---
title: "Тела и поверхности вращения ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Тело вращения — это тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник. ЕГЭ, задания 3, 15."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tela-i-poverhnosti-vrascheniya/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 3 КИМ (1 балл), включая усложнённые комбинации тел"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Тела и поверхности вращения

Тело вращения — это тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. На ЕГЭ тема нужна в задании 3 (1 балл): от прямой подстановки в формулы объёма и поверхности до усложнённых комбинаций вроде сферы, описанной около конуса.

Цилиндр, конус и шар получаются вращением плоской фигуры вокруг оси — отсюда и «тела вращения». Их формулы объёма и поверхности нужны в задании 3 — от прямой подстановки до усложнённых комбинаций вроде сферы, описанной около конуса. Главная ловушка темы — путать высоту конуса с образующей и боковую поверхность с полной.

**Задание КИМ:** Задание 3 КИМ (1 балл), включая усложнённые комбинации тел  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое тела вращения и как они получаются?

Название темы объясняет саму суть. Возьми плоскую фигуру и раскрути её вокруг прямой — этой прямой будет ось. Фигура заметёт в пространстве тело, а её край опишет поверхность. Так рождаются три главных тела темы, и запомнить, как именно, полезнее, чем зубрить формулы отдельно.

**Цилиндр** — это раскрученный вокруг своей стороны прямоугольник. **Конус** — раскрученный вокруг катета прямоугольный треугольник. **Шар** — раскрученный вокруг диаметра полукруг. Из этого сразу видно, почему у цилиндра два одинаковых круглых основания, у конуса — одно основание и вершина, а у шара нет ни одного плоского куска.

Важно различать два слова, которые звучат похоже. **Шар** — это тело, всё пространство внутри; **сфера** — только его поверхность, оболочка без начинки. Поэтому у шара спрашивают объём, а у сферы — площадь поверхности. Смешать эти два вопроса — типовая потеря балла на экзамене.

Ещё один инструмент, который выручает почти в любой задаче темы, — **осевое сечение**: разрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг. Осевое сечение переводит объёмную задачу в плоскую, где уже работают теорема Пифагора и обычная планиметрия.

![Получение цилиндра, конуса и шара вращением плоских фигур](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/tela-i-poverhnosti-vrascheniya-1.png)

*Цилиндр, конус и шар возникают при вращении прямоугольника, треугольника и полукруга вокруг оси.*

## Как найти объём и площадь поверхности цилиндра?

У цилиндра всё задаётся двумя числами: радиусом основания $r$ и высотой $h$. Высота здесь — это и есть расстояние между основаниями, потому что боковая стенка стоит вертикально. Объём считается как «площадь основания на высоту», а основание у нас круг площадью $\pi r^2$:

$$
V = \pi r^2 h
$$

Боковую поверхность проще всего представить, если разрезать банку по вертикали и развернуть — получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте $h$, другая — длине окружности основания $2\pi r$. Отсюда площадь боковой поверхности:

$$
S_{\text{бок}} = 2\pi r h
$$

Если к боковой стенке добавить два круглых основания, получится полная поверхность. Каждое основание — круг площадью $\pi r^2$, их два:

$$
S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r)
$$

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ (это диаметр основания) и $h$. Если в задаче дана диагональ этого сечения, вспоминай теорему Пифагора: $d^2 = (2r)^2 + h^2$.

*Рисунок: Цилиндр задаётся радиусом основания r и высотой h*

## Как найти объём и площадь поверхности конуса?

У конуса появляется третья величина, которой не было у цилиндра, — **образующая** $l$. Это отрезок от вершины до любой точки края основания, то есть боковая «стенка» конуса вдоль ската. Образующая, высота $h$ и радиус $r$ образуют прямоугольный треугольник — это половина осевого сечения. Значит, они связаны теоремой Пифагора:

$$
l = \sqrt{r^2 + h^2}
$$

Эту связь надо чувствовать наизусть: в задаче обычно дают два числа из трёх, а третье достаёшь отсюда. Например, при $r = 6$ и $h = 8$ образующая равна $\sqrt{36 + 64} = 10$.

Объём конуса — ровно треть от объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой. Отсюда та самая одна третья, которую вечно теряют:

$$
V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h
$$

А вот в площади боковой поверхности и сидит главная ловушка темы. В формулу входит **образующая** $l$, а не высота $h$:

$$
S_{\text{бок}} = \pi r l
$$

Подставить сюда высоту вместо образующей — самая частая ошибка на задании про конус. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Полная поверхность добавляет к боковой одно круглое основание:

$$
S_{\text{полн}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)
$$

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник: основание равно диаметру $2r$, а две боковые стороны — это две образующие $l$. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$.

*Рисунок: У конуса высота h идёт в объём, а образующая l — в боковую поверхность; связаны они теоремой Пифагора*

## По каким формулам считать объём шара и площадь сферы?

Шар задаётся всего одним числом — радиусом $R$. Две формулы, и обе надо знать наизусть: объём шара и площадь его поверхности (то есть площадь сферы).

$$
V = \dfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2
$$

Их легко перепутать между собой, а разница принципиальная. В объёме радиус в **третьей** степени и стоит коэффициент $\tfrac{4}{3}$; в площади радиус в **квадрате** и коэффициент просто $4$. Подсказка от размерности: объём измеряется в кубических единицах, поэтому у него куб; площадь — в квадратных, поэтому квадрат.

Если тело или задачу задают **диаметром**, сначала раздели его пополам и только потом подставляй. Диаметр $d = 6$ означает радиус $R = 3$, и в формулу идёт тройка, а не шестёрка — иначе ответ вырастет в разы.

Сечение шара любой плоскостью — всегда **круг**. Если плоскость проходит через центр, круг самый большой, его радиус равен $R$. Чем дальше плоскость от центра, тем меньше круг: при расстоянии $d$ от центра радиус сечения равен $\sqrt{R^2 - d^2}$ — снова прямоугольный треугольник и теорема Пифагора.

*Рисунок: Сечение шара плоскостью — круг; через центр он наибольший, радиуса R*

## Усечённый конус, комбинации и число π

Если конус срезать плоскостью, параллельной основанию, получится **усечённый конус** — с двумя круглыми основаниями разного радиуса $R$ и $r$. Он тоже относится к телам вращения. Его объём и боковую поверхность (через образующую $l$) находят по формулам:

$$
V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right), \qquad S_{\text{бок}} = \pi (R + r)\, l
$$

Эти две формулы в задании 3 встречаются редко, поэтому если места в голове мало — приоритет у цилиндра, конуса и шара. Но знать, что такое тело существует и как оно устроено, полезно: задачу усложняют **комбинациями** тел — шар, вписанный в цилиндр, конус, вписанный в шар, сфера, описанная около конуса. Даже когда в кратком ответе задания 3 просят, например, радиус сферы, описанной около конуса, такая связка разбирается всегда одинаково: рисуешь осевое сечение, находишь на нём прямоугольный треугольник и работаешь с ним по планиметрии.

Отдельно про число $\pi$. В задании 3 ответ должен быть числом, а $\pi$ — иррациональное. Поэтому в условии почти всегда либо просят **приблизить** $\pi \approx 3$ и тогда ответ выходит целым, либо просят записать **коэффициент при π** — то есть число, на которое π умножается. Прочитай эту оговорку в условии до того, как считать: она определяет, что именно писать в бланк.

## Формулы тел вращения в одной таблице

*Объёмы и поверхности цилиндра, конуса, шара и усечённого конуса*

| Тело | Формулы | Что обозначают буквы |
| --- | --- | --- |
| Цилиндр | $V = \pi r^2 h, \quad S_{\text{бок}} = 2\pi r h, \quad S_{\text{полн}} = 2\pi r (h + r)$ | r — радиус основания, h — высота |
| Осевое сечение цилиндра | $d^2 = (2r)^2 + h^2$ | Прямоугольник 2r × h, d — его диагональ |
| Конус: образующая | $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ | l — образующая, r — радиус, h — высота |
| Конус: объём | $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ | Треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой |
| Конус: поверхность | $S_{\text{бок}} = \pi r l, \quad S_{\text{полн}} = \pi r (l + r)$ | В боковую поверхность идёт образующая l, а не высота |
| Шар и сфера | $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2$ | R — радиус; объём у шара, площадь у сферы |
| Сечение шара | $\sqrt{R^2 - d^2}$ | d — расстояние от центра до плоскости сечения |
| Усечённый конус | $V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right), \qquad S_{\text{бок}} = \pi (R + r)\, l$ | R и r — радиусы оснований, l — образующая |

## Разбор: боковая поверхность конуса

**Условие.** Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Найди площадь боковой поверхности конуса. В ответе укажи коэффициент при π (то есть число k, если площадь равна kπ).

**Решение.**

- В формулу боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi r l$ входит образующая $l$, а нам дали высоту. Значит, сначала находим образующую.
- Образующая, высота и радиус — стороны прямоугольного треугольника, поэтому по теореме Пифагора:
- $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
- Теперь подставляем радиус и образующую в формулу боковой поверхности:
- $S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$
- В ответ идёт коэффициент при π. Если бы вместо образующей я по невнимательности взял высоту 8, вышло бы 48π — и балл потерян ровно на этой подмене.

**Ответ:** 60 (площадь боковой поверхности равна 60π).

## Как решать задачу на тело вращения

1. **Опознай тело и выпиши, что дано.** Цилиндр — радиус и высота. Конус — радиус, высота, образующая (любые два из трёх). Шар — только радиус. Если дан диаметр, сразу дели пополам.
2. **Реши, что именно спрашивают.** Объём или площадь? Боковая поверхность или полная? У конуса — высота нужна или образующая? От этого зависит выбор формулы, и здесь теряют больше всего.
3. **Не хватает величины — достань её из осевого сечения.** Образующую конуса, диагональ цилиндра, радиус сечения шара находишь по теореме Пифагора на прямоугольном треугольнике из осевого сечения.
4. **Проверь оговорку про π.** Просят приблизить $\pi \approx 3$ — считаешь до целого числа. Просят коэффициент при π — оставляешь π символом и пишешь множитель.
5. **Подставь числа и сверь ответ с вопросом.** Искал коэффициент при π, а π сократилось — перечитай условие. Искал объём, а забыл возвести радиус в нужную степень — размерность подскажет.

## Проверь себя

Четыре вопроса ровно по тем местам, где на задании про тела вращения теряют балл.

1. Радиус основания конуса равен 9, а высота равна 12. Чему равна образующая конуса?
   - 15 — **верный ответ**
   - 21
   - √63
   - 3

   *Пояснение:* Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник: l = √(r² + h²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Ответ 21 получился бы, если сложить 9 и 12 без Пифагора — так нельзя.

2. По какой формуле считается площадь боковой поверхности конуса?
   - S = πrl — **верный ответ**
   - S = πrh
   - S = 2πrh
   - S = πr²h

   *Пояснение:* В боковую поверхность конуса входит образующая l, а не высота h: S_бок = πrl. Формула с высотой (πrh) — самая частая ловушка темы; 2πrh — это боковая поверхность цилиндра, а πr²h — объём цилиндра.

3. Чему равна площадь поверхности сферы радиуса R?
   - 4πR² — **верный ответ**
   - 4/3·πR³
   - 2πR²
   - πR²

   *Пояснение:* Площадь поверхности сферы S = 4πR² — радиус в квадрате, потому что площадь измеряется в квадратных единицах. Вариант 4/3·πR³ — это объём шара, его легко перепутать с площадью.

4. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 5. Найдите объём, приняв π ≈ 3.
   - 60 — **верный ответ**
   - 30
   - 20
   - 120

   *Пояснение:* V = πr²h = 3 · 2² · 5 = 3 · 4 · 5 = 60. Вариант 20 вышел бы, если по ошибке взять формулу конуса с множителем 1/3: (1/3)·3·4·5 = 20. Вариант 30 — если забыть возвести радиус в квадрат (3·2·5). У цилиндра множителя 1/3 нет, а радиус стоит в квадрате.

5. Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой?
   - в 3 раза — **верный ответ**
   - в 2 раза
   - в 6 раз
   - они равны

   *Пояснение:* Объём конуса V = (1/3)πr²h — это ровно треть от объёма цилиндра πr²h с теми же основанием и высотой. Именно этот множитель 1/3 чаще всего и теряют.

## Какие ошибки делают в задачах на тела вращения?

- **Ошибка 1.** **Подставляют высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса.** В формуле $S_{\text{бок}} = \pi r l$ стоит образующая $l$, а не высота $h$. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Если дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора.
- **Ошибка 2.** **Путают боковую поверхность с полной.** Спросили полную — не забудь добавить основания: у цилиндра два круга, у конуса один. Спросили боковую — наоборот, основания не считаются вовсе. Перечитай, что именно просят.
- **Ошибка 3.** **Забывают множитель $\tfrac{1}{3}$ у конуса.** Объём конуса втрое меньше объёма цилиндра: $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$. Пропустишь треть — ответ окажется в три раза больше нужного.
- **Ошибка 4.** **Меняют местами формулы шара.** Объём $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ (радиус в кубе), площадь $S = 4\pi R^2$ (радиус в квадрате). Подсказка: объём — кубические единицы, значит куб; площадь — квадратные, значит квадрат.
- **Ошибка 5.** **Подставляют диаметр вместо радиуса.** Если тело задали диаметром, раздели его пополам до подстановки. Диаметр 6 — это радиус 3; забудешь поделить, и в объёме ошибёшься в разы (радиус-то в степени).
- **Ошибка 6.** **Не читают оговорку про $\pi$.** Просят приблизить $\pi \approx 3$ — ответ целое число. Просят коэффициент при π — оставь π символом и запиши множитель. Перепутаешь — правильно посчитанная задача уйдёт в неверный бланковый ответ.

## Запомни для ЕГЭ

- $V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\ \ S_{\text{бок}} = 2\pi r h$
- $V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,\ \ S_{\text{бок}} = \pi r l$
- $l = \sqrt{r^2 + h^2}$
- $V_{\text{шар}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
- $S_{\text{сфер}} = 4\pi R^2$
- Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса

## На экзамене

- Задание 3 стоит 1 балл и решается прямой подстановкой в формулу — закладывай на него две-три минуты. Вся сложность не в вычислениях, а в том, чтобы взять правильную формулу и не перепутать высоту с образующей.
- Прежде чем считать, отметь в условии два слова: «боковая или полная» и «объём или поверхность». Эти четыре варианта — и есть всё поле возможных ошибок в этом задании.
- Если в задании про конус дали высоту, а нужна боковая поверхность (или наоборот) — первым делом достань образующую через $l = \sqrt{r^2 + h^2}$. Числа в задании 3 обычно подобраны так, что корень берётся нацело: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13.
- Если тело вращения дают в комбинации (сфера около конуса, конус в шаре, шар в цилиндре), приём один: построй осевое сечение, найди на нём прямоугольный треугольник и дальше решай планиметрией. Так объёмная связка сводится к знакомой плоской задаче.
- Держи в голове, что это профильный раздел (в кодификаторе — углублённый уровень УУ). Формулы тел вращения в справочных материалах не выдают: их придётся помнить наизусть, как и почти всю геометрию на профиле.

## Словарь темы

- **Тело вращения** — Тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.
- **Ось вращения** — Прямая, вокруг которой вращается фигура. У цилиндра и конуса она соединяет центры оснований (с вершиной), у шара проходит через центр.
- **Образующая** — У конуса — отрезок от вершины до края основания (боковая «стенка» вдоль ската). Связана с радиусом и высотой теоремой Пифагора: l = √(r² + h²). В формулу боковой поверхности входит именно она, а не высота.
- **Осевое сечение** — Разрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник 2r × h, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг радиуса R. Главный инструмент темы: сводит объёмную задачу к плоской.
- **Шар** — Тело — всё пространство, ограниченное сферой, вместе с внутренностью. У шара спрашивают объём V = 4/3·πR³.
- **Сфера** — Поверхность шара, оболочка без внутренности. У сферы спрашивают площадь S = 4πR². Путать шар и сферу — типовая потеря балла.
- **Усечённый конус** — Часть конуса между основанием и параллельным ему сечением. Имеет два круглых основания разного радиуса; тоже тело вращения.

## Частые вопросы

### Что такое тело вращения?

Тело вращения — тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси, а её край описывает поверхность. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.

### Как решать задачу на тело вращения?

Шаги такие:

1. опознай тело и выпиши, что дано
2. реши, что именно спрашивают
3. не хватает величины — достань её из осевого сечения
4. проверь оговорку про π
5. подставь числа и сверь ответ с вопросом.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тела и поверхности вращения»?

Подставляют высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса. В формуле Sбок = π r l стоит образующая l, а не высота h. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Если дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора.

### Что нужно запомнить по теме «Тела и поверхности вращения»?

Главное:

1. Vцил = π r² h, Sбок = 2π r h
2. Vкон = (1/3)π r² h, Sбок = π r l
3. l = √(r² + h²)
4. Vшар = (4/3)π R³
5. Sсфер = 4π R²
6. Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 7.4 «Тела и поверхности вращения».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 7.4 кодификатора ФИПИ по математике (профиль): «Тела и поверхности вращения», раздел «Геометрия», уровень УУ (углублённый).
- Формулы тел вращения проверяются в задании 3 (число, 1 балл), в том числе в усложнённых комбинациях (сфера, описанная около конуса).
- Цилиндр, конус и шар получаются вращением прямоугольника (вокруг стороны), прямоугольного треугольника (вокруг катета) и полукруга (вокруг диаметра) соответственно.
- Объём цилиндра V = πr²h, боковая поверхность S = 2πrh, полная S = 2πr(h + r).
- Образующая конуса l = √(r² + h²); объём V = ⅓πr²h; боковая поверхность S = πrl (через образующую, не высоту); полная S = πr(l + r).
- Объём шара V = 4/3·πR³, площадь сферы S = 4πR².
- Различие «шар — тело, сфера — поверхность»: у шара спрашивают объём, у сферы — площадь поверхности.
- Сечение шара плоскостью — круг; радиус сечения на расстоянии d от центра равен √(R² − d²).
- Осевое сечение цилиндра — прямоугольник 2r × h (диагональ d² = (2r)² + h²); осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l, высотой h.
- Усечённый конус — тело вращения с двумя основаниями радиусов R и r; объём V = πh/3·(R² + Rr + r²), боковая поверхность S = π(R + r)l.
- В задании 3 π обычно либо приближают (часто π ≈ 3, ответ — целое число), либо просят коэффициент при π.
- В развёрнутом задании 15 (стереометрия, повышенный уровень, 3 балла) пункт а — доказательство, пункт б — вычисление; за проверку на примере вместо доказательства балл за пункт а не ставят.
- Формулы объёмов и поверхностей тел вращения в справочных материалах ЕГЭ не выдаются — их нужно знать наизусть.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/)
- [Площадь поверхности цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-cilindra/)
- [Площадь поверхности конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-konusa/)
- [Площадь сферы (поверхности шара): формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sfery/)
- [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/)
- [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tela-i-poverhnosti-vrascheniya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.