Степень с целым показателем

Задания 14 и 16 КИМ (по 1 баллу) Макс. 1 балл ~3 минуты

Степень — это не только «умножить число само на себя». Ноль и минус в показателе имеют точный смысл, и именно на них строят половину ловушек в заданиях 14 и 16. Разберём определения, пять свойств и место, где чаще всего теряется знак.

Откуда берутся нулевой и отрицательный показатель

Степень — короткая запись повторного умножения. Если показатель $n$ — натуральное число, то $a^n$ означает произведение $n$ одинаковых множителей. Число $a$ называют основанием, число $n$ — показателем степени.

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}

Пока показатель натуральный, вопросов нет. Целый показатель — это то же самое плюс два новых случая: ноль и отрицательное число. Их не придумали из воздуха, они получаются, если довести до конца одну простую закономерность.

Посмотри на степени двойки справа налево: $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ . Каждый шаг влево уменьшает показатель на единицу, а значение делит на 2. Продолжаем ровно по этому правилу: после $2^1 = 2$ идёт $2^0 = 1$ , потом $2^{-1} = 0{,}5$ , потом $2^{-2} = 0{,}25$ . Никакой новой сущности не появилось — просто закономерность продлили влево.

Отсюда два определения, которые нужно знать наизусть:

a^0 = 1 \quad (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Оговорка $a \neq 0$ — не формальность. Чтобы шагнуть влево, значение делят на основание, а делить на ноль нельзя. Поэтому $0^0$ и $0^{-3}$ смысла не имеют, а вот $0^5 = 0$ — вполне обычная запись.

Шаг вправо умножает значение на 2, шаг влево — делит. Именно это и задаёт 2⁰ = 1 и отрицательные показатели

Пять свойств и как их не перепутать

Свойства степеней есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ. Это не повод их не помнить: в справочнике написано $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ , а в задании стоит $8 \cdot 2^5$ — превратить одно в другое всё равно придётся самому, и быстро.

Три свойства работают, когда основания одинаковые:

a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \qquad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}, \qquad (a^n)^m = a^{nm}

Основание при этом не меняется вообще — все действия переезжают на показатели. Умножение превращается в сложение, деление — в вычитание, возведение степени в степень — в умножение.

Ещё два свойства работают наоборот — когда одинаковые показатели, а основания разные:

(ab)^n = a^n b^n, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

Здесь общий показатель выносится за скобку, а основания перемножаются или делятся. Все пять формул верны для любых целых показателей — нулевых и отрицательных тоже. Единственное ограничение: основание не должно быть нулём там, где появляется деление.

Если забыл, что именно делать с показателями, проверь формулу на маленьких числах. $2^2 \cdot 2^3$ : слева 4·8 = 32, а $2^5 = 32$ — сходится. $2^6 = 64$ , значит показатели складываются, а не перемножаются. Проверка занимает пять секунд и снимает самую частую ошибку темы.

И обратное предупреждение: если различаются и основания, и показатели, свернуть выражение нельзя. $2^3 \cdot 3^2$ — это просто 8·9 = 72, никакой формулы тут не существует.

Три разных минуса

Минус в степенных выражениях живёт в трёх местах, и это три совершенно разные истории. Путаница между ними даёт больше потерянных баллов, чем все свойства вместе взятые.

Минус в основании. Тут всё решает чётность показателя: минусов ровно столько, сколько множителей. Чётный показатель — минусы разбиваются на пары и дают плюс, нечётный — один минус остаётся. Например, $(-2)^4 = 16$ , а $(-2)^3 = -8$ и $(-2)^5 = -32$ .

Минус перед степенью. Возведение в степень выполняется раньше, чем берётся минус. Поэтому $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ , а $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . Одни и те же цифры, скобки на месте или нет — и ответ меняется на противоположный.

Минус в показателе. Он вообще не про знак результата. $2^{-3} = \tfrac{1}{8} = 0{,}125$ — число положительное. Отрицательный показатель означает «перевернуть дробь», а не «поменять знак».

Когда минусы встречаются вместе, разбирай их по очереди. $(-2)^{-2}$ : сначала показатель — переворачиваем, получаем $\tfrac{1}{(-2)^2}$ ; потом основание — показатель чётный, значит знаменатель равен 4. Итого 0,25.

Скобки определяют, входит ли минус в степень: (−3)² = 9, но −3² = −9

Отрицательный показатель в работе

Главное действие с отрицательным показателем — переворот. Число уходит в знаменатель, дробь переворачивается целиком:

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}

Проверь на числах: $\left(\tfrac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\tfrac{5}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4} = 6{,}25$ . Переворачивать дробь всегда быстрее, чем считать $1 \div (2/5)^2$ в лоб.

Отдельно стоит запомнить степени десятки: $10^{-1} = 0{,}1$ , $10^{-2} = 0{,}01$ , $10^{-3} = 0{,}001$ . Модуль отрицательного показателя равен числу знаков после запятой.

Калькулятора на экзамене нет, поэтому полезно узнавать десятичные дроби в лицо: $0{,}5 = 2^{-1}$ , $0{,}25 = 2^{-2}$ , $0{,}125 = 2^{-3}$ , $0{,}2 = 5^{-1}$ , $0{,}04 = 5^{-2}$ .

Работает и в обратную сторону: $\tfrac{1}{16} = 2^{-4}$ , $\tfrac{1}{81} = 3^{-4}$ . Увидел в задании такую дробь — сразу превращай её в степень, тогда всё выражение сведётся к одному основанию.

Как это выглядит в заданиях 14 и 16

Задание 14 — вычислить числовое выражение без логарифмов и тригонометрии. Задание 16 — тоже вычислить значение, но туда уже могут войти корни и логарифмы. Степени встречаются и там, и там, и приём в обоих случаях один: привести всё к одному основанию.

Держи в голове разложения: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $16 = 2^4$ , $32 = 2^5$ , $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ , $81 = 3^4$ , $25 = 5^2$ , $125 = 5^3$ , $10 = 2 \cdot 5$ .

Как это выглядит на деле. Выражение $\dfrac{6^4}{2^4 \cdot 3^2}$ кажется чужеродным, пока в нём стоит шестёрка. Разбиваем её по свойству $(ab)^n = a^n b^n$ :

\dfrac{6^4}{2^4 \cdot 3^2} = \dfrac{2^4 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9

Второй частый ход в задании 16 — увидеть степень там, где написан корень. Сами корни разбираются в соседней теме, но связка простая: $(\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$ . Работает обычное свойство степени степени, а корень исчезает уже на первом шаге.

И осторожно со сложением. Свойства степеней описывают умножение и деление, а сумму — нет. $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16$ , то есть $2^4$ . Показатели здесь не складываются: их вообще не трогают, слагаемые просто считают.

Разбор: выражение со знаками и нулевой степенью

Пример

Найди значение выражения (−3)² − (−2)³ + 5⁰.

Считаем каждое слагаемое отдельно, не пытаясь ничего складывать в показателях: основания разные, свойства степеней тут не применяются.Первое слагаемое. Минус стоит внутри скобок, показатель чётный — значит результат положительный:

(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9

Второе слагаемое. Показатель нечётный, минус остаётся:

(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8

Перед ним в выражении стоит знак «минус», поэтому вычитаем отрицательное число:

-(-8) = +8

. Здесь теряют балл чаще всего — второй минус просто не замечают.Третье слагаемое. Основание не равно нулю, значит нулевая степень даёт единицу:

5^0 = 1

.Собираем всё вместе:

9 + 8 + 1 = 18

Ответ: 18.

Разбор: свести к одному основанию

Пример

Найди значение выражения (2⁵ · 5⁷) / 10⁵.

Двойка и пятёрка — простые числа, а десятка нет. Значит, разбирать надо именно её:

10 = 2 \cdot 5

.Применяем свойство

(ab)^n = a^n b^n

к знаменателю:

10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5

Теперь и в числителе, и в знаменателе только двойки и пятёрки. Делим отдельно по каждому основанию — показатели вычитаются:

\dfrac{2^5 \cdot 5^7}{2^5 \cdot 5^5} = 2^{5-5} \cdot 5^{7-5} = 2^0 \cdot 5^2

2^0 = 1

, и двойки уходят из выражения полностью:

1 \cdot 5^2 = 25

Проверка здравым смыслом: в числителе пятёрок на две больше, чем в знаменателе, двоек поровну. Ответ обязан быть равен

5^2

— так и вышло.Ответ: 25.

Порядок действий в выражении со степенями

1Разложи числа на одинаковые основания. 4, 8, 16, 32 — это двойка; 9, 27, 81 — тройка; 25, 125 — пятёрка; 10 = 2·5; 6 = 2·3. Если основания уже совпадают, шаг пропускается.

2Разберись с отрицательными показателями.

a^{-n} = 1/a^n

, дробь в отрицательной степени переворачивается. Часто удобнее ничего не переворачивать, а сразу складывать показатели вместе со знаками.

3Сложи и вычти показатели. Умножение — сложение показателей, деление — вычитание, степень степени — умножение. Основание при этом не меняется.

4Отдельно определи знак. Посмотри, где именно стоит минус: в основании (смотри на чётность показателя), перед степенью (тогда он применяется последним) или в показателе (на знак результата не влияет).

5Досчитай до числа. В бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь, так что обыкновенную дробь надо превратить в десятичную: 1/8 — это 0,125. Получилась бесконечная дробь — где-то ошибка, вернись к первому шагу.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл. Считай в уме — калькулятора на ЕГЭ не будет.

1.Чему равно −4² ?

Скобок нет, поэтому сначала возводим 4 в квадрат, а минус применяем последним: −4² = −(4·4) = −16. Значение 16 получилось бы у выражения (−4)², где минус входит в основание.

2.Чему равно 2⁻³ ?

Отрицательный показатель означает переворот, а не смену знака: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Число положительное, потому что основание положительное.

3.Чему равно (3²)⁴ ?

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (3²)⁴ = 3^(2·4) = 3⁸. Вариант 3⁶ получился бы сложением показателей — это правило для произведения 3²·3⁴, а не для степени степени.

4.Найдите значение выражения (2¹⁰ · 2⁻⁷) / 4.

В числителе показатели складываются: 2¹⁰·2⁻⁷ = 2³. Знаменатель приводим к той же двойке: 4 = 2². Делим, вычитая показатели: 2³ / 2² = 2¹ = 2.

5.Чему равно (−2)⁻² ?

Сначала работает показатель: (−2)⁻² = 1/(−2)². Затем основание: показатель чётный, поэтому (−2)² = 4. Итого 1/4 = 0,25. Оба минуса результат не портят: один переворачивает дробь, второй исчезает из-за чётной степени.

6.Верно ли, что выражение (x − 5)⁰ равно 1 при любом значении x?

Равенство a⁰ = 1 верно только при a ≠ 0. Если x = 5, основание обращается в ноль, а 0⁰ не определено. При всех остальных x выражение действительно равно 1.

Типичные ошибки

Ошибка 1

Перемножают показатели вместо сложения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ . Перемножаются они только при возведении степени в степень: $(a^n)^m = a^{nm}$ . Проверка на числах: 2²·2³ = 32 = 2⁵, а не 2⁶.

Ошибка 2

Теряют скобки у отрицательного основания. $-3^2 = -9$ , но $(-3)^2 = 9$ . Возведение в степень идёт раньше минуса, если минус не заперт в скобках. Записывая условие в черновик, скобки переноси особенно внимательно.

Ошибка 3

Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число. $2^{-3} = 0{,}125$ — число положительное. Минус в показателе переворачивает дробь и никак не влияет на знак.

Ошибка 4

Пишут $a^0 = 1$ , не глядя на основание. Равенство верно только при $a \neq 0$ . Если под нулевой степенью стоит выражение с буквой, проверь, не может ли оно обратиться в ноль.

Ошибка 5

Складывают показатели при сложении степеней. Свойства степеней описывают умножение и деление, а не сумму. $2^3 + 2^3 = 16$ , и никакого $2^6$ тут не возникает — слагаемые просто считают.

Ошибка 6

Сворачивают то, что не сворачивается. Если и основания, и показатели разные, формулы не работают: $2^3 \cdot 3^2 = 72$ , и это окончательный ответ. Свойства требуют либо общего основания, либо общего показателя.

Ошибка 7

Останавливаются на обыкновенной дроби. Ответ в бланк записывают целым числом или конечной десятичной дробью. Получил 1/8 — допиши 0,125; получил 25/4 — допиши 6,25.

Запомни

a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

(a^n)^m = a^{nm}

(ab)^n = a^n b^n, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

a^0 = 1 \ (a \neq 0), \quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \ (a \neq 0)

(-a)^{2k} > 0, \quad (-a)^{2k+1} < 0 \ (a > 0)

-a^n = -(a^n) \neq (-a)^n

7Степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

8Тройки: 3, 9, 27, 81, 243. Пятёрки: 5, 25, 125, 625

На экзамене

В базовой математике 21 задание и 180 минут — в среднем меньше девяти минут на задание. Но 14 и 16 из тех, что закрываются за пару минут, если основания приведены сразу. Сэкономленное время уходит на геометрию и текстовые задачи, где его действительно не хватает.
Свойства степеней и логарифмов есть в справочных материалах, которые лежат на парте вместе с КИМ. Найди нужную страницу в самом начале работы, чтобы не листать их в конце, когда времени уже нет.
Калькулятор запрещён, разрешена только линейка. Числа в 14 и 16 подобраны под устный счёт: если в ответе вылезла бесконечная десятичная дробь или трёхзначное деление в столбик, скорее всего, основания приведены неверно.
Считай модуль и знак раздельно. Сначала получи число, потом отдельно вернись к вопросу, где стоял минус: в основании, перед степенью или в показателе.
Все задания стоят по одному баллу. Если выражение не поддалось за две-три минуты, отметь его и иди дальше — соседнее задание принесёт ровно столько же, а времени займёт меньше.
Перед тем как переносить ответ в бланк, перечитай, что именно спрашивали. В задании 14 и 16 требуется значение выражения — целое число или конечная десятичная дробь, без единиц измерения и без пояснений.

Словарь темы

СтепеньРезультат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a.

Основание степениЧисло, которое возводят в степень, — то, что стоит внизу записи. В выражении (−2)⁵ основание равно −2, а в выражении −2⁵ основание равно 2.

Показатель степениЧисло, записанное сверху; показывает, сколько раз основание берут множителем. В теме рассматриваются целые показатели: натуральные, ноль и отрицательные.

Целый показательЛюбое целое число: положительное, ноль или отрицательное. Для нулевого и отрицательного показателя основание не может быть нулём.

Нулевой показательa⁰ = 1 при любом a ≠ 0. Выражение 0⁰ не определено, потому что определение нулевой степени опирается на деление на основание.

Отрицательный показательa⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Показатель со знаком минус означает переход к обратному числу, а не смену знака результата.

Источники и проверка

13 источников

Тема соответствует коду 1.4 кодификатора ЕГЭ по математике базового уровня («Степень с целым показателем») и проверяется в заданиях 14 и 16.
Задание 14 — вычисление числового выражения без логарифмов и тригонометрии; задание 16 — вычисления со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией с использованием свойств из справочника.
Все 21 задание базовой математики оцениваются в 1 балл, экзамен длится 180 минут, ответ записывается целым числом, конечной десятичной дробью или последовательностью цифр.
Калькулятор на экзамене запрещён, разрешена линейка; справочные материалы со свойствами степеней и логарифмов выдаются вместе с КИМ.
Определения a⁰ = 1 (a ≠ 0) и a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0), а также неопределённость 0⁰ и 0⁻ⁿ.
Пять свойств степеней: aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
−3² = −9, а (−3)² = 9: возведение в степень выполняется раньше, чем берётся противоположное число.
(−a)ⁿ положительно при чётном n и отрицательно при нечётном n (для a > 0): (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8, (−2)⁵ = −32.
Числовые значения в примерах и вопросах: (−3)² − (−2)³ + 5⁰ = 18; (2⁵·5⁷)/10⁵ = 25; 6⁴/(2⁴·3²) = 9; (√3)⁶ = 27; (2¹⁰·2⁻⁷)/4 = 2; (−2)⁻² = 0,25; 2⁻³ = 0,125; (2/5)⁻² = 6,25.
Выражение (√3)⁶ действительно встречается в задании 16 базовой математики.
Степени десятки: 10⁻¹ = 0,1; 10⁻² = 0,01; 10⁻³ = 0,001, а также 0,5 = 2⁻¹, 0,25 = 2⁻², 0,125 = 2⁻³, 0,2 = 5⁻¹, 0,04 = 5⁻², 1/16 = 2⁻⁴, 1/81 = 3⁻⁴.
Приведение к одному основанию — рабочий приём для заданий на степени; разложения 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴, 25 = 5², 125 = 5³, 10 = 2·5, 6 = 2·3.
Границы первичных баллов для школьной оценки в теме не упоминаются.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 14

К списку темВсе темы ЕГЭ по базовой математике