Логарифм числа на базовом ЕГЭ

Q: Как решать задание 16 с логарифмами?

Шаги такие: 1) посмотри на основания; 2) переведи запись в вопрос «в какую степень»; 3) если логарифм сидит в показателе степени; 4) досчитай до одного числа; 5) проверь обратным ходом.

Q: Что нужно запомнить по теме «Логарифм числа»?

Главное: 1) logₐ b = c ⇔ aᶜ = b; 2) a^(logₐ b) = b; 3) logₐ a = 1, logₐ 1 = 0; 4) logₐ xy = logₐ x + logₐ y; 5) logₐ x/y = logₐ x - logₐ y; 6) logₐ bᵏ = k logₐ b. Остальное — в разделе темы выше.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получилось b: например, log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в задании 16 (1 балл): значение выражения с логарифмами находят без калькулятора и записывают в бланк одним числом.

Решать задание 16 ЕГЭ

Свойства логарифма в одной таблице

Определение и свойства логарифма с примерами из темы
Правило	Формула	Пример
Определение	logₐ b = c ⇔ aᶜ = b	log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32
Ограничения	a > 0, a≠1, b > 0	Записи log₂(-8) и log₂ 0 смысла не имеют; сам логарифм может быть отрицательным: log₂ 1/8 = -3
Логарифм основания и единицы	logₐ a = 1, logₐ 1 = 0	log₇ 7 = 1, log₇ 1 = 0
Десятичный логарифм	lg b = log₁₀ b	lg 100 = 2, lg 0,001 = −3
Натуральный логарифм	ln e = 1, ln 1 = 0, ln eᵏ = k	ln e⁵ = 5; основание e примерно 2,72
Основное логарифмическое тождество	a^(logₐ b) = b	5^(log₅ 11) = 11; основания степени и логарифма должны совпадать
Логарифм произведения	logₐ xy = logₐ x + logₐ y	log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2
Логарифм частного	logₐ x/y = logₐ x - logₐ y	log₂ 40 - log₂ 5 = log₂ 8 = 3
Показатель выносится вперёд	logₐ bᵏ = k logₐ b	log₂ 4³ = 3 log₂ 4 = 6

Все свойства с условиями и примерами — в справочнике: «Свойства логарифмов»: таблица формул (есть PDF для печати).

Быстрые ответы

Что такое логарифм числа?

Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Логарифм задаёт тот же вопрос, что и степень, только с другого конца: известны основание и результат, а найти надо показатель.

Что такое логарифм?

Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Запись log_a b = c равносильна равенству a^c = b.

Как решать задание 16 с логарифмами?

Шаги такие:

посмотри на основания
переведи запись в вопрос «в какую степень»
если логарифм сидит в показателе степени
досчитай до одного числа
проверь обратным ходом.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Логарифм числа»?

Разбивают логарифм суммы. Записи logₐ(x+y) = logₐ x + logₐ y не существует, это выдуманное свойство. Складывать в один логарифм можно только через произведение: logₐ x + logₐ y = logₐ xy. Проверь на числах: lg 100 + lg 10 = 3, а lg 110 вообще не целое.

Логарифм пугает видом, хотя за ним стоит один короткий вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить нужное число. На базовом ЕГЭ это задание 16 — одно число в бланк, и без калькулятора. Разберём определение, десятичный и натуральный логарифмы и те свойства, которые реально нужны для счёта.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое логарифм числа?

Со степенями ты уже работал: 2⁵ = 32. Логарифм задаёт тот же самый вопрос, только с другого конца: известны основание 2 и результат 32, а найти надо показатель. Ответ и есть логарифм.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Записывают так:

в строку: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b

Читается «логарифм бэ по основанию а». Число a называют основанием, число b — аргументом (или подлогарифмическим выражением).

У этой записи есть жёсткие ограничения, и они не украшение, а часть определения: основание a > 0 и a≠1, аргумент b > 0. Причина простая: единицу в любой степени даёт единицу, поэтому основание 1 не годится, а положительное число ни в какой степени не даст ноль или отрицательное число — поэтому аргумент строго больше нуля. Записи вида log₂(-8) или log₂ 0 смысла не имеют.

А вот сам логарифм отрицательным быть вполне может: log₂ 1/8 = -3, потому что 2⁻³ = 1/8. Отрицательным не бывает аргумент — не путай эти две вещи.

Логарифм — это показатель степени: log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. Оранжевым выделено основание, зелёным — сам логарифм

Проверь себя за 10 секунд

Чему равно log₄ 64?

Вопрос звучит так: в какую степень возвести 4, чтобы получить 64. Перебираем: 4, 16, 64 — это третья степень. Значит log₄ 64 = 3. Вариант 16 возникает, если по привычке делить 64 на 4, но логарифм — это показатель степени, а не результат деления.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 16 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите значение выражения 10sin 1170°.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите значение выражения log₂5 + log₂(8/5).

Показать ответ

Как посчитать логарифм в уме?

Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому все логарифмы в задании 16 подобраны так, чтобы считаться устно. Приём один: представь аргумент степенью основания — и показатель этой степени сразу даст ответ.

Разберём подряд. log₃ 81: спрашиваем себя «в какую степень возвести 3, чтобы вышло 81». Перебираем: 3, 9, 27, 81 — это четвёртая степень, значит ответ 4. log₅ 125 = 3, потому что 5³ = 125. log₄ 64 = 3, потому что 4³ = 64.

Два значения стоит просто запомнить, они встречаются постоянно:

в строку: logₐ a = 1, logₐ 1 = 0

Первое — потому что a¹ = a, второе — потому что любое число в нулевой степени равно единице. Отсюда log₇ 7 = 1 и log₇ 1 = 0, и никакого счёта здесь не нужно.

Чтобы «перебор степеней» шёл быстро, держи в голове таблицу ниже. Ничего сверх неё в задании 16 обычно и не требуется: аргументы берут из этих же чисел.

Если аргумент меньше единицы, показатель уходит в минус: log₃ 1/27 = -3, потому что 3⁻³ = 1/27. Отрицательный ответ в бланке — нормальное явление, минус в этом задании не запрещён.

Степени двойки, тройки и пятёрки — рабочий минимум для устного счёта в задании 16

Десятичный lg и натуральный ln

Два основания используются так часто, что для них завели отдельные обозначения — и именно они вынесены в название темы.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Пишут lg b вместо log₁₀ b. Считается ровно так же: lg 100 = 2, потому что 10² = 100; lg 10000 = 4; lg 1 = 0. С дробями работает минус: lg 0,001 = −3, ведь 10⁻³ = 0,001. Удобное правило для круглых чисел: у степени десятки логарифм равен количеству нулей, а у десятичной дроби — количеству знаков после запятой со знаком минус.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e. Пишут ln b вместо logₑ b. Здесь e — иррациональное число, примерно 2,72; точное значение выписать нельзя, как и у числа π. Но считать это не мешает: аргументы в заданиях подбирают степенями самого e.

в строку: ln e = 1, ln 1 = 0, ln eᵏ = k

То есть ln e⁵ = 5 — и никакого приближённого счёта с числом 2,72 не требуется.

Главное, что нужно унести: lg и ln — не два разных зверя, а обычные логарифмы с фиксированными основаниями 10 и e. Все свойства из следующего блока работают для них без изменений. И не путай сами обозначения: lg — это десятка, ln — это e. Одной перепутанной буквы хватает, чтобы потерять балл на пустом месте.

Какие свойства логарифмов нужны на экзамене?

Свойства логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, — заучивать их наизусть не обязательно. А вот понимать, какое из них когда применять, придётся: искать нужную строчку в справочнике посреди экзамена долго.

Основное логарифмическое тождество. Если возвести основание в степень, равную логарифму по этому же основанию, получится сам аргумент:

в строку: a^(logₐ b) = b

Это не фокус, а прямое прочтение определения: логарифм и есть тот показатель, который даёт b. Отсюда 5^(log₅ 11) = 11 и 10^(lg 6) = 6. Ключевое условие — основания совпадают. В записи 2^(log₅ 7) тождество не работает, там 2 и 5 разные.

Сумма и разность. Логарифмы с одинаковым основанием складываются и вычитаются так:

в строку: logₐ xy = logₐ x + logₐ y, logₐ x/y = logₐ x - logₐ y

Читай справа налево: сумма логарифмов — это логарифм произведения, разность — логарифм частного. Например, log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2: по отдельности ни 4, ни 9 степенями шестёрки не являются, а их произведение — да.

Показатель выносится вперёд. Степень внутри логарифма превращается в множитель:

в строку: logₐ bᵏ = k logₐ b

Проверь на понятном: log₂ 4³ = 3 log₂ 4 = 3 · 2 = 6. И то же самое в лоб: 4³ = 64 = 2⁶. Сходится.

И самое важное ограничение всех трёх свойств: они работают только при одинаковых основаниях. Выражение log₂ 8 + log₄ 16 в один логарифм не сворачивается — основания 2 и 4 разные. Такие суммы считают по частям: log₂ 8 = 3, log₄ 16 = 2, в сумме 5.

Как решать задание 16 с логарифмами?

1Посмотри на основания. Одинаковые — можно сворачивать сумму и разность в один логарифм. Разные — считай каждый логарифм отдельно и складывай уже числа.
2Переведи запись в вопрос «в какую степень». log₅ 125 — это «в какую степень возвести 5, чтобы получить 125». Дальше работает таблица степеней, а не формулы.
3Если логарифм сидит в показателе степени, ищи основное тождество a^(logₐ b) = b. Мешающее слагаемое в показателе сначала отдели: a^(k + logₐ b) = aᵏ · a^(logₐ b).
4Досчитай до одного числа. Ответ в задании 16 — одно число, а не выражение. Логарифм в ответе остаться не может.
5Проверь обратным ходом. Получил 5 для log₂ 32 — быстро возведи: 2⁵ = 32. Сошлось — записывай в бланк. Проверка занимает секунды и ловит почти все ошибки.

Разбор: разность логарифмов

Пример

Найдите значение выражения log₂ 40 − log₂ 5.

Первый порыв — посчитать каждый логарифм отдельно. Но 40 степенью двойки не является, так что этот путь тупиковый. Смотрим на основания: у обоих логарифмов оно равно 2, значит разность можно свернуть.Разность логарифмов — это логарифм частного:log₂ 40 - log₂ 5 = log₂ 40/5 = log₂ 8Осталось ответить на вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8»:log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8Проверка обратным ходом: 2³ = 8, а 8·5 = 40 — исходные числа сошлись.Ответ: 3.

Разбор: логарифм в показателе степени

Пример

Найдите значение выражения 3^(2 + log₃ 4).

В показателе стоит сумма, а степень с суммой в показателе всегда распадается на произведение: aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ. Это свойство степеней, оно тоже есть в справочных материалах.3^(2 + log₃ 4) = 3² · 3^(log₃ 4)Первый множитель считается сразу: 3² = 9.Во втором основание степени и основание логарифма совпадают — оба тройки. Работает основное логарифмическое тождество:3^(log₃ 4) = 4Перемножаем то, что получилось:9·4 = 36Обрати внимание: само значение log₃ 4 мы так и не нашли — оно не целое, и находить его не требовалось. Тождество убрало логарифм целиком.Ответ: 36.

Разбор: десятичные логарифмы

Пример

Найдите значение выражения lg 500 + lg 2.

Обозначение lg означает основание 10, причём у обоих слагаемых оно одинаковое. Значит, сумму можно свернуть в логарифм произведения.lg 500 + lg 2 = lg(500·2) = lg 1000Дальше — обычный вопрос про степень: в какую степень возвести 10, чтобы получить 1000.lg 1000 = 3, так как 10³ = 1000По отдельности ни lg 500, ни lg 2 целыми не были — вся идея задания в том, чтобы сначала перемножить аргументы, а уже потом считать.Ответ: 3.

Проверь себя

Шесть вопросов по тем местам, где в задании 16 теряют балл. Считай в уме, калькулятор на экзамене всё равно не дадут.

1.Чему равно log₄ 64?

2.Чему равно 7^(log₇ 12)?

Основание степени и основание логарифма совпадают, поэтому работает основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b. Ответ — сам аргумент, то есть 12. Само значение log₇ 12 искать не нужно, оно не целое.

3.Чему равно lg 0,01?

Запись lg означает основание 10. Число 0,01 — это 10 в минус второй степени, значит lg 0,01 = −2. Отрицательный ответ здесь нормален: отрицательным не может быть аргумент, а само значение логарифма — сколько угодно.

4.Какое из равенств верно?

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения: lg 3 + lg 4 = lg (3·4) = lg 12. Вариант с lg 7 — самая частая ошибка темы: логарифм суммы и сумма логарифмов не связаны. В последнем варианте разность даёт логарифм частного: lg 12 − lg 3 = lg 4, а не lg 9.

5.Чему равно ln e⁵?

Запись ln означает логарифм по основанию e. Вопрос «в какую степень возвести e, чтобы получить e в пятой» отвечает сам на себя: ответ 5. Приближённое значение e ≈ 2,72 здесь совершенно не нужно.

6.Чему равно log₅ 5 + log₂ 32?

Основания разные (5 и 2), поэтому свернуть сумму в один логарифм нельзя — считаем по отдельности. log₅ 5 = 1 (основание равно аргументу), log₂ 32 = 5 (2⁵ = 32). В сумме 1 + 5 = 6. Вариант 37 получается, если сложить аргументы (5 + 32), вариант 160 — если их перемножить; ни то, ни другое к логарифмам с разными основаниями отношения не имеет.

Какие ошибки делают в задачах с логарифмами?

Ошибка 1

Разбивают логарифм суммы. Записи logₐ(x+y) = logₐ x + logₐ y не существует, это выдуманное свойство. Складывать в один логарифм можно только через произведение: logₐ x + logₐ y = logₐ xy. Проверь на числах: lg 100 + lg 10 = 3, а lg 110 вообще не целое.

Ошибка 2

Применяют свойства к разным основаниям. log₂ 8 + log₄ 16 по свойству суммы не сворачивается: оно работает только при одинаковом основании, а здесь 2 и 4. Считай каждый логарифм по отдельности и складывай готовые числа.

Ошибка 3

Путают lg и ln. lg — основание 10, ln — основание e. Перепутал буквы — получил другое число при абсолютно верном ходе решения. Первым делом в любом задании определи основание и подпиши его, если запись непривычная.

Ошибка 4

Тянут основное тождество на чужое основание. a^(logₐ b) = b требует, чтобы основание степени и основание логарифма совпадали. В 2^(log₅ 7) они разные, и семёрка оттуда не получается.

Ошибка 5

Возводят логарифм в степень вместо выноса множителя. logₐ bᵏ — это k logₐ b, а не (logₐ b)ᵏ. Степень относится к аргументу, и она выходит вперёд множителем.

Ошибка 6

Забывают ограничения. Основание a > 0 и a≠1, аргумент b > 0. Логарифма нуля и отрицательного числа не существует. При этом значение логарифма отрицательным быть может — эти две вещи путают чаще всего.

Ошибка 7

Оставляют в ответе логарифм или бесконечную дробь. В задании 16 ответ записывается целым числом или конечной десятичной дробью. Если в бланк просится log₂ 5 или что-то вроде 0,333…, значит, где-то потерялось свойство — вернись и пересчитай.

Шпаргалка

1logₐ b = c ⇔ aᶜ = b

2a^(logₐ b) = b

3logₐ a = 1, logₐ 1 = 0

4logₐ xy = logₐ x + logₐ y

5logₐ x/y = logₐ x - logₐ y

6logₐ bᵏ = k logₐ b

7lg — основание 10, ln — основание e (примерно 2,72)

8Аргумент строго больше нуля; основание больше нуля и не равно единице

На экзамене

Задание 16 стоит 1 балл, как и любое другое в этом варианте. Закладывай на него 2–3 минуты: логарифмы там подобраны под устный счёт, и долгие вычисления — признак того, что ты пошёл не тем путём.
Свойства степеней и логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ. Загляни туда в начале работы, чтобы на экзамене не искать нужную строчку впервые. А вот степени двойки, тройки и пятёрки до пятой держи в голове: их в справочнике нет, а калькулятор запрещён.
Порядок действий всегда один: сначала смотрим на основания, потом сворачиваем или считаем по отдельности, в конце проверяем обратным возведением в степень.
Ответ записывается в бланк как одно число, без слова «log» и без единиц измерения. Знак минус, если он получился, тоже переносится в бланк.
Если свойство вылетело из головы, а логарифмы «хорошие», считай каждый в лоб по определению — этого хватает в большинстве заданий 16 с логарифмами.

Словарь темы

Логарифм: Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Запись log_a b = c равносильна равенству a^c = b.
Основание логарифма: Число, которое возводят в степень; в записи log_a b это a. Должно быть положительным и не равным единице.
Аргумент логарифма: Число, которое хотят получить возведением основания в степень; в записи log_a b это b. Иначе называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго больше нуля.
Основное логарифмическое тождество: Равенство a^(log_a b) = b. Прямое следствие определения: логарифм и есть тот показатель, который превращает основание в аргумент. Требует совпадения оснований степени и логарифма.
Десятичный логарифм: Логарифм по основанию 10, обозначается lg. Например, lg 1000 = 3.
Натуральный логарифм: Логарифм по основанию e, обозначается ln. Например, ln e = 1.
Число e: Иррациональное число, примерно равное 2,72. Служит основанием натурального логарифма; точное десятичное значение записать нельзя, как и у числа π.

Частые вопросы

Что нужно запомнить по теме «Логарифм числа»?

Главное:

logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
a^(logₐ b) = b
logₐ a = 1, logₐ 1 = 0
logₐ xy = logₐ x + logₐ y
logₐ x/y = logₐ x - logₐ y
logₐ bᵏ = k logₐ b.

Остальное — в разделе темы выше.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 16 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 22 сентября 2026): 1.6 «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы». В проекте КИМ 2027 базового уровня задание 16 проверяет вычисления и преобразования выражений; нумерация базового экзамена не изменилась.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 1.6 кодификатора по математике базового уровня: «Логарифм числа (десятичные и натуральные)», проверяется заданием 16.
Задание 16 базового ЕГЭ — вычисление значения выражения со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями; 1 балл, ответ — число.
Определение логарифма и ограничения a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Свойства a^(log_a b) = b, log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_a xy = log_a x + log_a y, log_a (x/y) = log_a x − log_a y, log_a b^k = k·log_a b входят в справочные материалы, выдаваемые вместе с КИМ.
Свойство a^(m+n) = a^m · a^n тоже есть в справочных материалах.
Калькулятор на базовом ЕГЭ по математике запрещён, разрешена только линейка.
Ответ задания 16 записывается в бланк № 1 как целое число или конечная десятичная дробь — поэтому логарифм или бесконечная дробь в ответе означают ошибку.
Число e иррационально и приблизительно равно 2,72; точное десятичное значение записать нельзя.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.