---
title: "Тригонометрические уравнения/неравенства: как решать, примеры"
description: "Тригонометрические уравнения — это уравнения с синусом, косинусом или тангенсом неизвестного. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задание 14."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 14 КИМ (2 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Тригонометрические уравнения/неравенства

Тригонометрические уравнения — это уравнения с синусом, косинусом или тангенсом неизвестного; любое из них сводят к простейшему виду sin x = a, cos x = a или tg x = a и решают по формулам общего решения. На ЕГЭ тема нужна в задании 14 (2 балла): один балл дают за решение уравнения, второй — за отбор корней на отрезке.

Задание 14 почти наверняка построено на тригонометрии: реши уравнение и отбери из его решений те, что попали в заданный отрезок. Стоит оно 2 балла — один за решение, второй за отбор. Вся тема держится на формулах общего решения простейших уравнений и на умении честно отобрать корни из бесконечной серии. Отсюда же — тригонометрические неравенства того же кода кодификатора.

**Задание КИМ:** Задание 14 КИМ (2 балла)  
**Баллы:** Макс. 2 балла за № 14  
**Обновлено:** 2026-10-03

## По каким формулам решать простейшие тригонометрические уравнения?

Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к простейшему: $\sin x = a$, $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x = a$. Дальше работают формулы общего решения — по одной на синус, косинус и тангенс. Знать их надо наизусть: в справочнике профиля их нет — там всего четыре других формулы (синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности), а эти три держи в голове сам.

У синуса и косинуса есть жёсткое ограничение: $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, и точно такое же для косинуса. Если после преобразований получилось $\cos x = 1{,}4$ или $\sin x = -3$, то решений нет — и это законный ответ, а не тупик. У тангенса такого ограничения нет: $\operatorname{tg} x = a$ решается при любом $a$.

**Синус:**

$$
\sin x = a \ \Rightarrow \ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

**Косинус:**

$$
\cos x = a \ \Rightarrow \ x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

**Тангенс:**

$$
\operatorname{tg} x = a \ \Rightarrow \ x = \operatorname{arctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

Буква $n$ пробегает все целые числа. Каждое значение даёт свой корень, поэтому у уравнения их бесконечно много — и именно из этой бесконечности пункт (б) задания 14 просит выбрать корни на конкретном отрезке.

Что стоит за $\arcsin a$ и $\arccos a$. $\arcsin a$ — это угол из отрезка $[-\tfrac{\pi}{2};\ \tfrac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$; $\arccos a$ — угол из $[0;\ \pi]$, косинус которого равен $a$. Табличные значения надо помнить: $\arccos\tfrac12 = \tfrac{\pi}{3}$, $\arcsin\tfrac12 = \tfrac{\pi}{6}$, $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3}$ и так далее.

Для отрицательного аргумента у синуса и косинуса знаки ведут себя по-разному — это частый источник путаницы:

$$
\arcsin(-a) = -\arcsin a, \qquad \arccos(-a) = \pi - \arccos a
$$

*Рисунок: Косинус — это абсцисса точки на окружности; уравнение cos x = 1/2 задаёт вертикальную прямую и даёт две серии корней ±π/3 + 2πn*

![Две симметричные точки решения на окружности и отбор повторяющихся корней на промежутке](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva-1.png)

*Решения повторяются периодически, а в заданном промежутке нужно оставить только попавшие внутрь корни.*

## Частные случаи: считай с окружности, а не по формуле

Когда справа стоит $0$, $1$ или $-1$, общие формулы с $\pm$ и $(-1)^n$ дают громоздкий ответ, в котором легко ошибиться. Эти шесть случаев проще запомнить прямо по окружности: синус — это ордината точки (высота), косинус — абсцисса (сдвиг вправо-влево).

**Синус:**

$$
\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; \quad \sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad \sin x = -1 \Rightarrow x = -\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n
$$

**Косинус:**

$$
\cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n; \quad \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; \quad \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n
$$

Обрати внимание на разницу в периоде. Ордината равна нулю в **двух** точках окружности — справа и слева, между ними $\pi$, поэтому у $\sin x = 0$ период $\pi$: $x = \pi n$. А вот значение $\sin x = 1$ достигается только в **одной** верхней точке, поэтому период уже $2\pi$. То же и у косинуса: $\cos x = 0$ в двух точках (период $\pi$), а $\cos x = 1$ — в одной (период $2\pi$). Записать $\cos x = 0$ как $\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ — значит потерять половину корней.

*Рисунок: Четыре опорные точки окружности: справа угол 0, сверху π/2, слева π, снизу 3π/2. По ним читаются все частные случаи*

## Как свести тригонометрическое уравнение к одной функции?

В самом задании простейшее уравнение почти не встречается — его прячут внутри более сложного. Чтобы добраться до формул общего решения, надо сначала свести уравнение к **одной** тригонометрической функции. Три приёма закрывают почти все варианты.

**Приём 1. Замена и квадратное уравнение** — самый частый. Если в уравнении есть и $\sin^2 x$, и $\cos x$, убери квадрат основным тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ — останется только косинус. Дальше замена $t = \cos x$ превращает уравнение в обычное квадратное. Решил его — не забудь ограничение $-1 \leqslant t \leqslant 1$: корень вроде $t = -2$ отбрасываешь сразу, косинус таким не бывает.

**Приём 2. Разложение на множители.** Если каждое слагаемое содержит общий множитель, вынеси его за скобку и приравняй каждый множитель к нулю. **Важно: делить обе части на $\sin x$ или $\cos x$ нельзя** — вместе с делением ты теряешь все корни, где этот множитель равен нулю, а это тоже решения. Правильно перенести всё в одну часть и разложить: произведение равно нулю тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель.

**Приём 3. Однородное уравнение** вида $a\sin x + b\cos x = 0$. Здесь делить на косинус как раз можно: если бы $\cos x = 0$, то из уравнения вышло бы и $\sin x = 0$, а одновременно нулю они не равны. Делим на $\cos x$ и получаем простейшее уравнение с тангенсом:

$$
a\sin x + b\cos x = 0 \ \Longleftrightarrow \ \operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a}
$$

## Как отобрать корни тригонометрического уравнения на отрезке?

Пункт (б) — «укажите корни на отрезке» — это отдельный балл, и теряют его чаще, чем сам первый. Из каждой серии надо выбрать те корни, что попали в заданный отрезок. Есть три способа, и надёжнее всего держать в руках два: считать неравенством и проверять окружностью.

**Способ 1. Двойное неравенство** работает всегда. Берёшь серию, например $x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, и подставляешь в границы отрезка. Пусть отрезок $[0;\ 2\pi]$:

$$
0 \leqslant \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi
$$

Решаешь это относительно $n$: вычитаешь $\tfrac{\pi}{3}$ и делишь на $2\pi$, получаешь $-\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac56$. Целое $n$ тут одно — $n = 0$, оно и даёт корень на отрезке. Каждую серию считаешь отдельно.

**Способ 2. Тригонометрическая окружность** — быстрая проверка. Отмечаешь дугу отрезка и ставишь точки-корни; видно сразу, сколько их и не потерял ли ты серию. Способ 3 — **прямой перебор**: если отрезок короткий, просто подставь $n = -1, 0, 1, 2$ и оставь те корни, что попали внутрь.

Две вещи, на которых теряют балл. Первое: считать надо **каждую** серию, а их обычно две-три — забыл одну, потерял корни. Второе: если неравенство отрезка **нестрогое** ($\leqslant$), то концы отрезка входят, и корень, попавший ровно на границу, засчитывается.

## Как решать простейшие тригонометрические неравенства?

Код кодификатора называется «уравнения/неравенства», и неравенства решаются той же окружностью. В задании 14 обычно стоит уравнение, но навык читать окружность нужен и здесь, и при отборе корней — так что разберём простейший случай.

Пусть надо решить $\sin x \geqslant \tfrac12$. Синус — это ордината, значит нас интересуют точки окружности **выше** горизонтальной прямой $y = \tfrac12$. Прямая пересекает окружность в углах $\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{5\pi}{6}$, а нужная дуга — верхняя между ними. Записываем ответ серией:

$$
\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

Порядок концов важен: идём по дуге в сторону возрастания угла, от меньшего к большему. Для $\cos x \leqslant a$ рисуешь вертикальную прямую $x = a$ и берёшь дугу слева от неё; для тангенса удобнее отдельная ось тангенсов. Принцип один: отметил границы на окружности — выбрал нужную дугу — записал двойное неравенство с периодом.

*Рисунок: sin x ≥ 1/2 — это верхняя дуга окружности между углами π/6 и 5π/6*

## Формулы и приёмы в одной таблице

*Общие решения, частные случаи и приёмы задания 14*

| Что решаем | Формула | Ограничения и подсказки |
| --- | --- | --- |
| sin x = a | $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ | Только при −1 ≤ a ≤ 1; n ∈ ℤ |
| cos x = a | $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ | Только при −1 ≤ a ≤ 1; n ∈ ℤ |
| tg x = a | $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$ | При любом a; n ∈ ℤ |
| Ноль справа | $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n;\ \cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n$ | Две точки окружности — шаг π; запись с 2πn теряет половину корней |
| Единица справа | $\sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ | Одна точка окружности — шаг 2π |
| Отрицательный аргумент | $\arcsin(-a) = -\arcsin a,\ \arccos(-a) = \pi - \arccos a$ | У арккосинуса минус наружу не выносится |
| Замена | $t = \cos x,\ -1 \leqslant t \leqslant 1$ | sin²x заменяют на 1 − cos²x; корни t вне [−1; 1] отбрасывают сразу |
| Однородное уравнение | $a\sin x + b\cos x = 0 \iff \operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a}$ | Делить на cos x здесь можно; в остальных случаях — раскладывать на множители, а не делить |
| Отбор корней | $0 \leqslant \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi$ | Каждую серию считают отдельно; при нестрогом знаке концы отрезка входят |
| Неравенство | $\sin x \geqslant \tfrac{1}{2}:\ \tfrac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$ | Дугу читают по окружности от меньшего угла к большему |

## Разбор задания 14 целиком

**Условие.** а) Реши уравнение 2sin²x − cos x − 1 = 0. б) Укажи корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].

**Решение.**

- Уравнение смешанное: в нём есть и $\sin^2 x$, и $\cos x$. Сводим к одной функции — основное тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ убирает синус:
- $2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$
- Раскрываем и приводим к привычному виду (умножив на −1, чтобы старший коэффициент был положительным):
- $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
- Замена $t = \cos x$, помним про $-1 \leqslant t \leqslant 1$:
- $2t^2 + t - 1 = 0, \quad D = 1 + 8 = 9, \quad t = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$
- Получаем $t = \tfrac12$ и $t = -1$. Оба лежат в $[-1;\ 1]$, отбрасывать нечего — возвращаемся к косинусу.
- **Первая серия:** $\cos x = \tfrac12$, значение табличное, $\arccos\tfrac12 = \tfrac{\pi}{3}$:
- $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
- **Вторая серия:** $\cos x = -1$ — частный случай, берём прямо с окружности:
- $x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
- Пункт (а) готов. Теперь **пункт (б)** — отбор на $[0;\ 2\pi]$, каждую серию считаем отдельно двойным неравенством.
- Серия $x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: из $0 \leqslant \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi$ выходит $-\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac56$. Целое $n = 0$ даёт $x = \tfrac{\pi}{3}$.
- Серия $x = -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: из $0 \leqslant -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi$ выходит $\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac76$. Целое $n = 1$ даёт $x = \tfrac{5\pi}{3}$.
- Серия $x = \pi + 2\pi n$: из $0 \leqslant \pi + 2\pi n \leqslant 2\pi$ выходит $-\tfrac12 \leqslant n \leqslant \tfrac12$. Целое $n = 0$ даёт $x = \pi$.
- На отрезке остались три корня. По возрастанию: $\tfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \tfrac{5\pi}{3}$ — их же видно и на окружности.

**Ответ:** а) x = ±π/3 + 2πn и x = π + 2πn, n ∈ ℤ; б) на [0; 2π] это π/3, π и 5π/3..

## Как решать задание 14 по шагам

1. **Сведи всё к одной функции.** Убери квадраты и двойные углы тождествами: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, формулы двойного угла из справочника. Цель — чтобы в уравнении остался только синус, только косинус или только тангенс.
2. **Сделай замену и реши как алгебраическое.** $t = \cos x$ (или sin, tg) превращает уравнение в квадратное или раскладывается на множители. Корни $t$ вне $[-1;\ 1]$ сразу отбрасывай для синуса и косинуса.
3. **Не дели на sin x или cos x.** Переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку. Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно обращается в ноль, — а это законные решения.
4. **Выпиши общее решение каждой серии.** Простейшие уравнения — по четырём формулам, значения $0, \pm 1$ — как частные случаи с окружности. Не потеряй ни одной серии.
5. **Отбери корни на отрезке (пункт б).** Каждую серию отдельно прогони через двойное неравенство и продублируй проверку окружностью. При нестрогом неравенстве концы отрезка входят.
6. **Проверь, что углы табличные.** Калькулятора нет: ответ обязан выражаться через табличные значения. Вылез $\arccos\tfrac23$ — ищи арифметическую ошибку выше.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. После преобразований уравнение свелось к cos x = 1,4. Сколько у него корней?
   - Бесконечно много
   - Два
   - Один
   - Ни одного — **верный ответ**

   *Пояснение:* Косинус по модулю не превосходит единицы, а 1,4 больше 1. Значит уравнение cos x = 1,4 решений не имеет — это законный ответ, а не повод искать ошибку. То же было бы у sin x = −3.

2. Какое общее решение у уравнения cos x = −1?
   - x = 2πn
   - x = π + 2πn — **верный ответ**
   - x = π/2 + πn
   - x = −π/2 + 2πn

   *Пояснение:* Косинус равен −1 в единственной левой точке окружности — угол π, период 2π, поэтому x = π + 2πn. Вариант 2πn — это cos x = 1, π/2 + πn — это cos x = 0, а −π/2 + 2πn — это sin x = −1.

3. Сколько корней уравнения cos x = 1/2 попадает на отрезок [0; 2π]?
   - Один
   - Два — **верный ответ**
   - Три
   - Четыре

   *Пояснение:* Две серии ±π/3 + 2πn дают на этом отрезке π/3 и 5π/3 = 2π − π/3 — ровно два корня. Забыть про вторую серию (со знаком минус) — типичная потеря корня.

4. Решая уравнение sin x · cos x = cos x, ученик разделил обе части на cos x. В чём ошибка?
   - Делить на косинус нельзя никогда
   - Потеряны корни, где cos x = 0 — **верный ответ**
   - Нужно было делить на sin x
   - Ошибки нет, решение верное

   *Пояснение:* Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно равно нулю. Здесь cos x = 0 (то есть x = π/2 + πn) тоже обращает уравнение в верное 0 = 0, значит это решения. Правильно перенести cos x влево и вынести за скобку: cos x·(sin x − 1) = 0.

5. Каким будет общее решение уравнения cos x = 0?
   - x = 2πn
   - x = π/2 + 2πn
   - x = π/2 + πn — **верный ответ**
   - x = πn

   *Пояснение:* Косинус равен нулю в двух точках окружности — π/2 и 3π/2, между ними ровно π, поэтому период π: x = π/2 + πn. Запись π/2 + 2πn теряет половину корней (все точки 3π/2 + 2πn).

## Какие ошибки делают в тригонометрических уравнениях?

- **Ошибка 1.** **Делят на sin x или cos x и теряют корни.** Сокращение на выражение с переменной выкидывает все корни, где оно равно нулю. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку.
- **Ошибка 2.** **Записывают частный случай не с тем периодом.** $\cos x = 0$ — это $\tfrac{\pi}{2} + \pi n$ (две точки, период π), а не $\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n$. Во втором варианте пропадает половина корней.
- **Ошибка 3.** **Забывают ограничение $|a| \leqslant 1$.** Получив $\cos x = -2$ или $\sin x = 1{,}5$, продолжают «решать». Таких корней нет — у синуса и косинуса значения только в $[-1;\ 1]$.
- **Ошибка 4.** **Путают знак в $\arccos(-a)$.** У арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, а не $-\arccos a$. Минус «уходит внутрь» только у арксинуса и арктангенса.
- **Ошибка 5.** **Отбирают корни только по одной серии.** У уравнения обычно две-три серии, а считают одну — и часть корней на отрезке остаётся ненайденной. Прогоняй через неравенство каждую серию.
- **Ошибка 6.** **Берут строгое неравенство вместо нестрогого при отборе.** Если сказано «на отрезке $[0;\ 2\pi]$», то концы входят. Корень, попавший ровно на границу, засчитывается — выбрасывать его нельзя.
- **Ошибка 7.** **Делают пункт (а) и забывают пункт (б).** Задание 14 стоит 2 балла, и отбор корней — это отдельный балл. Решил уравнение, но не отобрал корни на отрезке — получил половину.

## Запомни для ЕГЭ

- $\sin x = a:\ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
- $\cos x = a:\ x = \pm\arccos a + 2\pi n$
- $\operatorname{tg} x = a:\ x = \operatorname{arctg} a + \pi n$
- $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n;\quad \cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n$
- $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$
- При |a| > 1 у sin x = a и cos x = a решений нет

## На экзамене

- Задание 14 стоит 2 балла, и они дробятся: 1 балл за решение уравнения (а) и 1 за отбор корней (б). Даже если успел только один пункт — сдавай его, балл дадут.
- Справочник профиля скуп: из тригонометрии выдают только четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности. Формулы общего решения, таблицу арксинусов и частные случаи держи в голове сам.
- Калькулятора нет, поэтому все ответы — табличные углы. Если в решении вылез «некрасивый» arccos или arctg, это почти всегда сигнал арифметической ошибки выше, а не «такой ответ».
- Отбор корней проверяй двумя способами: посчитал двойным неравенством — продублируй окружностью. Две независимые проверки ловят потерянную серию, на которой чаще всего и теряют балл.
- Если поверх тригонометрии есть дробь, тангенс или корень — сначала выпиши ОДЗ (область допустимых значений: знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент тангенса не равен π/2 + πn), а в конце сверь отобранные корни с ней.

## Словарь темы

- **Простейшее тригонометрическое уравнение** — Уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения.
- **Общее решение (серия корней)** — Формула с целым параметром n, задающая сразу все корни уравнения. Например, x = πn — это бесконечный набор корней 0, ±π, ±2π и так далее.
- **Арккосинус arccos a** — Угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Определён только при −1 ≤ a ≤ 1. Для отрицательного аргумента arccos(−a) = π − arccos a.
- **Отбор корней** — Второй пункт задания 14: из бесконечной серии корней выбирают те, что лежат на заданном отрезке. Надёжный способ — двойное неравенство по каждой серии с проверкой на окружности.
- **Однородное уравнение (первой степени)** — Уравнение вида a·sin x + b·cos x = 0. Решается делением на cos x (он здесь заведомо не ноль) и сводится к tg x = −b/a. Есть и однородное уравнение второй степени a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 — его делят на cos²x.
- **Тригонометрическая окружность** — Единичная окружность, где косинус угла — абсцисса точки, синус — ордината. Инструмент для частных случаев, отбора корней и неравенств.

## Частые вопросы

### Что такое простейшее тригонометрическое уравнение?

Простейшее тригонометрическое уравнение — уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения.

### Как решать задания по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Шаги такие:

1. сведи всё к одной функции
2. сделай замену и реши как алгебраическое
3. не дели на sin x или cos x
4. выпиши общее решение каждой серии
5. отбери корни на отрезке (пункт б).

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Делят на sin x или cos x и теряют корни. Сокращение на выражение с переменной выкидывает все корни, где оно равно нулю. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку.

### Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Главное:

1. sin x = a: x = (-1)ⁿ arcsin a + π n
2. cos x = a: x = ±arccos a + 2π n
3. tg x = a: x = arctg a + π n.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.3 «Тригонометрические уравнения»; 2.8 «Тригонометрические неравенства».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует элементам 2.3 (тригонометрические уравнения) и 2.8 (тригонометрические неравенства) кодификатора ФИПИ по профильной математике; проверяется заданием 14.
- Задание 14 — развёрнутое, стоит 2 балла, которые дробятся по пунктам (а) решить и (б) отобрать корни на отрезке.
- Общие решения простейших уравнений: sin x = a → x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn.
- У sin x = a и cos x = a решения есть только при −1 ≤ a ≤ 1; у tg x = a — при любом a.
- Частные случаи: sin x = 0 → πn; sin x = 1 → π/2 + 2πn; sin x = −1 → −π/2 + 2πn; cos x = 0 → π/2 + πn; cos x = 1 → 2πn; cos x = −1 → π + 2πn.
- На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α±β), cos(α±β); формулы общего решения и таблицу арксинусов надо помнить.
- Знак у обратных функций при отрицательном аргументе: arcsin(−a) = −arcsin a и arctg(−a) = −arctg a (нечётные), но arccos(−a) = π − arccos a.
- В однородном уравнении a·sin x + b·cos x = 0 деление на cos x корректно, потому что cos x = 0 и sin x = 0 одновременно невозможны (иначе нарушилось бы sin²x + cos²x = 1).
- Простейшее тригонометрическое неравенство (например sin x ≥ 1/2) решается по окружности: границы дуги в углах π/6 и 5π/6, ответ π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/)
- [Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg](https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/)
- [Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.