---
title: "Тригонометрические функции: определение, формулы, примеры"
description: "Тригонометрические функции — это функции y = sin x, y = cos x и y = tg x числового аргумента. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задания 12, 17."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-funkcii/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 12 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — это функции y = sin x, y = cos x и y = tg x числового аргумента; их графики повторяются с периодом 2π у синуса и косинуса и π у тангенса. На ЕГЭ тема нужна в задании 12 (1 балл): там параметры синусоиды восстанавливают по графику. Пригодится она и там, где ищут наибольшее и наименьшее значение функции.

Здесь синус и косинус становятся функциями: у них появляются график, период, область значений и амплитуда. Тема закрывает задание №12, где параметры функции восстанавливают по графику, и помогает в задачах, где ищут наибольшее и наименьшее значение. Главная ловушка — путаница между амплитудой, периодом T = 2π/B и сдвигом в записи y = A·sin(Bx + C) + D.

**Задание КИМ:** Задание 12 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Как выглядят графики синуса и косинуса и какие у них свойства?

В теме про синус числового аргумента (код 1.5) мы считали $\sin t$ для одного числа. Теперь взгляд другой: пробегаем $x$ по всей оси и смотрим, как ведёт себя **функция** $y = \sin x$. Каждому числу отвечает ордината точки единичной окружности, а когда точка бесконечно наматывает круги, ордината колеблется вверх-вниз — получается волна, синусоида.

**Область значений.** Точка не покидает окружность радиуса 1, поэтому её координаты не выходят за границы. Значит, и синус, и косинус любого числа лежат в отрезке от −1 до 1:

$$
-1 \leqslant \sin x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \cos x \leqslant 1
$$

**Период.** Полный оборот возвращает точку на место, координаты повторяются. Наименьшее число, через которое график в точности накладывается сам на себя, называют **периодом**; у синуса и косинуса он равен $2\pi$.

**Чётность.** Числу $-x$ отвечает точка, зеркальная относительно оси Ox: абсцисса та же, ордината меняет знак. Отсюда косинус — **чётная** функция (график симметричен относительно оси Oy), а синус — **нечётная** (график симметричен относительно начала координат):

$$
\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x
$$

Графики $y = \sin x$ и $y = \cos x$ — это одна и та же волна: косинус получается из синуса сдвигом влево на $\pi/2$. Синусоида проходит через начало координат, косинусоида стартует с максимума при $x = 0$, потому что $\cos 0 = 1$.

*Рисунок: Графики y = sin x и y = cos x: область значений [−1; 1], период 2π. Косинус — тот же синус, сдвинутый влево на π/2.*

![Графики синуса и косинуса с одинаковой амплитудой и периодом](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/trigonometricheskie-funkcii-1.png)

*Синус и косинус образуют периодические волны одинаковой амплитуды со сдвигом по аргументу.*

## Чем функция тангенс отличается от синуса и косинуса?

Тангенс определяется через частное $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$, и от этого у него другой характер, чем у синуса с косинусом.

**Область определения.** Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс не существует там, где $\cos x = 0$, то есть в точках $x = \pi/2 + \pi n$. В этих местах график разрывается — к вертикальным прямым $x = \pi/2 + \pi n$ ветви подходят всё ближе, но не пересекают их.

**Область значений.** В отличие от синуса, у тангенса нет потолка и пола: он принимает **любые** действительные значения. Поэтому уравнение $\operatorname{tg} x = 100$ корни имеет, а $\sin x = 100$ — нет.

**Период.** У тангенса он равен $\pi$, вдвое короче, чем у синуса. Точки $x$ и $x + \pi$ лежат на концах одного диаметра, у обеих координат меняется знак, а в дроби два минуса сокращаются — значение тангенса остаётся прежним:

$$
\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x
$$

Тангенс, как и синус, **нечётен**: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, график симметричен относительно начала координат. На экзамене график тангенса встречается реже синусоиды, но путаница «период $\pi$, а не $2\pi$» стоит балла в задании 12.

## Что означают коэффициенты A, B, C и D в формуле синусоиды?

Почти вся синусоида на экзамене — это преобразованный синус вида $y = A\sin(Bx + C) + D$. Четыре коэффициента отвечают за четыре независимых действия с графиком. Разберём каждый — именно здесь чаще всего путаются.

$$
y = A\sin(Bx + C) + D
$$

**A — амплитуда.** Множитель $A$ растягивает волну по вертикали. Амплитуда — это $|A|$, расстояние от средней линии до вершины. При $A < 0$ график вдобавок переворачивается вверх ногами. Важно: амплитуда — это **не** само наибольшее значение, а половина размаха между вершиной и впадиной.

**D — сдвиг по вертикали.** Слагаемое $D$ поднимает всю волну на $D$ вверх. Прямая $y = D$ становится **средней линией** — осью, вокруг которой график колеблется. Отсюда сразу область значений:

$$
E(y) = [\,D - |A|;\ D + |A|\,]
$$

**B — сжатие по горизонтали и период.** Множитель $B$ перед $x$ сжимает волну вдоль оси: чем больше $B$, тем чаще колебания. Период считается по формуле, которую надо знать наизусть:

$$
T = \dfrac{2\pi}{|B|}
$$

Проверь на числах: у $y = \sin 3x$ период $2\pi/3$ — втрое короче обычного; у $y = \cos(x/2)$ период $2\pi/(1/2) = 4\pi$ — вдвое длиннее. Частая ошибка — умножить на $B$ вместо деления.

**C — горизонтальный сдвиг (сдвиг фазы).** Чтобы его увидеть, вынеси $B$ за скобку: $A\sin(B(x + C/B)) + D$. Значит, график сдвинут по горизонтали на $-C/B$. Простой ориентир: $y = \sin(x + \pi/3)$ сдвинут **влево** на $\pi/3$, а $y = \sin(x - \pi/3)$ — **вправо** на $\pi/3$. Знак «внутри» и направление сдвига противоположны.

*Рисунок: Параметры синусоиды: A — амплитуда (от средней линии до вершины), D — сдвиг средней линии по вертикали, T = 2π/B — период.*

## Как найти наибольшее и наименьшее значение тригонометрической функции?

Найти наибольшее или наименьшее значение функции — с 2027 года эта формулировка входит в задание 9. Для многочленов там нужна производная (это соседняя тема, код 4.2). Но если функция **чисто тригонометрическая**, производную можно не трогать — ответ читается из области значений.

Базовый случай — одна функция с коэффициентами: $y = a\sin x + b$. Так как $\sin x$ пробегает отрезок от −1 до 1, слагаемое $a\sin x$ пробегает от $-|a|$ до $|a|$, а вся функция колеблется вокруг $b$ с размахом $|a|$ в обе стороны:

$$
b - |a| \leqslant a\sin x + b \leqslant b + |a|
$$

Модуль здесь обязателен: даже если $a$ отрицателен, размах в обе стороны одинаков. Например, $y = 5 - 12\cos x$ принимает значения от $5 - 12 = -7$ до $5 + 12 = 17$: наименьшее −7, наибольшее 17.

Чуть сложнее — сумма синуса и косинуса одного аргумента: $y = a\sin x + b\cos x$. Такая сумма — это тоже одна синусоида, только с другой амплитудой, и её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:

$$
-\sqrt{a^2 + b^2} \leqslant a\sin x + b\cos x \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}
$$

Отсюда, например, наибольшее значение $3\sin x + 4\cos x$ равно $\sqrt{9 + 16} = 5$. Само преобразование, которое сворачивает такую сумму в $\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x + \varphi)$ (метод вспомогательного угла), разбираем в теме кода 2.5. Здесь достаточно знать сам факт про корень из суммы квадратов — на задание 9 этого хватает.

## Как восстановить формулу по графику — задание 12

Задание 12 показывает синусоиду и просит найти какой-нибудь параметр или значение функции. Обратный ход — от картинки к формуле $y = A\sin(Bx + C) + D$ — собирается из тех же четырёх коэффициентов, только теперь их снимают с графика.

**Средняя линия D** — это середина между вершиной и впадиной. Если наибольшее значение на графике $y_{\max}$, а наименьшее $y_{\min}$, то:

$$
D = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2}, \qquad |A| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2}
$$

**Период T** измеряют между двумя одинаковыми точками графика — от вершины до соседней вершины или от впадины до впадины. Меньше всего ошибок, если брать именно вершины: их положение видно точно. Дальше $|B| = 2\pi/T$.

**Знак и сдвиг** определяются по тому, что происходит в удобной точке (обычно $x = 0$): график там на вершине, на средней линии или во впадине. Если в $x = 0$ сразу максимум, удобно считать функцию косинусом с положительным $A$.

Последний шаг — **проверка на контрольной точке**: подставь $x$ любой заметной точки графика в собранную формулу. Совпало значение — формула верна, не совпало — ищи ошибку в знаке или периоде. Эта проверка занимает секунды и ловит почти все промахи задания 12.

## Свойства синуса, косинуса и тангенса

*Область определения, область значений, период и чётность трёх основных функций*

| Свойство | sin x и cos x | tg x |
| --- | --- | --- |
| Область определения | Любое x | $x \neq \pi/2 + \pi n$: там cos x = 0 |
| Область значений | $[-1;\,1]$ | Любые действительные числа |
| Период | $2\pi$ | $\pi$ |
| Чётность | Косинус чётный, синус нечётный | Нечётный |
| Вид графика | Волна; косинусоида — синусоида, сдвинутая влево на π/2 | Ветви с разрывами у прямых $x = \pi/2 + \pi n$ |

## Коэффициенты y = A·sin(Bx + C) + D

*Что делает каждый коэффициент и как снять его с графика в задании 12*

| Коэффициент | Что делает с графиком | Как найти по графику |
| --- | --- | --- |
| A | Растягивает по вертикали, амплитуда равна \|A\|; при A < 0 переворачивает график | $\|A\| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$ |
| D | Сдвигает по вертикали, y = D — средняя линия | $D = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2}$ |
| B | Сжимает по горизонтали, период $T = \dfrac{2\pi}{\|B\|}$ | $\|B\| = 2\pi/T$, T — от вершины до соседней вершины |
| C | Сдвигает по горизонтали на $-C/B$ | По поведению графика в удобной точке, обычно x = 0 |
| Все вместе | Область значений $E(y) = [\,D - \|A\|;\ D + \|A\|\,]$ | Проверка: подставить x заметной точки графика в собранную формулу |

## Разбор задания 12: восстановить параметры

**Условие.** Дана функция y = a·cos(bx) + c: наибольшее значение равно 5 и достигается при x = 0, наименьшее равно −1, а соседний максимум — в точке x = π. Найди значение a + b + c.

**Решение.**

- **Средняя линия c.** Это середина между вершиной и впадиной графика:
- $c = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$
- **Амплитуда.** Половина размаха между вершиной и впадиной:
- $|a| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \dfrac{5 - (-1)}{2} = 3$
- Максимум достигается при $x = 0$, а $\cos 0 = 1$ — своё наибольшее значение. Значит множитель $a$ положителен: $a = 3$.
- **Коэффициент b.** Период — это расстояние между соседними максимумами: от $x = 0$ до $x = \pi$, то есть $T = \pi$. Из формулы периода:
- $|b| = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2 \ \Rightarrow\ b = 2$
- **Проверка.** Собрали $y = 3\cos 2x + 2$. При $x = 0$: $3 \cdot 1 + 2 = 5$ — совпало с максимумом. Формула верна.
- Остаётся сложить коэффициенты:
- $a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7$

**Ответ:** 7.

## Разбор задания 9: наибольшее значение

**Условие.** Найди наибольшее значение функции y = 8·sin x + 6·cos x − 4.

**Решение.**

- В функции есть сумма синуса и косинуса одного аргумента: $8\sin x + 6\cos x$. Её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:
- $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$
- Значит, эта сумма принимает значения от −10 до 10, и её наибольшее значение равно 10.
- Слагаемое −4 просто опускает всю функцию на 4. Максимум достигается, когда скобка максимальна:
- $y_{\max} = 10 - 4 = 6$
- Производная тут не понадобилась: функция чисто тригонометрическая, и ответ вышел из области значений. Для смешанных функций вроде $x + 2\cos x$ так уже нельзя — там работает производная (тема кода 4.2).

**Ответ:** 6.

## Как читать синусоиду в задании 12

1. **Найди среднюю линию.** Это уровень, вокруг которого колеблется график: $D = (y_{\max} + y_{\min})/2$, полусумма наибольшего и наименьшего значений.
2. **Найди амплитуду.** Половина размаха от впадины до вершины: $|A| = (y_{\max} - y_{\min})/2$.
3. **Измерь период по вершинам.** Расстояние между двумя соседними вершинами (или впадинами) — это $T$. Отсюда $|B| = 2\pi/T$. Не умножай на B — именно дели.
4. **Определи знак и сдвиг.** Посмотри, где график при $x = 0$: на вершине, на средней линии или во впадине. Отсюда подбирается знак $A$ и горизонтальный сдвиг.
5. **Проверь на контрольной точке.** Подставь $x$ заметной точки графика в собранную формулу. Значение совпало — ответ верный; не совпало — ошибка в знаке или периоде.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в заданиях 9 и 12 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Чему равен период функции y = sin 3x?
   - 2π/3 — **верный ответ**
   - 2π
   - 6π
   - π/3

   *Пояснение:* Период считается по формуле T = 2π/|B|, где B — множитель перед x. Здесь B = 3, поэтому T = 2π/3 — колебания втрое чаще обычных. Ответ 6π получился бы, если умножить на B вместо деления.

2. Какова область значений функции y = 4·sin x − 1?
   - [−5; 3] — **верный ответ**
   - [−1; 3]
   - [−5; 5]
   - [3; 5]

   *Пояснение:* Синус лежит в [−1; 1], поэтому 4·sin x лежит в [−4; 4]. Вычитаем 1 — весь отрезок сдвигается вниз на единицу: [−5; 3]. Наименьшее −5 (при sin x = −1), наибольшее 3 (при sin x = 1).

3. График функции y = a·sin x + b достигает максимума 7 и минимума −3. Чему равна амплитуда |a|?
   - 5 — **верный ответ**
   - 2
   - 10
   - 7

   *Пояснение:* Амплитуда — это половина размаха между вершиной и впадиной: |a| = (7 − (−3))/2 = 10/2 = 5. Число 2 — это средняя линия b = (7 + (−3))/2, а не амплитуда; 7 — само наибольшее значение, его с амплитудой и путают.

4. Какая из функций чётная (её график симметричен относительно оси Oy)?
   - y = cos x — **верный ответ**
   - y = sin x
   - y = tg x
   - y = ctg x

   *Пояснение:* Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x, значит график симметричен относительно оси Oy. Синус, тангенс и котангенс нечётны (симметрия относительно начала координат): у них f(−x) = −f(x).

5. Чему равно наибольшее значение функции y = 3 + 2·cos x?
   - 5 — **верный ответ**
   - 1
   - 2
   - 3

   *Пояснение:* Косинус не превосходит 1, поэтому 2·cos x не превосходит 2, а вся функция — 3 + 2 = 5. Максимум достигается, когда cos x = 1. Наименьшее значение было бы 3 − 2 = 1.

6. Чему равно наибольшее значение функции y = 3·sin x + 4·cos x?
   - 5 — **верный ответ**
   - 7
   - 25
   - 3

   *Пояснение:* Сумма синуса и косинуса одного аргумента ограничена корнем из суммы квадратов коэффициентов: √(3² + 4²) = √25 = 5. Ответ 7 получается ошибочным сложением 3 + 4, а 25 — если забыть извлечь корень.

## Какие ошибки делают с графиками тригонометрических функций?

- **Ошибка 1.** **Путают амплитуду с наибольшим значением.** У функции $y = 2\sin x + 3$ амплитуда равна 2, а не 5. Амплитуда — это $|A|$, половина размаха от средней линии до вершины; наибольшее значение $D + |A| = 5$ — это уже другое число.
- **Ошибка 2.** **Считают период неверной формулой.** Период равен $T = 2\pi/|B|$ — **делим** на множитель при $x$. У $y = \sin 2x$ период $\pi$, а не $4\pi$. Умножение на $B$ вместо деления — самая частая ошибка задания 12.
- **Ошибка 3.** **Путают период тангенса.** У синуса и косинуса период $2\pi$, а у тангенса — $\pi$, вдвое короче. Если на графике тангенс, а ты взял период $2\pi$, все параметры поедут.
- **Ошибка 4.** **Ошибаются в направлении горизонтального сдвига.** В $y = \sin(x + \pi/3)$ график сдвинут **влево** на $\pi/3$, а не вправо: знак внутри скобки и направление сдвига противоположны. Общий сдвиг равен $-C/B$.
- **Ошибка 5.** **Теряют модуль в области значений.** Область значений $y = a\sin x + b$ — это $[b - |a|;\ b + |a|]$. Даже при отрицательном $a$ размах в обе стороны одинаков, поэтому берётся именно $|a|$.
- **Ошибка 6.** **Берут производную там, где она не нужна.** Наибольшее и наименьшее значение $a\sin x + b$ или $a\sin x + b\cos x$ читаются из области значений, без производной. Производную бережём для смешанных функций вроде $x + 2\cos x$ (это тема кода 4.2).

## Запомни для экзамена

- $y = A\sin(Bx + C) + D$
- $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$
- $\text{амплитуда} = |A|, \quad \text{сред. линия } y = D$
- $E(y) = [\,D - |A|;\ D + |A|\,]$
- $|a\sin x + b\cos x| \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}$
- sin и cos: период 2π, значения [−1; 1]. tg: период π, значения — вся прямая, разрывы при π/2 + πn.
- cos — чётная (симметрия относительно Oy); sin и tg — нечётные (относительно начала координат).

## На экзамене

- Задания 9 и 12 стоят по 1 баллу — держись в пределах 3–4 минут на каждое. Не залипай: если параметр не читается за минуту, отметь и вернись позже.
- В задании 12 с синусоидой всегда начинай со средней линии и амплитуды — это полусумма и полуразность крайних значений. Период меряй между одинаковыми точками, лучше от вершины к вершине.
- В задании 9 на наибольшее или наименьшее значение первым делом посмотри, «чистая» ли тригонометрия. Если это a·sin x + b или a·sin x + b·cos x — производная не нужна, ответ читается из области значений. Производную доставай только для смешанных функций (тема 4.2).
- В области значений a·sin x + b не забывай модуль: размах в обе стороны одинаков, отрезок [b − |a|; b + |a|].
- Проверь формат ответа: в заданиях 9 и 12 в бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь. Если в ответе остался корень или π — это сигнал ошибки, чаще всего в знаке или периоде.
- Калькулятор запрещён, а из тригонометрии в справочных материалах профиля выдают лишь четыре формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)). Периоды, область значений и вид графиков надо помнить самому.

## Лаборатория: конструктор графиков

Разобраться с параметрами синусоиды можно и по блоку «Главная формула темы»: выбери режим y = A·sin(Bx + C), меняй A, B и C по одному и следи, как A растягивает волну по вертикали, B меняет период (T = 2π/B), а C сдвигает график по горизонтали.

## Словарь темы

- **Амплитуда** — Величина |A| в записи y = A·sin(Bx + C) + D — расстояние от средней линии до вершины графика, то есть половина размаха между наибольшим и наименьшим значениями. Это не само наибольшее значение.
- **Период** — Наименьшее число T, через которое график функции в точности повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π. Для y = sin(Bx) период равен 2π/|B|.
- **Область значений** — Множество всех значений, которые принимает функция. У синуса и косинуса это отрезок [−1; 1]; у функции a·sin x + b — отрезок [b − |a|; b + |a|]; у тангенса — вся числовая прямая.
- **Средняя линия** — Горизонтальная прямая y = D, вокруг которой колеблется график y = A·sin(Bx + C) + D. Проходит ровно посередине между вершинами и впадинами.
- **Сдвиг фазы** — Горизонтальный сдвиг графика y = A·sin(Bx + C) относительно y = A·sin(Bx). Равен −C/B: при положительном C/B график уходит влево.
- **Чётная и нечётная функция** — Функция чётна, если f(−x) = f(x) (график симметричен относительно оси Oy) — таков косинус. Нечётна, если f(−x) = −f(x) (симметрия относительно начала координат) — таковы синус и тангенс.

## Частые вопросы

### Что такое период функции?

Период функции — наименьшее число T, через которое её график в точности повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π, а для y = sin(Bx) период равен 2π/|B|.

### Как решать задания по теме «Тригонометрические функции»?

Шаги такие:

1. найди среднюю линию
2. найди амплитуду
3. измерь период по вершинам
4. определи знак и сдвиг
5. проверь на контрольной точке.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тригонометрические функции»?

Путают амплитуду с наибольшим значением. У функции y = 2 sin x + 3 амплитуда равна 2, а не 5. Амплитуда — это |A|, половина размаха от средней линии до вершины; наибольшее значение D + |A| = 5 — это уже другое число.

### Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические функции»?

Главное:

1. y = A sin (Bx + C) + D
2. T = 2π/|B|
3. амплитуда = |A|, сред. линия y = D
4. E(y) = [ D - |A|; D + |A| ]
5. |a sin x + b cos x| ≤ √(a² + b²).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 3.4 «Тригонометрические функции, их свойства и графики».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 3.4 кодификатора ФИПИ по профильной математике и озаглавлена «Тригонометрические функции».
- Тема проверяется заданием 12 (повышенный уровень, 1 балл); поиск наибольшего и наименьшего значения функции с 2027 года входит в задание 9 (1 балл).
- sin x и cos x определены для любого x, ограничены отрезком [−1; 1] и имеют период 2π; косинус чётен, синус нечётен.
- tg x не определён при x = π/2 + πn (там cos x = 0), принимает любые действительные значения, имеет период π и нечётен.
- У y = A·sin(Bx + C) + D амплитуда равна |A|, средняя линия — y = D, период T = 2π/|B|, горизонтальный сдвиг равен −C/B, а область значений — [D − |A|; D + |A|].
- Область значений a·sin x + b есть [b − |a|; b + |a|]; сумма a·sin x + b·cos x по модулю не превосходит √(a² + b²).
- Наибольшее и наименьшее значения чисто тригонометрической функции (a·sin x + b, a·sin x + b·cos x) находятся через область значений, без производной.
- Параметры синусоиды восстанавливаются по графику: D = (y_max + y_min)/2, |A| = (y_max − y_min)/2, |B| = 2π/T, где T — расстояние между соседними вершинами.
- На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β); графики, периоды и область значений надо знать наизусть.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-12/)
- [Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg](https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-funkcii/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.