Целые и дробно-рациональные уравнения на базовом ЕГЭ

Q: Что такое корень уравнения?

Корень уравнения — число, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверить кандидата можно всегда: подставь его в исходное уравнение. Число, которое получилось по ходу решения, но не входит в ОДЗ, — посторонний корень, и в ответ оно не идёт.

Q: Как решать задание 17 по базовой математике?

Шаги такие: 1) посмотри, есть ли переменная в знаменателе; 2) выпиши ОДЗ первой строкой; 3) приведи уравнение к привычному виду; 4) реши; 5) вычеркни то, что запрещено ОДЗ; 6) перечитай последнюю строку условия; 7) подставь ответ в исходное уравнение.

Q: Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Записывают не тот корень. В условии просят наименьший, а в бланк уходит наибольший — или наоборот. Особенно коварны отрицательные корни: из 3 и −5 наименьший это −5, хотя по модулю пятёрка больше. Подчеркни нужное слово в условии до того, как начнёшь считать.

Q: Что нужно запомнить по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Главное: 1) D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a); 2) x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ x₂ = q; 3) P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}; 4) x² = a (a > 0) ⇒ x = ±√a; 5) a² - b² = (a - b)(a + b). Остальное — в разделе темы выше.

Целые и дробно-рациональные уравнения — это рациональные уравнения без переменной в знаменателе (линейные, квадратные, степени выше второй) и с переменной в знаменателе хотя бы одной дроби, где число, обнуляющее знаменатель, корнем не считается. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в задании 17 (1 балл): уравнение решают без калькулятора и записывают в бланк одно число, часто наименьший или наибольший корень.

Решать задание 17 ЕГЭ

Типы уравнений в одной таблице

Какой приём выбрать для каждого типа уравнения в задании 17
Тип уравнения	Как решать	Пример из темы
Линейное	Слагаемые с x собрать слева, числа справа, обе части разделить на коэффициент при x	5x − 12 = 3x + 8, x = 10
Квадратное	D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a)	x² - 9x + 20 = 0: D = 1, корни 4 и 5
Приведённое квадратное	Теорема Виета: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q	Сумма корней 9, произведение 20 — это 4 и 5
Неполное без слагаемого с x	Два корня, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен	x² = 121: 11 и −11
Неполное без свободного члена	Вынести x за скобку	x² - 7x = 0: 0 и 7
Квадратное с D = 0 или D < 0	При D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет	x² - 6x + 9 = 0: D = 0, x = 3
Степень выше второй	Собрать всё слева и разложить на множители; делить на выражение с x нельзя	x³ = 9x: корни 0, 3, −3
Дробь равна нулю	P(x)/Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0, Q(x) ≠ 0	(x² - x - 12)/(x + 3) = 0: корень 4, число −3 посторонний
Дробь равна числу	Записать ОДЗ, умножить обе части на знаменатель, проверить корень подстановкой	12/(x + 1) = 4: ОДЗ x ≠ −1, x = 2

Быстрые ответы

Что такое корень уравнения?

Корень уравнения — число, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверить кандидата можно всегда: подставь его в исходное уравнение. Число, которое получилось по ходу решения, но не входит в ОДЗ, — посторонний корень, и в ответ оно не идёт.

Как решать задание 17 по базовой математике?

Шаги такие:

посмотри, есть ли переменная в знаменателе
выпиши ОДЗ первой строкой
приведи уравнение к привычному виду
реши
вычеркни то, что запрещено ОДЗ
перечитай последнюю строку условия
подставь ответ в исходное уравнение.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Записывают не тот корень. В условии просят наименьший, а в бланк уходит наибольший — или наоборот. Особенно коварны отрицательные корни: из 3 и −5 наименьший это −5, хотя по модулю пятёрка больше. Подчеркни нужное слово в условии до того, как начнёшь считать.

Что нужно запомнить по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Главное:

D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a)
x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ x₂ = q
P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}
x² = a (a > 0) ⇒ x = ±√a
a² - b² = (a - b)(a + b).

Остальное — в разделе темы выше.

Задание 17 — тот номер базовой математики, где нужно именно решить уравнение. Разбираем целые и дробно-рациональные: как находить корни без калькулятора, почему ноль знаменателя выбрасывает уже найденный корень и зачем перечитывать последнюю строку условия — «укажите наименьший корень».

Обновлено 18 октября 2026

Какие уравнения встречаются в задании 17?

В задании 17 дают одно уравнение и просят найти корень. В бланк идёт одно число — целое или конечная десятичная дробь. Решение никто не проверяет, но и частичного балла здесь нет: либо число верное и балл твой, либо ноль.

Уравнения в этом номере бывают разных типов: линейные, квадратные, дробно-рациональные, а также иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Последние четыре типа живут в своих темах — коды 2.2, 2.3, 2.4 и 2.5. Здесь разбираем рациональные: целые и дробно-рациональные.

Целое рациональное уравнение — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе. Например, 5x − 12 = 3x + 8, x² - 9x + 20 = 0, x³ = 9x. Подставить в такое уравнение можно любое число: запретов нет.

Дробно-рациональное — то, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби: x + 8/x = 6, (x² - x - 12)/(x + 3) = 0. Здесь появляется запрет: на ноль делить нельзя, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать. Множество того, что осталось разрешённым, называют ОДЗ — областью допустимых значений.

Различить типы — первое действие в этом задании. От него зависит, нужно тебе выписывать ОДЗ или нет, а значит — рискуешь ли ты записать в бланк число, которое корнем не является.

Проверь себя за 10 секунд

Решите уравнение x² − 3x − 10 = 0. Если корней несколько, укажите наименьший.

D = (−3)² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49, корень из него 7. Тогда x = (3 ± 7)/2, то есть x₁ = 5 и x₂ = −2. Наименьший корень — тот, что левее на числовой прямой, а это −2. Вариант −5 появляется, если перепутать корни с множителями разложения; вариант 5 — если взять наибольший вместо наименьшего.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 17 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите корень уравнения (x + 1)/(x − 2) = 3.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите корень уравнения (2x - 5)/(x + 2) = 3.

Показать ответ

Линейное уравнение: перенести и разделить

Самый простой случай. Цель — собрать все слагаемые с x слева, все числа справа, а потом разделить обе части на коэффициент при x. Работают два правила: слагаемое переносят через знак равенства с противоположным знаком, а делят обе части целиком, а не по одному слагаемому.

Разберём 5x − 12 = 3x + 8. Переносим 3x влево, а −12 вправо:

в строку: 5x - 3x = 8 + 12 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10

Проверка занимает пять секунд: слева 5·10 − 12 = 38, справа 3·10 + 8 = 38. Сошлось.

Если есть скобки, сначала раскрой их. В уравнении 3(x − 4) = x + 2 множитель 3 умножается на каждое слагаемое в скобке: 3x − 12 = x + 2, дальше 2x = 14 и x = 7. Забытое умножение на второе слагаемое — самая частая помарка в этом шаге.

Десятичный коэффициент не повод грустить без калькулятора: умножь обе части на 10 или на 100 и работай с целыми. Уравнение 0,4x = 6 после умножения на 10 превращается в 4x = 60, откуда x = 15.

Как решить квадратное уравнение через дискриминант и Виета?

Общий вид — ax² + bx + c = 0, где a≠0. Универсальный способ один:

в строку: D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a)

Эту пару формул придётся помнить наизусть: в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, есть свойства степеней и логарифмов, площади фигур, объёмы тел и тригонометрическая таблица, а дискриминанта там нет.

Возьмём x² - 9x + 20 = 0. Здесь a = 1, b = −9, c = 20, поэтому D = 81 − 80 = 1 и

в строку: x_(1,2) = (9 ± 1)/2 ⇒ x₁ = 5, x₂ = 4

Обрати внимание на −b: коэффициент b был отрицательным, значит в формулу идёт плюс девять. Потерянный здесь знак — готовый неверный ответ.

Теорема Виета нередко даёт корни быстрее. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (то есть при a = 1) сумма корней равна −p, а произведение равно q:

в строку: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q

Для того же x² - 9x + 20 = 0 читается так: сумма корней 9, произведение 20. Два таких числа — 4 и 5. Дискриминант не понадобился вовсе, а без калькулятора это заметная экономия. Приём работает, когда коэффициенты целые и небольшие; не подобрались числа за полминуты — считай дискриминант, он не подведёт никогда.

Неполные квадратные решаются ещё быстрее, но именно на них теряют корень. Если нет слагаемого с x, уравнение x² = 121 даёт два корня: x = 11 и x = −11, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен. Если нет свободного члена, выноси x за скобку: x² - 7x = 0 превращается в x(x − 7) = 0, откуда x = 0 и x = 7.

Ещё два случая. При D = 0 корень один: у x² - 6x + 9 = 0 дискриминант 36 − 36 = 0 и x = 3. При D < 0 действительных корней нет. Но в задании 17 ответ нужно записать числом, поэтому отрицательный дискриминант — сигнал перепроверить знаки коэффициентов, а не повод сдать пустой бланк.

«Укажите наименьший корень» — самая дорогая строка условия

Квадратное уравнение обычно даёт два корня, а в бланк идёт одно число. Поэтому условие почти всегда заканчивается уточнением: если корней несколько, запишите наименьший — или наибольший. Эта строка не украшение, она и есть половина задания.

Наименьший корень — тот, что левее на числовой прямой, а не тот, что меньше по модулю. Разница видна на отрицательных числах. У уравнения x² + 2x - 15 = 0 дискриминант 4 + 60 = 64, корень из него 8, а корни равны x_(1,2) = (-2 ± 8)/2, то есть 3 и −5.

Наименьший здесь −5, наибольший 3. Хотя по модулю пятёрка больше тройки, на прямой она левее — и потому меньше. Это ровно та подмена, из-за которой верно решённое уравнение приносит ноль баллов.

Рабочая привычка: как только нашёл корни, вернись глазами к последней строке условия и подчеркни в ней слово «наименьший» или «наибольший». Потом выпиши оба корня в порядке возрастания и выбери нужный конец. Две лишние секунды против целого балла — размен выгодный.

Корни уравнения x² + 2x − 15 = 0 на числовой прямой: наименьший — левый, даже если по модулю он больше

Степень выше второй: произведение равно нулю

Иногда в задании 17 попадается уравнение третьей или четвёртой степени. Пугаться не нужно: специальных формул для них не существует, работает одна мысль — произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, задача сводится к тому, чтобы собрать всё слева и разложить на множители.

Возьмём x³ = 9x. Переносим влево и выносим общий множитель:

в строку: x³ - 9x = 0 ⇒ x(x² - 9) = 0 ⇒ x(x - 3)(x + 3) = 0

Каждый множитель по очереди приравниваем к нулю: корни 0, 3, −3. Наибольший — 3, наименьший — −3.

Делить обе части на выражение с переменной нельзя. Если в самом начале поделить x³ = 9x на x, останется x² = 9 и корни ±3 — а ноль исчезнет бесследно. И если в условии просили наименьший корень, ответ уже испорчен. Выносить за скобку можно, делить — нет.

На разложение работает формула разности квадратов, её тоже держат в голове, потому что в справочных материалах формул сокращённого умножения нет:

в строку: a² - b² = (a - b)(a + b)

Она же выручает в четвёртой степени: x⁴ - 16 = 0 раскладывается как (x² - 4)(x² + 4) = 0. Первая скобка даёт x = ±2, а вторая нулём стать не может: x² + 4 ≥ 4 при любом x. Итого два корня, а не четыре.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

Как только переменная оказалась в знаменателе, порядок действий меняется: сначала выпиши, что запрещено, потом ищи корни, потом вычеркни из них запрещённое. Именно в таком порядке. Если оставить проверку на конец, про неё легко забыть.

Простейший случай — дробь равна нулю. Дробь равна нулю только там, где её числитель равен нулю, но при этом дробь должна существовать:

в строку: P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}

Разберём (x² - x - 12)/(x + 3) = 0. Сначала запрет: x + 3≠0, то есть x≠−3. Теперь числитель — по теореме Виета ищем два числа с суммой 1 и произведением −12, это 4 и −3, поэтому x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3). Нули числителя: 4 и −3.

И вот развязка: −3 обнуляет знаменатель, значит корнем он быть не может. Такое число называют посторонним корнем — оно подошло по числителю, но выброшено ОДЗ. Остаётся единственный корень x = 4. Заметь, как это опасно вместе с формулировкой задания: попроси условие наименьший корень — и рука сама потянется написать −3, то есть ровно то число, которого нет.

Если справа не ноль, удобнее умножить обе части на знаменатель. Уравнение 12/(x + 1) = 4: ОДЗ x≠−1, умножаем обе части на x + 1 и получаем 12 = 4(x + 1), откуда x + 1 = 3 и x = 2. Двойка запрету не противоречит. Проверка: 12/3 = 4. Верно.

В уравнении умножать обе части на знаменатель можно — при условии, что ОДЗ уже записана. Ты получаешь новое уравнение, среди корней которого могут оказаться лишние, и ОДЗ их вылавливает. Поэтому подстановка найденного числа обратно в исходное уравнение — не перестраховка, а последний шаг решения.

Нули числителя −3 и 4, но −3 обнуляет знаменатель и потому выколот: у уравнения остаётся единственный корень 4

Как решать уравнение в задании 17 по шагам?

1Посмотри, есть ли переменная в знаменателе. Нет — уравнение целое, запретов не будет. Есть — дробно-рациональное, и следующий шаг обязателен.
2Выпиши ОДЗ первой строкой. Приравняй каждый знаменатель к нулю и запиши, каким x быть не может. Это делается до вычислений, а не после.
3Приведи уравнение к привычному виду. Раскрой скобки, умножь обе части на знаменатель или на 10, если мешают десятичные дроби, перенеси всё в одну сторону.
4Реши. Линейное — перенос и деление. Квадратное — дискриминант или теорема Виета. Степень выше второй — вынеси общий множитель и приравняй каждый множитель к нулю.
5Вычеркни то, что запрещено ОДЗ. Каждый найденный корень сверь со списком запретов. Совпал с запретом — это посторонний корень, в ответ он не идёт.
6Перечитай последнюю строку условия. Наименьший или наибольший? Выпиши оставшиеся корни по возрастанию и возьми нужный конец: наименьший — левый на числовой прямой.
7Подставь ответ в исходное уравнение. Полминуты работы, а ловит и арифметику, и потерянный знак. В задании 17 это самая выгодная проверка на экзамене.

Разбор: квадратное уравнение с выбором корня

Пример

Решите уравнение x² + 2x − 15 = 0. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.

Шаг 1. Тип. Переменной в знаменателе нет — уравнение целое, ОДЗ выписывать не нужно, подставлять можно любое число.Шаг 2. Коэффициенты. a = 1, b = 2, c = −15. Считаем дискриминант:D = b² - 4ac = 2² - 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64Минус на минус дал плюс — отсюда и 60 со знаком плюс. Корень из 64 равен 8, число удобное: значит, коэффициенты подобраны верно.Шаг 3. Корни.x_(1,2) = (-2 ± 8)/2 ⇒ x₁ = 6/2 = 3, x₂ = (-10)/2 = -5Быстрая сверка по теореме Виета: сумма корней должна равняться −b = −2, и правда 3 + (−5) = −2. Произведение должно равняться c = −15, и правда 3·(−5) = −15. Оба корня найдены верно.Шаг 4. Выбираем нужный. Просили наименьший. Выписываем корни по возрастанию: −5 < 3. Наименьший — −5. То, что пятёрка «больше» тройки по модулю, значения не имеет: на числовой прямой она левее.Шаг 5. Проверка. Подставляем x = −5 в исходное уравнение: 25 − 10 − 15 = 0. Равенство верное — записываем в бланк.Ответ: −5.

Разбор: дробно-рациональное уравнение

Пример

Решите уравнение x + 8/x = 6. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший.

Шаг 1. ОДЗ. Переменная стоит в знаменателе, значит x≠0. Записываем это сразу, до всяких вычислений.Шаг 2. Избавляемся от дроби. Умножаем обе части на x — целиком, каждое слагаемое:x · x + 8/x · x = 6 · x ⇒ x² + 8 = 6xШаг 3. Переносим всё влево, чтобы получить привычное квадратное уравнение:x² - 6x + 8 = 0Шаг 4. Решаем. Здесь быстрее Виета: сумма корней 6, произведение 8. Два таких числа — 2 и 4. Если подбор не идёт, работает дискриминант: D = 36 − 32 = 4, корень из него 2, и x_(1,2) = (6 ± 2)/2 — те же 4 и 2.Шаг 5. Сверяем с ОДЗ. Запрет был один: x≠0. Ни 2, ни 4 в него не попадают — оба корня годятся.Шаг 6. Читаем вопрос. Просили наибольший корень. Из 2 и 4 наибольший — 4.Шаг 7. Проверка. Подставляем: 4 + 8/4 = 4 + 2 = 6. Сходится. Для спокойствия можно проверить и второй корень: 2 + 8/2 = 2 + 4 = 6 — тоже верно, оба числа действительно корни.Ответ: 4.

Проверь себя

Пять вопросов по тем местам, где в задании 17 чаще всего теряют балл. Считай на бумаге: калькулятора на экзамене не будет.

1.Решите уравнение x² − 3x − 10 = 0. Если корней несколько, укажите наименьший.

2.Решите уравнение (x² − 2x − 8)/(x − 4) = 0.

Сначала запрет: x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Числитель раскладывается как (x − 4)(x + 2) — по Виета сумма корней 2, произведение −8. Нули числителя: 4 и −2. Но 4 обнуляет знаменатель, это посторонний корень. Остаётся единственный ответ −2. Проверка: числитель 4 + 4 − 8 = 0, знаменатель −2 − 4 = −6 ≠ 0.

3.Сколько корней у уравнения x³ = 16x?

Переносим всё влево и выносим множитель: x³ − 16x = 0, то есть x(x − 4)(x + 4) = 0. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем три корня: 0, 4 и −4. Если поделить обе части на x в самом начале, останется x² = 16 и только два корня — потерянный ноль как раз и есть наименьший по величине из положительных вариантов ответа... точнее, он вообще выпадает из ответа, а при вопросе о наименьшем корне ответом должно быть −4.

4.Ученик решает уравнение (x + 3)/(x − 1) = 4/(x − 1). Он умножил обе части на (x − 1), получил x + 3 = 4 и записал в ответ x = 1. Что здесь не так?

ОДЗ здесь x ≠ 1: при x = 1 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Умножение на знаменатель дало верное следствие x = 1, но это посторонний корень — единственный кандидат оказался запрещённым. Именно ради таких случаев ОДЗ выписывают первой строкой, а найденное число подставляют обратно в исходное уравнение.

5.Решите уравнение x² = 0,25. Если корней несколько, укажите наименьший.

Уравнение вида x² = a при положительном a даёт два корня: 0,5 и −0,5, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен (0,5² = 0,25 и (−0,5)² = 0,25). Наименьший из них −0,5. Вариант 0,125 — это половина от 0,25, к квадратному корню он отношения не имеет.

Какие ошибки делают в уравнениях задания 17?

Ошибка 1

Записывают не тот корень. В условии просят наименьший, а в бланк уходит наибольший — или наоборот. Особенно коварны отрицательные корни: из 3 и −5 наименьший это −5, хотя по модулю пятёрка больше. Подчеркни нужное слово в условии до того, как начнёшь считать.

Ошибка 2

Забывают про ОДЗ в дробно-рациональном уравнении. У (x² - x - 12)/(x + 3) = 0 нули числителя 4 и −3, но −3 обнуляет знаменатель. Это посторонний корень, и в ответе остаётся только 4. Обиднее всего, что запрещённое число часто оказывается ровно тем, о котором спрашивают.

Ошибка 3

Делят обе части на выражение с переменной. Из x³ = 9x делением на x получают x² = 9 и теряют корень x = 0. Выносить общий множитель за скобку — можно, делить на него — нет.

Ошибка 4

Теряют второй корень у неполного квадратного. Уравнение x² = 121 имеет два корня, 11 и −11, а не один. Если просили наименьший, верный ответ −11.

Ошибка 5

Ошибаются в знаке при подстановке в дискриминант. В формуле стоит −b и −4ac: при отрицательном b в числитель идёт плюс, при отрицательном c к b² прибавляют. Выпиши a, b, c со знаками отдельной строкой — так ошибиться труднее.

Ошибка 6

Пишут в бланк два числа или ответ вида «x = 4». В задании 17 ответ — одно число: целое или конечная десятичная дробь. Запись ±7, перечисление корней через запятую или буква перед числом делают ответ неверным по форме.

Ошибка 7

Надеются найти дискриминант в справочных материалах. Их выдают вместе с КИМ, но там свойства степеней и логарифмов, площади, объёмы и тригонометрическая таблица. Ни формулы корней квадратного уравнения, ни формул сокращённого умножения там нет — это учат наизусть.

Запомни для ЕГЭ

D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a)

2x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ x₂ = q

P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}

4x² = a (a > 0) ⇒ x = ±√a

5a² - b² = (a - b)(a + b)

6Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель

7Наименьший корень — левый на числовой прямой: −5 меньше 3

На экзамене

Задание 17 стоит 1 балл, как и все остальные двадцать. Закладывай на него 2–3 минуты и не застревай: любой другой номер стоит ровно столько же.
Числа в этом задании подобраны так, чтобы считаться в уме. Если дискриминант вышел четырёхзначным и корень из него не извлекается, почти наверняка потерян знак — перепроверь коэффициенты, а не бросай задание.
Калькулятора не будет, зато будет линейка и справочные материалы. Загляни в них заранее, ещё при подготовке: тогда на экзамене не потеряешь минуту в поисках дискриминанта, которого там нет.
Подстановка найденного корня в исходное уравнение — самая дешёвая страховка в этом номере. Она ловит и арифметику, и посторонний корень, и потерянный знак, а занимает полминуты.
Последнее действие перед записью в бланк — вернуться к условию и перечитать его последнюю строку. Наименьший или наибольший? Это не проверка решения, это проверка ответа, и она нужна отдельно.
Если в задании 17 попалось уравнение с корнем, степенью, логарифмом или синусом — техника из этой темы всё равно работает: такие уравнения сводят к линейному или квадратному, а дальше ты уже дома. Сами приёмы сведения разбираются в темах кодов 2.2–2.5.

Словарь темы

Корень уравнения: Число, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверить кандидата можно всегда: подставь его в исходное уравнение.
Целое рациональное уравнение: Уравнение, в котором переменная не входит ни в один знаменатель. Ограничений на значения переменной нет.
Дробно-рациональное уравнение: Уравнение, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби. Требует записать ОДЗ и отсеять посторонние корни.
ОДЗ (область допустимых значений): Множество значений переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Для дробей условие одно: знаменатель не равен нулю.
Посторонний корень: Число, которое получилось по ходу решения, но не входит в ОДЗ исходного уравнения. Чаще всего появляется после умножения обеих частей на знаменатель. В ответ не идёт.
Дискриминант: Число D = b² − 4ac для уравнения ax² + bx + c = 0. При D > 0 корней два, при D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет.
Теорема Виета: Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Позволяет подобрать целые корни без дискриминанта и быстро проверить найденные.
Неполное квадратное уравнение: Квадратное уравнение, в котором отсутствует слагаемое с x или свободный член. Решается без дискриминанта: извлечением корня или вынесением x за скобку.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 17 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 22 сентября 2026): 2.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения». В проекте КИМ 2027 базового уровня задание 17 проверяет решение уравнений; нумерация базового экзамена не изменилась.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 2.1 кодификатора ЕГЭ по математике («Целые и дробно-рациональные уравнения») и проверяется заданием 17 базового уровня.
Задание 17 — решение уравнения; ответ краткий, одно число, 1 балл; все 21 задание базовой математики стоят по 1 баллу.
В условии задания 17 есть требование «если корней несколько, запишите наименьший (наибольший)», и именно на нём чаще всего теряют балл.
Калькулятор на базовой математике запрещён, разрешена линейка; справочные материалы выдаются вместе с КИМ и содержат свойства степеней и логарифмов, площади фигур, объёмы тел, тригонометрические тождества и таблицу значений, геометрический смысл производной.
Формулы дискриминанта, корней квадратного уравнения, теоремы Виета и формул сокращённого умножения в справочных материалах нет — их нужно помнить.
D = b² − 4ac и x = (−b ± √D)/(2a) — формулы корней квадратного уравнения; при D > 0 корня два, при D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет.
Корни уравнения x² − 9x + 20 = 0 равны 4 и 5; D = 1.
Корни уравнения x² + 2x − 15 = 0 равны 3 и −5; наименьший из них −5, наибольший 3; D = 64.
Корни уравнения x + 8/x = 6 равны 2 и 4, оба удовлетворяют ОДЗ x ≠ 0; наибольший — 4.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
У уравнения (x² − x − 12)/(x + 3) = 0 единственный корень 4: число −3 обнуляет знаменатель и является посторонним корнем.
У уравнения (x² − 2x − 8)/(x − 4) = 0 единственный корень −2.
Уравнение 12/(x + 1) = 4 имеет корень x = 2 при ОДЗ x ≠ −1.
Уравнение (x + 3)/(x − 1) = 4/(x − 1) не имеет корней: единственный кандидат x = 1 запрещён ОДЗ.
Уравнение x³ = 9x имеет три корня: 0, 3 и −3; деление обеих частей на x теряет корень 0.
Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
a² − b² = (a − b)(a + b); x⁴ − 16 = 0 имеет ровно два действительных корня, ±2.
x² = 121 даёт два корня, 11 и −11; x² = 0,25 даёт 0,5 и −0,5.
x² − 7x = 0 имеет корни 0 и 7; x² − 6x + 9 = 0 имеет единственный корень 3 (D = 0).
Корни уравнения x² − 3x − 10 = 0 равны 5 и −2, наименьший −2.