Арифметический корень на базовом ЕГЭ

Q: Что такое арифметический корень?

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — такое неотрицательное число b, что bⁿ = a, где n — натуральное число не меньше двух. Под корнем чётной степени не может стоять отрицательное число, и сам корень никогда не бывает отрицательным.

Q: Как решать задания по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Шаги такие: 1) посмотри, что стоит под корнем; 2) корни, стоящие рядом через знак умножения или деления, объедини под одним знаком; 3) У корня в чётной степени раздели показатель пополам; 4) извлеки корень по таблице квадратов. Остальные шаги — в разделе темы выше.

Q: Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Раздают корень по сумме. «√(a+b) = √a+√b» — свойства с таким видом не существует. Контрпример считается за секунды: √(49+576) = √625 = 25, а √49+√576 = 31. Корень «проходит» только сквозь умножение и деление.

Q: Что нужно запомнить по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Главное: 1) √a = b ⇔ b² = a, a ≥ 0, b ≥ 0; 2) √(x²) = |x|, (√a)² = a; 3) √a · √b = √(ab), a ≥ 0, b ≥ 0; 4) (√a)²ᵏ = aᵏ; 5) √(a+b) ≠ √a + √b. Остальное — в разделе темы выше.

Тема кодификатора ЕГЭ 2027: Арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень n-й степени из числа a ≥ 0 — это неотрицательное число b, для которого bⁿ = a, поэтому √36 равен 6, а не ±6. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в заданиях 14 и 16 (по 1 баллу): выражение с корнями считают без калькулятора, и ответ должен свернуться в точное число. Та же тема для профильного уровня: арифметический корень натуральной степени на профильном ЕГЭ.

Решать задание 14 ЕГЭ

Корни: определение и свойства в одной таблице

Всюду в свойствах a ≥ 0 и b ≥ 0, в дроби ещё b ≠ 0
Правило	Формула	Пример
Определение	ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a, a ≥ 0, b ≥ 0	³√27 = 3, ⁴√16 = 2
Корень из квадрата	√(x²) = \|x\| для любого x	√((-9)²) = √81 = 9
Квадрат корня	(√a)² = a	Запись существует только при a ≥ 0, модуль не нужен
Корень произведения	√a · √b = √(ab)	√50·√2 = √100 = 10
Корень частного	√a/(√b) = √(a/b)	√75/√3 = √25 = 5
Чётная степень корня	(√a)²ᵏ = aᵏ	(√3)⁶ = 3³ = 27
Корень суммы не раскладывается	√(a+b) ≠ √a + √b	√(49 + 576) = 25, а √49 + √576 = 31
Сравнение через квадраты	Неотрицательные числа возводят в квадрат, порядок не меняется	√5 < 3, потому что 5 меньше 9

Быстрые ответы

Что такое арифметический корень?

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — такое неотрицательное число b, что bⁿ = a, где n — натуральное число не меньше двух. Под корнем чётной степени не может стоять отрицательное число, и сам корень никогда не бывает отрицательным.

Как решать задания по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Шаги такие:

посмотри, что стоит под корнем
корни, стоящие рядом через знак умножения или деления, объедини под одним знаком
У корня в чётной степени раздели показатель пополам
извлеки корень по таблице квадратов.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Раздают корень по сумме. «√(a+b) = √a+√b» — свойства с таким видом не существует. Контрпример считается за секунды: √(49+576) = √625 = 25, а √49+√576 = 31. Корень «проходит» только сквозь умножение и деление.

Что нужно запомнить по теме «Арифметический корень натуральной степени»?

Главное:

√a = b ⇔ b² = a, a ≥ 0, b ≥ 0
√(x²) = |x|, (√a)² = a
√a · √b = √(ab), a ≥ 0, b ≥ 0
(√a)²ᵏ = aᵏ
√(a+b) ≠ √a + √b.

Остальное — в разделе темы выше.

Арифметический корень — всегда неотрицательное число, и почти вся тема вырастает из этого одного слова: отсюда и «корень из квадрата равен модулю», и условие «a ≥ 0» у каждого свойства. На базовом ЕГЭ корни живут в заданиях 14 и 16, где калькулятора нет, а ответ обязан свернуться в точное число.

Обновлено 18 октября 2026

Что такое арифметический корень n-й степени?

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число b, что bⁿ = a. Число n здесь натуральное и не меньше двух:

в строку: ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a, a ≥ 0, b ≥ 0

Два слова «неотрицательное» в этом определении — не украшение, а вся тема. Под чётным корнем не может стоять отрицательное число, и сам корень никогда не бывает отрицательным. Знак √ без указанного показателя означает n = 2 — привычный квадратный корень; именно он и встречается почти во всех заданиях базы. Число n называют показателем корня, а то, что стоит под знаком, — подкоренным выражением.

Показатель бывает и больше двух, читается всё так же: ³√27 = 3, потому что 3³ = 27; ⁴√16 = 2, потому что 2⁴ = 16. Записи вроде ³√(-8) = -2 в школе тоже используют — у корня нечётной степени подкоренное выражение может быть любым. Но арифметическим такой корень уже не называют: он определён только для неотрицательных чисел.

Дальше — самое частое недоразумение темы, и лучше разобраться с ним сразу. «Арифметический корень» и «корень уравнения» — разные вещи, слово просто совпало. У уравнения x² = 36 два корня: 6 и −6. А √36 — это одно конкретное число 6. Запись «√36 = ±6» неверна: слева стоит число, а не пара чисел. Знак ± появляется, когда решают уравнение, а не когда извлекают корень.

И совсем практическое. Половина заданий 14 и 16 на корни решается быстрее, если держать в голове точные квадраты: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 25² = 625. Калькулятора на экзамене не будет, а эти двенадцать чисел закрывают почти все подкоренные выражения, которые тебе встретятся.

Проверь себя за 10 секунд

Чему равно значение выражения √((−6)²)?

Считаем по действиям: (−6)² = 36, затем √36 = 6. Арифметический корень неотрицателен по определению, поэтому вернуть −6 он не может. Общее правило: √(x²) = |x|, а модуль числа −6 равен 6. Подкоренное выражение здесь равно 36, оно неотрицательно, так что с определённостью всё в порядке.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 14 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите значение выражения √144 : 0,8 − 2³.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите значение выражения 4,35 + 7,56 : 1,2.

Показать ответ

Чему равен корень из квадрата числа?

Из «корень неотрицателен» немедленно следует главная ловушка темы. Посчитай честно, по действиям, взяв x = −6: сначала (-6)² = 36, потом √36 = 6. На входе было −6, на выходе получилось +6. Значит:

в строку: √(x²) = |x| для любого x

Не x, а именно модуль. Возведение в квадрат стирает знак, а корень его не восстанавливает: он обязан вернуть неотрицательное число — и возвращает.

Не путай две похожие записи, порядок действий тут решает всё. В выражении (√a)² сначала берут корень, поэтому такая запись вообще существует только при a ≥ 0, и результат равен просто a — модуль не нужен. В выражении √(a²) сначала возводят в квадрат, поэтому a может быть каким угодно, а модуль обязателен.

На базовом уровне в задании 14 под корнем почти всегда стоит число, и знак виден сразу: √((-9)²) = √81 = 9. Проверить себя просто: если после извлечения корня у тебя получилось отрицательное число, где-то ошибка — арифметический корень отрицательным не бывает.

Тот же принцип помогает и в геометрических заданиях, где длину ищут через теорему Пифагора. Сторона не может быть отрицательной, и корень аккуратно возвращает именно неотрицательный ответ — второй, «минусовый» вариант отбрасывать вручную не приходится.

Квадрат стирает знак: и −6, и 6 дают 36. Корень возвращает только неотрицательное число

Какие свойства у арифметического корня?

Свойств у корня немного, и все они об одном: корень «проходит сквозь» умножение, деление и возведение в степень. Всюду ниже a ≥ 0 и b ≥ 0, а в дроби ещё и b ≠ 0:

в строку: √a · √b = √(ab), √a/(√b) = √(a/b), (√a)²ᵏ = aᵏ

Первое свойство — рабочая лошадка задания 16. Встретил произведение двух некрасивых корней — не считай их по отдельности, объедини под одним знаком: √50·√2 = √100 = 10. Ни √50, ни √2 по отдельности красивого значения не имеют, а вместе дают ровно 10. Так задания и устроены: множители подобраны так, чтобы произведение оказалось точным квадратом.

Второе свойство работает так же, только в обратную сторону: √75/√3 = √25 = 5.

Третье свойство разберём подробнее, потому что оно даёт самый частый вид задания 16. Запись (√3)⁶ означает: корень умножили сам на себя шесть раз. Разбей шестёрку на тройку пар — каждая пара √3·√3 даёт 3:

в строку: (√3)⁶ = ((√3)²)³ = 3³ = 27

Правило короткое: у корня чётную степень делят пополам, а корень убирают. Так же считается и (√7)⁴ = 7² = 49.

А теперь самое важное: чего среди свойств нет. Корень не раздаётся по сумме и по разности. Никакого «√(a+b) = √a + √b» не существует, и проверяется это за пять секунд: √(49 + 576) = √625 = 25, а √49 + √576 = 7 + 24 = 31. Двадцать пять и тридцать один — разные числа. Если под корнем стоит сумма, сначала сложи, и только потом извлекай корень.

Условие «a ≥ 0 и b ≥ 0» тоже не формальность, и относится оно к каждому числу по отдельности. Запись «√(-4) · √(-9) = √36 = 6» неверна с первого шага: ни √(−4), ни √(−9) не существуют, и объединять нечего, хотя произведение подкоренных чисел вышло положительным.

Один корень вместо двух: перемножь подкоренные числа — и получится точный квадрат

Как считать корни без калькулятора

Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена только линейка. Поэтому вычислять корень «примерно» бессмысленно: ответ должен быть точным, и на бланке нет места для «≈». Задания составлены так, что выражение обязано свернуться. Вот приёмы, которые это делают.

Разложи подкоренное число на множители. Если число не из таблицы квадратов, поищи в нём квадрат: √324 = √(4 · 81) = √4 · √81 = 2 · 9 = 18. Приём тот же, что и в первом свойстве, только применяется наоборот — не собираешь, а разбираешь.

Корень из дроби бери отдельно от числителя и знаменателя: √(9/49) = 3/7. С десятичными дробями работает тот же счёт квадратов: √(0,49) = 0,7, потому что 0,7 · 0,7 = 0,49. Следи за количеством знаков после запятой: √(0,0049) = 0,07, а не 0,7.

Сначала посчитай то, что под корнем. Если там сумма, разность или произведение — доведи их до одного числа, а корень бери в последнюю очередь. Это ровно тот случай, где ломается «раздать корень по слагаемым».

Прикидка — только для самопроверки. Иногда полезно понять, между какими целыми лежит корень: 25 меньше 30 и 30 меньше 36, значит 5 < √30 < 6. В бланк такое не пишут, но если у тебя в ответе вышло 15, а прикидка обещала число между 5 и 6 — ошибку видно сразу.

И приём сравнения, который иногда спрашивают в задании 14. Чтобы сравнить два неотрицательных числа с корнями, возведи оба в квадрат: у неотрицательных чисел порядок при этом не меняется. Сравним √5 и 3: квадраты равны 5 и 9, пятёрка меньше девятки, значит √5 < 3.

Разбор: задание 14

Пример

Найди значение выражения √18 · √8 − √(9 + 16).

Два действия, и оба на разных свойствах. Начнём с произведения корней: считать √18 и √8 по отдельности бесполезно, красивых значений у них нет. Оба числа положительны, значит свойство применимо — объединяем под одним корнем.√18 · √8 = √(18 · 8) = √144 = 12Число 144 — из таблицы квадратов: 12² = 144. Как и было задумано, произведение оказалось точным квадратом.Теперь второе слагаемое. Под корнем стоит сумма, а корень по сумме не раздаётся. Значит, сначала складываем, и только потом извлекаем:√(9 + 16) = √25 = 5Если бы здесь по привычке написали √9 + √16 = 3 + 4 = 7, весь ответ уехал бы на двойку. Это самая дорогая ошибка темы.Собираем:12 − 5 = 7Формат сошёлся: ответ — целое число, ровно то, что принимает бланк № 1.Ответ: 7.

Разбор: задание 16

Пример

Найди значение выражения (√6)⁴ : 12.

Первое движение — убрать корень. Степень у него чётная, значит работает третье свойство: делим показатель пополам и снимаем знак корня.

(√6)⁴ = ((√6)²)² = 6² = 36Если запись сбивает с толку — распиши руками: √6·√6·√6·√6. Первая пара даёт 6, вторая пара даёт 6, вместе 36. Ровно то же самое.Осталось поделить:36:12 = 3Проверка на здравый смысл: ответ целый, значит корни ушли полностью — как и должно быть в задании 16. Если бы в ответе остался знак корня, стоило бы вернуться и перечитать условие.Ответ: 3.

В каком порядке считать выражение с корнями?

1Посмотри, что стоит под корнем. Сумма или разность — сначала доведи их до одного числа, и только потом извлекай корень. Раздавать корень по слагаемым нельзя.
2Корни, стоящие рядом через знак умножения или деления, объедини под одним знаком. √a · √b = √(ab). Почти всегда после этого получается точный квадрат — задания так и составлены.
3У корня в чётной степени раздели показатель пополам. (√a)⁴ = a², (√a)⁶ = a³. Знак корня при этом исчезает.
4Извлеки корень по таблице квадратов. Не нашлось нужного числа — разложи его на множители и поищи квадрат внутри: 324 = 4 · 81, значит √324 = 2 · 9 = 18.
5Проверь ответ на два признака. Он неотрицателен (арифметический корень другим не бывает) и он точный — целое число или конечная десятичная дробь. Остался знак корня или получился «примерно такой» ответ — ищи ошибку.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где эта тема ломается. Считай в уме, калькулятор тебе на экзамене всё равно не дадут.

1.Чему равно значение выражения √((−6)²)?

2.Найди значение выражения √(16 + 9).

Под корнем стоит сумма, поэтому сначала складываем: 16 + 9 = 25, и только потом извлекаем корень: √25 = 5. Вариант 7 — это √16 + √9 = 4 + 3, то есть попытка раздать корень по слагаемым. Такого свойства не существует.

3.Найди значение выражения √72 · √2.

Оба числа положительны, поэтому корни объединяются: √72 · √2 = √(72 · 2) = √144 = 12. Вариант 144 — забыли извлечь корень на последнем шаге. Вариант 74 — сложили подкоренные числа вместо умножения.

4.Найди значение выражения (√8)⁴.

Показатель чётный, поэтому делим его пополам и снимаем корень: (√8)⁴ = 8² = 64. Проверка вручную: √8 · √8 = 8, ещё одна такая пара даёт 8, вместе 8 · 8 = 64. Вариант 4096 — это 8⁴: корень просто выбросили, не поделив показатель. Вариант 32 — это 8 · 4, где показатель приняли за множитель.

5.При каком условии верно равенство √a · √b = √(ab)?

Неотрицательным должно быть каждое число по отдельности. Условия «ab ≥ 0» не хватает: у пары a = −4, b = −9 произведение равно 36 и неотрицательно, но √(−4) и √(−9) не существуют — левая часть просто не определена, хотя правая даёт 6.

6.Между какими соседними целыми числами лежит √30?

Ищем ближайшие точные квадраты: 25 = 5², 36 = 6², и 25 меньше 30, а 30 меньше 36. Значит 5 меньше √30 и √30 меньше 6. Вариант «между 14 и 16» получается, если делить 30 пополам — корень и половина числа никак не связаны.

Какие ошибки делают в выражениях с корнями?

Ошибка 1

Раздают корень по сумме. «√(a+b) = √a+√b» — свойства с таким видом не существует. Контрпример считается за секунды: √(49+576) = √625 = 25, а √49 + √576 = 31. Корень «проходит» только сквозь умножение и деление.

Ошибка 2

Пишут √(x²) = x. При x = −6 левая часть равна 6, а правая −6. Верно √(x²) = |x|. Простой контроль: если в ответе получился корень с минусом — точно ошибка, арифметический корень отрицательным не бывает.

Ошибка 3

Пишут √36 = ±6. Знак ± рождается при решении уравнения x² = 36, у которого действительно два корня. Само же выражение √36 — это одно число 6, и в бланк идёт именно оно.

Ошибка 4

Умножают показатель на подкоренное число. (√3)⁶ — это не 3 · 6 = 18 и не 3⁶. Показатель у корня чётный, значит его делят пополам: (√3)⁶ = 3³ = 27.

Ошибка 5

Теряют корень на последнем шаге. В √50·√2 объединяют подкоренные числа, получают 100 и пишут 100 в бланк. Но под знаком корня осталась сотня, а извлечь корень забыли: правильный ответ 10.

Ошибка 6

Округляют вместо точного счёта. Ответы вроде «примерно 5,5» или «5,477» не засчитываются: в бланк идёт точное число. Если выражение не свернулось в целое или в короткую десятичную дробь — почти наверняка потеряно преобразование, а не «задание такое».

Ошибка 7

Применяют свойства к отрицательным подкоренным выражениям. «√(-4) · √(-9) = 6» неверно уже на первом шаге: у чётного корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным. Проверяй каждое число отдельно, а не их произведение.

Запомни для ЕГЭ

1√a = b ⇔ b² = a, a ≥ 0, b ≥ 0

√(x²) = |x|, (√a)² = a

3√a · √b = √(ab), a ≥ 0, b ≥ 0

(√a)²ᵏ = aᵏ

5√(a+b) ≠ √a + √b

6Квадраты наизусть: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 25² = 625

На экзамене

Корни встречаются в заданиях 14 и 16, каждое стоит 1 балл, ответ идёт в бланк № 1 числом. Это самые дешёвые по времени задания варианта — закладывай на каждое по 2–3 минуты и не отдавай их.
Калькулятор запрещён, разрешена только линейка. Справочные материалы выдают вместе с КИМ, в них есть свойства степеней и логарифмов. Свойства корней укладываются в три строчки — выучи их, это быстрее, чем искать по справочному листу.
Первое движение в любом задании с корнями всегда одно: посмотреть, что стоит под знаком. Сумма — сложи. Произведение корней — объедини под один корень. Корень в чётной степени — раздели показатель пополам.
Ответ обязан быть точным. Никаких «≈», никаких округлений, никакого знака корня в бланке. Если в конце осталось что-то вроде 2√5, вернись к началу: скорее всего, потерялось объединение корней или под корнем не досчитана сумма.
Быстрая самопроверка, когда время поджимает: возведи свой ответ в квадрат и сравни с тем, что было под корнем. Получил 12 из √144 — проверь, что 12 · 12 действительно 144. Это занимает пару секунд и ловит арифметические промахи.

Словарь темы

Арифметический корень n-й степени: Неотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a. Определён только при a ≥ 0 и сам всегда неотрицателен. Для данного a такое b ровно одно.
Показатель корня: Натуральное число n в записи ⁿ√a, не меньше 2. Показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное выражение. Если показатель не написан, он равен 2.
Подкоренное выражение: То, что стоит под знаком корня. У корня чётной степени обязано быть неотрицательным.
Модуль числа: Расстояние от числа до нуля на числовой прямой: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Всегда неотрицателен — поэтому именно модуль и получается при извлечении квадратного корня из квадрата.
Точный квадрат: Число, равное квадрату целого числа: 121, 144, 169, 196, 225 и так далее. Корень из точного квадрата — целое число, и задания составляют так, чтобы подкоренное выражение свернулось именно к нему.
Вынесение множителя из-под знака корня: Приём: подкоренное число разбивают на точный квадрат и остаток, после чего квадрат выводят наружу. Например, √324 = √(4 · 81) = 2 · 9 = 18.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задания 14 и 16 КИМ (по 1 баллу) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 22 сентября 2026): 1.3 «Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени». В проекте КИМ 2027 базового уровня задания 14 и 16 проверяют вычисления и преобразования выражений; нумерация базового экзамена не изменилась.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 1.3 кодификатора базовой математики и проверяется заданиями 14 и 16 (базовый уровень, по 1 баллу).
На базовой математике все 21 задание — с кратким ответом по 1 баллу, ответ записывается в бланк № 1 (целое число, конечная десятичная дробь или последовательность цифр); развёрнутых ответов нет.
Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена только линейка; справочные материалы выдаются вместе с КИМ и содержат свойства степеней и логарифмов.
Задание 14 — вычисление выражения (дроби, степени, корни, без тригонометрии и логарифмов); задание 16 — вычисления со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями.
Определение: арифметический корень n-й степени из a ≥ 0 — это неотрицательное b с bⁿ = a, где n натуральное и n ≥ 2.
Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: ³√(−8) = −2, но арифметическим он уже не называется.
√(x²) = |x| для любого x, при этом (√a)² = a при a ≥ 0; разница — в порядке действий.
Свойства √a·√b = √(ab), √a/√b = √(a/b), (√a)^(2k) = a^k верны при a ≥ 0, b ≥ 0 (в дроби b ≠ 0), и требование относится к каждому числу по отдельности.
Корень не раскладывается по сумме: √(49 + 576) = 25, а √49 + √576 = 31.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 18 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.