Механические колебания и волны

Колебание — движение, которое повторяется. Груз на пружине уходит вниз, возвращается, проскакивает вверх, снова возвращается — и так по кругу. У всех колебаний есть общее устройство: тело раз за разом проходит через положение равновесия (то, где оно осталось бы стоять, если бы его туда аккуратно поставили) и отклоняется от него в обе стороны.

Величин здесь всего четыре, и они связаны намертво.

Амплитуда A — максимальное отклонение от положения равновесия. Именно от равновесия, а не от края до края: размах колебаний равен 2A, и это разные числа.

Период T — время одного полного колебания, в секундах. Полное — значит туда и обратно, до возвращения в исходное состояние. Дойти до края и остановиться — это половина колебания, а не целое.

Частота ν — сколько колебаний укладывается в секунду, в герцах. Циклическая частота ω — рабочая величина в рад/с, через которую записаны все формулы скорости и ускорения.

Первая формула — это способ достать период из условия, где его прямо не дали: «за t секунд тело совершило N колебаний» значит T = t/N. Запоминать ω отдельно не нужно — её всегда получают из T или ν по последней формуле.

Математический маятник — модель: точечный груз на невесомой нерастяжимой нити. При малых отклонениях его период равен

Посмотри, чего в этой формуле нет: массы и амплитуды. Тяжёлый шарик и лёгкий на нити одной длины качаются в одном темпе. Отклонили сильнее (но всё ещё немного) — период тот же. Период задают только длина нити и то, на какой планете ты находишься.

Пружинный маятник — груз массой m на пружине жёсткостью k (в Н/м):

А здесь нет g и снова нет амплитуды. Важное следствие: груз, висящий на пружине вертикально, колеблется с тем же периодом, что и лежащий на гладком столе. Сила тяжести не меняет темп — она лишь сдвигает положение равновесия вниз, туда, где   kx₀ = mg. Если отсчитывать смещение от этого нового равновесия, возвращающая сила снова равна −kx, а значит, и формула та же. Поэтому в условиях «груз подвешен на пружине» никакой поправки на g искать не нужно.

Как не перепутать формулы. Проверка размерности здесь не спасает: и L/g, и m/k дают секунды в квадрате — обе формулы «сходятся». Держись смысла: математический маятник — это нить и Земля (длина и g), пружинный — это груз и пружина (масса и жёсткость). Массы в первой формуле нет вообще, g во второй нет вообще.

Циклическую частоту при этом не нужно запоминать отдельной строкой — она получается из периода по формуле ω = 2π/T:

И главное про обе формулы сразу. Они устроены одинаково: период равен 2π на корень из отношения. Корень — это то, ради чего задание 4 вообще существует. Чтобы период вырос вдвое, длину нити или массу груза надо увеличить вчетверо. Увеличили массу в 4 раза — период вырос в √4 = 2 раза, а не в 4. Если спрашивают «во сколько раз», не считай два периода по отдельности — сразу пиши отношение:

Если тело, которое колеблется, связано с соседями — с соседними участками воды, воздуха, шнура, — оно раскачивает их, они раскачивают своих соседей, и колебание уходит вдаль. Это волна.

Ключевую вещь тут понимают не сразу: вещество вместе с волной не едет. Поплавок на пруду не уносит к другому берегу — он качается вверх-вниз на месте, пока волна проходит сквозь него. Передаётся не вода, а колебание и энергия.

Волны бывают двух видов. В поперечной частицы среды колеблются поперёк направления бега волны — так выглядит волна на поверхности воды или по натянутому шнуру. В продольной частицы колеблются вдоль направления бега, среда попеременно сгущается и разрежается. Звук в воздухе — как раз продольная волна.

Длина волны λ — расстояние между двумя соседними одинаковыми точками волны: например, между соседними гребнями. Смысл её такой: за одно колебание источника, то есть ровно за период, волна успевает пробежать одну длину волны. Отсюда и формула:

Три величины, любые две дают третью — это и есть весь расчёт волновой половины задания 4.

Считалка гребней. Когда в условии сказано «расстояние между первым и пятым гребнями», рука тянется поделить на 5. Промежутков между пятью гребнями — четыре, а не пять: длин волн укладывается на одну меньше, чем гребней. Нарисуй пять точек на бумаге и посчитай зазоры между ними — это надёжнее, чем вспоминать правило.

Что меняется при переходе в другую среду. Частоту задаёт источник: он раскачивает среду в своём темпе, и на границе колебания передаются дальше с тем же темпом. Поэтому при переходе, скажем, из воздуха в воду частота не меняется. А вот скорость меняется — она у каждой среды своя. Раз λ = v/ν, а ν та же, то вместе со скоростью меняется и длина волны.