Законы сохранения

Задание 3 КИМ (1 балл); также в 5, 6, 18, 22, 26 Макс. 1 балл ~4 минуты

Импульс и энергия — два счётчика, которые природа не разрешает обнулить. На ЕГЭ это задание 3, но без законов сохранения не решаются ни 22, ни 26. Главные ловушки темы — знаки импульсов при столкновении и то, откуда отсчитывать высоту для потенциальной энергии.

Импульс — вектор, и это половина темы

У движущегося тела есть две «валюты»: импульс и энергия. Обе считаются через массу и скорость, но ведут себя по-разному, и добрая половина ошибок в теме — от того, что их путают. Начнём с импульса.

Импульс тела — произведение массы на скорость:

\vec{p} = m \vec{v}

Это вектор. Он направлен туда же, куда скорость: масса положительна и направление не переворачивает. Единица измерения — кг·м/с, собственного названия у неё нет.

Раз импульс вектор, обращаться с ним надо как с любым вектором: выбрать ось и перейти к проекциям. Проекция импульса — число со знаком: плюс, если тело движется по оси, минус — если против. Потерянный минус здесь стоит ровно столько же, сколько ошибка в формуле.

Самый показательный случай — отскок от стенки. Шайба летит вправо со скоростью $v$ , ударяется о неподвижную стенку и после абсолютно упругого удара летит влево с той же по модулю скоростью. Модуль импульса не изменился: был $mv$ — остался $mv$ . А сам импульс изменился, и заметно:

\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = -mv - mv = -2mv

По модулю изменение импульса равно $2mv$ , а вовсе не нулю. Это готовая ловушка задания 5: в списке утверждений рядом стоят «модуль импульса шайбы после отскока равен модулю импульса до удара» (верно) и «импульс шайбы при ударе не изменился» (неверно). Разница в одном слове — и разный ответ.

Модуль импульса при упругом отскоке тот же, а вектор развернулся: изменение импульса по модулю равно 2mv

Закон сохранения импульса

Импульс интересен не сам по себе, а тем, что он сохраняется. В замкнутой системе — такой, где тела взаимодействуют только друг с другом, а внешние силы отсутствуют или компенсируют друг друга, — суммарный импульс не меняется никогда:

m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2

Здесь $\vec{v}$ — скорости до взаимодействия, $\vec{u}$ — после. В векторах эту запись не посчитаешь: выбирай ось, выписывай скорости со знаками и приравнивай суммы проекций.

Идеально замкнутых систем в задачах почти не бывает: есть сила тяжести, бывает трение. Но закон всё равно работает, и по двум причинам.

Первая: удар, выстрел и разрыв длятся ничтожно мало. Импульс, который внешняя сила успевает передать системе, тем меньше, чем меньше время её действия. За миллисекунды удара им можно пренебречь и считать систему замкнутой на время удара.

Вторая: можно выбрать ось, вдоль которой у внешних сил нет проекции. Тележки катятся по горизонтальному столу, сила тяжести и реакция опоры вертикальны — значит, вдоль горизонтальной оси импульс сохраняется, хотя система не замкнута целиком. В решении это стоит проговорить: ЗСИ пишется в проекции на конкретную ось, а не «вообще».

И главное свойство, которого нет у энергии: ЗСИ работает при любом ударе — и упругом, и неупругом. Что бы ни происходило внутри системы, сколько бы тепла ни выделилось, сумма импульсов останется прежней.

На этом же законе стоит реактивное движение: ракета выбрасывает газы назад и получает импульс вперёд, хотя опереться ей не на что. Подробно оно разбирается в отдельной теме кода 1.6.

Миша показывает неупругое столкновение тележек и превращение потенциальной энергии в кинетическую на гладком жёлобе — При столкновении сохраняется суммарный импульс системы, а на гладком жёлобе механическая энергия переходит между потенциальной и кинетической формами.

Работа и мощность

Импульс меняет сила, действующая какое-то время. Энергию меняет сила, действующая на каком-то пути. Эта вторая связка и называется работой:

A = F s \cos\alpha

Здесь $\alpha$ — угол между силой и перемещением, а не между силой и чем-то ещё. Единица — джоуль (Дж). Работа — скаляр, но со знаком, и знак целиком определяется косинусом: острый угол даёт плюс, тупой — минус, прямой — ровно ноль.

Отсюда три вывода, которые экономят время на экзамене.

Сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает. Сила нормальной реакции опоры при движении вдоль поверхности и натяжение нити при вращении груза по окружности — обе перпендикулярны скорости, у обеих $\cos 90^\circ = 0$ . В задании 5 это ходовое верное утверждение, а в задачах — повод не тащить эти силы в уравнение энергии вовсе.

Сила трения скольжения совершает отрицательную работу. Она направлена против перемещения, $\alpha = 180^\circ$ , косинус равен −1. Именно поэтому трение «съедает» механическую энергию.

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты. Не от формы траектории, не от длины пути. Съехал с горки по крутому склону или по пологому — если высота одна, работа тяжести одна и та же. При подъёме она отрицательна, при спуске положительна.

Мощность — быстрота совершения работы:

P = \dfrac{A}{t} = F v

Первая запись — средняя мощность за время $t$ . Вторая — мгновенная, когда сила направлена вдоль скорости (иначе туда добавляется тот же косинус). Единица — ватт (Вт). Вторая формула отвечает на вопросы вида «двигатель развивает мощность 45 кВт, машина едет равномерно со скоростью 25 м/с, какова сила тяги»: делишь и получаешь $F = P/v = 1800$ Н.

И ещё один вывод из $P = Fv$ , который любит задание 5. Машина разгоняется с постоянным ускорением, сила сопротивления постоянна. Тогда равнодействующая $ma$ постоянна, а значит, и сила тяги постоянна. А мощность при этом растёт — потому что растёт скорость.

Работа определяется углом между силой и перемещением: A = F·s·cos α

Энергия: кинетическая и потенциальная

Кинетическая энергия — энергия движения:

E_k = \dfrac{m v^2}{2}

Скаляр, никогда не отрицательна, измеряется в джоулях. Скорость входит в квадрате — на этом стоят все вопросы «во сколько раз». Удвоил скорость: импульс вырос вдвое, а кинетическая энергия вчетверо. Вот и всё различие двух «валют» — они по-разному отзываются на изменение скорости.

Работа и кинетическая энергия связаны напрямую: работа всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии.

A_{\text{всех сил}} = E_{k2} - E_{k1}

Потенциальная энергия — энергия положения или деформации. В школьном курсе их две:

E_{\text{п}} = m g h, \qquad E_{\text{упр}} = \dfrac{k x^2}{2}

В первой $h$ — высота над нулевым уровнем, и нулевой уровень выбираешь ты сам. Это вторая большая ловушка темы. Положил ноль на пол — тело над столом имеет $E_{\text{п}} = mgh_1$ . Положил ноль на столешницу — то же самое тело имеет $E_{\text{п}} = mgh_2$ . Обе записи верные, и обе дадут один ответ, потому что физический смысл имеет не сама $E_{\text{п}}$ , а её разность между двумя точками.

Ошибка появляется не при выборе нуля, а при его смене посреди решения: начало посчитали от пола, конец — от столешницы. Поэтому выбирай нулевой уровень в самой нижней точке движения и подпиши это словами в первой же строке решения. Тогда все высоты выйдут положительными, и вычитать ничего не придётся.

Во второй формуле $x$ — деформация пружины, то есть насколько её растянули или сжали относительно недеформированного состояния, а не её длина. Растяжение и сжатие на одну и ту же величину дают одинаковую энергию: $x$ в квадрате, знак пропадает.

И кинетическая энергия, и импульс зависят от системы отсчёта. У пассажира, идущего по вагону, одна кинетическая энергия относительно вагона и совсем другая относительно земли. В задачах систему отсчёта обычно связывают с Землёй и делают это молча — но в задании 26 её надо назвать вслух, за это дают отдельный балл.

Один шарик, два законных выбора нуля: относительно пола его потенциальная энергия mgh₁, относительно столешницы — mgh₂. Оба варианта верны; неверно — сменить уровень посреди решения

Сохранение и изменение механической энергии

Полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной: $E = E_k + E_{\text{п}}$ . Она сохраняется, если работу совершают только сила тяжести и сила упругости. Такие силы называют консервативными: их работа не зависит от формы траектории. Силы, перпендикулярные скорости, — реакция опоры, натяжение нити при вращении — работы не совершают и сохранению не мешают. А вот трение и сопротивление воздуха мешают.

\dfrac{m v_1^2}{2} + m g h_1 = \dfrac{m v_2^2}{2} + m g h_2

Отсюда следует результат, который любит задание 5. Тело соскользнуло без трения с горки высотой $h$ и пришло вниз со скоростью

v = \sqrt{2 g h}

Масса сократилась — значит, скорость у основания не зависит ни от массы, ни от угла наклона, ни от формы горки. Только от высоты. Отсюда же берётся частый неверный вариант «скорость у основания зависит от угла наклона»: он выглядит разумно и потому опасен.

Если трение есть, энергия никуда не исчезает — она уходит во внутреннюю, тела нагреваются. Тогда работает закон изменения механической энергии: изменение полной механической энергии равно работе сил трения, а она отрицательна.

E_2 - E_1 = A_{\text{тр}}

Посмотри, как это выглядит на практике. Санки съезжают с гладкой горки высотой $h$ и тормозят на горизонтальном участке с коэффициентом трения $\mu$ . Вся потенциальная энергия уходит в работу трения: $mgh = \mu m g L$ . Масса снова сокращается, и длина тормозного пути $L = h/\mu$ от массы не зависит вовсе — только от высоты горки и коэффициента трения.

Такое сокращение массы — не совпадение, а признак того, что решение идёт правильно. Если в задаче на чистую механику масса не сократилась, а её числа в условии нет, стоит перепроверить выкладки.

Два удара: что сохраняется, а что нет

Столкновения — сердце этой темы. Всё сводится к одному вопросу: какие законы здесь вообще можно писать?

Абсолютно неупругий удар. Тела после столкновения движутся вместе, как единое целое: слиплись, застряли, сцепились. Сохраняется только импульс. Часть кинетической энергии необратимо переходит во внутреннюю — тела нагреваются и деформируются. Одного уравнения хватает, чтобы найти общую скорость:

m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{u}

Абсолютно упругий удар. Тела разлетаются, деформации исчезают бесследно, нагрева нет. Сохраняются и импульс, и кинетическая энергия. Уравнений два, поэтому и найти можно две неизвестные скорости:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2

\dfrac{m_1 v_1^2}{2} + \dfrac{m_2 v_2^2}{2} = \dfrac{m_1 u_1^2}{2} + \dfrac{m_2 u_2^2}{2}

Решать эту систему в лоб долго, и легко ошибиться в квадратах. Для самого частого случая — второе тело покоится, удар центральный (скорости направлены вдоль линии, соединяющей центры) — ответ известен:

u_1 = v_1 \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}, \qquad u_2 = \dfrac{2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}

Эти две формулы стоит знать наизусть: именно на них строится задание 26 про упругий центральный удар. Проверь их на трёх крайних случаях — заодно убедишься, что не перепутал числитель со знаменателем.

Массы равны ( $m_1 = m_2$ ): числитель обращается в ноль, $u_1 = 0$ , а $u_2 = v_1$ . Налетевший шар останавливается, покоившийся уезжает с его скоростью. Бильярд.

Лёгкое бьёт тяжёлое ( $m_1 \ll m_2$ ): $u_1 \approx -v_1$ , $u_2 \approx 0$ . Отскок назад почти с той же скоростью — та самая шайба о стенку, только теперь стенка конечной массы.

Тяжёлое бьёт лёгкое ( $m_1 \gg m_2$ ): $u_1 \approx v_1$ , $u_2 \approx 2 v_1$ . Тяжёлое тело почти не замечает удара, лёгкое улетает с удвоенной скоростью.

Если после удара надо узнать, что будет дальше — шар вкатится на горку, шарик на нити отклонится, — переключайся на закон сохранения энергии. Порядок всегда один: сначала ЗСИ на удар, потом ЗСЭ на то, что после. Сшивать их в одно уравнение через весь процесс нельзя: во время неупругого удара механическая энергия не сохраняется, и такое уравнение будет неверным с первой строки.

КПД: здесь он механический

Ни одна реальная машина не превращает всю затраченную работу в полезную: часть уходит на трение в осях, на нагрев, на перемещение самих деталей. Коэффициент полезного действия показывает, какая доля дошла до цели:

\eta = \dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}

Полезная работа всегда меньше затраченной, поэтому КПД всегда меньше единицы — меньше 100%. Записать его можно и через мощности: если поделить числитель и знаменатель на одно и то же время, дробь не изменится, и получится $\eta = P_{\text{пол}} / P_{\text{затр}}$ .

Что считать полезной работой, решает условие задачи, а не формула. Кран поднимает груз — полезная работа это $mgh$ , а затраченная включает ещё и потери в механизме. Ящик втаскивают на наклонную плоскость — полезная работа снова $mgh$ , а затраченная это работа силы, которую прикладываешь вдоль плоскости, вместе с преодолением трения.

Разберём на числах. Подъёмник поднимает груз массой 400 кг на высоту 9 м за 20 с, КПД механизма 75%. Полезная работа:

A_{\text{пол}} = m g h = 400 \cdot 10 \cdot 9 = 36\,000\ \text{Дж}

Затраченная работа больше полезной, поэтому на КПД делим:

A_{\text{затр}} = \dfrac{A_{\text{пол}}}{\eta} = \dfrac{36\,000}{0{,}75} = 48\,000\ \text{Дж}

P = \dfrac{A_{\text{затр}}}{t} = \dfrac{48\,000}{20} = 2400\ \text{Вт} = 2{,}4\ \text{кВт}

Если у тебя вышло, что затраченная работа меньше полезной, — ты перевернул дробь и умножил там, где надо было поделить. Проверка занимает секунду и ловит эту ошибку целиком.

И важное предупреждение. В термодинамике есть свой КПД — КПД тепловой машины, $\eta = A / Q_1$ , а для идеального цикла Карно $\eta = (T_1 - T_2)/T_1$ . Это другая тема (код 2.5) и другие задания (8 и 24). Здесь КПД механический — отношение работ, никаких температур. Формулу Карно к крану, блоку или наклонной плоскости применять нельзя.

Разбор: две тележки и горка

Пример

Две тележки едут навстречу друг другу по гладкому горизонтальному столу. Первая массой 3 кг движется вправо со скоростью 4 м/с, вторая массой 1 кг — влево со скоростью 4 м/с. При столкновении тележки сцепились. Найди скорость сцепки сразу после удара, долю механической энергии, перешедшей во внутреннюю, и высоту, на которую сцепка вкатится на гладкую горку в конце стола. Прими g = 10 м/с².

Тележки поехали вместе — удар абсолютно неупругий. Значит, сохраняется только импульс, и ЗСЭ на удар писать нельзя. Стол гладкий, тяжесть и реакция опоры вертикальны, поэтому вдоль горизонтали импульс сохраняется точно.Направим ось Ox вправо, по движению первой тележки. Тогда

v_{1x} = +4

м/с, а

v_{2x} = -4

м/с: вторая едет против оси. Вот здесь и теряют балл — складывают модули, забыв минус.ЗСИ в проекции на Ox:

m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = (m_1 + m_2) u_x

u_x = \dfrac{m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}}{m_1 + m_2} = \dfrac{3 \cdot 4 + 1 \cdot (-4)}{3 + 1} = \dfrac{8}{4} = 2\ \text{м/с}

Проекция положительна — сцепка едет вправо со скоростью 2 м/с. Будь вторая тележка тяжелее, ответ вышел бы отрицательным, и это тоже был бы нормальный ответ: сцепка поехала бы влево.Доля энергии. Кинетическая энергия — скаляр, в неё скорость входит в квадрате, так что знаки здесь уже не нужны, только модули:

E_1 = \dfrac{3 \cdot 4^2}{2} + \dfrac{1 \cdot 4^2}{2} = 24 + 8 = 32\ \text{Дж}

E_2 = \dfrac{(3 + 1) \cdot 2^2}{2} = 8\ \text{Дж}

Во внутреннюю энергию перешло

32 - 8 = 24

Дж, то есть доля равна:

\dfrac{E_1 - E_2}{E_1} = \dfrac{24}{32} = 0{,}75 = 75\%

Три четверти механической энергии ушли из механики — на нагрев и деформацию. Закон сохранения энергии при этом не нарушен: энергия не пропала, а сменила форму. А импульс не потерял ни грамма. В этом и есть разница между двумя «валютами».Высота подъёма. Удар закончился, горка гладкая — теперь работает ЗСЭ. Нулевой уровень возьмём на поверхности стола: в начале

E_{\text{п}} = 0

, а в верхней точке скорость обращается в ноль и

E_k = 0

\dfrac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = (m_1 + m_2) g h

h = \dfrac{u^2}{2 g} = \dfrac{2^2}{2 \cdot 10} = 0{,}2\ \text{м}

Масса сократилась — высота от неё не зависит. И запомни порядок действий: сначала ЗСИ на удар, потом ЗСЭ на подъём, двумя отдельными уравнениями. Написать одно ЗСЭ через весь процесс — от начальных 32 Дж сразу к высоте — было бы ошибкой: 24 Дж из этих 32 до горки просто не доехали.Ответ: u = 2 м/с вправо; во внутреннюю энергию перешло 75% механической; h = 0,2 м.

Как подступиться к задаче на законы сохранения

1Определи, что за процесс. Удар, выстрел, разрыв, сцепка — это импульс. Горка, пружина, падение, подъём — это энергия. Удар, а потом подъём — оба закона, но по очереди, разными уравнениями.

2Проверь условия применимости. Для ЗСИ: замкнута ли система, а если нет — есть ли ось, вдоль которой у внешних сил нет проекции; при ударе время мало, внешним импульсом пренебрегаем. Для ЗСЭ: есть ли трение. Если есть — это не сохранение, а изменение:

E_2 - E_1 = A_{\text{тр}}

3Выбери ось и нулевой уровень — и запиши это словами. Ось нужна импульсу, нулевой уровень — потенциальной энергии. И то и другое выбираешь ты; поменяться посреди решения они могут только через твою ошибку. В части 2 эта строчка ещё и требуется по критериям.

4Импульсы выписывай в проекциях, энергии — по модулям. У импульса знак несёт смысл. У кинетической энергии скорость в квадрате, поэтому знак пропадает сам, и подставлять минус туда не надо.

5Реши в буквах, потом подставь числа. Часто сокращается масса — и это хороший знак, что ты на верном пути. В части 2 числа подставляй уже в итоговую формулу, а не в промежуточные, — иначе снимут балл.

6Проверь ответ на невозможное. Скорость сцепки не может превысить скорость самого быстрого тела до удара. Кинетическая энергия после неупругого удара не может вырасти. КПД не может быть больше 100%. Три проверки на десять секунд.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Мяч массой 0,2 кг летит горизонтально со скоростью 8 м/с, ударяется о неподвижную стену и отскакивает с той же по модулю скоростью в противоположном направлении. Чему равен модуль изменения импульса мяча?

Импульс — вектор. Направим ось по начальному движению: до удара проекция равна +mv = +1,6 кг·м/с, после удара −mv = −1,6 кг·м/с. Изменение Δp = −1,6 − 1,6 = −3,2, по модулю 3,2 кг·м/с, то есть 2mv. Ответ «0» получается, если перепутать импульс с его модулем: модуль действительно не изменился, а вот сам импульс изменился.

2.Тело лежит на столе. Один ученик выбрал нулевой уровень потенциальной энергии на полу, другой — на столешнице. Кто прав?

Нулевой уровень выбирает тот, кто решает, и обе записи верны: физический смысл имеет только разность потенциальных энергий между двумя точками, а она от выбора нуля не зависит. Ошибка возникает не при выборе, а при его смене посреди решения: начало отсчитали от пола, конец — от столешницы.

3.Два пластилиновых шара столкнулись и слиплись. Что сохранилось в этом процессе?

Слипание — признак абсолютно неупругого удара. Импульс замкнутой системы сохраняется при любом ударе. Кинетическая энергия — нет: часть её перешла во внутреннюю, шары нагрелись и деформировались. Полная энергия при этом сохранилась, но она уже не механическая, и записать ЗСЭ для такого удара нельзя.

4.Шайба скользит по гладкому горизонтальному столу и проходит 5 м. Какую работу совершает при этом сила нормальной реакции опоры?

Работа A = F·s·cos α, где α — угол между силой и перемещением. Сила нормальной реакции перпендикулярна поверхности, а перемещение идёт вдоль неё: α = 90°, cos 90° = 0, работа равна нулю. По той же причине не совершает работы натяжение нити при вращении груза по окружности — оно тоже перпендикулярно скорости.

5.Автомобиль разгоняется по горизонтальной дороге с постоянным ускорением, сила сопротивления движению постоянна. Что происходит с мощностью двигателя?

Ускорение постоянно, значит равнодействующая ma постоянна; сила сопротивления тоже постоянна — следовательно, сила тяги постоянна. Но мощность P = F·v, а скорость растёт, поэтому растёт и мощность, причём линейно по времени. Пропорционально квадрату времени растёт кинетическая энергия: Ek = m(at)²/2.

6.Подъёмный механизм совершил полезную работу 30 кДж. КПД механизма 60%. Какую работу затратил двигатель?

КПД — отношение полезной работы к затраченной: η = A_пол/A_затр. Отсюда A_затр = A_пол/η = 30/0,6 = 50 кДж. Затраченная работа всегда больше полезной, поэтому на КПД делят, а не умножают. Вариант 18 кДж получается умножением и невозможен сразу: он меньше полезной работы.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Путают «модуль импульса не изменился» и «импульс не изменился». При упругом отскоке от стенки модуль импульса тот же, а вектор развернулся: $|\Delta p| = 2mv$ . В задании 5 эти два утверждения стоят в списке рядом — одно верное, другое нет.

Ошибка 2

Складывают импульсы как числа, забыв про знаки. Импульс — вектор. Тела едут навстречу — в проекции на ось у одного плюс, у другого минус. Сложил модули — получил чужой ответ, и выглядеть он будет вполне правдоподобно.

Ошибка 3

Меняют нулевой уровень потенциальной энергии посреди решения. Начало отсчитали от пола, конец — от столешницы. Выбор произволен, но он один на всю задачу. Подпиши его словами в первой строке — и ошибка станет невозможной.

Ошибка 4

Пишут ЗСЭ для неупругого удара. При слипании часть кинетической энергии уходит во внутреннюю, механическая энергия не сохраняется — работает только ЗСИ. Обратная ошибка не лучше: для упругого удара одного уравнения ЗСИ мало, там нужны два.

Ошибка 5

Теряют квадрат в $E_k = mv^2/2$ . Удвоил скорость — импульс вырос вдвое, а кинетическая энергия вчетверо. Задания 5 и 6 стоят ровно на этой разнице: одна величина линейна по скорости, другая квадратична.

Ошибка 6

Умножают на КПД вместо деления. $A_{\text{затр}} = A_{\text{пол}} / \eta$ , а не $A_{\text{пол}} \cdot \eta$ . Проверка на месте: затраченная работа обязана быть больше полезной, а КПД — меньше 100%. Вышло наоборот — дробь перевёрнута.

Ошибка 7

Тащат формулу Карно в механику. $\eta = (T_1 - T_2)/T_1$ — это КПД идеальной тепловой машины, код 2.5 и задания 8 и 24. У крана, блока и наклонной плоскости КПД механический: $A_{\text{пол}} / A_{\text{затр}}$ , и температур там нет вовсе.

Ошибка 8

Считают, что скорость у основания гладкой горки зависит от угла наклона или от массы. Из ЗСЭ следует $v = \sqrt{2gh}$ — только высота. Оба «зависит» — готовые неверные варианты в задании 5, и оба выглядят разумно.

Запомни для ЕГЭ

\vec{p} = m \vec{v}, \quad [p] = \text{кг} \cdot \text{м/с}

m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2

A = F s \cos\alpha, \quad P = \dfrac{A}{t} = F v

E_k = \dfrac{m v^2}{2}

E_{\text{п}} = m g h, \quad E_{\text{упр}} = \dfrac{k x^2}{2}

u_1 = v_1 \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}, \quad u_2 = \dfrac{2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}

\eta = \dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} < 1

8Упругий удар — импульс и кинетическая энергия. Неупругий — только импульс

9Гладкая горка: v = √(2gh), от массы и угла не зависит

На экзамене

Задание 3 стоит 1 балл — закладывай 3–4 минуты. Почти всегда это одна формула и одна подстановка: $E_k = mv^2/2$ , $E_{\text{упр}} = kx^2/2$ , ЗСИ для слипшихся тел. Если решение растянулось на полстраницы — перечитай условие, скорее всего ты усложняешь.
Первое действие в любой задаче на удар — выписать на черновике ось и знаки. Одна строка, а снимает самую частую ошибку темы.
Задания 5 и 6 стоят по 2 балла, и в них берётся частичный балл: в задании 5 — если ровно один символ лишний или ровно один пропущен, в задании 6 — если ошибся ровно в одной позиции. Пустыми их не оставляй, даже если уверен не во всём.
Проверяй ответ на невозможное. Кинетическая энергия после неупругого удара не может вырасти, скорость сцепки не может превысить скорость самого быстрого тела до удара, КПД не может перевалить за 100%. Это ловит перевёрнутые дроби и потерянные минусы за секунды.
В задании 22 (2 балла, только механика) законы сохранения — рабочий инструмент. Нужен рисунок с силами и полный набор: названные законы, введённые обозначения, преобразования в буквах, ответ с единицами. Ответ без единиц измерения стоит балла, даже когда число верное.
Тема входит в задание 26 через упругий центральный удар. Формулы $u_1 = v_1 (m_1 - m_2)/(m_1 + m_2)$ и $u_2 = 2 m_1 v_1 / (m_1 + m_2)$ держи в голове: выводить систему из двух уравнений на четырёхбалльной задаче — непозволительная трата времени.
Задание 26 даёт 4 балла, и один из них — критерий К1, только за обоснование модели. Назови инерциальную систему отсчёта (ту, где выполняются законы Ньютона, — обычно связанную с Землёй), объясни, почему тела можно считать материальными точками, и обоснуй применимость законов: удар абсолютно упругий — значит, сохраняются и импульс, и кинетическая энергия; время удара мало — значит, импульсом внешних сил за это время можно пренебречь и считать систему замкнутой. Это самый дешёвый балл во всей второй части, и именно про него чаще всего забывают.
В задании 21 законов сохранения механики не будет: с 2026 года механика оттуда исключена, остались только МКТ и электродинамика. Не трать время на поиск знакомого — механика ждёт тебя в 22 и 26.

Словарь темы

Импульс телаВекторная величина p⃗ = mv⃗, направленная так же, как скорость. Измеряется в кг·м/с. Зависит от выбора системы отсчёта.

Замкнутая системаСистема тел, которые взаимодействуют только друг с другом; внешние силы отсутствуют или компенсируют друг друга. В такой системе суммарный импульс сохраняется. Систему часто считают замкнутой приближённо: на время удара или в проекции на одну выбранную ось.

Работа силыСкалярная величина A = F·s·cos α, где α — угол между силой и перемещением. Измеряется в джоулях. Знак определяется косинусом: при остром угле положительна, при тупом отрицательна, при прямом равна нулю.

МощностьБыстрота совершения работы: P = A/t. При силе, направленной вдоль скорости, мгновенная мощность равна P = Fv. Измеряется в ваттах.

Кинетическая энергияЭнергия движения, Ek = mv²/2. Скаляр, не бывает отрицательной. Работа всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии.

Потенциальная энергияЭнергия положения или деформации: mgh в поле тяжести, kx²/2 у упругой деформации. Значение зависит от выбора нулевого уровня, физический смысл имеет только разность между двумя точками.

Нулевой уровень потенциальной энергииВысота, от которой отсчитывают h. Выбирается произвольно тем, кто решает задачу, но остаётся одним и тем же на всё решение. Удобнее всего класть его в самую нижнюю точку движения.

Консервативная силаСила, работа которой не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением. В школьном курсе это сила тяжести и сила упругости. Механическая энергия сохраняется, когда работу совершают только они.

Абсолютно упругий ударСтолкновение, после которого деформации исчезают полностью и нагрева нет. Сохраняются и импульс, и кинетическая энергия системы — уравнений два.

Абсолютно неупругий ударСтолкновение, после которого тела движутся вместе как одно целое. Сохраняется только импульс; часть кинетической энергии переходит во внутреннюю.

Центральный ударСтолкновение, при котором скорости тел направлены вдоль линии, соединяющей их центры. Задача становится одномерной, и достаточно одной оси.

КПД (механический)Отношение полезной работы к затраченной: η = A_пол/A_затр. Всегда меньше 100%, потому что часть работы уходит на трение и нагрев. Не путать с КПД тепловой машины из темы кода 2.5.

Источники и проверка

25 источников

Тема соответствует коду 1.3 кодификатора ФИПИ по физике, охват — импульс, энергия, работа, мощность, КПД.
Тема проверяется заданием 3 (1 балл, краткий ответ — число, базовый уровень) и входит в задания 5, 6, 18, 22, 26.
Формулы темы входят в обязательный минимум кодификатора: p = mv и ЗСИ, A = F·s·cos α, P = A/t = F·v, Ek = mv²/2, Eп = mgh, Eупр = kx²/2, закон сохранения и изменения механической энергии, КПД = A_пол/A_затр.
Частые ловушки задания 3 — знаки у импульсов и учёт нулевого уровня потенциальной энергии. Оба вынесены в отдельные блоки и в список ошибок.
При абсолютно упругом отскоке от неподвижной стенки модуль импульса сохраняется, но вектор меняется на противоположный; модуль изменения импульса равен 2mv.
ЗСИ применим, когда система замкнута; при ударе — приближённо, потому что время удара мало и импульсом внешних сил за это время можно пренебречь; либо в проекции на ось, вдоль которой у внешних сил нет проекции.
ЗСИ выполняется при любом ударе, а кинетическая энергия сохраняется только при абсолютно упругом. При абсолютно неупругом ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю, полная энергия при этом сохраняется.
Формулы абсолютно упругого центрального удара при покоящемся втором теле: u₁ = v₁(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂), u₂ = 2m₁v₁/(m₁ + m₂).
Порядок «сначала ЗСИ на удар, потом ЗСЭ на движение после удара» — стандартная схема задания 26.
Сила, перпендикулярная перемещению (нормальная реакция опоры, натяжение нити при вращении), работы не совершает — это ходовое верное утверждение задания 5.
Скорость тела у основания гладкой горки равна √(2gh) и не зависит ни от массы, ни от угла наклона, ни от формы горки.
При наличии трения механическая энергия не сохраняется: её изменение равно работе силы трения (отрицательной). Для санок с гладкой горки и трения на горизонтали L = h/μ, и от массы не зависит.
Работа A = F·s·cos α, знак определяется косинусом; работа силы тяжести зависит только от изменения высоты, а не от формы траектории.
Мгновенная мощность P = F·v; при разгоне с постоянным ускорением и постоянной силе сопротивления сила тяги постоянна, а мощность растёт.
КПД механический η = A_пол/A_затр, всегда меньше 100%; A_затр = A_пол/η. Полезная работа при подъёме груза равна mgh.
КПД тепловой машины (η = A/Q₁, Карно η = (T₁ − T₂)/T₁) относится к другому коду кодификатора и другим заданиям — здесь его применять нельзя.
Импульс и кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, а ускорение — нет.
Задание 5 — множественный выбор на 2 балла: 2 балла за полное совпадение, 1 балл — если ровно один символ лишний или ровно один пропущен. Задание 6 — соответствие на 2 балла: 1 балл при ошибке ровно в одной позиции.
Задание 22 — 2 балла, только механика (изменение 2026); задание 26 — 4 балла, из них критерий К1 (1 балл) отдельно за обоснование модели, и это самая частая потеря баллов.
Обязательные элементы полного решения части 2 включают ответ с единицами измерения и подстановку чисел в конечную формулу; их отсутствие стоит балла.
В задании 21 механики нет — с 2026 года там только МКТ и электродинамика.
Реактивное движение — следствие ЗСИ, но относится к коду 1.6, а не 1.3, и разбирается в отдельной теме.
g = 10 м/с² — справочное значение, выдаётся в КИМ, отдельно его учить не нужно.
Числа во всех примерах темы оригинальны и перепроверены арифметически.
Блок interactive в теме отсутствует осознанно: подходящей лаборатории нет.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

К списку темВсе темы ЕГЭ по физике