Основы МКТ

Задание 7 КИМ (1 балл); также в 8, 9, 10, 18, 21, 23, 24 Макс. 1 балл ~4 минуты

В сосуде с газом летают миллиарды миллиардов молекул, и уследить за каждой невозможно. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) и не пытается: она связывает хаос молекулярных ударов с двумя величинами, которые показывает прибор, — давлением и температурой. Это задание 7 на 1 балл, но без этой связки не решаются ни 8, ни 9, ни 10, ни расчётные задачи второй части.

Идеальный газ — это модель, а не сорт газа

В механике ты уже проделывал этот трюк: чтобы посчитать полёт камня, его объявляют материальной точкой и забывают про форму, вращение и цвет. В молекулярной физике трюк тот же, только выбрасывать приходится больше. Реальный газ — это несчётное количество частиц, которые сталкиваются, притягиваются на расстоянии и имеют собственный размер. Описать такое точно нельзя, да и незачем.

Идеальный газ — упрощённая модель, в которой оставили ровно три допущения:

1. Собственный объём молекул пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда — молекулы считаем материальными точками.

2. На расстоянии молекулы друг с другом не взаимодействуют — потенциальной энергии их взаимодействия нет, есть только кинетическая.

3. Столкновения молекул между собой и со стенками абсолютно упругие, а между столкновениями молекула летит по прямой с постоянной скоростью.

Слово «идеальный» здесь означает «удобный для расчёта», а не «хороший». Модель работает тем лучше, чем более разрежен газ и чем дальше он от превращения в жидкость. Гелий в комнате ведёт себя почти идеально: он одноатомный, его атомы почти не притягивают друг друга. А водяной пар над кипящей водой под эту модель не подходит — там межмолекулярное притяжение уже определяет всё.

Откуда вообще известно, что молекулы летают, а не лежат смирно? Прямое наблюдаемое доказательство — броуновское движение: крошечная пылинка, взвешенная в жидкости или газе, никогда не стоит на месте и беспорядочно дёргается. Толкают её удары молекул среды, которые не компенсируют друг друга в каждый момент. Саму молекулу в микроскоп не увидишь, а вот результат её ударов — вполне.

Дальше нам понадобятся три «счётные» величины, и путать их нельзя. N — число молекул, штук. ν — количество вещества, моль. n — концентрация, то есть сколько молекул приходится на кубометр:

\nu = \dfrac{m}{M} = \dfrac{N}{N_A}, \qquad n = \dfrac{N}{V}

Здесь $M$ — молярная масса, $N_A = 6 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹ — постоянная Авогадро, её выдают в справочных материалах КИМ. Концентрация измеряется в м⁻³.

Проверь на числах: в баллоне объёмом 40 л находится 88 г углекислого газа с молярной массой 44 г/моль. Тогда $\nu = 88/44 = 2$ моль, молекул в нём $N = 2 \cdot 6 \cdot 10^{23} = 1{,}2 \cdot 10^{24}$ штук, а концентрация $n = 1{,}2 \cdot 10^{24} / 0{,}04 = 3 \cdot 10^{25}$ м⁻³. Обрати внимание на объём: 40 л — это 0,04 м³, а не 40. Литры в формулы МКТ не подставляют.

Давление — это сумма ударов

Давление воды на дно стакана легко объяснить весом: сверху лежит столб жидкости, он и давит. С газом в закрытом баллоне такое объяснение не проходит — газ давит на верхнюю крышку практически с той же силой, что и на дно. Вес тут почти ни при чём. Причина другая.

Молекула налетает на стенку и отскакивает. Её импульс изменился, а изменить импульс может только сила — значит, стенка подействовала на молекулу. По третьему закону Ньютона молекула действует на стенку с такой же по модулю силой. Один удар ничтожен и длится ничтожное время. Но молекул столько, что удары сливаются в постоянную ровную силу, как барабанная дробь сливается в гул. Эту суммарную силу, делённую на площадь стенки, и показывает манометр.

Отсюда сразу видно, от чего давление обязано зависеть: от того, как часто молекулы бьют по стенке, и от того, насколько сильным получается каждый удар. Частота ударов растёт с концентрацией: чем гуще газ, тем чаще прилёты. Сила удара растёт с массой молекулы и с её скоростью. Аккуратный подсчёт этих ударов приводит к основному уравнению МКТ:

p = \dfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle

Здесь $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат её скорости. Одна треть взялась не с потолка: молекулы летят во всех направлениях равновероятно, и на каждую из трёх осей приходится в среднем треть движения. По конкретной стенке бьёт только «своя» треть.

У этого уравнения есть второй, более удобный вид. Сгруппируй множители иначе: $m_0 \langle v^2 \rangle / 2$ — это в точности средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы $\langle E_{\text{к}} \rangle$ . Тогда:

p = \dfrac{2}{3} n \langle E_{\text{к}} \rangle

Это не новое уравнение, а то же самое, переписанное через энергию вместо скорости. Проверить легко: подставь $\langle E_{\text{к}} \rangle = m_0 \langle v^2 \rangle / 2$ обратно и получишь исходную запись.

И сразу про ловушку, которая стоит балла. $\langle v^2 \rangle$ — это средний квадрат скорости: сначала каждую скорость возводят в квадрат, потом усредняют. Это не то же самое, что квадрат средней скорости. Корень из среднего квадрата называют средней квадратичной скоростью: $v_{\text{кв}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$ . Именно она стоит в основном уравнении, и она чуть больше обычной средней скорости — всегда, когда скорости молекул не все одинаковы.

Давление газа — суммарная сила ударов молекул о стенку, делённая на её площадь

Температура — мера средней кинетической энергии

Бытовое «горячо» и «холодно» физика заменяет числом. Но что именно это число измеряет? Не количество теплоты и не энергию тела целиком.

Начнём с наблюдения. Приведи два тела в контакт и оставь надолго: их макроскопические параметры (то, что можно измерить приборами снаружи, — давление, объём, температура) перестанут меняться. Наступило тепловое равновесие. Температура — это та величина, которая у тел в тепловом равновесии обязательно оказывается одинаковой. На этом и построен любой термометр: он приходит в равновесие с телом и показывает свою собственную температуру, которая к тому моменту сравнялась с температурой тела. Поэтому термометр надо держать в чае, а не выхватывать сразу.

В физике газов работает абсолютная шкала — шкала Кельвина. Перевод простой, и он нужен почти в каждой задаче раздела:

T = t + 273

Здесь $t$ — температура в градусах Цельсия, $T$ — абсолютная температура в кельвинах. Ноль кельвинов соответствует −273 °C — это абсолютный ноль, ниже него температуры не бывает, отрицательной абсолютной температуры не существует.

Важная деталь, на которой экономят время: размер деления у обеих шкал одинаковый. Кельвин и градус Цельсия — это один и тот же «шаг», шкалы просто сдвинуты друг относительно друга на 273. Поэтому разности температур совпадают: нагрели на 40 °C — значит нагрели ровно на 40 К. Переводить разность не нужно, а вот саму температуру — обязательно.

Теперь главная формула темы. Абсолютная температура связана со средней кинетической энергией поступательного движения молекулы так:

\langle E_{\text{к}} \rangle = \dfrac{3}{2} k T

Здесь $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана. Её тоже выдают в КИМ, запоминать не нужно.

Из этой строчки следует три вещи, и каждую регулярно спрашивают.

Первое. Абсолютная температура и есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Ничего другого температура не измеряет — и наоборот, эта энергия не зависит ни от чего, кроме $T$ : ни от давления, ни от объёма, ни от концентрации.

Второе. Сорт газа в формулу не входит. При одной и той же температуре у молекулы водорода и у молекулы кислорода средняя кинетическая энергия поступательного движения одинакова. Кислородная молекула тяжелее — значит, она просто движется медленнее, чтобы энергия совпала.

Третье. Слово «поступательного» в формуле не украшение. Молекула может ещё и вращаться, и у двухатомной молекулы на вращение приходится своя доля энергии. Формула $\tfrac{3}{2}kT$ описывает только полёт молекулы как целого. В формулировках заданий это слово стоит всегда — читай его.

Отсюда же выводится средняя квадратичная скорость. Приравняй два выражения для одной и той же энергии: $m_0 \langle v^2 \rangle / 2 = \tfrac{3}{2} k T$ , вырази ⟨v²⟩ и возьми корень:

v_{\text{кв}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}

Вторая запись получается из первой заменой $k = R/N_A$ и $m_0 = M/N_A$ — постоянная Авогадро сокращается. Здесь $R$ — универсальная газовая постоянная, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К), её тоже выдают в справочных материалах КИМ. Пользуйся той, для которой в условии есть данные: дана масса молекулы — первая, дана молярная масса — вторая. Только помни, что $M$ в формуле с $R$ подставляется в кг/моль: 28 г/моль — это 28·10⁻³ кг/моль.

Обрати внимание на корень: скорость растёт не как $T$ , а как $\sqrt{T}$ . Чтобы молекулы полетели вдвое быстрее, абсолютную температуру надо поднять вчетверо. На этом построены все задания вида «во сколько раз изменится скорость».

Шкалы Кельвина и Цельсия: сдвинуты на 273, но размер деления одинаков

Миша наблюдает хаотическое движение молекул идеального газа, их удары о стенки и связь скорости частиц с температурой — Давление создают удары молекул о стенки, а повышение температуры означает рост их средней кинетической энергии.

Два «основных уравнения» — и почему их путают

На уроках, в задачниках и в разборах ты встретишь две разные формулы, и обе будут названы «основным уравнением МКТ»:

p = \dfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle \qquad \text{и} \qquad p = n k T

Это не опечатка и не спор учебников. Одно следует из другого, и вывод занимает одну строчку. Возьми уравнение в энергетическом виде $p = \tfrac{2}{3} n \langle E_{\text{к}} \rangle$ и подставь в него связь энергии с температурой $\langle E_{\text{к}} \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ :

p = \dfrac{2}{3} n \cdot \dfrac{3}{2} k T = n k T

Двойки и тройки сократились нацело — именно поэтому в формуле энергии стоит коэффициент 3/2, а в уравнении МКТ 1/3 и 2/3. Они подогнаны друг под друга.

Зачем тогда две записи? Затем, что они про разное. Первая — микроскопическая: она объясняет, откуда давление берётся, но содержит ⟨v²⟩ и m₀, которых ни один прибор не показывает. Вторая — мост к измеримому: она выражает давление через температуру, которую можно просто снять с термометра. Формула $p = nkT$ и есть тот переход от невидимого мира молекул к показаниям приборов, ради которого вся МКТ и строилась.

Как выбрать на экзамене. Посмотри, что дано. В условии фигурируют скорости молекул или масса одной молекулы — бери $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$ . Даны температура и концентрация — бери $p = nkT$ . Спрашивают среднюю кинетическую энергию — не ищи скорости вообще, ответ даёт $\tfrac{3}{2}kT$ в одно действие.

И одно предупреждение про $p = nkT$ , которое стоит балла в заданиях 9 и 10. Из этой формулы не следует, что давление всегда пропорционально температуре. Справа два множителя, и концентрация тоже умеет меняться. Пропорциональность $p \propto T$ появляется только при дополнительном условии: сосуд закрыт и жёсткий, то есть $N$ и $V$ постоянны, а с ними постоянна и $n = N/V$ . Выпустил часть газа или сдвинул поршень — n изменилась, и рассуждение рассыпалось.

Если умножить обе части $p = nkT$ на объём и вспомнить, что число молекул выражается через количество вещества, получится уравнение состояния идеального газа, а из него — изопроцессы. Это уже соседняя тема кода 2.2: там разбирают уравнение Менделеева — Клапейрона и газовые законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля — все они описывают, как связаны между собой давление, объём и температура газа. Здесь нам достаточно знать, что дорога туда начинается ровно отсюда.

Разбор: азот в баллоне

Пример

В баллоне объёмом 0,5 м³ находится азот с молярной массой 28 г/моль. Концентрация молекул равна 2·10²⁵ м⁻³, температура газа 17 °C. Найди давление газа, среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и среднюю квадратичную скорость молекул. Прими k = 1,38·10⁻²³ Дж/К, R = 8,31 Дж/(моль·К).

Первое действие — кельвины. В формулы МКТ градусы Цельсия не подставляются никогда:

T = t + 273 = 17 + 273 = 290\ \text{К}

Давление. Дана концентрация и температура — значит, нужна форма

p = nkT

. Скорости искать не надо:

p = n k T = 2 \cdot 10^{25} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 290 \approx 8{,}0 \cdot 10^{4}\ \text{Па} = 80\ \text{кПа}

Порядок правдоподобный: около 0,8 атмосферы, примерно как воздух в горах. Если бы вышло 10⁻⁵ Па или 10¹² Па, стоило бы искать ошибку в степенях.Средняя кинетическая энергия. Она зависит только от абсолютной температуры, и ни концентрация, ни сорт газа сюда не входят:

\langle E_{\text{к}} \rangle = \dfrac{3}{2} k T = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 290 \approx 6{,}0 \cdot 10^{-21}\ \text{Дж}

Средняя квадратичная скорость. Дана молярная масса — берём форму с

R

. Сначала переводим M в кг/моль: 28 г/моль = 0,028 кг/моль. Сначала формула, потом числа:

v_{\text{кв}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 8{,}31 \cdot 290}{0{,}028}} \approx \sqrt{2{,}58 \cdot 10^{5}} \approx 508\ \text{м/с}

Полкилометра в секунду — это нормально для комнатной температуры: молекулы газа действительно очень быстрые. Далеко улететь им не даёт то, что они постоянно сталкиваются друг с другом.Заметил? Объём баллона не понадобился ни разу. Концентрация уже сообщает всё о том, насколько густо набит газ, — знать отдельно V и N для этих трёх величин не требуется. Не всякое число из условия обязано попасть в формулу.Ответ: p ≈ 80 кПа; ⟨E_к⟩ ≈ 6,0·10⁻²¹ Дж; v_кв ≈ 508 м/с.

Как подступиться к задаче по основам МКТ

1Переведи температуру в кельвины. Это первое действие, а не последнее.

T = t + 273

. Исключение одно: если в задаче фигурирует разность температур, переводить её не нужно — разности в кельвинах и градусах Цельсия совпадают.

2Разберись, что дано: n или ν. Концентрация

n = N/V

— это штуки на кубометр. Количество вещества

\nu = m/M = N/N_A

— это моли. Из ν получить n можно только через объём.

3Выбери форму основного уравнения по данным. Есть скорости или масса молекулы —

p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle

. Есть температура —

p = nkT

. Это одно уравнение в двух записях, но подставляют в них разное.

4Про энергию спрашивают — иди коротким путём. Не ищи скорость, чтобы потом возводить её в квадрат.

\langle E_{\text{к}} \rangle = \tfrac{3}{2} k T

даёт ответ в одно действие из одной температуры.

5Проверь единицы до подстановки. Объём в м³ (40 л = 0,04 м³), давление в Па, молярная масса в кг/моль, если работаешь с R. Смешал граммы с килограммами — получишь ответ, ошибочный ровно в тысячу раз.

6Прикинь порядок ответа. Скорости молекул при комнатной температуре — сотни м/с. Средняя кинетическая энергия — порядка 10⁻²¹ Дж. Массы молекул — порядка 10⁻²⁶ кг. Если результат далеко за этими рамками, ищи потерянную степень десятки.

7Перечитай, в каких единицах просят ответ. «В кПа», «в единицах 10⁻²¹ Дж», «в процентах» — задание регулярно просит не СИ. Верное число не в тех единицах — это ноль баллов.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам темы, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.В двух сосудах при одинаковой температуре находятся водород и кислород. Сравни среднюю кинетическую энергию поступательного движения их молекул.

⟨E_к⟩ = (3/2)kT зависит только от абсолютной температуры. Сорт газа, масса молекулы и давление в формулу не входят. Молекула кислорода действительно тяжелее и потому медленнее, но произведение m₀⟨v²⟩/2 у обоих газов одинаковое — медлительность в точности компенсирует массу.

2.Идеальный газ нагрели с 27 °C до 477 °C. Во сколько раз выросла средняя кинетическая энергия поступательного движения его молекул?

Сначала кельвины: T₁ = 300 К, T₂ = 750 К. Энергия пропорциональна абсолютной температуре, значит выросла в 750/300 = 2,5 раза. Ответ «в 17,7 раза» получается, если поделить 477 на 27, то есть посчитать отношение прямо в градусах Цельсия. Отношения температур по шкале Цельсия физического смысла не имеют — шкала сдвинута.

3.Среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросла его абсолютная температура?

v_кв = √(3kT/m₀), то есть скорость растёт как корень из температуры. Обратная зависимость — квадратичная: T ∝ v², поэтому втрое большая скорость требует в 3² = 9 раз большей абсолютной температуры.

4.Газ находится в закрытом жёстком баллоне. Его абсолютную температуру увеличили вдвое. Как изменилась концентрация молекул?

Концентрация n = N/V. Баллон закрыт — число молекул N не изменилось; баллон жёсткий — объём V не изменился. Значит, и n прежняя. Нагрев увеличил скорости молекул и давление (p = nkT при постоянной n даёт p ∝ T), но гуще газ от этого не стал. «Концентрация увеличилась» — готовый неверный вариант в заданиях 9 и 10.

5.Четыре молекулы имеют скорости 200, 400, 400 и 600 м/с. Чему равен средний квадрат скорости ⟨v²⟩, который стоит в основном уравнении МКТ?

⟨v²⟩ — это средний квадрат: сначала возводим каждую скорость в квадрат, потом усредняем. (200² + 400² + 400² + 600²)/4 = 720 000/4 = 180 000 м²/с². А 160 000 — это квадрат средней скорости: средняя равна (200+400+400+600)/4 = 400 м/с, её квадрат 160 000. Числа разные, и в уравнение МКТ идёт именно 180 000. Кстати, средняя квадратичная скорость здесь √180 000 ≈ 424 м/с — она больше средней 400 м/с, и так бывает всегда, когда скорости не все одинаковы.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Подставляют градусы Цельсия вместо кельвинов. Самая дорогая ошибка раздела: она не портит физику, она портит ответ в разы. В $\langle E_{\text{к}} \rangle = \tfrac{3}{2}kT$ , $p = nkT$ и $v_{\text{кв}} = \sqrt{3RT/M}$ температура всегда абсолютная. Пиши $T = t + 273$ первой строкой решения — и вопрос закрыт.

Ошибка 2

Путают средний квадрат скорости с квадратом средней. В основном уравнении стоит $\langle v^2 \rangle$ : сначала возводим в квадрат, потом усредняем. Порядок действий обратный — и число другое. Корень из ⟨v²⟩ называется средней квадратичной скоростью и обычной средней скоростью не является.

Ошибка 3

Считают, что $\langle E_{\text{к}} \rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — это вся энергия молекулы. Это только энергия поступательного движения, то есть полёта молекулы как целого. У двухатомной молекулы есть ещё и вращение со своей долей энергии. В формулировках заданий слово «поступательного» стоит всегда — не проглатывай его.

Ошибка 4

Думают, что давление всегда пропорционально температуре. В $p = nkT$ справа два множителя. $p \propto T$ верно только при постоянной концентрации, то есть в закрытом жёстком сосуде. Выпустили часть газа или сдвинули поршень — $n$ изменилась, и вывод неверен.

Ошибка 5

Путают $m_0$ и $M$ . $m_0$ — масса одной молекулы, порядка 10⁻²⁶ кг. $M$ — молярная масса, кг/моль, порядка 10⁻². Связывает их $m_0 = M/N_A$ . И в формулах с $R$ молярная масса идёт в кг/моль: 28 г/моль — это 0,028 кг/моль, а не 28.

Ошибка 6

Считают концентрацию количеством вещества. $n = N/V$ измеряется в м⁻³ и говорит, насколько густо набит газ. $\nu = m/M$ измеряется в молях и говорит, сколько газа всего. Одно из другого получается только через объём — и объём должен быть в кубометрах, а не в литрах.

Запомни для ЕГЭ

p = \dfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle

p = \dfrac{2}{3} n \langle E_{\text{к}} \rangle

\langle E_{\text{к}} \rangle = \dfrac{3}{2} k T

p = n k T

v_{\text{кв}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}

n = \dfrac{N}{V}, \quad \nu = \dfrac{m}{M} = \dfrac{N}{N_A}

T = t + 273,\quad m_0 = \dfrac{M}{N_A},\quad k = \dfrac{R}{N_A}

8k = 1,38·10⁻²³ Дж/К, N_A = 6·10²³ моль⁻¹, R = 8,31 Дж/(моль·К) — всё это есть в справочных материалах КИМ, учить не нужно

На экзамене

Задание 7 стоит 1 балл, но оно общее с соседней темой «Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы» (код 2.2): значительная часть реальных вариантов 7 решается уравнением Менделеева — Клапейрона $pV = \nu R T$ из неё, а не формулами этой темы. Отсюда, из основ МКТ, ты закрываешь ту часть задания 7, где спрашивают тепловое равновесие и связь давления с концентрацией и температурой: перевёл градусы в кельвины, посмотрел, дана концентрация или количество вещества, подставил в $p = nkT$ . Изопроцессы и $pV = \nu R T$ — за соседней темой. Больше 3–4 минут задание 7 не стоит.
Константы $k$ , $N_A$ , $R$ и молярные массы лежат в справочных материалах, вложенных в КИМ. Не трать время на попытки вспомнить — открой таблицу. Заодно свериться с ней надёжнее, чем с памятью на четвёртом часу экзамена.
Ответ часто просят не в СИ: «в кПа», «в единицах 10⁻²¹ Дж», «в процентах». Перечитай последнюю строку условия перед тем, как перенести число в бланк, — это регулярная потеря целого балла при верной физике.
В заданиях 9 и 10 (по 2 балла) проверяют не расчёт, а связку «изменили одно — что стало с остальным». Проговаривай каждую величину отдельно и по формуле: концентрация зависит от N и V; средняя кинетическая энергия — только от T; давление — от n и T сразу. Дистракторы строят ровно на том, что какую-то из этих зависимостей приписывают не той величине.
От этой темы задание 18 ждёт понятийных якорей. Их два, и они простые: температура — величина скалярная; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул определяется только абсолютной температурой и не зависит от сорта газа.
Задание 21 — качественное, на 3 балла, и в 2026 году механики в нём нет: остались только МКТ и электродинамика. Формат ответа жёсткий. Сначала явно напиши «Используемые законы и модели» и назови их — например, модель идеального газа и связь ⟨E_к⟩ = (3/2)kT. Потом цепочка рассуждений, потом вывод. Балл здесь снимают не за физику, а за неназванный закон.
В расчётных 23 и 24 действуют критерии части 2: подставляй числа в конечную формулу, а не в каждую промежуточную, и не оставляй незачёркнутых лишних записей. И обязательно пиши единицы в ответе — без них снимут балл, даже если число верное.

Эксперимент

Лаборатория: молекулы и температура

Главное из того, что она показывает, разобрано выше: скорость молекул растёт как корень из абсолютной температуры (вчетверо большая T — вдвое более быстрые молекулы), а средняя кинетическая энергия поступательного движения зависит только от абсолютной температуры и ни от чего больше: ⟨E_к⟩ = (3/2)kT.

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

Идеальный газМодель газа: молекулы считаются материальными точками, на расстоянии не взаимодействуют, а сталкиваются абсолютно упруго. Не сорт газа, а упрощение для расчёта. Работает тем лучше, чем более разрежен газ и чем он дальше от превращения в жидкость.

Броуновское движениеБеспорядочное движение мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе. Вызвано нескомпенсированными ударами молекул среды и служит наблюдаемым доказательством того, что молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.

Концентрация молекулЧисло молекул в единице объёма: n = N/V, измеряется в м⁻³. Говорит о том, насколько густо набит газ. Не путать с количеством вещества.

Количество веществаМера числа частиц в порциях по одному молю: ν = m/M = N/N_A, измеряется в молях.

Постоянная АвогадроN_A = 6·10²³ моль⁻¹ — число частиц в одном моле вещества. Выдаётся в справочных материалах КИМ.

Постоянная Больцманаk = 1,38·10⁻²³ Дж/К — коэффициент, связывающий среднюю кинетическую энергию молекулы с абсолютной температурой. Связана с универсальной газовой постоянной: k = R/N_A. Выдаётся в справочных материалах КИМ.

Универсальная газовая постояннаяR = 8,31 Дж/(моль·К) — постоянная, входящая в формулу v_кв = √(3RT/M) и в уравнение состояния газа. Связана с постоянной Больцмана: R = k·N_A. Выдаётся в справочных материалах КИМ.

Основное уравнение МКТСвязь давления идеального газа с движением его молекул. Микроскопическая запись: p = (1/3)nm₀⟨v²⟩, она же через энергию: p = (2/3)n⟨E_к⟩. После подстановки ⟨E_к⟩ = (3/2)kT превращается в p = nkT — форму, где вместо ненаблюдаемых скоростей стоит измеримая температура.

Средний квадрат скорости⟨v²⟩ — среднее значение квадратов скоростей молекул: сначала возводят в квадрат, потом усредняют. Не равен квадрату средней скорости.

Средняя квадратичная скоростьv_кв = √⟨v²⟩ = √(3kT/m₀) = √(3RT/M). Та характеристика скорости молекул, которая входит в основное уравнение МКТ. Растёт как корень из абсолютной температуры.

Абсолютная температураТемпература по шкале Кельвина: T = t + 273. Мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Не бывает отрицательной; 0 К (абсолютный ноль) соответствует −273 °C.

Тепловое равновесиеСостояние, в которое приходят соприкасающиеся тела, если оставить их надолго: макроскопические параметры перестают меняться. Температура — та величина, которая у тел в тепловом равновесии одинакова; на этом основано действие термометра.

Источники и проверка

22 источника

Тема соответствует коду 2.1 кодификатора ФИПИ по физике: основное уравнение МКТ, температура, давление идеального газа.
Содержание темы — модель идеального газа, p = nkT, p = (1/3)nm₀⟨v²⟩ и ⟨E_к⟩ = (3/2)kT — и ничего сверх этого.
Уравнение Менделеева — Клапейрона и изопроцессы в эту тему не входят: это соседний код 2.2. Поэтому здесь дан только мост к ним, без формулы pV = νRT и без законов Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля.
Первичное задание темы — 7, оно стоит 1 балл; тема входит также в 8, 9, 10, 18, 21, 23, 24.
Основное уравнение МКТ p = (1/3)nm₀⟨v²⟩ и его форма p = nkT — обе входят в обязательный минимум формул по разделу.
Энергетическая форма p = (2/3)n⟨E_к⟩ эквивалентна записи p = (1/3)nm₀⟨v²⟩, а переход к p = nkT получается подстановкой ⟨E_к⟩ = (3/2)kT.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы ⟨E_к⟩ = (3/2)kT зависит только от абсолютной температуры и не зависит от сорта газа, давления и объёма.
Слово «поступательного» существенно: (3/2)kT описывает только поступательное движение, у многоатомных молекул есть ещё вращение.
Средняя квадратичная скорость v_кв = √(3kT/m₀) = √(3RT/M); скорость растёт как корень из абсолютной температуры.
⟨v²⟩ — средний квадрат скорости, а не квадрат средней скорости; v_кв = √⟨v²⟩ больше средней скорости, если скорости молекул не одинаковы.
Абсолютная температура: T = t + 273, абсолютный ноль соответствует −273 °C, отрицательной абсолютной температуры не бывает; разности температур по шкалам Кельвина и Цельсия совпадают.
Давление газа имеет ударную природу: изменение импульса молекулы при отражении от стенки означает силу со стороны стенки, а по третьему закону Ньютона — равную силу молекулы на стенку; давление есть суммарная сила ударов, делённая на площадь.
Модель идеального газа: молекулы — материальные точки, взаимодействия на расстоянии нет, столкновения абсолютно упругие. Модель тем точнее, чем более разрежен газ; гелий при обычных условиях к ней близок, водяной пар у поверхности воды — нет.
Броуновское движение — наблюдаемое доказательство непрерывного хаотического движения молекул.
ν = m/M = N/N_A, n = N/V; объём подставляется в м³, молярная масса в формулах с R — в кг/моль.
Числа разбора «азот в баллоне» верны.
Из p = nkT не следует, что давление всегда пропорционально температуре: нужна постоянная концентрация (закрытый жёсткий сосуд).
В 2026 году задание 21 — качественная задача на 3 балла по МКТ и электродинамике; механика из него исключена. Требуется явно назвать использованные законы и модели.
В части 2 (задания 23 и 24) числа подставляют в конечную формулу, лишние записи зачёркивают, единицы в ответе обязательны.
Задание 18 проверяет понятийный аппарат сразу по всем разделам, поэтому от темы нужны короткие утверждения-якоря: температура — скаляр; ⟨E_к⟩ определяется только абсолютной температурой.
Константы k = 1,38·10⁻²³ Дж/К, N_A = 6·10²³ моль⁻¹, R = 8,31 Дж/(моль·К) выдаются в справочных материалах КИМ и не требуют запоминания.
Лаборатория с id «mkt» реально существует в наборе «physics», показывает движение молекул со скоростью ~√T и содержит вопрос про ⟨E⟩ = (3/2)kT. Fallback описывает только то, что лаборатория действительно делает.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 7

К списку темВсе темы ЕГЭ по физике