Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы

Газ в сосуде — это огромное число молекул, и следить за каждой бессмысленно. Вместо этого состояние газа описывают тремя числами: давление p, объём V и абсолютная температура T. Задал три числа — задал состояние. Изменил хотя бы одно — газ перешёл в другое состояние.

Свободно менять все три сразу не выйдет: они связаны друг с другом. Для идеального газа — модели, в которой молекулы не притягиваются друг к другу, а их собственный объём пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда, — связь записывается одной строкой. Это уравнение Менделеева — Клапейрона:

Здесь ν — количество вещества в молях, m — масса газа, M — его молярная масса, а R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная. Она одинакова для любого идеального газа: и для гелия, и для азота. Её значение выдают в справочных материалах КИМ, запоминать отдельно не нужно.

Количество вещества считается через массу: ν = m/M. Молярная масса — масса одного моля: у кислорода O₂ это 32 г/моль, у азота N₂ — 28 г/моль. Такие значения тоже есть в справочных материалах, их не заучивают.

Вторая форма записи,   pV = (m/M)RT, — рабочая. Именно она превращает уравнение в инструмент для поиска массы газа, и на ней стоит целый жанр задания 23: «сколько газа выпустили из баллона». Правило простое: появилось в условии слово «масса» или «сколько граммов» — бери эту форму.

Саму модель идеального газа, температуру как меру энергии молекул и основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) разбирает соседняя тема. Здесь от неё нужно только одно следствие: уравнение состояния верно ровно настолько, насколько газ близок к идеальному. Разреженный воздух или гелий при обычных условиях описываются им хорошо, а насыщенный пар над поверхностью воды — уже нет: там становится заметным притяжение между молекулами, которым в модели идеального газа пренебрегают, и это разбирает отдельная тема про насыщенный пар.

В уравнении состояния T — это абсолютная температура, и измеряется она в кельвинах. Не в градусах Цельсия. Перевод простой:

где t — температура в градусах Цельсия. Ноль кельвинов соответствует −273 °C, ниже температура не опускается — поэтому T никогда не бывает отрицательной. Отсюда бесплатная самопроверка: получил в решении отрицательную абсолютную температуру — ищи ошибку, а не радуйся необычному ответу.

Почему это важнее, чем кажется. Шкала Цельсия сдвинута относительно нуля, и отношения температур в ней не значат ничего. Смотри: газ нагрели при постоянном давлении с 27 °C до 327 °C, во сколько раз вырос объём? По Цельсию рука тянется написать 327/27≈12. По-настоящему:  T₁ = 300 К,  T₂ = 600 К, объём вырос ровно в 2 раза. Разница между 12 и 2 — это весь балл за задание.

Остальные единицы важны тогда, когда подставляешь числа в само уравнение: объём — в кубометрах (1 л = 10⁻³ м³), давление — в паскалях (1 кПа = 10³ Па, 1 МПа = 10⁶ Па), молярная масса — в килограммах на моль (32 г/моль = 32·10⁻³ кг/моль). Литры, оставленные литрами, дают ответ, промахнувшийся ровно в тысячу раз.

А дальше — приятное послабление. Когда ты сравниваешь два состояния одного и того же газа и пишешь отношение, p и V можно оставить в любых единицах, лишь бы они были одинаковыми слева и справа: килопаскали сократятся с килопаскалями, литры с литрами. С температурой этот номер не проходит никогда: только кельвины, потому что пропорциональности в шкале Цельсия нет.

Чаще всего в задаче не спрашивают ν и даже не дают R. Дают одно состояние газа и просят найти другое. Тогда уравнение состояния пишут дважды и делят одно на другое.

Пусть масса газа не меняется — сосуд закрыт, ничего не выпускали и не накачивали. Тогда произведение νR в правой части одинаково для обоих состояний и при делении сокращается:

Это объединённый газовый закон. Другая его запись — pV/T = const: для данной порции газа эта комбинация не меняется, что бы с газом ни делали. Ни количество вещества, ни молярная масса, ни R сюда не входят — поэтому закон работает, даже когда про сам газ не сказано ничего, кроме слова «идеальный».

Условие постоянной массы — не формальность, а первое, что стоит проверить в условии. Как только появилось «часть газа выпустили», «баллон подкачали», «половину перепустили в другой сосуд» — объединённый закон применять нельзя. Тогда пишут полное уравнение   pV = (m/M)RT отдельно для каждого состояния, каждое со своей массой.

Сам метод выглядит одинаково почти во всех задачах темы: выписал p₁, V₁, T₁, выписал p₂, V₂, T₂, вычеркнул то, что не меняется, выразил неизвестное. Если спрашивают «во сколько раз», абсолютные значения не нужны вовсе — хватит отношений.