Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я космические скорости

Q: Как решать задачи на полное ускорение, ракеты и космические скорости?

Шаги такие: 1) сначала определи, какой из трёх сюжетов перед тобой; 2) полное ускорение: считай составляющие порознь; 3) реактивное движение в пустоте: закон сохранения импульса; 4) ракета с известной тягой в поле тяжести: второй закон Ньютона. Остальные шаги — в разделе темы выше.

Q: Что нужно запомнить по теме «Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я»?

Главное: 1) a = √(aт² + aцс²); 2) aцс = v²/R, aт = Δv/(Δt); 3) m uₓ + M Vₓ = 0; 4) ma = Fтяги - mg; 5) v = √(GM/r), v₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с; 6) v₂ = √2 v₁ ≈ 11,2 км/с. Остальное — в разделе темы выше.

Полное ускорение — это векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих ускорения; они перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов. На ЕГЭ тема нужна в задании 2 (1 балл: ракета на старте и скорость спутника через законы Ньютона и тяготения), а также в заданиях 5, 6, 18, 22 и 26.

Решать задание 1 ЕГЭ

Формулы темы в одной таблице

Полное ускорение, реактивное движение и космические скорости
Формула	Что обозначают буквы	Единицы и смысл
a = √(aт² + aцс²)	a_т — тангенциальная, a_цс — центростремительная составляющая	Модуль полного ускорения для конкретного момента
aцс = v²/R = ω² R	v — скорость, R — радиус окружности	Меняет только направление скорости
aт = Δv/(Δt)	Δv — изменение модуля скорости	Меняет только модуль скорости; при равномерном движении по окружности равна нулю
tg β = aт/(aцс)	β — угол между полным ускорением и направлением на центр	Чем сильнее разгон, тем дальше вектор отходит от радиуса вперёд
m uₓ + M Vₓ = 0	m и uₓ — масса и скорость выброшенного газа, M и Vₓ — оставшегося аппарата	Сохранение импульса для покоившейся системы; все скорости в одной системе отсчёта
ma = F_тяги − mg	F_тяги — сила тяги	Ракета на старте: система не замкнута, ускорение — в начальный момент
v = √(GM/r)	M — масса планеты, r — радиус орбиты от центра планеты	От массы спутника не зависит; чем выше орбита, тем меньше скорость
v₁ = √(gR)	R — радиус планеты	Для Земли около 7,9 км/с; с g = 10 м/с² расчёт даёт 8 км/с
Eп = -GMm/r	Ноль энергии — бесконечно далеко от планеты	mgh годится только у поверхности
v₂ = √2 v₁	v₂ — вторая космическая скорость	Для Земли около 11,2 км/с; отношение √2 одинаково для любой планеты

Быстрые ответы

Что такое полное ускорение?

Полное ускорение — векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих ускорения. Поскольку они перпендикулярны, модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов.

Как решать задачи на полное ускорение, ракеты и космические скорости?

Шаги такие:

сначала определи, какой из трёх сюжетов перед тобой
полное ускорение: считай составляющие порознь
реактивное движение в пустоте: закон сохранения импульса
ракета с известной тягой в поле тяжести: второй закон Ньютона.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я»?

Складывают составляющие ускорения как обычные числа. aт и aцс перпендикулярны, поэтому полное ускорение равно √(aт² + aцс²), а не их сумме. При aт = 6 м/с² и aцс = 8 м/с² верный ответ 10 м/с², а не 14.

Что нужно запомнить по теме «Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я»?

Главное:

a = √(aт² + aцс²)
aцс = v²/R, aт = Δv/(Δt)
m uₓ + M Vₓ = 0
ma = Fтяги - mg
v = √(GM/r), v₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с
v₂ = √2 v₁ ≈ 11,2 км/с.

Остальное — в разделе темы выше.

Кодификатор ЕГЭ дополнили в 2026 году — так появился код 1.6: полное ускорение, реактивное движение, первая и вторая космические скорости. Три сюжета, которые раньше жили на полях учебника, теперь спрашивают наравне с остальной механикой: в заданиях 1 и 2, а следы темы есть в 5, 6, 18, 22 и 26.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое полное ускорение и из чего оно состоит?

Этот код в кодификаторе новый: его дописали к 2026 году. Внутри три сюжета, и общего у них меньше, чем кажется по названию. Полное ускорение — про кинематику. Реактивное движение — про импульс. Космические скорости — про тяготение. Разбираем по очереди, и начинаем с ускорения.

Вектор скорости можно изменить ровно двумя способами: изменить его длину или повернуть его. Ускорение — это и есть скорость изменения вектора скорости, поэтому у него две работы. Удобно разделить их между двумя составляющими и дальше считать каждую отдельно.

Тангенциальная составляющая a_т направлена вдоль касательной к траектории — то есть вдоль скорости или строго против неё. Она меняет только модуль скорости: разгоняет или тормозит. Центростремительная составляющая a_цс направлена к центру окружности, перпендикулярно скорости. Она меняет только направление скорости, а модуль не трогает вообще.

Считаются они по-разному. Центростремительную ты уже знаешь из кинематики — она собирается из скорости и радиуса:

в строку: aцс = v²/R = ω² R

Тангенциальная — это то, насколько быстро меняется модуль скорости:

в строку: aт = Δv/(Δt)

Обрати внимание на важную тонкость: здесь Δv — изменение именно модуля скорости, а не вектора. Вектор скорости меняется и при повороте, но за поворот отвечает не эта составляющая.

Составляющие взаимно перпендикулярны — одна вдоль касательной, другая по радиусу. Значит, модуль их векторной суммы находится по теореме Пифагора, и это и есть полное ускорение:

в строку: a = √(aт² + aцс²)

Куда смотрит вектор полного ускорения, показывает угол β между ним и направлением на центр окружности:

в строку: tg β = aт/(aцс)

Чем сильнее тело разгоняется вдоль траектории, тем больше вектор полного ускорения отклоняется от радиуса вперёд по ходу движения. Перестало разгоняться — вектор лёг точно на радиус.

Тангенциальная и центростремительная составляющие перпендикулярны — полное ускорение собирается из них по теореме Пифагора

Проверь себя за 10 секунд

Точка движется по окружности радиусом 5 м. В некоторый момент её скорость равна 10 м/с, а тангенциальное ускорение — 15 м/с². Чему равен модуль полного ускорения точки в этот момент?

Сначала центростремительная составляющая: a_цс = v²/R = 100/5 = 20 м/с². Составляющие перпендикулярны, поэтому складываются по теореме Пифагора: a = √(15² + 20²) = √625 = 25 м/с². Вариант 35 м/с² — это арифметическая сумма 15 + 20, самая частая ошибка темы. Вариант 20 м/с² был бы верен, если бы модуль скорости не менялся: тогда тангенциальной составляющей не было бы вовсе.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Частные случаи: когда одна составляющая исчезает

Две составляющие — это общий случай. В большинстве школьных задач одна из них обращается в ноль, и формула сворачивается во что-то знакомое.

Модуль скорости постоянен — равномерное движение по окружности. Разгона вдоль траектории нет, значит a_т = 0, и полное ускорение просто равно центростремительному и смотрит точно к центру. Это ровно тот случай, который разбирают в кинематике.

Траектория прямая — поворачивать скорость не нужно, a_цс = 0. Остаётся одна тангенциальная, и полное ускорение направлено вдоль скорости или против неё. Это всё привычное прямолинейное движение.

Обе не равны нулю — тело едет по кривой и одновременно меняет скорость. Вот здесь и нужна формула этой темы.

И сразу ловушка, на которой легко потерять балл. При разгоне по окружности центростремительное ускорение не постоянно. Скорость растёт, а aцс = v²/R зависит от неё — значит, растёт и оно, причём быстрее скорости. Если разгон равномерный, постоянной остаётся только тангенциальная составляющая.

Отсюда правило: полное ускорение имеет смысл только для конкретного момента — того, для которого в условии дана скорость. Вопрос «чему равно полное ускорение на этом участке» без указания момента ответа не имеет.

Полезный взгляд на то же самое даёт тело, брошенное под углом к горизонту. Пока оно летит, на него действует только тяжесть, поэтому его полное ускорение всё время одно и то же — g, вниз. Меняется не ускорение, а то, как оно делится на две работы. Сразу после броска под углом скорость направлена круто вверх, и у g есть заметная составляющая против скорости — она тормозит тело.

В верхней точке скорость горизонтальна, g ей перпендикулярно: тангенциальной составляющей нет совсем, и всё ускорение работает на поворот. Одно и то же g, а роли разные.

Что такое реактивное движение?

Реактивное движение — это движение тела, которое возникает, когда от него отделяется часть его собственной массы с некоторой скоростью. Ракета выбрасывает газ и разгоняется. Ничего другого ей для этого не требуется.

Слово «не требуется» здесь ключевое. Есть распространённое возражение: в пустоте газу не от чего оттолкнуться, значит ракета лететь не может. Возражение неверное, и оно не случайно попадает в списки утверждений задания 18. Отталкиваться от воздуха или от опоры ракете не нужно — ракета и газ отталкиваются друг от друга.

Строгое основание — закон сохранения импульса. Пока аппарат летит в пустоте, внешние силы на него не действуют: система «аппарат плюс топливо» замкнута, и её суммарный импульс не меняется. Если аппарат покоился, суммарный импульс был нулевым — нулевым он и останется после выброса:

в строку: m uₓ + M Vₓ = 0

Здесь m — масса выброшенного газа, uₓ — проекция его скорости, M — масса оставшегося аппарата, Vₓ — проекция его скорости. Проекции берутся со знаками: газ и аппарат летят в разные стороны, поэтому у одного из них проекция отрицательна. И главное условие корректности: все скорости в этом уравнении измерены относительно одного и того же тела отсчёта. Если в условии скорость газа дана относительно ракеты, а ракета уже движется, её сначала переводят в ту систему, в которой пишется закон.

Иногда ту же мысль формулируют через третий закон Ньютона: ракета толкает газ назад, газ с такой же по модулю силой толкает ракету вперёд. Это не другое объяснение, а то же самое, увиденное со стороны сил: закон сохранения импульса для замкнутой системы как раз и выводится из второго и третьего законов Ньютона.

А вот пока ракета стоит на стартовом столе, система уже не замкнута — на неё действует тяжесть, и сохранением импульса пользоваться нельзя. Зато в таких задачах обычно дают готовую силу тяги, и тогда работает второй закон Ньютона. Для вертикального старта, с осью вверх:

в строку: ma = Fтяги - mg

Так тема выходит на задание 2: формально оно про законы Ньютона, но приходит именно через ракету. Есть тонкость: топливо выгорает, масса ракеты убывает, а с ней меняется и ускорение. Поэтому в школьных задачах спрашивают ускорение в начальный момент — когда масса ещё та, что дана в условии.

В задачниках попадается формула Циолковского, связывающая набранную скорость с массой выгоревшего топлива через логарифм. В кодификаторе ЕГЭ её нет — это материал за рамками требований. На экзамене задачи на реактивное движение решаются законом сохранения импульса, и если тебе кажется, что без логарифма не обойтись, скорее всего, условие прочитано сложнее, чем оно есть.

Аппарат покоился, значит суммарный импульс был нулевым — нулевым он и остаётся, поэтому импульсы газа и аппарата равны по модулю и противоположны по направлению

Как найти первую космическую скорость?

Спутник на круговой орбите — это тело, на которое действует одна-единственная сила: притяжение планеты. Опоры нет, двигатель выключен, воздуха на такой высоте нет. И эта единственная сила не разгоняет и не тормозит спутник: она перпендикулярна скорости и целиком уходит на её поворот. То есть играет роль центростремительной.

Отсюда всё и выводится — обычным вторым законом Ньютона для движения по окружности. Слева сила тяготения, справа масса на центростремительное ускорение:

в строку: GMm/r² = mv²/r

Здесь M — масса планеты, m — масса спутника, r — радиус орбиты, отсчитанный от центра планеты, а не от её поверхности. Сам закон всемирного тяготения — тема динамики, код 1.2; здесь он нужен просто как инструмент.

Теперь смотри, что происходит: масса спутника m стоит в обеих частях и сокращается.

в строку: v = √(GM/r)

Это ключевой факт темы. Скорость на орбите не зависит от того, что именно ты туда запустил — гайку или орбитальную станцию. В формуле остались только масса планеты и радиус орбиты.

Первая космическая скорость — наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у самой поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником: пошло по круговой орбите и перестало падать вниз. Значит, в формулу подставляем r = R — радиус самой планеты.

Но у поверхности мы обычно не знаем ни G, ни массы планеты — зато знаем g. Приравняем силу тяжести к силе тяготения у поверхности:

в строку: mg = GMm/R² ⇒ GM = gR²

Подставляем это в формулу скорости при r = R — и получаем рабочую формулу, в которой нет ни G, ни массы планеты:

в строку: v₁ = √(gR²/R) = √(gR)

Числа для Земли: радиус около 6400 км, то есть 6,4 · 10⁶ м, справочное g = 10 м/с². Тогда v₁ = √(10 · 6,4 · 10⁶) = 8 · 10³ м/с, то есть 8 км/с. В таблицах обычно стоит 7,9 км/с: там считали с более точным g≈9,8 м/с². Расхождение около процента — это округление g, а не ошибка. Считай с тем значением, которое дали в условии, и не подгоняй результат под запомненное число.

Из формулы v = √(GM/r) следуют четыре вывода, которые прямо спрашивают в задании 5:

Чем выше орбита, тем медленнее спутник. Радиус стоит в знаменателе под корнем. Значит, первая космическая — это скорость на самой низкой возможной орбите, и она же самая большая из всех круговых. Утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — готовый неверный вариант.

Период обращения тоже не зависит от массы спутника. Он равен T = 2πr/v, а массы спутника в v нет.

Работа силы тяготения за оборот равна нулю. На круговой орбите сила всё время перпендикулярна скорости, а перпендикулярная сила работы не совершает. Поэтому модуль скорости постоянен, и кинетическая энергия спутника не меняется.

Ускорение спутника не равно нулю. Оно центростремительное и направлено к центру планеты. Скорость постоянна по модулю — но не по направлению, и это разные вещи.

На круговой орбите единственная сила — тяготение, и она целиком уходит на поворот скорости

Миша запускает демонстрационную ракету; рядом показаны круговая орбита спутника, касательная скорость и направленное к Земле ускорение — Ракета получает тягу, выбрасывая газы назад; на круговой орбите скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру Земли.

Вторая космическая: скорость, чтобы улететь совсем

Первая космическая привязывает тело к планете. Вторая космическая — наоборот, отвязывает: это наименьшая скорость у поверхности, при которой тело преодолевает притяжение планеты и не возвращается.

Считается она не через силы, а через энергию — потому что вопрос «улетит ли навсегда» про силы в одной точке ответа не имеет. Понадобится потенциальная энергия тела в поле тяготения планеты:

в строку: Eп = -GMm/r

Минус здесь не опечатка: за нуль принята энергия бесконечно далеко от планеты, а всюду ближе энергия меньше нуля. И обрати внимание, что это не mgh: формула mgh годится только у самой поверхности, где поле можно считать однородным, а нам нужно улететь далеко, где тяготение заметно слабее.

Переведём «улетит и не вернётся» на язык энергии. Пока тело летит и на него действует только тяготение, а сопротивление воздуха мы не учитываем, его полная механическая энергия сохраняется: работа тяготения зависит только от начальной и конечной точки пути, а не от его формы, — поэтому энергию можно сравнивать в любых двух точках. Значит, её можно записать в одной удобной точке и приравнять к значению в другой — ровно так же, как в реактивном движении мы приравнивали импульс до и после.

Минимальный случай ухода: тела хватило ровно на то, чтобы уйти сколь угодно далеко — туда, где потенциальная энергия обратилась в ноль, — и скорость там тоже стала нулевой. Значит, вся полная энергия равна нулю. Приравняем к ней полную энергию у поверхности, где скорость равна искомой:

в строку: mv₂²/2 - GMm/R = 0

Масса тела снова сокращается — как и в первой космической. Остаётся:

в строку: v₂ = √(2GM/R) = √2 · √(GM/R) = √2 v₁

Вот главный рабочий вывод темы: вторая космическая ровно в √2≈1,41 раза больше первой. Это отношение одинаково для любой планеты — важно лишь, чтобы обе скорости брались в одной точке, у поверхности. Никаких данных о планете для перехода от одной к другой не нужно.

Для Земли: v₂ = √2 · 7,9 ≈ 11,2 км/с. Запоминать формулу стоит именно в виде v₂ = √2 v₁: она превращает задачу про вторую космическую в задачу про первую, а первую ты уже умеешь считать через √(gR).

Разбор: разгон по круговому треку

Пример

Мотоциклист едет по круговому треку радиусом 50 м и разгоняется. В тот момент, когда его скорость равна 20 м/с, тангенциальное ускорение равно 6 м/с². Найди модуль полного ускорения мотоцикла в этот момент и угол между полным ускорением и направлением на центр трека.

Центростремительная составляющая собирается из скорости и радиуса — оба даны:aцс = v²/R = 20²/50 = 8 м/с²Тангенциальная дана прямо в условии: a_т = 6 м/с². Складывать их как числа нельзя — они перпендикулярны, поэтому работает Пифагор:a = √(aт² + aцс²) = √(6² + 8²) = √100 = 10 м/с²Угол β между полным ускорением и направлением на центр находится через тангенс:tg β = aт/(aцс) = 6/8 = 0,75 ⇒ β ≈ 37°Ответ 10 м/с², а не 14 м/с²: арифметическая сумма 6 + 8 дала бы неверный результат — именно на ней и построен самый частый неправильный вариант.И посмотри, что будет дальше по ходу разгона. Тангенциальная составляющая остаётся 6 м/с², а центростремительная растёт вместе со скоростью. Значит, полное ускорение тоже растёт, а угол β уменьшается — вектор постепенно разворачивается ближе к направлению на центр.Ответ: a = 10 м/с²; угол с направлением на центр β ≈ 37°.

Разбор: две задачи про ракету, два разных закона

Пример

(а) Космический аппарат общей массой 410 кг покоится в открытом космосе. Двигатель выбрасывает 10 кг газа со скоростью 800 м/с относительно неподвижного наблюдателя. Какую скорость приобретёт аппарат? (б) Другая ракета массой 800 кг стартует с Земли вертикально вверх, сила тяги её двигателя 12 000 Н. Каково ускорение ракеты в начальный момент? Прими g = 10 м/с².

Часть (а). Внешних сил нет — система «аппарат плюс газ» замкнута, значит работает закон сохранения импульса. Направим ось x в ту сторону, куда полетит аппарат; тогда газ уходит против оси.До выброса всё покоилось, суммарный импульс был равен нулю — таким же он останется и после. Масса аппарата после выброса: 410 − 10 = 400 кг.0 = m uₓ + (M₀ - m) VₓПроекция скорости газа отрицательна, потому что он летит против оси: uₓ = -800 м/с. Подставляем:0 = 10 · (-800) + 400 · Vₓ ⇒ Vₓ = 8000/400 = 20 м/сЧасть (б). Здесь импульс не сохраняется: ракета в поле тяжести, система не замкнута. Зато дана готовая сила тяги — значит, второй закон Ньютона. На ракету действуют тяга вверх и сила тяжести вниз, ось направим вверх:ma = F_тяги − mga = (Fтяги - mg)/m = (12000 - 800 · 10)/800 = 4000/800 = 5 м/с²Почему в условии оговорено «в начальный момент»: топливо выгорает, масса ракеты убывает, и при неизменной тяге ускорение со временем растёт. Момент старта фиксируют, чтобы масса была той, что дана.Сравни два инструмента. В пустоте внешних сил нет — берём импульс. На старте есть тяжесть и известна тяга — берём законы Ньютона. Одна и та же физика реактивного движения, разные вопросы, разные законы. Определить, какой случай перед тобой, важнее, чем помнить обе формулы.Ответ: (а) 20 м/с; (б) 5 м/с².

Разбор: космические скорости чужой планеты

Пример

На некоторой планете ускорение свободного падения у поверхности равно 5 м/с², а радиус планеты — 5000 км. Найди для неё первую и вторую космические скорости. Затем ответь: как изменилась бы первая космическая, если бы масса планеты выросла в 4 раза, а радиус остался прежним?

Сначала переводим радиус в СИ: R = 5000 км = 5 · 10⁶ м. Ни гравитационная постоянная, ни масса планеты не даны — и не нужны: у поверхности они обе спрятаны в g.v₁ = √(gR) = √(5 · 5 · 10⁶) = √(2,5 · 10⁷) = 5 · 10³ м/с = 5 км/сВторая космическая — это первая, умноженная на корень из двух. Никаких дополнительных данных не нужно:v₂ = √2 v₁ ≈ 1,41 · 5 ≈ 7,1 км/сТеперь про массу. Связь g с массой планеты даёт равенство силы тяжести и силы тяготения у поверхности: g = GM/R². Радиус не меняется, значит g прямо пропорционально массе: масса выросла вчетверо — вчетверо выросло и g, до 20 м/с².Осталось подставить новое g в ту же формулу:v₁' = √(4gR) = 2√(gR) = 2 v₁ = 10 км/сВчетверо большая масса дала вдвое большую скорость: корень «уполовинивает» отношение. Приём работает и в другую сторону — если бы при той же массе вырос радиус, первая космическая упала бы: в v₁ = √(GM/R) радиус стоит в знаменателе.Ответ: v₁ = 5 км/с; v₂ ≈ 7,1 км/с; при вчетверо большей массе первая космическая выросла бы вдвое — до 10 км/с.

Как решать задачи на полное ускорение, ракеты и космические скорости?

1Сначала определи, какой из трёх сюжетов перед тобой. Кривая траектория и просят ускорение — это полное ускорение. Что-то от чего-то отделяется — реактивное движение. Орбита, спутник, «улететь с планеты» — космические скорости. Инструменты у них совершенно разные, и выбор инструмента здесь сложнее самих вычислений.
2Полное ускорение: считай составляющие порознь. Сначала aцс = v²/R по скорости и радиусу в нужный момент, отдельно a_т по изменению модуля скорости. Потом Пифагор, и только после этого угол через тангенс.
3Реактивное движение в пустоте: закон сохранения импульса. Выбери ось, приведи все скорости к одной системе отсчёта, распиши суммарный импульс до и после. Тело покоилось — импульс был нулевым и остаётся нулевым.
4Ракета с известной тягой в поле тяжести: второй закон Ньютона. Система не замкнута, импульс не сохраняется, сохранением пользоваться нельзя. Для вертикального старта ma = F_тяги − mg.
5Космические скорости: сведи всё к первой. Даны g и радиус планеты — бери v₁ = √(gR). Даны масса планеты и радиус орбиты — бери v = √(GM/r). Спросили вторую — умножь первую на √2.
6Проверь порядок величины. Космические скорости — это километры в секунду, то есть тысячи метров в секунду. Вышло 80 м/с или 8 миллионов — потеряна степень десятки при переводе километров в метры.

Проверь себя

Шесть вопросов по всем трём сюжетам темы — ровно по тем местам, где здесь теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Точка движется по окружности радиусом 5 м. В некоторый момент её скорость равна 10 м/с, а тангенциальное ускорение — 15 м/с². Чему равен модуль полного ускорения точки в этот момент?

2.Ракета летит в открытом космосе: ни воздуха, ни какой-либо опоры рядом нет. Может ли она разогнаться, включив двигатель?

Отсутствие опоры реактивному движению не мешает — это и есть его главное свойство. Ракета и газ образуют замкнутую систему, её суммарный импульс сохраняется: газ уходит в одну сторону, ракета в другую. Утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — готовый неверный вариант в списках задания 18.

3.Покоившийся в открытом космосе аппарат выбрасывает 4 кг газа со скоростью 300 м/с относительно неподвижного наблюдателя. После выброса масса аппарата равна 600 кг. Какую скорость он приобретёт?

Суммарный импульс был нулевым и остаётся нулевым, поэтому импульсы газа и аппарата равны по модулю: m·u = M·V. Отсюда V = m·u/M = 4·300/600 = 2 м/с. Вариант 1200 м/с — это импульс газа, если забыть поделить его на массу аппарата; 0,5 м/с — если поделить наоборот, 600 на 1200; 300 м/с — если решить, что аппарат полетит со скоростью газа.

4.Два спутника — массой 200 кг и 2000 кг — выводят на круговые орбиты одинакового радиуса вокруг Земли. Как соотносятся их скорости на орбите?

В условии круговой орбиты GMm/r² = mv²/r масса спутника стоит в обеих частях и сокращается: v = √(GM/r). Остались только масса планеты и радиус орбиты — что именно летит по орбите, роли не играет. Утверждение «первая космическая скорость не зависит от массы спутника» — верный вариант в задании 18. Период обращения по той же причине от массы спутника не зависит: T = 2πr/v.

5.Спутник переводят с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту вокруг той же планеты. Что произойдёт с его скоростью на орбите?

Скорость на круговой орбите v = √(GM/r): радиус стоит в знаменателе под корнем, поэтому чем выше орбита, тем медленнее движется спутник. Отсюда важный вывод: первая космическая — это скорость на самой низкой возможной орбите, у поверхности, и она же самая большая из всех круговых. Утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — готовый неверный вариант в задании 5.

6.Первая космическая скорость для некоторой планеты равна 3 км/с. Чему равна вторая космическая скорость для той же планеты?

Вторая космическая всегда в √2 раза больше первой, если обе берутся у поверхности одной и той же планеты: v₂ = √2·v₁ ≈ 1,41·3 ≈ 4,2 км/с. Больше о планете знать ничего не нужно — отношение универсально. Вариант 6 км/с получается, если по привычке удвоить, а 2,1 км/с — если поделить на √2 вместо умножения.

Какие ошибки делают в задачах на ускорение, ракеты и спутники?

Ошибка 1

Складывают составляющие ускорения как обычные числа. a_т и a_цс перпендикулярны, поэтому полное ускорение равно √(aт² + aцс²), а не их сумме. При a_т = 6 м/с² и a_цс = 8 м/с² верный ответ 10 м/с², а не 14.

Ошибка 2

Считают центростремительное ускорение постоянным при разгоне по окружности. Пока скорость растёт, растёт и aцс = v²/R — причём быстрее скорости. Постоянной при равномерном разгоне остаётся только тангенциальная составляющая. Поэтому полное ускорение всегда считают для конкретного момента: того, для которого дана скорость.

Ошибка 3

Считают, что реактивному движению нужна опора или воздух. Не нужны: ракета и выброшенный газ отталкиваются друг от друга, а не от среды. В списках задания 18 утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — неверное, и его ставят туда не случайно.

Ошибка 4

Пишут закон сохранения импульса, смешивая системы отсчёта. Если скорость газа дана относительно ракеты, а ракета уже движется, эту скорость сначала переводят в ту систему, в которой пишется закон. Все скорости в одном уравнении должны быть измерены относительно одного и того же тела отсчёта.

Ошибка 5

Применяют закон сохранения импульса к ракете на старте. На стартовом столе система не замкнута — есть сила тяжести, импульс не сохраняется. Там работает второй закон Ньютона с силой тяги: ma = F_тяги − mg. Сохранение импульса в чистом виде — это про полёт в пустоте.

Ошибка 6

Думают, что скорость на орбите зависит от массы спутника или что высокая орбита быстрее. Масса спутника сокращается в первой же строчке вывода, а радиус стоит под корнем в знаменателе: v = √(GM/r) — чем выше орбита, тем медленнее спутник. И ещё: r здесь отсчитывается от центра планеты, поэтому высоту орбиты нужно складывать с радиусом планеты, а не подставлять саму по себе.

Ошибка 7

Берут вторую космическую вдвое больше первой. Не вдвое, а в √2≈1,41 раза: 7,9 км/с превращаются в 11,2 км/с, а не в 15,8. Двойка в выводе появляется под корнем — в формуле v₂ = √(2GM/R), — и корень её «уполовинивает».

Запомни для ЕГЭ

1a = √(aт² + aцс²)

2aцс = v²/R, aт = Δv/(Δt)

3m uₓ + M Vₓ = 0

4ma = F_тяги − mg

v = √(GM/r), v₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с

6v₂ = √2 v₁ ≈ 11,2 км/с

7Космические скорости не зависят от массы спутника: она сокращается. Чем выше круговая орбита, тем меньше скорость

На экзамене

Тема закреплена за заданиями 1 и 2 — это по 1 баллу каждое. Больше 3–4 минут им отдавать незачем: если формула не всплыла за минуту, отметь задание и иди дальше, впереди задания по 2, 3 и 4 балла.
Задание 18 берёт из этой темы готовые утверждения-якоря — держи их наготове. Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и опоры не требует. Первая космическая скорость не зависит от массы спутника. Вторая космическая больше первой в √2 раза. Ускорение спутника на круговой орбите не равно нулю.
Формулы Циолковского в кодификаторе нет — она за рамками требований. Задачу про ракету на экзамене решают законом сохранения импульса. Если кажется, что без логарифма никак, скорее всего, ты усложняешь условие.
Расхождение 7,9 и 8 км/с пугать не должно: со справочным g = 10 м/с² и радиусом Земли 6400 км получается ровно 8 км/с, а табличные 7,9 посчитаны с более точным g. Считай с тем значением, которое дали в условии, и не подгоняй ответ под запомненное число.
Реактивное движение может прийти в задания 22 и 26 — механику в части 2 проверяют именно там. В задании 26 не забудь про критерий К1: он даёт отдельный балл только за обоснование модели. На письме это одна-две строки в начале решения — например: «Рассматриваем систему в ИСО (инерциальной системе отсчёта), связанной с Землёй; тела считаем материальными точками; внешними силами пренебрегаем — система замкнута». Каждый оборот тебе уже встречался в этой теме: замкнутость системы — там, где мы разбирали ракету и закон сохранения импульса. Про такое обоснование чаще всего просто забывают, и балл теряется на ровном месте.
Проверяй порядок величины прежде, чем нести ответ в бланк. Космические скорости — тысячи метров в секунду. Получилось 80 м/с или 8 миллионов — ищи потерянную степень десятки в переводе километров в метры.

Словарь темы

Тангенциальное ускорение: Составляющая ускорения, направленная вдоль касательной к траектории — то есть вдоль скорости или против неё. Меняет модуль скорости и не меняет её направление. При движении с постоянной по модулю скоростью равна нулю.
Центростремительное ускорение: Составляющая ускорения, направленная к центру окружности, перпендикулярно скорости. Меняет направление скорости и не меняет её модуль. Равна v²/R.
Полное ускорение: Векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих. Поскольку они перпендикулярны, модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов. Имеет смысл только для конкретного момента движения.
Реактивное движение: Движение тела, возникающее при отделении от него части его собственной массы с некоторой скоростью. Внешняя опора или среда для него не нужны: тело и отделившаяся часть отталкиваются друг от друга.
Замкнутая система: Система тел, на которую не действуют внешние силы либо их сумма равна нулю. Суммарный импульс замкнутой системы не меняется — на этом и держится расчёт реактивного движения. Ракета на старте замкнутой системой не является: на неё действует тяжесть.
Сила тяги: Сила, с которой выброшенный газ действует на ракету, разгоняя её. В школьных задачах её обычно задают готовым числом, а ускорение ракеты находят по второму закону Ньютона.
Первая космическая скорость: Наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником: пошло по круговой орбите и перестало падать. Считается как корень из произведения g на радиус планеты; для Земли около 7,9 км/с. От массы самого спутника не зависит.
Вторая космическая скорость: Наименьшая скорость у поверхности планеты, при которой тело преодолевает её притяжение и не возвращается. Больше первой в корень из двух раз; для Земли около 11,2 км/с.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задания 1 и 2 КИМ (по 1 баллу); также в 5, 6, 18, 22, 26 Макс. 1 балл ~4 минуты

Источники и проверка

6 документов

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по физике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Предметные первоисточники

The International System of Units (SI), 9th edition (Международная система единиц (СИ), 9-е издание). Международное бюро мер и весов (BIPM), 2019, действующая редакция.
Постановление Правительства Российской Федерации от 31.10.2009 № 879 «Об утверждении Положения о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации» (в ред. от 09.03.2022 № 323). Официальный интернет-портал правовой информации.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 22 сентября 2026): 1.1.8 «Криволинейное движение. Движение материальной точки по окружности. Полное ускорение»; 1.2.6 «Закон всемирного тяготения. Сила тяжести»; 1.4.3 «Закон изменения и сохранения импульса. Реактивное движение». Космические скорости в кодификаторе 2027 отдельным элементом не названы. В плане ЕГЭ 2027 задание 1 проверяет элементы 1.1.5 и 1.1.6, а реактивное движение (1.4.3) входит в задание 3.

Что сверено по документам

Формула полного ускорения a = √(a_т² + a_цс²).
Тангенциальная составляющая меняет только модуль скорости, центростремительная — только направление; при равномерном движении по окружности a_т = 0, при прямолинейном a_цс = 0.
При разгоне по окружности a_цс не постоянно (растёт вместе со скоростью), поэтому полное ускорение определено только для конкретного момента.
У тела, брошенного под углом, полное ускорение всё время равно g; в верхней точке тангенциальная составляющая равна нулю.
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса; внешняя опора или среда для него не нужны. Утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — неверное и встречается в задании 18.
Формулировки «реактивное движение основано на ЗСИ» и «основано на третьем законе Ньютона» описывают одно и то же.
Для покоившегося тела m·u_x + M·V_x = 0; все скорости должны быть в одной системе отсчёта.
Ракета на старте: система не замкнута, ускорение находится по второму закону Ньютона как a = (F_тяги − mg)/m; спрашивают ускорение в начальный момент, потому что масса убывает.
Формула Циолковского за рамками требований ЕГЭ.
Условие круговой орбиты GMm/r² = mv²/r; сила тяготения играет роль центростремительной.
Скорость на круговой орбите v = √(GM/r) не зависит от массы спутника; период обращения тоже.
Чем выше круговая орбита, тем меньше скорость спутника; утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — неверное и встречается в задании 5.
На круговой орбите работа силы тяготения за оборот равна нулю, кинетическая энергия постоянна, а ускорение спутника не равно нулю.
Первая космическая у поверхности: v₁ = √(gR), потому что mg = GMm/R² даёт GM = gR².
Для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с; со справочным g = 10 м/с² и R = 6400 км расчёт даёт 8 км/с, и это расхождение — следствие округления g.
Вторая космическая: v₂ = √(2GM/R) = √2·v₁ ≈ 11,2 км/с для Земли; отношение √2 универсально для любой планеты, если обе скорости берутся у поверхности.
Потенциальная энергия в поле тяготения E_п = −GMm/r, а не mgh; mgh применимо только у поверхности, где поле однородно.
Задание 22 — только механика, задание 26 — механика с обоснованием, и критерий К1 задания 26 даёт отдельный балл только за обоснование модели.