Физика атомного ядра

Ядро состоит из двух сортов частиц: протонов и нейтронов. У них есть общее имя — нуклоны. Протон несёт положительный заряд $+e$, нейтрон электрически нейтрален, отсюда и название.

Массы протона и нейтрона почти равны, нейтрон чуть тяжелее: $m_p \approx 1{,}00728$ а.е.м. и $m_n \approx 1{,}00866$ а.е.м. Здесь а.е.м. — атомная единица массы, 1/12 массы атома углерода-12; в ней удобно записывать массы ядер. Запоминать эти числа не нужно: они есть в справочных материалах КИМ, а в задачах их обычно ещё и выписывают прямо в условии.

Чтобы полностью задать ядро, хватает двух чисел. Зарядовое число $Z$ — это количество протонов. Заряд ядра равен $+Ze$, и это же число стоит у элемента в таблице Менделеева: именно $Z$, а не масса, определяет, какой это химический элемент. Массовое число $A$ — это общее количество нуклонов, протонов и нейтронов вместе.

Нейтроны отдельной буквы в записи не получают, потому что их всегда можно достать вычитанием:

Ядро записывают так: ${}^{A}_{Z}\text{X}$ — сверху массовое число, снизу зарядовое. Например, ${}^{7}_{3}\text{Li}$: три протона, семь нуклонов всего, значит нейтронов $7 - 3 = 4$. Кажется мелочью, но именно здесь спотыкаются чаще всего: по инерции подставляют в формулы 7 вместо 4.

Ядра с одинаковым $Z$, но разным $A$ называют изотопами одного элемента. Скажем, ${}^{35}_{17}\text{Cl}$ и ${}^{37}_{17}\text{Cl}$ — это хлор и хлор, у обоих 17 протонов, а нейтронов 18 и 20. Химически они почти неразличимы: электронную оболочку строит заряд ядра, а он одинаков. Зато ядерные свойства у изотопов могут расходиться сильно.

И про масштаб. Атом целиком — это порядка $10^{-10}$ м, ядро — порядка $10^{-15}$ м. Ядро меньше атома в сто тысяч раз по размеру: почти вся масса атома собрана в объёме, ничтожном по сравнению с самим атомом. Это не любопытный факт, а рабочая цифра — из неё сразу следует, насколько тесно нуклонам в ядре, и почему следующий вопрос вообще возникает.

В ядре лития-7 три протона сидят друг от друга на расстоянии порядка $10^{-15}$ м. Все три заряжены положительно. Закон Кулона на такой вопрос отвечает мгновенно и очень громко — посчитай сам, все числа есть в справочных материалах КИМ (k — постоянная закона Кулона, 9·10⁹):

Двести тридцать ньютонов отталкивания — это вес гири килограммов на двадцать. И весь этот вес приходится на одну частицу массой $1{,}7 \cdot 10^{-27}$ кг. Ядро обязано разлететься за неуловимо малое время. Оно не разлетается. Значит, есть что-то, что сильнее.

Это ядерные силы — притяжение между нуклонами. Их четыре свойства и составляют весь спрос по этому куску темы.

Первое: они сильнее кулоновских на тех расстояниях, что внутри ядра. Не «немного сильнее» — настолько сильнее, что те самые 230 Н отталкивания оказываются побеждены. Иначе ядер тяжелее водорода просто не существовало бы, а вместе с ними и всей таблицы Менделеева.

Второе: они короткодействующие. Радиус действия — порядка размера самого нуклона, те же $10^{-15}$ м. Дальше они не убывают плавно, как $1/r^2$ у Кулона, а практически обрываются. Отвёл нуклон чуть в сторону — и он свободен, ядерные силы его больше не держат.

Третье: они не зависят от заряда. Пара протон — протон, пара протон — нейтрон, пара нейтрон — нейтрон притягиваются одинаково. Отсюда ответ на любимый вопрос задания 18: нейтрон нейтрален, кулоновской силы у него нет вовсе — так что же его держит? Ядерные силы, которым до заряда нет никакого дела.

Четвёртое: они насыщаются. Раз радиус действия крошечный, каждый нуклон чувствует только ближайших соседей, а не всё ядро сразу. Добавили в ядро ещё нуклонов — у старых от этого соседей больше не стало. Смысл прост: сколько нуклонов ни добавляй, каждый по-прежнему держится только за ближайших, а не за всё ядро сразу. Это свойство ещё пригодится дальше, когда дойдём до кривой прочности ядер.

И заодно объяснит, почему тяжёлым ядрам живётся тяжелее лёгких. Ядерные силы действуют только между соседями, а кулоновское отталкивание — между всеми протонами сразу, через всё ядро. Растёт $Z$ — притяжение прибавляется по чуть-чуть, а отталкивание копится со всех сторон.

Мысленный опыт. Возьми три протона и четыре нейтрона по отдельности и взвесь их. Потом собери из этих же семи частиц ядро лития-7 и взвесь ещё раз. Второй результат окажется меньше. Не «примерно тем же», не «в пределах погрешности» — строго меньше. Ни одна частица никуда не делась, а масса убыла.

Насколько именно убыла — и есть дефект массы:

Порядок в этой формуле не косметика. Сначала складывают массы свободных нуклонов, потом вычитают массу собранного ядра. Не наоборот. У любого связанного ядра $\Delta m > 0$, и если у тебя вышел минус — ты вычел не в ту сторону, а не открыл новое ядро.

Посчитаем для лития-7. Масса его ядра — 7,01436 а.е.м. Складываем нуклоны по отдельности:

Меньше процента от массы ядра. Но именно эта недостача — весь смысл темы, и ради неё стоит перетерпеть шесть знаков после запятой.

Куда делась масса? Никуда — она стала энергией. Чтобы разобрать ядро обратно на свободные нуклоны, придётся поработать против ядерных сил, и эта работа не берётся из ниоткуда: она уже «вложена» в ядро. Связанная система всегда весит меньше суммы масс своих свободных частей — ровно на энергию связи, делённую на $c^2$. С атомами и молекулами происходит то же самое, просто там дефект массы настолько мал, что его не взвесишь. В ядре — взвесишь.

Два места, где здесь теряют балл. Первое: $N$ — это число нейтронов, $A - Z$, а не массовое число. Второе: $m_{\text{я}}$ — масса ядра, а не атома. Атом тяжелее своего ядра на массу $Z$ электронов. Электрон легче протона примерно в 1800 раз, и в обычной жизни это ничто — но дефект массы есть разность почти равных чисел, и три электрона лития в ней видны сразу.

Сравнивать ядра по полной энергии связи бессмысленно. У урана-238 она около 1800 МэВ, у гелия-4 — около 28. Значит ли это, что уран в шестьдесят раз прочнее? Нет. В нём просто почти в шестьдесят раз больше нуклонов, и каждый принёс свой вклад.

Поэтому вводят величину, которая от размера ядра не зависит, — удельную энергию связи: энергию связи, приходящуюся на один нуклон.

Делить надо именно на $A$ — на все нуклоны, а не на $Z$ и не на $N$. Вот теперь сравнение честное. У лития-7: $39{,}2/7 \approx 5{,}6$ МэВ на нуклон. У гелия-4: $28{,}3/4 \approx 7{,}1$. У железа-56 — около 8,8. У урана-238: $1800/238 \approx 7{,}6$. Гелия в ядре четыре нуклона, урана — двести тридцать восемь, а прочнее всё-таки железо.

Если построить $\varepsilon$ для всех ядер подряд, получится кривая, которую стоит держать в голове целиком. У самых лёгких ядер она мала, потом круто идёт вверх, около железа выходит на максимум примерно 8,8 МэВ на нуклон, а дальше медленно спадает.

Обе особенности кривой уже объяснены. Плато — это насыщение ядерных сил: нуклон связан только с ближайшими соседями, поэтому в большом ядре на каждого приходится примерно столько же, сколько в среднем. Спад у тяжёлых — это кулоновское отталкивание, которое, в отличие от ядерных сил, работает через всё ядро сразу и с ростом $Z$ накапливается.

Кривая не идеально гладкая. Гелий-4 заметно выбивается вверх — 7,1 МэВ на нуклон против 5,3 у лития-6 и 5,6 у лития-7, которые тяжелее. Это очень плотно упакованное ядро, и его особое положение ещё отзовётся в теме про радиоактивность и ядерные реакции (код 4.5).

Именно из формы этой кривой следует, откуда вообще берётся ядерная энергетика: и разделив тяжёлое ядро, и слив два лёгких, можно двинуться в сторону максимума и выиграть энергию. Но деление, синтез и всё остальное про ядерные реакции — это уже соседний код кодификатора, 4.5. Здесь достаточно понимать, почему кривая выглядит именно так.