Степень с целым показателем на базовом ЕГЭ
Степень числа — это короткая запись повторного умножения: aⁿ означает n одинаковых множителей a, а целый показатель добавляет ещё два случая, a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в заданиях 14 и 16 (по 1 баллу): там считают значения выражений без калькулятора.
Определения и свойства степени в одной таблице
| Правило | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Натуральный показатель | aⁿ = a · a · … · a (n множителей) | 2³ = 8 |
| Нулевой показатель | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1; запись 0⁰ смысла не имеет |
| Отрицательный показатель | a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0) | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Произведение при одном основании | aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | 2² · 2³ = 2⁵ = 32 |
| Частное при одном основании | aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | (2⁴ · 3⁴)/(2⁴ · 3²) = 3⁴⁻² = 9 |
| Степень степени | (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ | (√3)⁶ = ((√3)²)³ = 27 |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ | 6⁴ = 2⁴ · 3⁴ |
| Степень частного | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | С минусом в показателе дробь переворачивается: (2/5)⁻² = (5/2)² = 6,25 |
Быстрые ответы
Что такое степень числа?
Степень числа — короткая запись повторного умножения: при натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. Целый показатель добавляет два случая: a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ, оба при a ≠ 0.
Что такое степень?
Результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a.
Как решать задания по теме «Степень с целым показателем»?
Шаги такие:
- разложи числа на одинаковые основания
- разберись с отрицательными показателями
- сложи и вычти показатели
- отдельно определи знак
- досчитай до числа.
Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Степень с целым показателем»?
Перемножают показатели вместо сложения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Перемножаются они только при возведении степени в степень: (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ. Проверка на числах: 2²·2³ = 32 = 2⁵, а не 2⁶.
Степень — это не только «умножить число само на себя». Ноль и минус в показателе имеют точный смысл, и именно на них строят половину ловушек в заданиях 14 и 16. Разберём определения, пять свойств и место, где чаще всего теряется знак.
Что такое степень с нулевым и отрицательным показателем?
Степень — короткая запись повторного умножения. Если показатель n — натуральное число, то aⁿ означает произведение n одинаковых множителей. Число a называют основанием, число n — показателем степени.
Пока показатель натуральный, вопросов нет. Целый показатель — это то же самое плюс два новых случая: ноль и отрицательное число. Их не придумали из воздуха, они получаются, если довести до конца одну простую закономерность.
Посмотри на степени двойки справа налево: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый шаг влево уменьшает показатель на единицу, а значение делит на 2. Продолжаем ровно по этому правилу: после 2¹ = 2 идёт 2⁰ = 1, потом 2⁻¹ = 0,5, потом 2⁻² = 0,25. Никакой новой сущности не появилось — просто закономерность продлили влево.
Отсюда два определения, которые нужно знать наизусть:
Оговорка a≠0 — не формальность. Чтобы шагнуть влево, значение делят на основание, а делить на ноль нельзя. Поэтому 0⁰ и 0⁻³ смысла не имеют, а вот 0⁵ = 0 — вполне обычная запись.
Проверь себя за 10 секунд
Чему равно −4² ?
Скобок нет, поэтому сначала возводим 4 в квадрат, а минус применяем последним: −4² = −(4·4) = −16. Значение 16 получилось бы у выражения (−4)², где минус входит в основание.
Задача ЕГЭ по теме
Два задания 14 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.
-
Задание 1 из 2
Найдите значение выражения √144 : 0,8 − 2³.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Найдите значение выражения 4,35 + 7,56 : 1,2.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Какие свойства у степеней с целым показателем?
Свойства степеней есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ. Это не повод их не помнить: в справочнике написано aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, а в задании стоит 8 · 2⁵ — превратить одно в другое всё равно придётся самому, и быстро.
Три свойства работают, когда основания одинаковые:
Основание при этом не меняется вообще — все действия переезжают на показатели. Умножение превращается в сложение, деление — в вычитание, возведение степени в степень — в умножение.
Ещё два свойства работают наоборот — когда одинаковые показатели, а основания разные:
Здесь общий показатель выносится за скобку, а основания перемножаются или делятся. Все пять формул верны для любых целых показателей — нулевых и отрицательных тоже. Единственное ограничение: основание не должно быть нулём там, где появляется деление.
Если забыл, что именно делать с показателями, проверь формулу на маленьких числах. 2² · 2³: слева 4·8 = 32, а 2⁵ = 32 — сходится. 2⁶ = 64, значит показатели складываются, а не перемножаются. Проверка занимает пять секунд и снимает самую частую ошибку темы.
И обратное предупреждение: если различаются и основания, и показатели, свернуть выражение нельзя. 2³ · 3² — это просто 8·9 = 72, никакой формулы тут не существует.
Чем отличаются минус в основании, перед степенью и в показателе?
Минус в степенных выражениях живёт в трёх местах, и это три совершенно разные истории. Путаница между ними даёт больше потерянных баллов, чем все свойства вместе взятые.
Минус в основании. Тут всё решает чётность показателя: минусов ровно столько, сколько множителей. Чётный показатель — минусы разбиваются на пары и дают плюс, нечётный — один минус остаётся. Например, (-2)⁴ = 16, а (-2)³ = -8 и (-2)⁵ = -32.
Минус перед степенью. Возведение в степень выполняется раньше, чем берётся минус. Поэтому -3² = -(3 · 3) = -9, а (-3)² = (-3) · (-3) = 9. Одни и те же цифры, скобки на месте или нет — и ответ меняется на противоположный.
Минус в показателе. Он вообще не про знак результата. 2⁻³ = 1/8 = 0,125 — число положительное. Отрицательный показатель означает «перевернуть дробь», а не «поменять знак».
Когда минусы встречаются вместе, разбирай их по очереди. (-2)⁻²: сначала показатель — переворачиваем, получаем 1/(-2)²; потом основание — показатель чётный, значит знаменатель равен 4. Итого 0,25.
Отрицательный показатель в работе
Главное действие с отрицательным показателем — переворот. Число уходит в знаменатель, дробь переворачивается целиком:
Проверь на числах: (2/5)⁻² = (5/2)² = 25/4 = 6,25. Переворачивать дробь всегда быстрее, чем считать 1 : (2/5)² в лоб.
Отдельно стоит запомнить степени десятки: 10⁻¹ = 0,1, 10⁻² = 0,01, 10⁻³ = 0,001. Модуль отрицательного показателя равен числу знаков после запятой.
Калькулятора на экзамене нет, поэтому полезно узнавать десятичные дроби в лицо: 0,5 = 2⁻¹, 0,25 = 2⁻², 0,125 = 2⁻³, 0,2 = 5⁻¹, 0,04 = 5⁻².
Работает и в обратную сторону: 1/16 = 2⁻⁴, 1/81 = 3⁻⁴. Увидел в задании такую дробь — сразу превращай её в степень, тогда всё выражение сведётся к одному основанию.
Как это выглядит в заданиях 14 и 16
Задание 14 — вычислить числовое выражение без логарифмов и тригонометрии. Задание 16 — тоже вычислить значение, но туда уже могут войти корни и логарифмы. Степени встречаются и там, и там, и приём в обоих случаях один: привести всё к одному основанию.
Держи в голове разложения: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴, 25 = 5², 125 = 5³, 10 = 2·5.
Как это выглядит на деле. Выражение 6⁴/(2⁴ · 3²) кажется чужеродным, пока в нём стоит шестёрка. Разбиваем её по свойству (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ:
Второй частый ход в задании 16 — увидеть степень там, где написан корень. Сами корни разбираются в соседней теме, но связка простая: (√3)⁶ = ((√3)²)³ = 3³ = 27. Работает обычное свойство степени степени, а корень исчезает уже на первом шаге.
И осторожно со сложением. Свойства степеней описывают умножение и деление, а сумму — нет. 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16, то есть 2⁴. Показатели здесь не складываются: их вообще не трогают, слагаемые просто считают.
Три разных минуса
| Где минус | Пример | Что происходит |
|---|---|---|
| В основании | (-2)⁴ = 16, (-2)³ = -8 | Знак решает чётность показателя: чётный даёт плюс, нечётный оставляет минус |
| Перед степенью | -3² = -9, но (-3)² = 9 | Возведение в степень выполняется раньше, чем берётся минус |
| В показателе | 2⁻³ = 0,125 | Знак результата не меняется: дробь переворачивается |
Разбор: выражение со знаками и нулевой степенью
Разбор: свести к одному основанию
В каком порядке считать выражение со степенями?
- 1Разложи числа на одинаковые основания. 4, 8, 16, 32 — это двойка; 9, 27, 81 — тройка; 25, 125 — пятёрка; 10 = 2·5; 6 = 2·3. Если основания уже совпадают, шаг пропускается.
- 2Разберись с отрицательными показателями. a⁻ⁿ = 1/aⁿ, дробь в отрицательной степени переворачивается. Часто удобнее ничего не переворачивать, а сразу складывать показатели вместе со знаками.
- 3Сложи и вычти показатели. Умножение — сложение показателей, деление — вычитание, степень степени — умножение. Основание при этом не меняется.
- 4Отдельно определи знак. Посмотри, где именно стоит минус: в основании (смотри на чётность показателя), перед степенью (тогда он применяется последним) или в показателе (на знак результата не влияет).
- 5Досчитай до числа. В бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь, так что обыкновенную дробь надо превратить в десятичную: 1/8 — это 0,125. Получилась бесконечная дробь — где-то ошибка, вернись к первому шагу.
Проверь себя
Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл. Считай в уме — калькулятора на ЕГЭ не будет.
1.Чему равно −4² ?
Скобок нет, поэтому сначала возводим 4 в квадрат, а минус применяем последним: −4² = −(4·4) = −16. Значение 16 получилось бы у выражения (−4)², где минус входит в основание.
2.Чему равно 2⁻³ ?
Отрицательный показатель означает переворот, а не смену знака: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Число положительное, потому что основание положительное.
3.Чему равно (3²)⁴ ?
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (3²)⁴ = 3^(2·4) = 3⁸. Вариант 3⁶ получился бы сложением показателей — это правило для произведения 3²·3⁴, а не для степени степени.
4.Найдите значение выражения (2¹⁰ · 2⁻⁷) / 4.
В числителе показатели складываются: 2¹⁰·2⁻⁷ = 2³. Знаменатель приводим к той же двойке: 4 = 2². Делим, вычитая показатели: 2³ / 2² = 2¹ = 2.
5.Чему равно (−2)⁻² ?
Сначала работает показатель: (−2)⁻² = 1/(−2)². Затем основание: показатель чётный, поэтому (−2)² = 4. Итого 1/4 = 0,25. Оба минуса результат не портят: один переворачивает дробь, второй исчезает из-за чётной степени.
6.Верно ли, что выражение (x − 5)⁰ равно 1 при любом значении x?
Равенство a⁰ = 1 верно только при a ≠ 0. Если x = 5, основание обращается в ноль, а 0⁰ не определено. При всех остальных x выражение действительно равно 1.
Какие ошибки делают в выражениях со степенями?
Перемножают показатели вместо сложения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Перемножаются они только при возведении степени в степень: (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ. Проверка на числах: 2²·2³ = 32 = 2⁵, а не 2⁶.
Теряют скобки у отрицательного основания. -3² = -9, но (-3)² = 9. Возведение в степень идёт раньше минуса, если минус не заперт в скобках. Записывая условие в черновик, скобки переноси особенно внимательно.
Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число. 2⁻³ = 0,125 — число положительное. Минус в показателе переворачивает дробь и никак не влияет на знак.
Пишут a⁰ = 1, не глядя на основание. Равенство верно только при a≠0. Если под нулевой степенью стоит выражение с буквой, проверь, не может ли оно обратиться в ноль.
Складывают показатели при сложении степеней. Свойства степеней описывают умножение и деление, а не сумму. 2³ + 2³ = 16, и никакого 2⁶ тут не возникает — слагаемые просто считают.
Сворачивают то, что не сворачивается. Если и основания, и показатели разные, формулы не работают: 2³ · 3² = 72, и это окончательный ответ. Свойства требуют либо общего основания, либо общего показателя.
Останавливаются на обыкновенной дроби. Ответ в бланк записывают целым числом или конечной десятичной дробью. Получил 1/8 — допиши 0,125; получил 25/4 — допиши 6,25.
Запомни
На экзамене
- В базовой математике 21 задание и 180 минут — в среднем меньше девяти минут на задание. Но 14 и 16 из тех, что закрываются за пару минут, если основания приведены сразу. Сэкономленное время уходит на геометрию и текстовые задачи, где его действительно не хватает.
- Свойства степеней и логарифмов есть в справочных материалах, которые лежат на парте вместе с КИМ. Найди нужную страницу в самом начале работы, чтобы не листать их в конце, когда времени уже нет.
- Калькулятор запрещён, разрешена только линейка. Числа в 14 и 16 подобраны под устный счёт: если в ответе вылезла бесконечная десятичная дробь или трёхзначное деление в столбик, скорее всего, основания приведены неверно.
- Считай модуль и знак раздельно. Сначала получи число, потом отдельно вернись к вопросу, где стоял минус: в основании, перед степенью или в показателе.
- Все задания стоят по одному баллу. Если выражение не поддалось за две-три минуты, отметь его и иди дальше — соседнее задание принесёт ровно столько же, а времени займёт меньше.
- Перед тем как переносить ответ в бланк, перечитай, что именно спрашивали. В задании 14 и 16 требуется значение выражения — целое число или конечная десятичная дробь, без единиц измерения и без пояснений.
Словарь темы
- Степень
- Результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a.
- Основание степени
- Число, которое возводят в степень, — то, что стоит внизу записи. В выражении (−2)⁵ основание равно −2, а в выражении −2⁵ основание равно 2.
- Показатель степени
- Число, записанное сверху; показывает, сколько раз основание берут множителем. В теме рассматриваются целые показатели: натуральные, ноль и отрицательные.
- Целый показатель
- Любое целое число: положительное, ноль или отрицательное. Для нулевого и отрицательного показателя основание не может быть нулём.
- Нулевой показатель
- a⁰ = 1 при любом a ≠ 0. Выражение 0⁰ не определено, потому что определение нулевой степени опирается на деление на основание.
- Отрицательный показатель
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Показатель со знаком минус означает переход к обратному числу, а не смену знака результата.
Частые вопросы
Что нужно запомнить по теме «Степень с целым показателем»?
Главное:
- aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ
- (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)
- (-a)²ᵏ > 0, (-a)²ᵏ⁺¹ 0)
- -aⁿ = -(aⁿ) ≠ (-a)ⁿ.
Остальное — в разделе темы выше.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram
Источники и проверка
4 документа
- Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
- ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено ): 1.4 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени». В проекте КИМ 2027 базового уровня задания 14 и 16 проверяют вычисления и преобразования выражений; нумерация базового экзамена не изменилась.
Что сверено по документам
- Тема соответствует коду 1.4 кодификатора ЕГЭ по математике базового уровня («Степень с целым показателем») и проверяется в заданиях 14 и 16.
- Задание 14 — вычисление числового выражения без логарифмов и тригонометрии; задание 16 — вычисления со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией с использованием свойств из справочника.
- Все 21 задание базовой математики оцениваются в 1 балл, экзамен длится 180 минут, ответ записывается целым числом, конечной десятичной дробью или последовательностью цифр.
- Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена линейка; справочные материалы со свойствами степеней и логарифмов выдаются вместе с КИМ.
- Определения a⁰ = 1 (a ≠ 0) и a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0), а также неопределённость 0⁰ и 0⁻ⁿ.
- Пять свойств степеней: aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
- −3² = −9, а (−3)² = 9: возведение в степень выполняется раньше, чем берётся противоположное число.
- (−a)ⁿ положительно при чётном n и отрицательно при нечётном n (для a > 0): (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8, (−2)⁵ = −32.
- Степени десятки: 10⁻¹ = 0,1; 10⁻² = 0,01; 10⁻³ = 0,001, а также 0,5 = 2⁻¹, 0,25 = 2⁻², 0,125 = 2⁻³, 0,2 = 5⁻¹, 0,04 = 5⁻², 1/16 = 2⁻⁴, 1/81 = 3⁻⁴.
- Приведение к одному основанию — рабочий приём для заданий на степени; разложения 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴, 25 = 5², 125 = 5³, 10 = 2·5, 6 = 2·3.
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено . Как мы готовим материалы.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
