Целые и дробно-рациональные уравнения

В задании 17 дают одно уравнение и просят найти корень. В бланк идёт одно число — целое или конечная десятичная дробь. Решение никто не проверяет, но и частичного балла здесь нет: либо число верное и балл твой, либо ноль.

Уравнения в этом номере бывают разных типов: линейные, квадратные, дробно-рациональные, а также иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Последние четыре типа живут в своих темах — коды 2.2, 2.3, 2.4 и 2.5. Здесь разбираем рациональные: целые и дробно-рациональные.

Целое рациональное уравнение — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе. Например, $5x - 12 = 3x + 8$, $x^2 - 9x + 20 = 0$, $x^3 = 9x$. Подставить в такое уравнение можно любое число: запретов нет.

Дробно-рациональное — то, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби: $x + \dfrac{8}{x} = 6$, $\dfrac{x^2 - x - 12}{x + 3} = 0$. Здесь появляется запрет: на ноль делить нельзя, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать. Множество того, что осталось разрешённым, называют ОДЗ — областью допустимых значений.

Различить типы — первое действие в этом задании. От него зависит, нужно тебе выписывать ОДЗ или нет, а значит — рискуешь ли ты записать в бланк число, которое корнем не является.

Самый простой случай. Цель — собрать все слагаемые с $x$ слева, все числа справа, а потом разделить обе части на коэффициент при $x$. Работают два правила: слагаемое переносят через знак равенства с противоположным знаком, а делят обе части целиком, а не по одному слагаемому.

Разберём $5x - 12 = 3x + 8$. Переносим $3x$ влево, а $-12$ вправо:

Проверка занимает пять секунд: слева $5 \cdot 10 - 12 = 38$, справа $3 \cdot 10 + 8 = 38$. Сошлось.

Если есть скобки, сначала раскрой их. В уравнении $3(x - 4) = x + 2$ множитель 3 умножается на каждое слагаемое в скобке: $3x - 12 = x + 2$, дальше $2x = 14$ и $x = 7$. Забытое умножение на второе слагаемое — самая частая помарка в этом шаге.

Десятичный коэффициент не повод грустить без калькулятора: умножь обе части на 10 или на 100 и работай с целыми. Уравнение $0{,}4x = 6$ после умножения на 10 превращается в $4x = 60$, откуда $x = 15$.

Общий вид — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Универсальный способ один:

Эту пару формул придётся помнить наизусть: в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, есть свойства степеней и логарифмов, площади фигур, объёмы тел и тригонометрическая таблица, а дискриминанта там нет.

Возьмём $x^2 - 9x + 20 = 0$. Здесь $a = 1,\; b = -9,\; c = 20$, поэтому $D = 81 - 80 = 1$ и

Обрати внимание на $-b$: коэффициент $b$ был отрицательным, значит в формулу идёт плюс девять. Потерянный здесь знак — готовый неверный ответ.

Теорема Виета нередко даёт корни быстрее. Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (то есть при $a = 1$) сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$:

Для того же $x^2 - 9x + 20 = 0$ читается так: сумма корней 9, произведение 20. Два таких числа — 4 и 5. Дискриминант не понадобился вовсе, а без калькулятора это заметная экономия. Приём работает, когда коэффициенты целые и небольшие; не подобрались числа за полминуты — считай дискриминант, он не подведёт никогда.

Неполные квадратные решаются ещё быстрее, но именно на них теряют корень. Если нет слагаемого с $x$, уравнение $x^2 = 121$ даёт два корня: $x = 11$ и $x = -11$, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен. Если нет свободного члена, выноси $x$ за скобку: $x^2 - 7x = 0$ превращается в $x(x - 7) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 7$.

Ещё два случая. При $D = 0$ корень один: у $x^2 - 6x + 9 = 0$ дискриминант $36 - 36 = 0$ и $x = 3$. При $D < 0$ действительных корней нет. Но в задании 17 ответ нужно записать числом, поэтому отрицательный дискриминант — сигнал перепроверить знаки коэффициентов, а не повод сдать пустой бланк.

Иногда в задании 17 попадается уравнение третьей или четвёртой степени. Пугаться не нужно: специальных формул для них не существует, работает одна мысль — произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, задача сводится к тому, чтобы собрать всё слева и разложить на множители.

Возьмём $x^3 = 9x$. Переносим влево и выносим общий множитель:

Каждый множитель по очереди приравниваем к нулю: корни $0,\; 3,\; -3$. Наибольший — 3, наименьший — −3.

Делить обе части на выражение с переменной нельзя. Если в самом начале поделить $x^3 = 9x$ на $x$, останется $x^2 = 9$ и корни $\pm 3$ — а ноль исчезнет бесследно. И если в условии просили наименьший корень, ответ уже испорчен. Выносить за скобку можно, делить — нет.

На разложение работает формула разности квадратов, её тоже держат в голове, потому что в справочных материалах формул сокращённого умножения нет:

Она же выручает в четвёртой степени: $x^4 - 16 = 0$ раскладывается как $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$. Первая скобка даёт $x = \pm 2$, а вторая нулём стать не может: $x^2 + 4 \geqslant 4$ при любом $x$. Итого два корня, а не четыре.