---
title: "Уравнения, неравенства и системы с параметром: правило и примеры"
description: "Уравнения, неравенства и системы с параметром — это задачи, где кроме неизвестного есть буква, обычно a, значение которой не задано. ЕГЭ, задание 19."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/uravneniya-neravenstva-i-sistemy-s/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 19 КИМ (4 балла)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Уравнения, неравенства и системы с параметром

Уравнения, неравенства и системы с параметром — это задачи, где кроме неизвестного есть буква, обычно a, значение которой не задано: внутри задачи она постоянна, но от неё зависит число решений. На ЕГЭ тема нужна в задании 19 (4 балла): ответ там — перечень значений параметра, а не корни.

Задание 19 — одно из двух самых дорогих заданий во всей работе: 4 балла, столько же даёт только последнее задание. Параметр — это буква, значение которой ты не знаешь, поэтому ответ здесь не число, а перечень: при каких a уравнение, неравенство или система имеет нужное число решений. Вся тема держится на трёх методах и на одной привычке — не терять граничные значения параметра.

**Задание КИМ:** Задание 19 КИМ (4 балла)  
**Баллы:** Макс. 4 балла  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что значит решить уравнение с параметром?

В обычном уравнении $x^2 - 4x + 3 = 0$ все числа известны, и ответ — конкретные корни. В уравнении с параметром одна из букв, обычно $a$, — это «замороженное» число: оно постоянно внутри задачи, но само по себе может быть любым. От его значения зависит, сколько корней у уравнения и есть ли они вообще. Поэтому **ответ в задании 19 — не корни, а перечень значений параметра**, при которых выполняется требуемое условие.

Разберём это на самом простом примере. Уравнение $x^2 = a$. Пока $a$ — буква, ответить «сколько корней» нельзя. Но как только мы перебираем значения, картина проясняется:

При $a < 0$ корней нет: квадрат не бывает отрицательным. При $a = 0$ ровно один корень $x = 0$. При $a > 0$ два корня $x = \pm\sqrt{a}$. Значение $a = 0$ здесь особенное: именно на нём число решений меняется. Такие значения называют **контрольными** (или критическими), и вся работа над задачей 18 — это поиск контрольных значений и разбор того, что происходит между ними и на них самих.

Требования формулируют по-разному: «имеет ровно одно решение», «ровно два», «не имеет решений», «имеет решение при любом x», «имеет хотя бы одно решение». Все они сводятся к одному вопросу: как число решений зависит от $a$. Дальше — три метода, которыми этот вопрос закрывают на экзамене.

![Три положения прямой относительно параболы с нулём, одним и двумя пересечениями](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/uravneniya-neravenstva-i-sistemy-s-1.png)

*При изменении параметра уравнение может иметь ни одного, один или два корня.*

## Метод 1: дискриминант и теорема Виета

Если после преобразований получается квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ зависят от параметра, число корней читается по **дискриминанту**, а их знаки — по **теореме Виета**. Строить график здесь не нужно — достаточно формул.

$$
D = p^2 - 4q; \quad x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q
$$

Само число корней даёт дискриминант: при $D > 0$ два различных корня, при $D = 0$ ровно один (кратный), при $D < 0$ корней нет. Возьмём $x^2 - 4x + a = 0$. Здесь $D = 16 - 4a$. Значит, ровно один корень будет при $16 - 4a = 0$, то есть при $a = 4$; два корня при $a < 4$; ни одного при $a > 4$.

Часто квадратное уравнение появляется **после замены**. Биквадратное $x^4 + px^2 + q = 0$ подстановкой $t = x^2$ сводится к квадратному $t^2 + pt + q = 0$ — но с оговоркой $t = x^2 \geqslant 0$. И главное: найдя значения $t$, число решений исходного уравнения пересчитывают уже по $x$. Один корень $t < 0$ не даёт ни одного $x$, корень $t = 0$ — ровно один $x$, а каждый $t > 0$ — сразу два значения $x = \pm\sqrt{t}$. Замена — не отдельный метод, а способ свести задачу к дискриминанту.

А теорема Виета отвечает на вопросы про **знаки** корней, не вычисляя их. Логика простая: произведение корней $x_1 x_2 = q$, а сумма $x_1 + x_2 = -p$.

**Корни разных знаков** — самый удобный случай: достаточно одного условия $x_1 x_2 < 0$. Оно само тянет за собой $D > 0$, ведь если произведение корней отрицательно, они точно вещественные и различные, дискриминант проверять не нужно. Например, у $x^2 - 3x + a = 0$ произведение корней равно $a$, поэтому корни разных знаков ровно при $a < 0$.

**Оба корня положительны** — уже три условия сразу: $D > 0$ (различны и вещественны), $x_1 x_2 > 0$ (одного знака) и $x_1 + x_2 > 0$ (этот знак — плюс). Для «оба отрицательны» последнее условие меняется на $x_1 + x_2 < 0$. Пропустишь хотя бы одно из трёх — потеряешь часть значений параметра.

## Как решать неравенство с параметром, верное при всех x?

Отдельный частый сюжет — неравенство должно выполняться **для всех** $x$. Здесь работает та же квадратичная логика, но повёрнутая: важен не корень, а знак всей параболы.

Парабола $y = x^2 + px + q$ с положительным старшим коэффициентом лежит **целиком выше оси** тогда и только тогда, когда у неё нет корней, то есть при $D < 0$. Тогда $x^2 + px + q > 0$ при любом $x$.

Пример: при каких $a$ неравенство $x^2 + ax + 1 > 0$ верно для всех $x$? Считаем дискриминант $D = a^2 - 4$ и требуем $D < 0$:

$$
a^2 - 4 < 0 \iff -2 < a < 2
$$

Обрати внимание на строгость. Неравенство **строгое** ($>$), поэтому касание оси нам не подходит: при $a = 2$ или $a = -2$ парабола касается оси, и в точке касания $y = 0$, а не $> 0$. Значит, концы $a = \pm 2$ в ответ не входят. А вот если бы неравенство было нестрогим ($\geqslant$), эти два значения пришлось бы добавить. Именно здесь чаще всего теряют тот самый четвёртый балл — на границе.

## Метод 2: скользящая прямая y = a

Когда параметр стоит «отдельно» и уравнение приводится к виду $f(x) = a$, включается самый наглядный метод. Рисуем один раз график $y = f(x)$ — он от параметра не зависит. Затем представляем горизонтальную прямую $y = a$ и мысленно двигаем её вверх-вниз. **Сколько точек пересечения — столько и решений** у уравнения при данном $a$.

Контрольные значения $a$ здесь — это высоты **экстремумов** графика (вершин и впадин) и уровни, на которых прямая касается или отрывается от ветвей. Между двумя соседними контрольными высотами число пересечений постоянно, а на самих этих высотах — меняется.

Классический сюжет — уравнение $|x^2 - 4| = a$. График функции $y = |x^2 - 4|$ получается из параболы отражением её нижней части вверх: две «впадины» на оси в точках $x = \pm 2$ и «горб» высотой 4 над началом координат. Ведём прямую $y = a$ снизу вверх и считаем:

При $a < 0$ решений нет. При $a = 0$ два решения (обе впадины). При $0 < a < 4$ прямая режет график в четырёх точках. При $a = 4$ она проходит ровно через вершину горба и одновременно через две внешние ветви — получается **ровно три** решения. При $a > 4$ горб уже ниже прямой, остаются только две внешние ветви — два решения. Отсюда сразу ответ на популярный вопрос «когда ровно три корня»: только при $a = 4$.

Тем же приёмом читается и кубическая функция $y = x^3 - 3x$: у неё локальный максимум $2$ (в точке $x = -1$) и локальный минимум $-2$ (в точке $x = 1$). Прямая $y = a$ пересекает график трижды ровно тогда, когда идёт между этими уровнями, то есть при $-2 < a < 2$. Метод один — задачи разные.

*Рисунок: Прямая y = a скользит по графику |x² − 4|; при a = 4 она даёт ровно три точки пересечения*

## Модули как сумма расстояний

Выражения вида $|x - p| + |x - q|$ удобнее не раскрывать по случаям, а прочитать геометрически. Модуль $|x - p|$ — это **расстояние** на числовой прямой от точки $x$ до точки $p$. Значит, вся сумма — это суммарное расстояние от $x$ до двух отмеченных точек.

Такая сумма ведёт себя очень предсказуемо. Когда $x$ лежит **между** точками $p$ и $q$, сумма расстояний постоянна и равна длине отрезка $|p - q|$ — это её наименьшее значение. Как только $x$ выходит за пределы отрезка, сумма начинает расти.

Отсюда полный разбор уравнения $|x - p| + |x - q| = a$ (пусть $p < q$):

При $a < |p - q|$ решений нет: сумма не бывает меньше длины отрезка. При $a = |p - q|$ подходит **любая** точка отрезка — бесконечно много решений. При $a > |p - q|$ ровно два решения: одна точка слева от отрезка, одна справа.

Конкретно для $|x - 3| + |x + 5| = a$ отмеченные точки — это $3$ и $-5$, расстояние между ними $8$. Поэтому: при $a < 8$ решений нет, при $a = 8$ их бесконечно много, при $a > 8$ ровно два. Никаких раскрытий модулей — только длина отрезка.

## Метод 3: системы и геометрия на плоскости

Систему из двух уравнений с двумя неизвестными часто быстрее решить не подстановкой, а **картинкой**. Каждое уравнение задаёт линию на плоскости, а решение системы — это точки, где линии пересекаются. Число решений равно числу общих точек.

Самая частая пара — **окружность и прямая**. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ — это окружность радиуса $R$ с центром в начале координат, а $y = x + a$ — семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $1$; параметр $a$ двигает прямую, не поворачивая её. Прямая и окружность могут не пересечься, коснуться (одна общая точка) или пересечься в двух точках.

Ровно **одно** решение — это касание. Прямая касается окружности тогда, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находят по общей формуле:

$$
d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Для нашей прямой $x - y + a = 0$ (коэффициенты $A = 1,\ B = -1,\ C = a$) и центра $(0; 0)$ это даёт $|a|/\sqrt{2}$. Приравниваем радиусу:

$$
\dfrac{|a|}{\sqrt{2}} = R \iff |a| = R\sqrt{2}
$$

Если, например, $R = 3$, то касание — при $|a| = 3\sqrt{2}$, то есть при $a = 3\sqrt{2}$ и при $a = -3\sqrt{2}$ (прямая касается сверху и снизу — два симметричных значения). При $|a| < 3\sqrt{2}$ прямая проходит сквозь окружность — два решения; при $|a| > 3\sqrt{2}$ проходит мимо — решений нет. Главная ошибка здесь — записать одно значение вместо двух: у симметричной картинки касательных всегда две.

*Рисунок: Окружность и прямая y = x + a: касание даёт одно решение, секущая — два, а мимо — ни одного*

## Методы задачи с параметром в одной таблице

*Формулы и контрольные значения: что они показывают и когда применять*

| Метод | Формула или правило | Что даёт и на что смотреть |
| --- | --- | --- |
| Дискриминант | $D = p^2 - 4q$ | D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — ни одного |
| Теорема Виета | $x_1 + x_2 = -p,\ x_1 x_2 = q$ | Знаки корней без их вычисления |
| Корни разных знаков | $x_1 x_2 < 0$ | Одного условия хватает: D > 0 выполняется само |
| Оба корня положительны | $D > 0,\ x_1 x_2 > 0,\ x_1 + x_2 > 0$ | Три условия сразу; для отрицательных корней — x₁ + x₂ < 0 |
| Замена t = x² | $t = x^2 \geqslant 0$ | Число решений пересчитывают по x: t < 0 — ни одного, t = 0 — одно, t > 0 — два |
| Неравенство при всех x | $x^2 + px + q > 0 \iff D < 0$ | При строгом знаке значения с касанием (D = 0) в ответ не входят |
| Скользящая прямая | $f(x) = a$ | Число решений — число пересечений с y = a; контрольные a — высоты экстремумов |
| Сумма модулей | $\|x - p\| + \|x - q\| = a$ | a < \|p − q\| — нет решений, a = \|p − q\| — бесконечно много, a > \|p − q\| — два |
| Касание прямой и окружности | $d = \dfrac{\|A x_0 + B y_0 + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = R$ | Значений параметра обычно два, симметричных: одно из них легко потерять |

## Как оформить решение задачи с параметром на 4 балла?

1. **Прочитай, что именно спрашивают.** «Ровно одно», «ровно два», «нет решений», «при всех x», «хотя бы одно» — от этого зависит, какое условие ты будешь записывать. Подчеркни это слово в условии.
2. **Выбери метод под структуру задачи.** Свелось к квадратному — дискриминант и Виет. Параметр отделяется в виде f(x)=a — скользящая прямая. Модули — сумма расстояний. Два уравнения с x и y — картинка на плоскости.
3. **Найди контрольные значения параметра.** Это высоты экстремумов, значения, где D обращается в ноль, где прямая касается линии. Именно на них число решений меняется скачком.
4. **Разбей ось параметра на промежутки** контрольными точками и в каждом промежутке определи число решений. Удобно оформить это перебором случаев — эксперт должен видеть, что рассмотрены все расположения.
5. **Отдельно проверь сами контрольные точки.** Включать границу или нет — решает строгость условия («различные корни» требуют D>0 строго; касание — это одно решение, а не два). Одна потерянная граница снижает оценку с 4 до 3.
6. **Выпиши полный ответ.** Это множество или перечень значений параметра, а не корни уравнения. Проверь, что не забыл симметричное значение (например, ±) и правильно поставил скобки: круглые для строгих границ, квадратные для включённых.

## Разбор: система «окружность и прямая»

**Условие.** Определи все значения a, при которых окружность x² + y² = 9 и прямая y = x + a имеют ровно одну общую точку.

**Решение.**

- Первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 3$ (так как $9 = 3^2$). Второе — прямая с угловым коэффициентом 1; параметр $a$ сдвигает её параллельно самой себе. Одно решение системы означает **одну общую точку** прямой и окружности, то есть касание.
- Условие касания: расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Запишем прямую в виде $x - y + a = 0$ и найдём расстояние от точки $(0;0)$ до неё:
- $d = \dfrac{|0 - 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}}$
- Приравниваем расстояние радиусу и решаем уравнение с модулем:
- $\dfrac{|a|}{\sqrt{2}} = 3 \iff |a| = 3\sqrt{2} \iff a = \pm 3\sqrt{2}$
- Проверим смысл обоих знаков: $a = 3\sqrt{2}$ — прямая касается окружности сверху слева, $a = -3\sqrt{2}$ — снизу справа. Оба дают ровно одну общую точку, поэтому оба входят в ответ. При $|a| < 3\sqrt{2}$ было бы два решения, при $|a| > 3\sqrt{2}$ — ни одного.
- Тот же ответ можно получить и без геометрии — подстановкой $y = x + a$ в окружность и условием $D = 0$ для полученного квадратного уравнения. Оба пути верны; графический короче и нагляднее.

**Ответ:** a = 3√2 и a = −3√2 (то есть a = ±3√2).

## Проверь себя

Пять вопросов ровно на те места, где теряют баллы в задании 19. Считай руками — калькулятора на экзамене нет.

1. При каком значении a уравнение x² − 4x + a = 0 имеет ровно один корень?
   - a = 4 — **верный ответ**
   - a < 4
   - a > 4
   - a = −4

   *Пояснение:* Ровно один (кратный) корень бывает при D = 0. Здесь D = 16 − 4a, значит 16 − 4a = 0, откуда a = 4. При a < 4 корня два, при a > 4 корней нет.

2. При каком a уравнение |x − 3| + |x + 5| = a имеет бесконечно много решений?
   - a = 8 — **верный ответ**
   - a > 8
   - a < 8
   - a = −8

   *Пояснение:* Сумма расстояний от x до точек 3 и −5 минимальна и постоянна на отрезке между ними; её значение равно длине отрезка, то есть 8. Ровно при a = 8 подходит любая точка отрезка — решений бесконечно много. При a > 8 их два, при a < 8 нет вовсе.

3. При каких a неравенство x² + ax + 1 > 0 выполняется для всех x?
   - −2 < a < 2 — **верный ответ**
   - a > 2
   - a < −2 или a > 2
   - a = ±2

   *Пояснение:* Парабола с положительным старшим коэффициентом лежит выше оси при D < 0. Здесь D = a² − 4 < 0, то есть −2 < a < 2. Границы a = ±2 не входят: там парабола касается оси и в точке касания равна нулю, а не строго больше.

4. При каких a система x² + y² = 9 и y = x + a имеет ровно одно решение?
   - a = ±3√2 — **верный ответ**
   - a = 3√2
   - a = ±3
   - a = ±9

   *Пояснение:* Одно решение — это касание прямой и окружности радиуса 3. Расстояние от центра до прямой x − y + a = 0 равно |a|/√2, приравниваем радиусу: |a|/√2 = 3, откуда |a| = 3√2. Значений два — a = 3√2 и a = −3√2, забыть один знак значит потерять балл.

5. При каком a уравнение |x² − 4| = a имеет ровно три различных корня?
   - a = 4 — **верный ответ**
   - a = 0
   - 0 < a < 4
   - a = −4

   *Пояснение:* График y = |x² − 4| — две впадины на оси в точках ±2 и горб высотой 4. Прямая y = a даёт три пересечения только когда проходит точно через вершину горба, то есть при a = 4: один корень x = 0 плюс два корня x = ±2√2. При 0 < a < 4 корней четыре, при a > 4 — два.

## Какие ошибки делают в задачах с параметром?

- **Ошибка 1.** **Теряют одно из симметричных значений параметра.** В ответе $a = \pm 3\sqrt{2}$ пишут только $a = 3\sqrt{2}$. По критериям потеря одной граничной точки — это оценка 3 из 4 вместо полного балла. Проверяй, нет ли у картинки второй, зеркальной, конфигурации.
- **Ошибка 2.** **Путают строгую и нестрогую границу.** «Ровно два корня» и «не менее двух корней» — разные требования, и точка касания ($D = 0$) попадает в один ответ и не попадает в другой. Всегда сверяйся со строгостью условия, прежде чем включать или исключать конец промежутка.
- **Ошибка 3.** **Считают кратный корень за два.** При $D = 0$ корень **один**, просто он совпал сам с собой. Условие «два различных корня» требует именно $D > 0$ строго, а не $D \geqslant 0$.
- **Ошибка 4.** **Разбирают не все случаи расположения.** В графическом методе забывают, что прямая $y = a$ может задеть локальный максимум или минимум — а именно там меняется число решений. Если пропустить такой уровень, исследование окажется неполным (по критериям — не выше 2 баллов).
- **Ошибка 5.** **После замены не пересчитывают число решений по x.** Ввёл $t = x^2$ или другую замену — помни: одно найденное $t$ может давать ноль, одно или два значения $x$. Число корней исходного уравнения считают уже по $x$, а не по $t$.
- **Ошибка 6.** **Забывают про условие бесконечного числа решений в модулях.** Уравнение $|x - p| + |x - q| = a$ не всегда даёт «ноль или два» — при $a = |p - q|$ решений бесконечно много (весь отрезок). Этот случай выпадает чаще всего.

## Запомни для ЕГЭ

- Ответ в №19 — перечень значений параметра, а не корни
- $D > 0 - \text{два},\ D = 0 - \text{один},\ D < 0 - \text{нет}$
- $x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q$
- Корни разных знаков ⇔ произведение x₁x₂ < 0
- f(x) = a: число решений = число пересечений с прямой y = a; контрольные a — экстремумы
- $|x-p| + |x-q| = a:\ a < |p-q|\ \text{нет},\ a = |p-q|\ \infty,\ a > |p-q|\ \text{два}$
- Прямая касается окружности ⇔ расстояние от центра = R

## На экзамене

- Задание 19 стоит 4 балла — это одна из двух самых дорогих задач работы (наравне с №20); на него разумно закладывать около 35 минут. Берись за него, когда уже собраны верные части 1 и посильные задания 14–17: полный балл здесь редкость, а частичные баллы за отдельные случаи реальны и их стоит собрать.
- Даже если не видишь всё решение целиком, оформляй то, что понял. По критериям 1 балл дают за рассмотрение отдельных случаев, 2 — за исследование, доведённое почти до конца. Пустой бланк — это гарантированный ноль, а начатое решение почти всегда стоит балла.
- Выбирай метод под задачу, а не наоборот. Квадратный трёхчлен — дискриминант и Виет. Параметр отделяется — скользящая прямая y = a. Модули — сумма расстояний. Окружность и прямая — расстояние от центра. Не тащи одну технику во все задачи.
- Отдельным действием проверь граничные точки: включать концы промежутка или нет. Именно на границе теряют четвёртый балл — по критериям отбрасывание одной граничной точки снижает оценку с 4 до 3.
- Перед тем как записать ответ, подставь одно конкретное значение параметра из своего промежутка и сосчитай число решений руками. Если сошлось с тем, что ты утверждаешь, — исследование, скорее всего, верное.

## Лаборатория: скользящая прямая

Её суть разобрана выше, в блоке «Метод 2: скользящая прямая y = a»: строишь график y = f(x), ведёшь горизонтальную прямую y = a вверх-вниз и считаешь точки пересечения — их число и есть число решений уравнения f(x) = a. Контрольные значения параметра — это высоты экстремумов графика (для y = x² − 4 это минимум −4, для y = |x² − 4| — уровни 0 и 4, для y = x³ − 3x — уровни −2 и 2).

## Словарь темы

- **Параметр** — Буква (обычно a) в уравнении, неравенстве или системе, значение которой не задано. Внутри одной задачи она постоянна, но может принимать любые допустимые значения; от неё зависит число решений.
- **Контрольное значение параметра** — Значение параметра, при переходе через которое число решений меняется скачком. Обычно это высота экстремума графика, значение, обращающее дискриминант в ноль, или уровень касания. Второе название — критическое значение.
- **Граничная точка** — Конец промежутка значений параметра. Ключевой вопрос по каждой границе — входит она в ответ или нет; решает это строгость требования (строгое или нестрогое неравенство, «различные» корни и т. п.).
- **Кратный корень** — Корень, возникающий при D = 0, когда два корня квадратного уравнения совпали. Считается за один корень, а не за два, — это важно для условий вида «ровно один» или «два различных».
- **Графический метод (скользящая прямая)** — Приём для уравнений вида f(x) = a: строят неподвижный график y = f(x) и подвижную горизонталь y = a, а число решений определяют как число точек их пересечения.
- **Совокупность и система** — Система условий требует, чтобы выполнялись все они одновременно (логическое «и»); совокупность — чтобы выполнялось хотя бы одно (логическое «или»). Путаница между ними меняет ответ, поэтому знак записи (фигурная скобка против квадратной) выбирают осознанно.

## Частые вопросы

### Что такое параметр?

Параметр — буква (обычно a) в уравнении, неравенстве или системе, значение которой не задано. Внутри одной задачи она постоянна, но может принимать любые допустимые значения, и от неё зависит число решений.

### Как оформить решение задачи с параметром на 4 балла?

Шаги такие:

1. прочитай, что именно спрашивают
2. выбери метод под структуру задачи
3. найди контрольные значения параметра
4. разбей ось параметра на промежутки
5. отдельно проверь сами контрольные точки
6. выпиши полный ответ.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Уравнения, неравенства и системы с параметром»?

Теряют одно из симметричных значений параметра. В ответе a = ± 3√2 пишут только a = 3√2. По критериям потеря одной граничной точки — это оценка 3 из 4 вместо полного балла. Проверяй, нет ли у картинки второй, зеркальной, конфигурации.

### Что нужно запомнить по теме «Уравнения, неравенства и системы с параметром»?

Главное:

1. Ответ в №19 — перечень значений параметра, а не корни
2. D > 0 - два, D = 0 - один, D < 0 - нет
3. x₁ + x₂ = -p, x₁ x₂ = q
4. Корни разных знаков ⇔ произведение x₁x₂ < 0.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.10 «Уравнения, неравенства и системы с параметрами».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 2.10 кодификатора ФИПИ по профильной математике «Уравнения, неравенства и системы с параметром» и проверяется заданием 19.
- Задание 19 — высокий уровень, 4 балла, отводится около 35 минут; ответ — полный перечень значений параметра.
- Методы задания 19: графический, замена, исследование модулей, дискриминант.
- Потеря одной граничной точки снижает оценку с 4 до 3; неполное исследование (упущен случай) — не выше 2; отдельные случаи — 1 балл.
- Число корней квадратного уравнения x² + px + q = 0 определяется дискриминантом: D>0 — два различных, D=0 — один (кратный), D<0 — нет; теорема Виета даёт x₁+x₂=−p, x₁x₂=q.
- Корни квадратного уравнения имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно (и это автоматически влечёт D>0).
- Неравенство x² + px + q > 0 выполняется для всех x тогда и только тогда, когда D<0 (парабола с положительным старшим коэффициентом лежит выше оси).
- Уравнение f(x)=a имеет столько решений, сколько точек пересечения у графика y=f(x) с горизонтальной прямой y=a; контрольные значения a — высоты экстремумов.
- Уравнение |x²−4|=a имеет ровно три корня только при a=4 (корни x=0 и x=±2√2); при 0<a<4 их четыре, при a>4 — два.
- Уравнение x³−3x=a имеет три решения при −2<a<2; локальный максимум функции равен 2 (при x=−1), локальный минимум −2 (при x=1).
- Сумма расстояний |x−p|+|x−q| минимальна и постоянна на отрезке между p и q, где равна |p−q|; поэтому уравнение |x−p|+|x−q|=a при a<|p−q| не имеет решений, при a=|p−q| имеет бесконечно много, при a>|p−q| — ровно два.
- Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу; расстояние от начала координат до прямой x−y+a=0 равно |a|/√2, поэтому система x²+y²=R², y=x+a имеет одно решение при |a|=R√2 (два симметричных значения a).
- Различие системы и совокупности: система — одновременное выполнение всех условий, совокупность — выполнение хотя бы одного.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-19/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/uravneniya-neravenstva-i-sistemy-s/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.