---
title: "Вероятность: определение, формулы, примеры"
description: "Вероятность — это мера того, насколько событие возможно: число от 0 у невозможного события до 1 у достоверного. Разбор для ЕГЭ, задания 4, 5, 6."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/veroyatnost/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задания 4 и 5 КИМ; на них опирается задание 6"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Вероятность

Вероятность — это мера того, насколько событие возможно: число от 0 у невозможного события до 1 у достоверного. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 4 и 5 (по 1 баллу): в задании 4 хватает классической формулы P = m/n, в задании 5 нужны независимые события и полная вероятность; на вероятности событий опирается и задание 6.

Вероятность — относительно новый раздел ЕГЭ и один из самых надёжных по баллам: задание 4 решается по одной формуле P = m/n, а задание 5 — это уже независимые события, «хотя бы один» и формула полной вероятности. Главная ловушка темы одна: не перепутать, когда вероятности складывают, а когда умножают.

**Задание КИМ:** Задания 4 и 5 КИМ; на них опирается задание 6  
**Баллы:** Макс. 1 балл за каждое  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое вероятность и как считать её по формуле P = m/n?

Вероятность — это мера того, насколько событие возможно. Число от 0 (невозможное) до 1 (достоверное). В задании 4 всё держится на одной формуле: делим число благоприятных исходов на число всех возможных.

$$
P(A) = \dfrac{m}{n}
$$

Здесь $n$ — сколько всего может быть исходов, $m$ — сколько из них нас устраивают. Но у формулы есть жёсткое условие: все $n$ исходов должны быть **равновозможными**. Для правильной монеты, симметричной кости, случайно вынутого шара это так. Если же исходы неравноправны — например, кнопка падает на бок чаще, чем на остриё, — считать по $m/n$ нельзя.

Разберём по шагам. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения числа, кратного 3? Всего граней $n = 6$. Кратны трём числа 3 и 6 — значит $m = 2$. Вероятность равна $2/6$, то есть $1/3 \approx 0{,}33$.

Ответ в задании 4 записывают **десятичной дробью** и, если дробь бесконечная, округляют — обычно до сотых. $1/3 = 0{,}333\ldots$ превращается в **0,33**. Целые доли вроде $3/4$ записывают точно: 0,75. Смотри, до какого разряда просят округлить, — это часть условия.

*Рисунок: 3 благоприятных исхода из 10 равновозможных: P = 3/10 = 0,3*

![Равновозможные шары, дерево исходов и дополнение события рядом с Мишей](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/veroyatnost-1.png)

*Вероятность можно считать по равновозможным исходам, дереву событий и дополнению до полного множества.*

## Противоположное событие и сложение

У каждого события $A$ есть противоположное $\bar{A}$ — «событие A не произошло». Вместе они покрывают все случаи, поэтому их вероятности дают в сумме единицу:

$$
P(\bar{A}) = 1 - P(A)
$$

Это самый недооценённый приём темы. Как только в условии встречаются слова **«хотя бы»**, **«не менее»**, **«хотя бы один»** — почти всегда быстрее посчитать вероятность обратного и вычесть из единицы, чем перебирать все подходящие случаи.

**Сложение** вступает в игру, когда событие складывается из нескольких вариантов по схеме **«или то, или другое»**. Если события **несовместные** (не могут случиться одновременно), их вероятности просто складывают:

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$

Пример: в коробке шары трёх цветов, вероятность вынуть красный 0,2, синий 0,5. Красный и синий одновременно вынуть нельзя — события несовместные, значит вероятность вынуть красный **или** синий равна 0,2 + 0,5 = 0,7.

Если же события **совместные** — могут произойти вместе, — общая часть при сложении учитывается дважды, и её нужно один раз вычесть:

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

На базовом уровне (задание 4) почти всегда встречаются именно несовместные варианты — например, разные грани одной кости. Полную формулу с вычитанием держи для задания 5.

## Когда вероятности умножают и как считать «хотя бы один»?

Умножение отвечает за схему **«и то, и другое вместе»**. Если события **независимые** — исход одного никак не влияет на другой, — вероятность того, что произойдут оба, равна произведению вероятностей:

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$

Классический признак независимости — разные предметы или разные попытки: две разные лампочки, два выстрела, две монеты. Пример: лампа исправна с вероятностью 0,9. Купили две — какова вероятность, что **обе** исправны? События независимы, поэтому $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$.

А теперь ключевой приём задания 5. Вопрос «какова вероятность, что исправна **хотя бы одна**?» решается не сложением и не умножением напрямую, а через противоположное событие. Противоположность к «хотя бы одна исправна» — это «**ни одной** исправной», то есть **все** бракованные. Вот его и считают умножением, а потом вычитают из единицы.

Каждая лампа бракована с вероятностью $1 - 0{,}9 = 0{,}1$. Обе бракованы: $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$. Значит хотя бы одна исправна с вероятностью $1 - 0{,}01 = 0{,}99$. Для $n$ одинаковых независимых попыток с вероятностью успеха $p$ формула общая:

$$
P(\text{хотя бы один}) = 1 - (1 - p)^n
$$

Но умножать вероятности «как есть» можно только для независимых событий. Если исход первого меняет условия второго — например, шар вынимают **без возврата**, — работает **общая теорема умножения**: вероятность второго берут уже с учётом того, что первое случилось.

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
$$

Запись $P(B \mid A)$ — вероятность B при условии, что A уже произошло. Пример: в урне 3 белых и 7 чёрных шаров, наугад вынимают два подряд без возврата. Вероятность, что первый белый, — $3/10$. После этого в урне остаётся 9 шаров, из них 2 белых, поэтому второй белый уже с вероятностью $2/9$. Оба белых: $\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{2}{9} = \tfrac{1}{15} \approx 0{,}07$. Тот же ответ даёт подсчёт через сочетания: $C_3^2 / C_{10}^2 = 3/45 = 1/15$.

Запомни разницу в одном предложении. Союз **«и»** (оба сразу) — умножаем. Союз **«или»** (одно из несовместных) — складываем. «Хотя бы один» — считаем через «ни одного». А если события зависимы (выбор без возврата) — умножаем на **условную** вероятность второго.

## Геометрическая вероятность

Иногда исходов бесконечно много — например, точка наугад падает на отрезок, а стрелка часов останавливается в любой момент. Формула $m/n$ тут не работает: посчитать точки нельзя. На помощь приходит **геометрическая вероятность**: вместо количества исходов берут их «размер» — длину, площадь или промежуток времени.

$$
P = \dfrac{\text{мера благоприятной части}}{\text{мера всей области}}
$$

Условие то же, что и раньше: точка выбирается **равномерно**, то есть все положения равноправны. Тогда вероятность попасть в нужный участок равна доле, которую он занимает.

Пример с длиной. Автобус ходит строго каждые 20 минут, а ты приходишь на остановку в случайный момент. Какова вероятность прождать меньше 5 минут? Благоприятны последние 5 минут из каждого 20-минутного промежутка: $5/20 = 0{,}25$.

Если область двумерная, берут отношение **площадей**, а не длин — это частая ловушка: мера благоприятной части и всей области всегда должны быть одного типа. Схема ниже разбирает одномерный случай — отношение длин на отрезке.

*Рисунок: Благоприятный участок длины 3 из отрезка длины 10: P = 3/10 = 0,3*

## Как применять формулу полной вероятности?

Последний кирпич темы — задачи, где событие может произойти при нескольких взаимоисключающих сценариях. Товар пришёл с одного из двух заводов; шар достали из одной из нескольких урн; студент вытянул билет из первой или второй темы. Эти сценарии называют **гипотезами** $H_1, H_2, \ldots$ Они должны покрывать все возможности, а их вероятности — давать в сумме единицу.

Полная вероятность события $A$ — это сумма по всем гипотезам: вероятность гипотезы, умноженная на вероятность $A$ при этой гипотезе.

$$
P(A) = P(H_1)\,P(A \mid H_1) + P(H_2)\,P(A \mid H_2) + \ldots
$$

Запись $P(A \mid H_1)$ читается «вероятность A при условии, что случилась гипотеза H₁». По сути ты разбиваешь задачу на ветки, считаешь каждую отдельно и складываешь.

Иногда спрашивают обратное: событие уже произошло — с какой вероятностью сработала конкретная гипотеза? Это **формула Байеса**: берут вклад нужной ветки и делят на полную вероятность.

$$
P(H_k \mid A) = \dfrac{P(H_k)\,P(A \mid H_k)}{P(A)}
$$

Схема ниже — рабочий шаблон для таких задач: две ветки-гипотезы, у каждой своя вероятность и свой шанс интересующего нас исхода.

*Рисунок: Дерево гипотез: вклад каждой ветки — произведение вероятностей вдоль неё*

## Формулы вероятности в одной таблице

*Какую формулу брать и по каким признакам её узнать в условии*

| Правило | Формула | Когда применять |
| --- | --- | --- |
| Классическая вероятность | $P(A) = \dfrac{m}{n}$ | Все n исходов равновозможны, m из них благоприятные |
| Противоположное событие | $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ | В условии «хотя бы», «не менее», «хотя бы один» |
| Сложение несовместных | $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ | Схема «или», события не могут случиться одновременно |
| Сложение совместных | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ | События могут произойти вместе: общую часть вычитают один раз |
| Умножение независимых | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ | Схема «и», исход одного события не влияет на другое |
| «Хотя бы один» из n попыток | $P = 1 - (1 - p)^n$ | n одинаковых независимых попыток с вероятностью успеха p |
| Общая теорема умножения | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ | События зависимы, например выбор без возврата |
| Геометрическая вероятность | $P = \dfrac{\text{мера благоприятной части}}{\text{мера всей области}}$ | Точка выбирается равномерно; длины делят на длины, площади на площади |
| Полная вероятность | $P(A) = P(H_1)\,P(A \mid H_1) + P(H_2)\,P(A \mid H_2) + \ldots$ | Событие может случиться при нескольких взаимоисключающих гипотезах |
| Формула Байеса | $P(H_k \mid A) = \dfrac{P(H_k)\,P(A \mid H_k)}{P(A)}$ | Событие уже произошло, нужна вероятность конкретной гипотезы |

## Разбор: бракованная лампа

**Условие.** Завод выпускает лампы на двух линиях. Первая линия даёт 60% всех ламп, и среди них 2% бракованных. Вторая линия даёт остальные 40%, среди них брака 3%. Со склада наугад берут одну лампу. Найдите вероятность того, что она бракованная. Дополнительно: лампа оказалась бракованной — какова вероятность, что её сделали на первой линии?

**Решение.**

- Событие $A$ — «лампа бракованная». Гипотезы: $H_1$ — лампа с первой линии, $H_2$ — со второй. Их вероятности заданы долями выпуска:
- $P(H_1) = 0{,}6, \qquad P(H_2) = 0{,}4$
- Доли брака на каждой линии — это условные вероятности «брак при условии, что лампа с этой линии»:
- $P(A \mid H_1) = 0{,}02, \qquad P(A \mid H_2) = 0{,}03$
- **Полная вероятность брака** — сумма вкладов обеих веток:
- $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}024$
- **Обратный вопрос** решается формулой Байеса: вклад первой линии делим на всю вероятность брака.
- $P(H_1 \mid A) = \dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}024} = \dfrac{0{,}012}{0{,}024} = 0{,}5$
- Хотя первая линия выпускает больше ламп, у неё брак реже, поэтому среди бракованных её вклад ровно половина.

**Ответ:** Вероятность брака 0,024; вероятность, что бракованная лампа с первой линии, — 0,5.

## Как выбрать формулу для задачи на вероятность?

1. **Пойми, сколько исходов.** Их можно пересчитать (грани, шары, билеты) — это классическая вероятность P = m/n. Их бесконечно много (точка на отрезке, момент времени) — геометрическая, отношение мер.
2. **Найди ключевые слова.** «И», «оба», «вместе» — события происходят одновременно, работает умножение. «Или», «одно из» — работает сложение. «Хотя бы», «не менее» — переходи к противоположному событию.
3. **Проверь независимость перед умножением.** Умножать P(A)·P(B) можно, только если события не влияют друг на друга: разные предметы, разные попытки. Если исход первого меняет условия второго — независимости нет.
4. **Несколько сценариев — раскрой по гипотезам.** Если событие может случиться разными путями (разные заводы, урны, темы), это формула полной вероятности: сумма произведений «вероятность сценария на вероятность исхода в нём».
5. **Проверь ответ и оформи.** Вероятность обязана лежать между 0 и 1 — если вышло больше единицы, где-то сложил вместо умножения. Запиши ответ десятичной дробью и округли до разряда, указанного в условии.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Бросают игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет число больше 4? Ответ округлите до сотых.
   - 0,17
   - 0,33 — **верный ответ**
   - 0,50
   - 0,67

   *Пояснение:* Больше 4 — это грани 5 и 6, значит благоприятных исходов m = 2, всего n = 6. P = 2/6 = 0,333… ≈ 0,33. Округляем бесконечную дробь до сотых.

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8 при каждом выстреле. Он делает два независимых выстрела. Какова вероятность, что он попадёт хотя бы один раз?
   - 0,64
   - 0,80
   - 0,96 — **верный ответ**
   - 0,04

   *Пояснение:* «Хотя бы один» считаем через противоположное «ни разу не попал». Промах каждый раз с вероятностью 0,2, оба промаха: 0,2·0,2 = 0,04. Значит хотя бы одно попадание: 1 − 0,04 = 0,96.

3. Два независимых события: A происходит с вероятностью 0,4, B — с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что произойдут оба события сразу?
   - 0,9
   - 0,45
   - 0,2 — **верный ответ**
   - 0,1

   *Пояснение:* «Оба сразу» — это умножение независимых: 0,4·0,5 = 0,2. Вариант 0,9 — это ловушка со сложением, оно применяется к «или», а не к «и».

4. Автобус приходит на остановку строго каждые 20 минут. Пассажир приходит в случайный момент. Какова вероятность, что ждать придётся меньше 5 минут?
   - 0,05
   - 0,20
   - 0,25 — **верный ответ**
   - 0,75

   *Пояснение:* Геометрическая вероятность: благоприятны последние 5 минут из каждых 20. P = 5/20 = 0,25. Считаем отношение промежутков времени, а не количество исходов.

5. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй — 3 белых и 1 чёрный. Наугад выбирают урну (обе равновероятны), затем из неё шар. Какова вероятность вынуть белый шар?
   - 0,50
   - 0,625 — **верный ответ**
   - 0,75
   - 0,80

   *Пояснение:* Формула полной вероятности. Урну выбирают с вероятностью 0,5 каждую. В первой P(белый) = 1/2, во второй = 3/4. Итог: 0,5·0,5 + 0,5·0,75 = 0,25 + 0,375 = 0,625.

6. В урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают два шара подряд, не возвращая первый. Какова вероятность, что оба белых? Ответ округлите до сотых.
   - 0,16
   - 0,13 — **верный ответ**
   - 0,20
   - 0,40

   *Пояснение:* Шары вынимают без возврата — события зависимы, поэтому умножаем на условную вероятность. Первый белый: 4/10. После него осталось 9 шаров, из них 3 белых, второй белый: 3/9. Оба белых: 4/10 · 3/9 = 12/90 ≈ 0,13. Ловушка 0,16 — это если умножить как независимые (4/10 · 4/10), забыв, что состав урны изменился.

## Какие ошибки делают в задачах на вероятность?

- **Ошибка 1.** **Путают сложение и умножение.** Умножают для «и то, и другое вместе» (независимые события), складывают для «или одно, или другое» (несовместные). Именно на этой подмене строят неверный вариант ответа: подставь союз в условие вслух — «и» или «или».
- **Ошибка 2.** **«Хотя бы один» считают напрямую.** Пытаются сложить или перебрать все случаи и путаются. Правильный ход всегда один: $P = 1 - P(\text{ни одного})$. Противоположность к «хотя бы один» — это «ни одного», а не «все».
- **Ошибка 3.** **Забывают округлить или округляют не тот разряд.** $1/3 = 0{,}333\ldots$ в ответе должно стать 0,33, а не 0,3 и не 0,333. Всегда смотри, до какого разряда просят округлить в условии.
- **Ошибка 4.** **Умножают зависимые события как независимые.** Формула $P(A)\cdot P(B)$ верна, только когда события не влияют друг на друга. Если шар вынимают без возврата, после первого шара состав урны меняется — вероятности второго уже другие.
- **Ошибка 5.** **В геометрической вероятности берут не ту меру.** Для плоской области считают отношение **площадей**, а не длин сторон, а для времени — отношение промежутков. Мера благоприятной части и всей области должны быть одного типа.
- **Ошибка 6.** **В полной вероятности не проверяют гипотезы.** Вероятности всех гипотез обязаны в сумме давать 1, а сами гипотезы — покрывать все случаи. Если сумма вышла не единицей — потеряна ветка или посчитана лишняя.

## Запомни для ЕГЭ

- $P(A) = \dfrac{m}{n}$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- $P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$
- $P(\text{хотя бы один}) = 1 - (1-p)^n$
- $P(A) = \sum_i P(H_i)\,P(A \mid H_i)$
- «И» — умножаем, «или» — складываем, «хотя бы» — через противоположное

## На экзамене

- Задание 4 — базовое, чистое P = m/n. Аккуратно посчитай благоприятные и все исходы, запиши десятичной дробью и округли до разряда из условия. Это один из самых надёжных баллов в части 1.
- Задание 5 — повышенное: независимые и зависимые события, «хотя бы один», иногда полная вероятность. Первым делом реши, союз «и» или «или» связывает события, — от этого зависит, умножать или складывать. Часть вариантов задания 5 — чистая комбинаторика (сочетания, размещения); она разобрана в отдельной теме, здесь её не ждём.
- Слова «хотя бы», «не менее», «хотя бы один» — почти всегда сигнал считать через противоположное событие. Прямой перебор здесь длиннее и опаснее.
- Держи в голове границу: любая вероятность лежит между 0 и 1. Получил число больше единицы — верный признак, что сложил там, где надо было умножить.
- Калькулятора нет, поэтому числа в задачах подобраны так, чтобы считаться руками. Если арифметика становится громоздкой — почти наверняка выбран неверный путь, вернись к условию.

## Лаборатория: частота против вероятности

Её идея разобрана в блоке «Классическая вероятность»: если много раз бросать монету или кость, доля выпадений (частота) всё точнее приближается к теоретической вероятности P = m/n — это закон больших чисел.

## Словарь темы

- **Случайное событие** — Событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти. Его возможность измеряют числом от 0 (невозможное) до 1 (достоверное).
- **Элементарный исход** — Один из неделимых результатов опыта. Например, при броске кости элементарные исходы — выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
- **Равновозможные исходы** — Исходы, ни у одного из которых нет преимущества перед другими. Только для них верна формула P = m/n. Правильная монета и симметричная кость дают равновозможные исходы, кривая кнопка — нет.
- **Классическая вероятность** — Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных: P = m/n.
- **Противоположное событие** — Событие «A не произошло», обозначается Ā. Вместе с A покрывает все случаи, поэтому P(A) + P(Ā) = 1.
- **Несовместные события** — События, которые не могут произойти в одном опыте одновременно. Для них вероятность «A или B» равна сумме P(A) + P(B).
- **Независимые события** — События, для которых исход одного не меняет вероятность другого. Для них вероятность «A и B» равна произведению P(A)·P(B).
- **Геометрическая вероятность** — Вероятность при бесконечном числе равновозможных исходов: отношение меры (длины, площади, промежутка времени) благоприятной части к мере всей области.
- **Формула полной вероятности** — Способ найти вероятность события, которое может наступить при разных взаимоисключающих сценариях (гипотезах): сумма произведений вероятности гипотезы на вероятность события в ней.
- **Условная вероятность** — Вероятность события A при условии, что уже произошло событие B; записывается P(A | B).

## Частые вопросы

### Что такое вероятность?

Вероятность — мера того, насколько событие возможно: число от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное). Классическую вероятность находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных: P = m/n.

### Как выбрать формулу для задачи на вероятность?

Шаги такие:

1. пойми, сколько исходов
2. найди ключевые слова
3. проверь независимость перед умножением
4. несколько сценариев — раскрой по гипотезам
5. проверь ответ и оформи.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Вероятность»?

Путают сложение и умножение. Умножают для «и то, и другое вместе» (независимые события), складывают для «или одно, или другое» (несовместные). Именно на этой подмене строят неверный вариант ответа: подставь союз в условие вслух — «и» или «или».

### Что нужно запомнить по теме «Вероятность»?

Главное:

1. P(A) = m/n
2. P(Ā) = 1 - P(A)
3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4. P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
5. P(хотя бы один) = 1 - (1-p)ⁿ
6. P(A) = Σᵢ P(Hᵢ) P(A | Hᵢ)
7. «И» — умножаем, «или» — складываем, «хотя бы» — через противоположное.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 6.2 «Вероятность».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 6.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: классическая, геометрическая вероятность, сложение/умножение вероятностей, формула полной вероятности.
- Вероятность проверяется заданием 4 (базовый уровень, классическая вероятность) и заданием 5 (повышенный уровень: умножение независимых, «хотя бы один», полная вероятность), каждое по 1 баллу.
- Классическая вероятность P = m/n верна только для равновозможных исходов; ответ записывается десятичной дробью с округлением (обычно до сотых).
- P(Ā) = 1 − P(A); события «хотя бы один» удобно считать через противоположное «ни одного».
- Для несовместных событий P(A∪B) = P(A) + P(B); для совместных P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
- Для независимых событий P(A∩B) = P(A)·P(B); пример с двумя исправными лампами (0,9·0,9 = 0,81) и «хотя бы одна исправна» (1 − 0,1·0,1 = 0,99).
- Формула «хотя бы один» для n одинаковых независимых испытаний: P = 1 − (1 − p)^n.
- Геометрическая вероятность равна отношению меры (длины/площади/времени) благоприятной части к мере всей области при равномерном выборе точки.
- Формула полной вероятности P(A) = Σ P(H_i)·P(A|H_i) для полной группы гипотез; формула Байеса P(H_k|A) = P(H_k)P(A|H_k)/P(A).
- Умножение вероятностей применимо только к независимым событиям; для зависимых работает общая теорема умножения P(A∩B) = P(A)·P(B|A). При выборе без возврата состав меняется и события зависимы: пример 3/10·2/9 = 1/15 ≈ 0,07 (то же через сочетания C(3,2)/C(10,2) = 3/45 = 1/15).
- Любая вероятность лежит в промежутке от 0 до 1.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-4/)
- [Формулы теории вероятностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-teorii-veroyatnostey/)
- [Теория вероятностей ЕГЭ 2027: формулы и задачи](https://neuromisha.ru/materialy/teoriya-veroyatnostey-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/veroyatnost/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.