴ основание равно 2, и минус к нему не относится. Скобки здесь несут смысл, а не оформление.
- **Показатель степени** — Число, которое пишется сверху и говорит, что делать с основанием. Целый показатель бывает натуральным, нулевым или отрицательным.
- **Целый показатель** — Показатель из множества целых чисел: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Именно на нём построена эта тема. Дробный показатель — соседняя тема кода 1.3.
- **Взаимно обратные числа** — Пара чисел, произведение которых равно 1. Обратное к a записывается как a⁻¹ = 1/a и существует при a ≠ 0. Отсюда же и правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- **Приведение к одному основанию** — Приём, с которого начинается почти любое вычисление со степенями: все основания заменяют степенями одного числа (4 = 2², 27 = 3³), после чего работают правила сложения и вычитания показателей.

## Частые вопросы

### Что такое степень?

Степень — результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a, а для нулевого и отрицательного показателя определение задают так, чтобы правила действий со степенями продолжали выполняться.

### Как решать задания по теме «Степень с целым показателем»?

Шаги такие:

1. опознай основания
2. переведи десятичные дроби в обыкновенные
3. убери скобки
4. определи знак отдельно
5. сложи и вычти показатели
6. разверни минус в самом конце
7. сверь форму ответа.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Степень с целым показателем»?

Теряют скобки у отрицательного основания. -2⁴ = -16, но (-2)⁴ = 16. Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в степень не идёт. Если основание отрицательное, пиши скобки в черновике всегда, даже когда «и так понятно».

### Что нужно запомнить по теме «Степень с целым показателем»?

Главное:

1. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
2. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
3. (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
4. a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
5. a⁰ = 1 (a ≠ 0); 0⁰, 0⁻ⁿ — не определены
6. (-a)²ᵏ = a²ᵏ, -a²ᵏ = -(a²ᵏ).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.4 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.4 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня и проверяется заданием 8.
- Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, ориентировочно 3 минуты; формулировка «Найдите значение выражения».
- Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь, записывается в бланк № 1.
- Калькулятор на экзамене запрещён, а справочные материалы профильного уровня содержат только 4 формулы тригонометрии — свойств степеней там нет.
- a⁰ = 1 при a ≠ 0 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 — это доопределения, которые выбраны так, чтобы правило a^m : a^n = a^(m−n) сохранилось для всех целых показателей.
- 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены; 0ⁿ = 0 при натуральном n.
- Пять свойств степени (a^m·a^n = a^(m+n); a^m/a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn); (ab)^n = a^n·b^n; (a/b)^n = a^n/b^n) верны для любых целых m и n при a ≠ 0, b ≠ 0.
- (a + b)^n ≠ a^n + b^n — правила относятся к произведению и частному, а не к сумме.
- −2⁴ = −16, а (−2)⁴ = 16: возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в основание не входит.
- Знак степени отрицательного основания определяется чётностью показателя: (−3)² = 9, (−3)³ = −27; отрицательный показатель на знак не влияет: (−2)⁻³ = −0,125.
- (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ; в частности (1/4)⁻² = 16, 0,2⁻² = 25, 0,5⁻³ = 8, 0,25⁻¹ = 4, 10⁻² = 0,01.
- Степени двойки до 1024, тройки до 729 и пятёрки до 625 покрывают основания, которые реально встречаются в задании 8.
- В мосте к дробному показателю: 81^(3/4) = 27 и (1/32)^(−2/5) = 4, причём отрицательный показатель переворачивает основание до извлечения корня.
- Приведение к одному основанию — тот же первый шаг в показательных уравнениях заданий 7 и 14, поэтому тема отдаёт балл не только в задании 8.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/)
- [Свойства степеней: таблица формул с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kubov/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/stepen-s-celym-pokazatelem/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.