Логарифм числа

Задание 16 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Логарифм пугает видом, хотя за ним стоит один короткий вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить нужное число. На базовом ЕГЭ это задание 16 — одно число в бланк, и без калькулятора. Разберём определение, десятичный и натуральный логарифмы и те свойства, которые реально нужны для счёта.

Логарифм — это показатель степени

Со степенями ты уже работал: $2^5 = 32$ . Логарифм задаёт тот же самый вопрос, только с другого конца: известны основание 2 и результат 32, а найти надо показатель. Ответ и есть логарифм.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Записывают так:

\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b

Читается «логарифм бэ по основанию а». Число $a$ называют основанием, число $b$ — аргументом (или подлогарифмическим выражением).

У этой записи есть жёсткие ограничения, и они не украшение, а часть определения: основание $a > 0$ и $a \neq 1$ , аргумент $b > 0$ . Причина простая: единицу в любой степени даёт единицу, поэтому основание 1 не годится, а положительное число ни в какой степени не даст ноль или отрицательное число — поэтому аргумент строго больше нуля. Записи вида $\log_2(-8)$ или $\log_2 0$ смысла не имеют.

А вот сам логарифм отрицательным быть вполне может: $\log_2 \tfrac18 = -3$ , потому что $2^{-3} = \tfrac18$ . Отрицательным не бывает аргумент — не путай эти две вещи.

Логарифм — это показатель степени: log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. Оранжевым выделено основание, зелёным — сам логарифм

Как посчитать логарифм в уме

Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому все логарифмы в задании 16 подобраны так, чтобы считаться устно. Приём один: представь аргумент степенью основания — и показатель этой степени сразу даст ответ.

Разберём подряд. $\log_3 81$ : спрашиваем себя «в какую степень возвести 3, чтобы вышло 81». Перебираем: 3, 9, 27, 81 — это четвёртая степень, значит ответ 4. $\log_5 125 = 3$ , потому что $5^3 = 125$ . $\log_4 64 = 3$ , потому что $4^3 = 64$ .

Два значения стоит просто запомнить, они встречаются постоянно:

\log_a a = 1, \qquad \log_a 1 = 0

Первое — потому что $a^1 = a$ , второе — потому что любое число в нулевой степени равно единице. Отсюда $\log_7 7 = 1$ и $\log_7 1 = 0$ , и никакого счёта здесь не нужно.

Чтобы «перебор степеней» шёл быстро, держи в голове таблицу ниже. Ничего сверх неё в задании 16 обычно и не требуется: аргументы берут из этих же чисел.

Если аргумент меньше единицы, показатель уходит в минус: $\log_3 \tfrac{1}{27} = -3$ , потому что $3^{-3} = \tfrac{1}{27}$ . Отрицательный ответ в бланке — нормальное явление, минус в этом задании не запрещён.

Степени двойки, тройки и пятёрки — рабочий минимум для устного счёта в задании 16

Десятичный lg и натуральный ln

Два основания используются так часто, что для них завели отдельные обозначения — и именно они вынесены в название темы.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Пишут $\lg b$ вместо $\log_{10} b$ . Считается ровно так же: $\lg 100 = 2$ , потому что $10^2 = 100$ ; $\lg 10000 = 4$ ; $\lg 1 = 0$ . С дробями работает минус: $\lg 0{,}001 = -3$ , ведь $10^{-3} = 0{,}001$ . Удобное правило для круглых чисел: у степени десятки логарифм равен количеству нулей, а у десятичной дроби — количеству знаков после запятой со знаком минус.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e$ . Пишут $\ln b$ вместо $\log_e b$ . Здесь $e$ — иррациональное число, примерно 2,72; точное значение выписать нельзя, как и у числа $\pi$ . Но считать это не мешает: аргументы в заданиях подбирают степенями самого $e$ .

\ln e = 1, \qquad \ln 1 = 0, \qquad \ln e^{k} = k

То есть $\ln e^5 = 5$ — и никакого приближённого счёта с числом 2,72 не требуется.

Главное, что нужно унести: lg и ln — не два разных зверя, а обычные логарифмы с фиксированными основаниями 10 и $e$ . Все свойства из следующего блока работают для них без изменений. И не путай сами обозначения: $\lg$ — это десятка, $\ln$ — это $e$ . Одной перепутанной буквы хватает, чтобы потерять балл на пустом месте.

Свойства, которые действительно нужны

Свойства логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, — заучивать их наизусть не обязательно. А вот понимать, какое из них когда применять, придётся: искать нужную строчку в справочнике посреди экзамена долго.

Основное логарифмическое тождество. Если возвести основание в степень, равную логарифму по этому же основанию, получится сам аргумент:

a^{\log_a b} = b

Это не фокус, а прямое прочтение определения: логарифм и есть тот показатель, который даёт $b$ . Отсюда $5^{\log_5 11} = 11$ и $10^{\lg 6} = 6$ . Ключевое условие — основания совпадают. В записи $2^{\log_5 7}$ тождество не работает, там 2 и 5 разные.

Сумма и разность. Логарифмы с одинаковым основанием складываются и вычитаются так:

\log_a xy = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

Читай справа налево: сумма логарифмов — это логарифм произведения, разность — логарифм частного. Например, $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$ : по отдельности ни 4, ни 9 степенями шестёрки не являются, а их произведение — да.

Показатель выносится вперёд. Степень внутри логарифма превращается в множитель:

\log_a b^{k} = k \log_a b

Проверь на понятном: $\log_2 4^3 = 3\log_2 4 = 3 \cdot 2 = 6$ . И то же самое в лоб: $4^3 = 64 = 2^6$ . Сходится.

И самое важное ограничение всех трёх свойств: они работают только при одинаковых основаниях. Выражение $\log_2 8 + \log_4 16$ в один логарифм не сворачивается — основания 2 и 4 разные. Такие суммы считают по частям: $\log_2 8 = 3$ , $\log_4 16 = 2$ , в сумме 5.

Как решать задание 16 с логарифмом

1Посмотри на основания. Одинаковые — можно сворачивать сумму и разность в один логарифм. Разные — считай каждый логарифм отдельно и складывай уже числа.

2Переведи запись в вопрос «в какую степень».

\log_5 125

— это «в какую степень возвести 5, чтобы получить 125». Дальше работает таблица степеней, а не формулы.

3Если логарифм сидит в показателе степени, ищи основное тождество

a^{\log_a b} = b

. Мешающее слагаемое в показателе сначала отдели:

a^{k + \log_a b} = a^k \cdot a^{\log_a b}

4Досчитай до одного числа. Ответ в задании 16 — одно число, а не выражение. Логарифм в ответе остаться не может.

5Проверь обратным ходом. Получил 5 для

\log_2 32

— быстро возведи:

2^5 = 32

. Сошлось — записывай в бланк. Проверка занимает секунды и ловит почти все ошибки.

Разбор: разность логарифмов

Пример

Найдите значение выражения log₂ 40 − log₂ 5.

Первый порыв — посчитать каждый логарифм отдельно. Но 40 степенью двойки не является, так что этот путь тупиковый. Смотрим на основания: у обоих логарифмов оно равно 2, значит разность можно свернуть.Разность логарифмов — это логарифм частного:

\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 \dfrac{40}{5} = \log_2 8

Осталось ответить на вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8»:

\log_2 8 = 3, \quad \text{так как} \quad 2^3 = 8

Проверка обратным ходом:

2^3 = 8

, а

8 \cdot 5 = 40

— исходные числа сошлись.Ответ: 3.

Разбор: логарифм в показателе степени

Пример

Найдите значение выражения 3^(2 + log₃ 4).

В показателе стоит сумма, а степень с суммой в показателе всегда распадается на произведение:

a^{m+n} = a^m \cdot a^n

. Это свойство степеней, оно тоже есть в справочных материалах.

3^{\,2 + \log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4}

Первый множитель считается сразу:

3^2 = 9

.Во втором основание степени и основание логарифма совпадают — оба тройки. Работает основное логарифмическое тождество:

3^{\log_3 4} = 4

Перемножаем то, что получилось:

9 \cdot 4 = 36

Обрати внимание: само значение

\log_3 4

мы так и не нашли — оно не целое, и находить его не требовалось. Тождество убрало логарифм целиком.Ответ: 36.

Разбор: десятичные логарифмы

Пример

Найдите значение выражения lg 500 + lg 2.

Обозначение lg означает основание 10, причём у обоих слагаемых оно одинаковое. Значит, сумму можно свернуть в логарифм произведения.

\lg 500 + \lg 2 = \lg (500 \cdot 2) = \lg 1000

Дальше — обычный вопрос про степень: в какую степень возвести 10, чтобы получить 1000.

\lg 1000 = 3, \quad \text{так как} \quad 10^3 = 1000

По отдельности ни

\lg 500

, ни

\lg 2

целыми не были — вся идея задания в том, чтобы сначала перемножить аргументы, а уже потом считать.Ответ: 3.

Проверь себя

Шесть вопросов по тем местам, где в задании 16 теряют балл. Считай в уме, калькулятор на экзамене всё равно не дадут.

1.Чему равно log₄ 64?

Вопрос звучит так: в какую степень возвести 4, чтобы получить 64. Перебираем: 4, 16, 64 — это третья степень. Значит log₄ 64 = 3. Вариант 16 возникает, если по привычке делить 64 на 4, но логарифм — это показатель степени, а не результат деления.

2.Чему равно 7^(log₇ 12)?

Основание степени и основание логарифма совпадают, поэтому работает основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b. Ответ — сам аргумент, то есть 12. Само значение log₇ 12 искать не нужно, оно не целое.

3.Чему равно lg 0,01?

Запись lg означает основание 10. Число 0,01 — это 10 в минус второй степени, значит lg 0,01 = −2. Отрицательный ответ здесь нормален: отрицательным не может быть аргумент, а само значение логарифма — сколько угодно.

4.Какое из равенств верно?

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения: lg 3 + lg 4 = lg (3·4) = lg 12. Вариант с lg 7 — самая частая ошибка темы: логарифм суммы и сумма логарифмов не связаны. В последнем варианте разность даёт логарифм частного: lg 12 − lg 3 = lg 4, а не lg 9.

5.Чему равно ln e⁵?

Запись ln означает логарифм по основанию e. Вопрос «в какую степень возвести e, чтобы получить e в пятой» отвечает сам на себя: ответ 5. Приближённое значение e ≈ 2,72 здесь совершенно не нужно.

6.Чему равно log₅ 5 + log₂ 32?

Основания разные (5 и 2), поэтому свернуть сумму в один логарифм нельзя — считаем по отдельности. log₅ 5 = 1 (основание равно аргументу), log₂ 32 = 5 (2⁵ = 32). В сумме 1 + 5 = 6. Вариант 37 получается, если сложить аргументы (5 + 32), вариант 160 — если их перемножить; ни то, ни другое к логарифмам с разными основаниями отношения не имеет.

Типичные ошибки

Ошибка 1

Разбивают логарифм суммы. Записи $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ не существует, это выдуманное свойство. Складывать в один логарифм можно только через произведение: $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ . Проверь на числах: $\lg 100 + \lg 10 = 3$ , а $\lg 110$ вообще не целое.

Ошибка 2

Применяют свойства к разным основаниям. $\log_2 8 + \log_4 16$ по свойству суммы не сворачивается: оно работает только при одинаковом основании, а здесь 2 и 4. Считай каждый логарифм по отдельности и складывай готовые числа.

Ошибка 3

Путают lg и ln. $\lg$ — основание 10, $\ln$ — основание $e$ . Перепутал буквы — получил другое число при абсолютно верном ходе решения. Первым делом в любом задании определи основание и подпиши его, если запись непривычная.

Ошибка 4

Тянут основное тождество на чужое основание. $a^{\log_a b} = b$ требует, чтобы основание степени и основание логарифма совпадали. В $2^{\log_5 7}$ они разные, и семёрка оттуда не получается.

Ошибка 5

Возводят логарифм в степень вместо выноса множителя. $\log_a b^k$ — это $k \log_a b$ , а не $(\log_a b)^k$ . Степень относится к аргументу, и она выходит вперёд множителем.

Ошибка 6

Забывают ограничения. Основание $a > 0$ и $a \neq 1$ , аргумент $b > 0$ . Логарифма нуля и отрицательного числа не существует. При этом значение логарифма отрицательным быть может — эти две вещи путают чаще всего.

Ошибка 7

Оставляют в ответе логарифм или бесконечную дробь. В задании 16 ответ записывается целым числом или конечной десятичной дробью. Если в бланк просится $\log_2 5$ или что-то вроде 0,333…, значит, где-то потерялось свойство — вернись и пересчитай.

Шпаргалка

\log_a b = c \Longleftrightarrow a^c = b

a^{\log_a b} = b

\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0

\log_a xy = \log_a x + \log_a y

\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

\log_a b^{k} = k \log_a b

7lg — основание 10, ln — основание e (примерно 2,72)

8Аргумент строго больше нуля; основание больше нуля и не равно единице

На экзамене

Задание 16 стоит 1 балл, как и любое другое в этом варианте. Закладывай на него 2–3 минуты: логарифмы там подобраны под устный счёт, и долгие вычисления — признак того, что ты пошёл не тем путём.
Свойства степеней и логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ. Загляни туда в начале работы, чтобы на экзамене не искать нужную строчку впервые. А вот степени двойки, тройки и пятёрки до пятой держи в голове: их в справочнике нет, а калькулятор запрещён.
Порядок действий всегда один: сначала смотрим на основания, потом сворачиваем или считаем по отдельности, в конце проверяем обратным возведением в степень.
Ответ записывается в бланк как одно число, без слова «log» и без единиц измерения. Знак минус, если он получился, тоже переносится в бланк.
Если свойство вылетело из головы, а логарифмы «хорошие», считай каждый в лоб по определению — этого хватает в большинстве заданий 16 с логарифмами.

Словарь темы

ЛогарифмПоказатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Запись log_a b = c равносильна равенству a^c = b.

Основание логарифмаЧисло, которое возводят в степень; в записи log_a b это a. Должно быть положительным и не равным единице.

Аргумент логарифмаЧисло, которое хотят получить возведением основания в степень; в записи log_a b это b. Иначе называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго больше нуля.

Основное логарифмическое тождествоРавенство a^(log_a b) = b. Прямое следствие определения: логарифм и есть тот показатель, который превращает основание в аргумент. Требует совпадения оснований степени и логарифма.

Десятичный логарифмЛогарифм по основанию 10, обозначается lg. Например, lg 1000 = 3.

Натуральный логарифмЛогарифм по основанию e, обозначается ln. Например, ln e = 1.

Число eИррациональное число, примерно равное 2,72. Служит основанием натурального логарифма; точное десятичное значение записать нельзя, как и у числа π.

Источники и проверка

13 источников

Тема соответствует коду 1.6 кодификатора по математике базового уровня: «Логарифм числа (десятичные и натуральные)», проверяется заданием 16.
Задание 16 базового ЕГЭ — вычисление значения выражения со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями; 1 балл, ответ — число.
Определение логарифма и ограничения a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Свойства a^(log_a b) = b, log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_a xy = log_a x + log_a y, log_a (x/y) = log_a x − log_a y, log_a b^k = k·log_a b входят в справочные материалы, выдаваемые вместе с КИМ.
Свойство a^(m+n) = a^m · a^n (использовано во втором разборе) тоже есть в справочных материалах.
Калькулятор на базовом ЕГЭ по математике запрещён, разрешена только линейка.
Ответ задания 16 записывается в бланк № 1 как целое число или конечная десятичная дробь — поэтому логарифм или бесконечная дробь в ответе означают ошибку.
Путаница обозначений lg и ln — реальная ошибка экзамена, а не выдуманная.
Задания вида «найдите значение выражения с логарифмом» реально встречаются в этом КИМ и решаются через определение, свойства суммы/разности и основное тождество.
Пример с разными основаниями (log₂ 8 + log₄ 16 = 5) разобран потому, что такая связка действительно встречается.
Числовые значения всех примеров темы пересчитаны до конца.
Границы соседних тем не нарушены: логарифмические уравнения и логарифмическая функция сюда не входят.
Число e иррационально и приблизительно равно 2,72; точное десятичное значение записать нельзя.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 16

К списку темВсе темы ЕГЭ по базовой математике