Статика

Динамика отвечала на вопрос, куда поедет тело. Статика — на вопрос, при каких условиях оно останется на месте. Разница принципиальная: тело может никуда не ехать и при этом раскручиваться. Поэтому одного равенства сил нулю здесь не хватит.

Дверь открывается легко, если толкнуть её у ручки, и почти не поддаётся, если давить у самых петель. Сила та же — результат разный. Значит, вращение определяет не только модуль силы, но и то, где она приложена.

Величина, которая это учитывает, называется моментом силы. Она равна произведению модуля силы на плечо:

Плечо $d$ — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из оси на эту линию. Вчитайся: не до точки приложения силы, а до прямой, вдоль которой сила действует. Пока сила перпендикулярна стержню, разницы нет. Как только появляется угол — разница становится решающей.

Если сила приложена на расстоянии $r$ от оси под углом $\alpha$ к стержню, плечо равно:

Отсюда два крайних случая. Сила перпендикулярна стержню ($\alpha = 90^\circ$) — плечо максимально и равно всему $r$, момент наибольший. Сила направлена вдоль стержня ($\alpha = 0$) — линия действия проходит через саму ось, плечо обращается в ноль, и момент тоже: как ни тяни дверь вдоль её плоскости, она не повернётся. Обрати внимание, что в формуле стоит синус, а не косинус: он максимален там, где момент максимален.

Посчитай на числах. К ручке гаечного ключа длиной 20 см приложили силу 30 Н. Перпендикулярно ручке — момент равен $30 \cdot 0{,}2 = 6$ Н·м. Под углом 30° к ручке — плечо становится равным $0{,}2 \cdot \sin 30^\circ = 0{,}1$ м, и момент падает вдвое: 3 Н·м. Сила не изменилась, а откручивать стало вдвое тяжелее.

Момент силы измеряют в ньютон-метрах (Н·м), а не в джоулях. Размерность у них действительно совпадает, но джоуль закреплён за энергией и работой, а момент силы — не энергия. Подмена единицы — готовый неверный вариант в тестовой части.

У момента есть знак. Договорись с собой: моменты, поворачивающие тело в одну сторону, берём со знаком плюс, в другую — со знаком минус. Обычно за плюс принимают вращение против часовой стрелки. Какое направление ты назовёшь положительным, не важно — важно не менять договорённость посреди решения.

Тело покоится, когда выполнены сразу два условия. Ни одно из них не заменяет другое.

Первое условие — векторная сумма всех сил равна нулю. Оно запрещает телу разгоняться поступательно:

Как и в динамике, с векторами работать неудобно — сразу переходи к проекциям на оси.

Второе условие — алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю. Оно запрещает телу раскручиваться:

Зачем нужны оба, видно на одном примере. Возьми стержень и надави на его концы одинаковыми по модулю силами в противоположные стороны: одну вверх, другую вниз. Сумма сил равна нулю, центр стержня останется на месте. Но стержень начнёт вращаться — моменты обеих сил крутят его в одну и ту же сторону и складываются. Такую конструкцию называют парой сил. Первое условие выполнено, второе нарушено, равновесия нет. Обратный случай тоже бывает: сумма моментов нулевая, а сумма сил — нет, и тело едет не поворачиваясь.

Слова «относительно любой оси» — не оговорка, а рабочий инструмент. Если сумма сил уже равна нулю, то сумма моментов не зависит от того, где ты провёл ось: при переносе оси к каждому моменту добавляется слагаемое, пропорциональное суммарной силе, а она нулевая — добавка исчезает. Значит, ось можно выбирать как удобно.

Удобно — через точку, где приложена сила, которую ты не знаешь и знать не хочешь. Её плечо станет нулевым, момент выпадет из уравнения, и одна неизвестная пропадёт сама собой. В задаче про балку на двух опорах так находят реакцию каждой опоры по очереди: сначала прячут одну, потом другую.

И ещё одна деталь, без которой не решается ни одна задача с балкой или стержнем: сила тяжести протяжённого тела приложена к его центру тяжести. У однородного тела правильной формы он совпадает с геометрическим центром — у однородной балки, доски или стержня это ровно середина. Массу такого тела нельзя «размазать» по опорам на глаз: её вес входит в уравнение моментов со своим собственным плечом.

Этот кусок теряют чаще всего: он выглядит отдельной темой про воду, а по кодификатору живёт в одном коде с моментом силы и условиями равновесия. И в задании 4 он встречается наравне с рычагом.

Жидкость давит на погружённое тело, и давление растёт с глубиной. Столб жидкости высотой $h$ создаёт гидростатическое давление:

В формуле нет ни площади, ни формы сосуда — только плотность жидкости и глубина. На глубине двух метров давление одинаково и в узкой трубке, и в бассейне.

Отсюда выводится закон Архимеда — принимать его на веру не нужно. Опусти в жидкость брусок с площадью основания $S$ и высотой $H$, поставив его вертикально. Верхняя грань окажется на глубине $h_1$, нижняя — на глубине $h_2 = h_1 + H$. Сверху жидкость давит вниз с силой $\rho g h_1 S$, снизу — вверх с силой $\rho g h_2 S$. Снизу глубина больше — значит, и сила больше. Давления на боковые грани попарно уравновешиваются. Остаётся направленная вверх выталкивающая сила:

Посмотри, что осталось в ответе: плотность жидкости, $g$ и объём погружённой части тела. Ни массы тела, ни его плотности, ни глубины погружения в формуле нет — они сократились по дороге. Поэтому на свинцовый и алюминиевый шары одинакового объёма, целиком опущенные в воду, действует одна и та же архимедова сила. Утверждение «выталкивающая сила зависит от массы тела» — типовой неверный вариант, и теперь ты знаешь не только то, что он неверен, но и почему.

У той же формулы есть словесная форма. Произведение $\rho_{\text{ж}} V_{\text{погр}}$ — это масса жидкости, которую тело вытеснило. Значит, архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Держи эту фразу наготове: в проверке утверждений она встречается почти дословно.

Плавание — это частный случай равновесия. Тело покоится на поверхности, когда выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести: $F_A = mg$. Распиши обе стороны через плотности: $\rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}} = \rho_{\text{т}} g V$, где $V$ — полный объём тела, а $V_{\text{погр}}$ — объём только подводной части. Сокращай $g$ и получай рабочее соотношение:

Доля погружённого объёма равна отношению плотностей — тела к жидкости. Дальше три случая. Тело легче жидкости ($\rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}}$) — плавает, погрузившись частично. Плотности равны — тело зависает в толще жидкости на любой глубине. Тело плотнее жидкости — тонет; тогда погружён весь объём, $V_{\text{погр}} = V$, а разность $mg - F_A$ уже не уравновешена и разгоняет тело вниз — это снова динамика.