Арифметический корень натуральной степени

Задания 14 и 16 КИМ (по 1 баллу) Макс. 1 балл ~3 минуты

Арифметический корень — всегда неотрицательное число, и почти вся тема вырастает из этого одного слова: отсюда и «корень из квадрата равен модулю», и условие «a ≥ 0» у каждого свойства. На базовом ЕГЭ корни живут в заданиях 14 и 16, где калькулятора нет, а ответ обязан свернуться в точное число.

Что такое арифметический корень

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число b, что $b^n = a$ . Число n здесь натуральное и не меньше двух:

\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a, \qquad a \geqslant 0,\ \ b \geqslant 0

Два слова «неотрицательное» в этом определении — не украшение, а вся тема. Под чётным корнем не может стоять отрицательное число, и сам корень никогда не бывает отрицательным. Знак $\sqrt{\phantom{a}}$ без указанного показателя означает n = 2 — привычный квадратный корень; именно он и встречается почти во всех заданиях базы. Число n называют показателем корня, а то, что стоит под знаком, — подкоренным выражением.

Показатель бывает и больше двух, читается всё так же: $\sqrt[3]{27} = 3$ , потому что 3³ = 27; $\sqrt[4]{16} = 2$ , потому что 2⁴ = 16. Записи вроде $\sqrt[3]{-8} = -2$ в школе тоже используют — у корня нечётной степени подкоренное выражение может быть любым. Но арифметическим такой корень уже не называют: он определён только для неотрицательных чисел.

Дальше — самое частое недоразумение темы, и лучше разобраться с ним сразу. «Арифметический корень» и «корень уравнения» — разные вещи, слово просто совпало. У уравнения $x^2 = 36$ два корня: 6 и −6. А $\sqrt{36}$ — это одно конкретное число 6. Запись « $\sqrt{36} = \pm 6$ » неверна: слева стоит число, а не пара чисел. Знак ± появляется, когда решают уравнение, а не когда извлекают корень.

И совсем практическое. Половина заданий 14 и 16 на корни решается быстрее, если держать в голове точные квадраты: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 25² = 625. Калькулятора на экзамене не будет, а эти двенадцать чисел закрывают почти все подкоренные выражения, которые тебе встретятся.

Корень из квадрата — это модуль

Из «корень неотрицателен» немедленно следует главная ловушка темы. Посчитай честно, по действиям, взяв x = −6: сначала $(-6)^2 = 36$ , потом $\sqrt{36} = 6$ . На входе было −6, на выходе получилось +6. Значит:

\sqrt{x^2} = |x| \qquad \text{для любого } x

Не x, а именно модуль. Возведение в квадрат стирает знак, а корень его не восстанавливает: он обязан вернуть неотрицательное число — и возвращает.

Не путай две похожие записи, порядок действий тут решает всё. В выражении $\left(\sqrt{a}\right)^2$ сначала берут корень, поэтому такая запись вообще существует только при a ≥ 0, и результат равен просто a — модуль не нужен. В выражении $\sqrt{a^2}$ сначала возводят в квадрат, поэтому a может быть каким угодно, а модуль обязателен.

На базовом уровне в задании 14 под корнем почти всегда стоит число, и знак виден сразу: $\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9$ . Проверить себя просто: если после извлечения корня у тебя получилось отрицательное число, где-то ошибка — арифметический корень отрицательным не бывает.

Тот же принцип помогает и в геометрических заданиях, где длину ищут через теорему Пифагора. Сторона не может быть отрицательной, и корень аккуратно возвращает именно неотрицательный ответ — второй, «минусовый» вариант отбрасывать вручную не приходится.

Квадрат стирает знак: и −6, и 6 дают 36. Корень возвращает только неотрицательное число

Три свойства, которые реально работают

Свойств у корня немного, и все они об одном: корень «проходит сквозь» умножение, деление и возведение в степень. Всюду ниже a ≥ 0 и b ≥ 0, а в дроби ещё и b ≠ 0:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}, \qquad \left(\sqrt{a}\right)^{2k} = a^{k}

Первое свойство — рабочая лошадка задания 16. Встретил произведение двух некрасивых корней — не считай их по отдельности, объедини под одним знаком: $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$ . Ни √50, ни √2 по отдельности красивого значения не имеют, а вместе дают ровно 10. Так задания и устроены: множители подобраны так, чтобы произведение оказалось точным квадратом.

Второе свойство работает так же, только в обратную сторону: $\sqrt{75}/\sqrt{3} = \sqrt{25} = 5$ .

Третье свойство разберём подробнее, потому что оно даёт самый частый вид задания 16. Запись $\left(\sqrt{3}\right)^6$ означает: корень умножили сам на себя шесть раз. Разбей шестёрку на тройку пар — каждая пара $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ даёт 3:

\left(\sqrt{3}\right)^6 = \left(\left(\sqrt{3}\right)^2\right)^3 = 3^3 = 27

Правило короткое: у корня чётную степень делят пополам, а корень убирают. Так же считается и $(\sqrt{7})^4 = 7^2 = 49$ .

А теперь самое важное: чего среди свойств нет. Корень не раздаётся по сумме и по разности. Никакого « $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ » не существует, и проверяется это за пять секунд: $\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ , а $\sqrt{49} + \sqrt{576} = 7 + 24 = 31$ . Двадцать пять и тридцать один — разные числа. Если под корнем стоит сумма, сначала сложи, и только потом извлекай корень.

Условие «a ≥ 0 и b ≥ 0» тоже не формальность, и относится оно к каждому числу по отдельности. Запись « $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6$ » неверна с первого шага: ни √(−4), ни √(−9) не существуют, и объединять нечего, хотя произведение подкоренных чисел вышло положительным.

Один корень вместо двух: перемножь подкоренные числа — и получится точный квадрат

Как считать корни без калькулятора

Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена только линейка. Поэтому вычислять корень «примерно» бессмысленно: ответ должен быть точным, и на бланке нет места для «≈». Задания составлены так, что выражение обязано свернуться. Вот приёмы, которые это делают.

Разложи подкоренное число на множители. Если число не из таблицы квадратов, поищи в нём квадрат: $\sqrt{324} = \sqrt{4 \cdot 81} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18$ . Приём тот же, что и в первом свойстве, только применяется наоборот — не собираешь, а разбираешь.

Корень из дроби бери отдельно от числителя и знаменателя: $\sqrt{9/49} = 3/7$ . С десятичными дробями работает тот же счёт квадратов: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , потому что 0,7 · 0,7 = 0,49. Следи за количеством знаков после запятой: $\sqrt{0{,}0049} = 0{,}07$ , а не 0,7.

Сначала посчитай то, что под корнем. Если там сумма, разность или произведение — доведи их до одного числа, а корень бери в последнюю очередь. Это ровно тот случай, где ломается «раздать корень по слагаемым».

Прикидка — только для самопроверки. Иногда полезно понять, между какими целыми лежит корень: 25 меньше 30 и 30 меньше 36, значит $5 < \sqrt{30} < 6$ . В бланк такое не пишут, но если у тебя в ответе вышло 15, а прикидка обещала число между 5 и 6 — ошибку видно сразу.

И приём сравнения, который иногда спрашивают в задании 14. Чтобы сравнить два неотрицательных числа с корнями, возведи оба в квадрат: у неотрицательных чисел порядок при этом не меняется. Сравним $\sqrt{5}$ и 3: квадраты равны 5 и 9, пятёрка меньше девятки, значит $\sqrt{5} < 3$ .

Разбор: задание 14

Пример

Найди значение выражения √18 · √8 − √(9 + 16).

Два действия, и оба на разных свойствах. Начнём с произведения корней: считать √18 и √8 по отдельности бесполезно, красивых значений у них нет. Оба числа положительны, значит свойство применимо — объединяем под одним корнем.

\sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12

Число 144 — из таблицы квадратов: 12² = 144. Как и было задумано, произведение оказалось точным квадратом.Теперь второе слагаемое. Под корнем стоит сумма, а корень по сумме не раздаётся. Значит, сначала складываем, и только потом извлекаем:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Если бы здесь по привычке написали

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

, весь ответ уехал бы на двойку. Это самая дорогая ошибка темы.Собираем:

12 - 5 = 7

Формат сошёлся: ответ — целое число, ровно то, что принимает бланк № 1.Ответ: 7.

Разбор: задание 16

Пример

Найди значение выражения (√6)⁴ : 12.

Первое движение — убрать корень. Степень у него чётная, значит работает третье свойство: делим показатель пополам и снимаем знак корня.

\left(\sqrt{6}\right)^4 = \left(\left(\sqrt{6}\right)^2\right)^2 = 6^2 = 36

Если запись сбивает с толку — распиши руками:

\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}

. Первая пара даёт 6, вторая пара даёт 6, вместе 36. Ровно то же самое.Осталось поделить:

36 : 12 = 3

Проверка на здравый смысл: ответ целый, значит корни ушли полностью — как и должно быть в задании 16. Если бы в ответе остался знак корня, стоило бы вернуться и перечитать условие.Ответ: 3.

Как считать выражение с корнями

1Посмотри, что стоит под корнем. Сумма или разность — сначала доведи их до одного числа, и только потом извлекай корень. Раздавать корень по слагаемым нельзя.

2Корни, стоящие рядом через знак умножения или деления, объедини под одним знаком.

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

. Почти всегда после этого получается точный квадрат — задания так и составлены.

3У корня в чётной степени раздели показатель пополам.

(\sqrt{a})^4 = a^2

(\sqrt{a})^6 = a^3

. Знак корня при этом исчезает.

4Извлеки корень по таблице квадратов. Не нашлось нужного числа — разложи его на множители и поищи квадрат внутри: 324 = 4 · 81, значит √324 = 2 · 9 = 18.

5Проверь ответ на два признака. Он неотрицателен (арифметический корень другим не бывает) и он точный — целое число или конечная десятичная дробь. Остался знак корня или получился «примерно такой» ответ — ищи ошибку.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где эта тема ломается. Считай в уме, калькулятор тебе на экзамене всё равно не дадут.

1.Чему равно значение выражения √((−6)²)?

Считаем по действиям: (−6)² = 36, затем √36 = 6. Арифметический корень неотрицателен по определению, поэтому вернуть −6 он не может. Общее правило: √(x²) = |x|, а модуль числа −6 равен 6. Подкоренное выражение здесь равно 36, оно неотрицательно, так что с определённостью всё в порядке.

2.Найди значение выражения √(16 + 9).

Под корнем стоит сумма, поэтому сначала складываем: 16 + 9 = 25, и только потом извлекаем корень: √25 = 5. Вариант 7 — это √16 + √9 = 4 + 3, то есть попытка раздать корень по слагаемым. Такого свойства не существует.

3.Найди значение выражения √72 · √2.

Оба числа положительны, поэтому корни объединяются: √72 · √2 = √(72 · 2) = √144 = 12. Вариант 144 — забыли извлечь корень на последнем шаге. Вариант 74 — сложили подкоренные числа вместо умножения.

4.Найди значение выражения (√8)⁴.

Показатель чётный, поэтому делим его пополам и снимаем корень: (√8)⁴ = 8² = 64. Проверка вручную: √8 · √8 = 8, ещё одна такая пара даёт 8, вместе 8 · 8 = 64. Вариант 4096 — это 8⁴: корень просто выбросили, не поделив показатель. Вариант 32 — это 8 · 4, где показатель приняли за множитель.

5.При каком условии верно равенство √a · √b = √(ab)?

Неотрицательным должно быть каждое число по отдельности. Условия «ab ≥ 0» не хватает: у пары a = −4, b = −9 произведение равно 36 и неотрицательно, но √(−4) и √(−9) не существуют — левая часть просто не определена, хотя правая даёт 6.

6.Между какими соседними целыми числами лежит √30?

Ищем ближайшие точные квадраты: 25 = 5², 36 = 6², и 25 меньше 30, а 30 меньше 36. Значит 5 меньше √30 и √30 меньше 6. Вариант «между 14 и 16» получается, если делить 30 пополам — корень и половина числа никак не связаны.

Типичные ошибки

Ошибка 1

Раздают корень по сумме. « $\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ » — свойства с таким видом не существует. Контрпример считается за секунды: $\sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$ , а $\sqrt{49}+\sqrt{576} = 31$ . Корень «проходит» только сквозь умножение и деление.

Ошибка 2

Пишут $\sqrt{x^2} = x$ . При x = −6 левая часть равна 6, а правая −6. Верно $\sqrt{x^2} = |x|$ . Простой контроль: если в ответе получился корень с минусом — точно ошибка, арифметический корень отрицательным не бывает.

Ошибка 3

Пишут $\sqrt{36} = \pm 6$ . Знак ± рождается при решении уравнения $x^2 = 36$ , у которого действительно два корня. Само же выражение $\sqrt{36}$ — это одно число 6, и в бланк идёт именно оно.

Ошибка 4

Умножают показатель на подкоренное число. $(\sqrt{3})^6$ — это не 3 · 6 = 18 и не 3⁶. Показатель у корня чётный, значит его делят пополам: $(\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27$ .

Ошибка 5

Теряют корень на последнем шаге. В $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}$ объединяют подкоренные числа, получают 100 и пишут 100 в бланк. Но под знаком корня осталась сотня, а извлечь корень забыли: правильный ответ 10.

Ошибка 6

Округляют вместо точного счёта. Ответы вроде «примерно 5,5» или «5,477» не засчитываются: в бланк идёт точное число. Если выражение не свернулось в целое или в короткую десятичную дробь — почти наверняка потеряно преобразование, а не «задание такое».

Ошибка 7

Применяют свойства к отрицательным подкоренным выражениям. « $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = 6$ » неверно уже на первом шаге: у чётного корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным. Проверяй каждое число отдельно, а не их произведение.

Запомни для ЕГЭ

\sqrt{a} = b \iff b^2 = a,\ \ a \geqslant 0,\ b \geqslant 0

\sqrt{x^2} = |x|, \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad a \geqslant 0,\ b \geqslant 0

\left(\sqrt{a}\right)^{2k} = a^{k}

\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

6Квадраты наизусть: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 25² = 625

На экзамене

Корни встречаются в заданиях 14 и 16, каждое стоит 1 балл, ответ идёт в бланк № 1 числом. Это самые дешёвые по времени задания варианта — закладывай на каждое по 2–3 минуты и не отдавай их.
Калькулятор запрещён, разрешена только линейка. Справочные материалы выдают вместе с КИМ, в них есть свойства степеней и логарифмов. Свойства корней укладываются в три строчки — выучи их, это быстрее, чем искать по справочному листу.
Первое движение в любом задании с корнями всегда одно: посмотреть, что стоит под знаком. Сумма — сложи. Произведение корней — объедини под один корень. Корень в чётной степени — раздели показатель пополам.
Ответ обязан быть точным. Никаких «≈», никаких округлений, никакого знака корня в бланке. Если в конце осталось что-то вроде 2√5, вернись к началу: скорее всего, потерялось объединение корней или под корнем не досчитана сумма.
Быстрая самопроверка, когда время поджимает: возведи свой ответ в квадрат и сравни с тем, что было под корнем. Получил 12 из √144 — проверь, что 12 · 12 действительно 144. Это занимает пару секунд и ловит арифметические промахи.

Словарь темы

Арифметический корень n-й степениНеотрицательное число b, n-я степень которого равна неотрицательному числу a. Определён только при a ≥ 0 и сам всегда неотрицателен. Для данного a такое b ровно одно.

Показатель корняНатуральное число n в записи ⁿ√a, не меньше 2. Показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное выражение. Если показатель не написан, он равен 2.

Подкоренное выражениеТо, что стоит под знаком корня. У корня чётной степени обязано быть неотрицательным.

Модуль числаРасстояние от числа до нуля на числовой прямой: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Всегда неотрицателен — поэтому именно модуль и получается при извлечении квадратного корня из квадрата.

Точный квадратЧисло, равное квадрату целого числа: 121, 144, 169, 196, 225 и так далее. Корень из точного квадрата — целое число, и задания составляют так, чтобы подкоренное выражение свернулось именно к нему.

Вынесение множителя из-под знака корняПриём: подкоренное число разбивают на точный квадрат и остаток, после чего квадрат выводят наружу. Например, √324 = √(4 · 81) = 2 · 9 = 18.

Источники и проверка

15 источников

Тема соответствует коду 1.3 кодификатора базовой математики и проверяется заданиями 14 и 16 (базовый уровень, по 1 баллу).
На базовой математике все 21 задание — с кратким ответом по 1 баллу, ответ записывается в бланк № 1 (целое число, конечная десятичная дробь или последовательность цифр); развёрнутых ответов нет.
Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена только линейка; справочные материалы выдаются вместе с КИМ и содержат свойства степеней и логарифмов.
Задание 14 — вычисление выражения (дроби, степени, корни, без тригонометрии и логарифмов); задание 16 — вычисления со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями.
Реальные задания банка по этой теме: √144 (КИМ 14), √(49 + 576) (КИМ 14), (√7)⁴ / 7 (КИМ 14), √50 · √2 (КИМ 16), (√3)⁶ (КИМ 16).
Определение: арифметический корень n-й степени из a ≥ 0 — это неотрицательное b с bⁿ = a, где n натуральное и n ≥ 2.
Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: ³√(−8) = −2, но арифметическим он уже не называется.
√(x²) = |x| для любого x, при этом (√a)² = a при a ≥ 0; разница — в порядке действий.
Свойства √a·√b = √(ab), √a/√b = √(a/b), (√a)^(2k) = a^k верны при a ≥ 0, b ≥ 0 (в дроби b ≠ 0), и требование относится к каждому числу по отдельности.
Корень не раскладывается по сумме: √(49 + 576) = 25, а √49 + √576 = 31.
Вычисления примеров темы верны: √18·√8 − √(9 + 16) = 7 и (√6)⁴ : 12 = 3.
Ответы вопросов блока «Проверь себя» верны: √((−6)²) = 6; √(16 + 9) = 5; √72 · √2 = 12; (√8)⁴ = 64; √30 лежит между 5 и 6.
Приёмы устного счёта в теме верны: √324 = 18, √(9/49) = 3/7, √0,49 = 0,7, √0,0049 = 0,07, √75/√3 = 5, сравнение √5 и 3 через квадраты.
В теме нет степени с дробным показателем (a^(m/n)) — это не пропуск, а граница кодификатора базового уровня.
Блока interactive у темы нет: подходящей лаборатории не существует.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 14

К списку темВсе темы ЕГЭ по базовой математике