Комбинаторика

Q: Как решать задания по теме «Комбинаторика»?

Шаги такие: 1) пойми, что происходит; 2) задай главный вопрос — важен ли порядок; 3) берём все предметы и только переставляем; 4) берём k из n, порядок важен; 5) несколько этапов подряд — перемножай; 6) считай, сокращая факториалы.

Q: Что нужно запомнить по теме «Комбинаторика»?

Главное: 1) Pₙ = n!; 2) Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!); 3) Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!); 4) Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!; 5) Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, 0! = 1; 6) Важен порядок — A или P. Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу.

Комбинаторика — это раздел, который вместо перебора вариантов даёт формулы, сразу выдающие их количество; фундамент всех её формул — правило умножения. На ЕГЭ тема нужна в задании 5 (1 балл, часть 1): там сочетаниями считают все и благоприятные исходы для классической вероятности P = m/n. В проекте КИМ 2027 те же подсчёты исходов пригодятся и в новом задании 6 (1 балл) о случайных величинах и их распределениях.

Решать задание 5 ЕГЭ

Формулы комбинаторики в одной таблице

Главная развилка темы: важен порядок выбора или нет
Понятие	Формула	Когда применять
Правило умножения	N = m·n	Выбор из независимых этапов: «и то, и другое» по очереди
Правило сложения	N = m + n	Группы не пересекаются: «либо одно, либо другое»
Факториал	n! = 1·2·3…n, 0! = 1	Произведение всех натуральных чисел от 1 до n
Перестановки	Pₙ = n!	Участвуют все предметы, меняется только порядок: «расставить», «рассадить»
Размещения	Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!)	k из n, порядок важен: роли разные, места пронумерованы
Сочетания	Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!)	k из n, порядок не важен: все равноправны, просто «выбрать группу»
Связь размещений и сочетаний	Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!	Размещений ровно в k! раз больше
Счёт сочетаний без калькулятора	Cₙᵏ = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!)	Сверху k чисел подряд от n вниз, снизу k!
Симметрия сочетаний	Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ	Удобно при большом k: C₁₀⁸ = C₁₀² = 45

Быстрые ответы

Что такое комбинаторика?

Комбинаторика — раздел, который вместо перебора вариантов даёт формулы, сразу выдающие их количество. Она нужна, когда вариантов слишком много, чтобы выписывать их вручную, а фундамент всех её формул — правило умножения.

Как решать задания по теме «Комбинаторика»?

Шаги такие:

пойми, что происходит
задай главный вопрос — важен ли порядок
берём все предметы и только переставляем
берём k из n, порядок важен
несколько этапов подряд — перемножай
считай, сокращая факториалы.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Комбинаторика»?

Путают размещения и сочетания. Это ошибка номер один. «Выбрать команду», «выбрать группу», «взять несколько» — порядок не важен, это сочетания Cₙᵏ. «Распределить места», «староста и зам», «первый и второй» — порядок важен, это размещения Aₙᵏ. Прежде чем считать, ответь себе на один вопрос: важен ли порядок.

Что нужно запомнить по теме «Комбинаторика»?

Главное:

Pₙ = n!
Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!)
Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!)
Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!
Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, 0! = 1
Важен порядок — A или P.

Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу.

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами», не заставляя перебирать варианты руками. На профильном ЕГЭ это задание 5 — там, где комбинаторика встречается с вероятностью. Вся тема держится на одном различении: важен порядок или нет. Перепутал, что важно — порядок или нет, — получил неверное число, и весь пример развалился.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое правило умножения в комбинаторике?

Комбинаторика нужна ровно тогда, когда вариантов слишком много, чтобы выписывать их вручную. Вместо перебора она даёт формулы, которые сразу выдают количество. А фундамент всех этих формул — одно простое правило.

Правило умножения. Если выбор состоит из нескольких независимых этапов и на первом этапе есть m вариантов, а на втором — n, то весь выбор можно сделать m·n способами. Этапов может быть сколько угодно — их количества просто перемножаются.

Пример на пальцах: у тебя 2 футболки и 3 пары шорт. Сколько разных комплектов? К каждой футболке подходят любые из трёх шорт, значит вариантов:

в строку: N = 2 · 3 = 6

Правило сложения. Если варианты разбиты на группы, которые не пересекаются (нельзя выбрать сразу из двух), то их количества складывают. «Взять яблоко или грушу» из 4 яблок и 3 груш — это 4 + 3 = 7 способов, а не 12: ты берёшь один фрукт, а не пару.

Различай их по союзу в условии. «И то, и другое» по очереди — умножение. «Либо одно, либо другое» — сложение. Это первая развилка любой задачи.

Правило умножения: 2 футболки и по 3 пары шорт к каждой дают 2·3 = 6 комплектов

Проверь себя за 10 секунд

Из 6 человек нужно выбрать команду из 3 для игры (все в команде равноправны). Размещения это или сочетания и сколько способов?

Команда равноправна, порядок выбора не важен — это сочетания. C(6,3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 120/6 = 20. Число 120 — это размещения A(6,3), где порядок учитывался бы; здесь он не нужен.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Дерево выбора из трёх вариантов одежды и двух рюкзаков даёт шесть различных сочетаний — По правилу умножения каждый вариант первого выбора соединяется с каждым вариантом второго.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 5 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

В коробке 10 деталей, из которых 3 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Какова вероятность того, что среди выбранных ровно 2 бракованных? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ
Задание 2 из 2

В серии из четырёх независимых матчей команда выигрывает каждый матч с вероятностью 0,6. Ничьих не бывает. Найдите вероятность того, что команда выиграет хотя бы три матча.

Показать ответ

Что такое факториал и как считать перестановки?

Начнём с самого частого вопроса: сколькими способами можно расставить в ряд несколько разных предметов. Пусть их n. На первое место годится любой из n, на второе — любой из оставшихся n − 1, на третье — из n − 2, и так до последнего. По правилу умножения перемножаем все эти количества.

Такое произведение всех натуральных чисел от 1 до n называют факториалом и обозначают восклицательным знаком:

в строку: n! = 1 · 2 · 3 … n

Например, 4! = 1·2·3·4 = 24, а 5! = 120. Факториал растёт стремительно: 10! — это уже больше трёх миллионов.

Отдельно запомни договорённость: 0! = 1. Это не «ноль способов», а ровно один способ ничего не расставлять — пустую расстановку. Без этого равенства сломались бы все формулы ниже, поэтому его берут как определение.

Перестановки — это и есть все возможные расстановки n различных предметов по местам. Их количество обозначают Pₙ:

в строку: Pₙ = n!

Пятерых человек можно рассадить на пять стульев P₅ = 5! = 120 способами. Ключевое слово-маркер перестановок — «расставить», «рассадить», «в каком порядке»: участвуют все предметы, меняется только их порядок.

Чем размещения отличаются от сочетаний?

Чаще берут не все предметы, а только часть: k штук из n. И тут появляется развилка, на которой держится вся тема. Один и тот же набор можно посчитать двумя разными числами — смотря важен порядок выбора или нет.

Размещения — выбираем k предметов из n, и порядок важен: выбрать А, потом Б — это не то же самое, что Б, потом А. Рассуждаем как с перестановками, но останавливаемся после k шагов: на первое место n вариантов, на второе n − 1, и так k множителей. Обозначают Aₙᵏ:

в строку: Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!) = n(n-1)…(n-k+1)

Пример: староста и его заместитель из 8 человек — роли разные, значит порядок важен. A₈² = 8 · 7 = 56 способов.

Сочетания — выбираем k предметов из n, но порядок не важен: важно только, кто попал в набор, а не в каком порядке их называли. Выбрать А и Б — тот же результат, что Б и А. Обозначают Cₙᵏ:

в строку: Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!)

Пример: двое дежурных из 8 человек — дежурные равноправны, порядок ни на что не влияет. C₈² = (8 · 7)/2 = 28 способов.

Связь между ними видна прямо из формул: размещения — это те же сочетания, но каждый выбранный набор дополнительно расставлен по местам всеми k! способами. Поэтому размещений ровно в k! раз больше:

в строку: Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!

Практический вывод для экзамена: всегда сначала спроси себя, важен ли порядок. Роли разные, места пронумерованы, «первый-второй» — порядок важен, бери размещения. Все равноправны, просто «выбрать группу» — порядок не важен, бери сочетания.

Один вопрос решает выбор формулы: важен порядок — размещения или перестановки; не важен — сочетания

Как считать без калькулятора

Калькулятора на ЕГЭ нет, а факториалы огромные. Поэтому никогда не раскрывай n! целиком — почти всё сокращается. В формуле сочетаний из n! уходит (n − k)!, и сверху остаётся всего k множителей:

в строку: Cₙᵏ = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!)

Правило простое: сверху пишешь k чисел подряд, начиная с n и вниз, снизу — k!. Считаем C₇³: сверху три числа 7·6·5, снизу 3! = 6, итого (7 · 6 · 5)/6 = 35.

Ещё один приём экономит время — симметрия сочетаний. Выбрать k предметов, которые берём, — то же самое, что выбрать n − k предметов, которые оставляем:

в строку: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ

Поэтому C₁₀⁸ проще считать как C₁₀² = (10 · 9)/2 = 45, а не перемножать восемь чисел. Крайние случаи запомни отдельно: Cₙ⁰ = 1 (не взять ничего — один способ) и Cₙⁿ = 1 (взять всё — тоже один).

Зачем это на задании 5. Комбинаторика там почти всегда работает не сама по себе, а как счётчик для классической вероятности P = m/n: сочетаниями считают, сколько всего исходов и сколько из них благоприятных. Саму вероятность подробно разбирает соседняя тема, но выбор «сколькими способами» — это всегда шаг отсюда.

Как выбрать формулу комбинаторики?

1Пойми, что происходит: выбираем часть предметов из большего набора или расставляем весь набор по местам. От этого зависит, какая из трёх формул нужна.
2Задай главный вопрос — важен ли порядок. Роли разные, места пронумерованы, есть «первый» и «второй» — порядок важен. Все равноправны, нужна просто группа — порядок не важен. Этот шаг решает почти всё.
3Берём все предметы и только переставляем — это перестановки, Pₙ = n!.
4Берём k из n, порядок важен — размещения Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!). Порядок не важен — сочетания Cₙᵏ = (n!)/(k!(n-k)!).
5Несколько этапов подряд — перемножай (правило умножения); взаимоисключающие случаи «либо-либо» — складывай (правило сложения).
6Считай, сокращая факториалы. Не раскрывай n! целиком: в сочетаниях сверху остаётся k множителей, а симметрия Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ часто укорачивает счёт.

Разбор: один набор, два разных ответа

Пример

В классе 7 человек. а) Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных? б) Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Сравни ответы и объясни, почему они разные.

Пункт а — дежурные. Оба дежурных равноправны: сказать «дежурят Аня и Боря» или «Боря и Аня» — одно и то же. Порядок не важен, значит это сочетания.C₇² = (7 · 6)/2 = 42/2 = 21Сверху два множителя (начиная с 7 вниз), снизу 2! = 2. Получаем 21 способ.Пункт б — староста и заместитель. Теперь роли разные: «Аня — староста, Боря — зам» и «Боря — староста, Аня — зам» — это два разных распределения. Порядок важен, значит это размещения.A₇² = 7 · 6 = 42На место старосты годится любой из 7, на место зама — любой из оставшихся 6. Получаем 42 способа.Сравнение. Ответов ровно вдвое больше во втором случае: 42 = 21·2. Это и есть связь Aₙᵏ = Cₙᵏ · k! при k = 2: каждую пару дежурных можно двумя способами распределить по ролям староста-зам. Один и тот же выбор людей, но во втором пункте важен порядок — и число удвоилось.Ответ: а) 21 способ (сочетания C₇² = 21); б) 42 способа (размещения A₇² = 42). Второй ответ вдвое больше, потому что в нём важен порядок (роли разные)..

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 5 теряют балл. Сначала реши, важен ли порядок, — потом считай.

1.Из 6 человек нужно выбрать команду из 3 для игры (все в команде равноправны). Размещения это или сочетания и сколько способов?

2.Чему равно C(5, 2)?

C(5,2) = (5·4)/(2·1) = 20/2 = 10. Сверху два множителя, начиная с 5 вниз; снизу 2! = 2. Число 20 получилось бы, если забыть поделить на 2! — это размещения A(5,2).

3.Сколькими способами можно рассадить 4 разных человека на 4 пронумерованных стула?

Расставляем всех четверых по местам — это перестановки: P(4) = 4! = 1·2·3·4 = 24. На первый стул 4 варианта, на второй 3, дальше 2 и 1; перемножаем.

4.В соревновании 8 участников. Сколькими способами могут распределиться первое и второе места?

Места разные (первое и второе), поэтому порядок важен — размещения: A(8,2) = 8·7 = 56. Число 28 — это сочетания C(8,2), они подошли бы, если бы места были равноправны, но здесь они не равноправны.

5.Чему равно 0! (ноль факториал)?

По определению 0! = 1. Это ровно один способ ничего не расставлять — пустая расстановка. Договорённость нужна, чтобы формулы размещений и сочетаний работали в крайних случаях.

Какие ошибки делают в задачах по комбинаторике?

Ошибка 1

Путают размещения и сочетания. Это ошибка номер один. «Выбрать команду», «выбрать группу», «взять несколько» — порядок не важен, это сочетания Cₙᵏ. «Распределить места», «староста и зам», «первый и второй» — порядок важен, это размещения Aₙᵏ. Прежде чем считать, ответь себе на один вопрос: важен ли порядок.

Ошибка 2

Складывают там, где надо умножать. Несколько этапов подряд («и то, и другое») — это правило умножения, количества перемножаются. Складывают только взаимоисключающие случаи («либо одно, либо другое»). Перепутал союз — получил в разы меньшее или большее число.

Ошибка 3

Забывают, что 0! = 1. Пишут 0! = 0 и получают деление на ноль в формуле сочетаний при k = n. По определению 0! = 1, и тогда Cₙⁿ = 1, как и должно быть.

Ошибка 4

В сочетаниях делят не на то. В знаменателе Cₙᵏ стоит k! — факториал того, сколько берём, а не сколько остаётся. Считаешь C₇³ — делишь на 3! = 6, а не на 4!.

Ошибка 5

Раскрывают факториал целиком и тонут в арифметике. Калькулятора нет, а n! огромно. Не считай 10! и 8! по отдельности — сократи их сразу: в Aₙᵏ и Cₙᵏ почти всё уходит, остаётся k множителей сверху.

Запомни для ЕГЭ

1Pₙ = n!

2Aₙᵏ = (n!)/((n-k)!)

3Cₙᵏ = (n!)/(k! (n-k)!)

4Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!

5Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, 0! = 1

6Важен порядок — A или P. Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу

На экзамене

Задание 5 стоит 1 балл, ответ — число или конечная дробь. Больше 3–4 минут на него не трать: впереди задания части 2 по 2–4 балла, они дороже.
Первым делом реши, важен ли порядок. Один этот вопрос отделяет размещения от сочетаний и спасает от самой частой ошибки темы. Проговори условие словами: «мне нужна просто группа» или «мне важно, кто на каком месте».
Считай, сокращая. Сверху в сочетаниях оставляй ровно k множителей, а если k близко к n — переходи к Cₙⁿ⁻ᵏ. Так почти вся арифметика делается в уме.
Проверка здравым смыслом: сочетаний не больше, чем размещений, — при выборе от двух элементов их ровно в k! раз меньше. Если у тебя сочетаний вышло больше размещений — где-то перепутал формулу.
В задании 5 комбинаторика обычно не финал, а шаг к вероятности P = m/n: сочетаниями считаешь и общее число исходов, и число благоприятных. Держи в голове, что «сколькими способами» — часто лишь промежуточный ответ.

Словарь темы

Факториал: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Например, 4! = 1·2·3·4 = 24. По определению 0! = 1.
Правило умножения: Если выбор состоит из независимых этапов с m и n вариантами, то всего способов m·n. Работает для любого числа этапов — их количества перемножаются.
Правило сложения: Если варианты разбиты на непересекающиеся группы (нельзя выбрать сразу из двух), их количества складывают. Отвечает союзу «либо-либо».
Перестановки: Все способы расставить n различных предметов по местам. Количество Pₙ = n!. Участвуют все предметы, меняется только порядок.
Размещения: Выбор k предметов из n, когда порядок важен (роли или места разные). Количество Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1).
Сочетания: Выбор k предметов из n, когда порядок не важен (нужна просто группа). Количество Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Их не больше, чем размещений: при выборе от двух элементов — ровно в k! раз меньше.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задания 5 и 6 КИМ (по 1 баллу) Макс. 1 балл ~4 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 6.3 «Комбинаторика». В проекте КИМ 2027 комбинаторные факты и формулы прямо названы в задании 5 вместе с вероятностью.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 6.3 «Комбинаторика» кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня (раздел 6 «Вероятность и статистика», уровень УУ), проверяется в задании 5.
Задание 5 — повышенный уровень, часть 1, 1 балл, ответ число или конечная дробь.
Правило умножения (перемножение числа вариантов независимых этапов) и правило сложения (сложение для непересекающихся групп) — базовые принципы комбинаторики.
Факториал n! = 1·2·…·n; 0! = 1 по определению. Число перестановок Pₙ = n!.
Размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1) — выбор k из n с учётом порядка. A(8,2) = 56, A(6,3) = 120.
Сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) — выбор k из n без учёта порядка. C(5,2) = 10, C(7,3) = 35, C(8,2) = 28.
Связь Aₙᵏ = Cₙᵏ·k! (размещений в k! раз больше, чем сочетаний) и симметрия Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
На задании 5 комбинаторика используется как счётчик исходов для классической вероятности P = m/n.
Калькулятор на профильном ЕГЭ запрещён, поэтому факториалы при счёте не раскрывают целиком, а сокращают.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.