Комбинаторика

Задание 5 КИМ (1 балл, часть 1) Макс. 1 балл ~4 минуты

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами», не заставляя перебирать варианты руками. На профильном ЕГЭ это задание 5 — там, где комбинаторика встречается с вероятностью. Вся тема держится на одном различении: важен порядок или нет. Перепутал, что важно — порядок или нет, — получил неверное число, и весь пример развалился.

Правило умножения: не перебирать, а считать

Комбинаторика нужна ровно тогда, когда вариантов слишком много, чтобы выписывать их вручную. Вместо перебора она даёт формулы, которые сразу выдают количество. А фундамент всех этих формул — одно простое правило.

Правило умножения. Если выбор состоит из нескольких независимых этапов и на первом этапе есть $m$ вариантов, а на втором — $n$ , то весь выбор можно сделать $m \cdot n$ способами. Этапов может быть сколько угодно — их количества просто перемножаются.

Пример на пальцах: у тебя 2 футболки и 3 пары шорт. Сколько разных комплектов? К каждой футболке подходят любые из трёх шорт, значит вариантов:

N = 2 \cdot 3 = 6

Правило сложения. Если варианты разбиты на группы, которые не пересекаются (нельзя выбрать сразу из двух), то их количества складывают. «Взять яблоко или грушу» из 4 яблок и 3 груш — это 4 + 3 = 7 способов, а не 12: ты берёшь один фрукт, а не пару.

Различай их по союзу в условии. «И то, и другое» по очереди — умножение. «Либо одно, либо другое» — сложение. Это первая развилка любой задачи.

Правило умножения: 2 футболки и по 3 пары шорт к каждой дают 2·3 = 6 комплектов

Дерево выбора из трёх вариантов одежды и двух рюкзаков даёт шесть различных сочетаний — По правилу умножения каждый вариант первого выбора соединяется с каждым вариантом второго.

Факториал и перестановки

Начнём с самого частого вопроса: сколькими способами можно расставить в ряд несколько разных предметов. Пусть их $n$ . На первое место годится любой из $n$ , на второе — любой из оставшихся $n-1$ , на третье — из $n-2$ , и так до последнего. По правилу умножения перемножаем все эти количества.

Такое произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ называют факториалом и обозначают восклицательным знаком:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n

Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ , а $5! = 120$ . Факториал растёт стремительно: $10!$ — это уже больше трёх миллионов.

Отдельно запомни договорённость: $0! = 1$ . Это не «ноль способов», а ровно один способ ничего не расставлять — пустую расстановку. Без этого равенства сломались бы все формулы ниже, поэтому его берут как определение.

Перестановки — это и есть все возможные расстановки $n$ различных предметов по местам. Их количество обозначают $P_n$ :

P_n = n!

Пятерых человек можно рассадить на пять стульев $P_5 = 5! = 120$ способами. Ключевое слово-маркер перестановок — «расставить», «рассадить», «в каком порядке»: участвуют все предметы, меняется только их порядок.

Порядок важен или нет — вот весь вопрос

Чаще берут не все предметы, а только часть: $k$ штук из $n$ . И тут появляется развилка, на которой держится вся тема. Один и тот же набор можно посчитать двумя разными числами — смотря важен порядок выбора или нет.

Размещения — выбираем $k$ предметов из $n$ , и порядок важен: выбрать А, потом Б — это не то же самое, что Б, потом А. Рассуждаем как с перестановками, но останавливаемся после $k$ шагов: на первое место $n$ вариантов, на второе $n-1$ , и так $k$ множителей. Обозначают $A_n^k$ :

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)

Пример: староста и его заместитель из 8 человек — роли разные, значит порядок важен. $A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$ способов.

Сочетания — выбираем $k$ предметов из $n$ , но порядок не важен: важно только, кто попал в набор, а не в каком порядке их называли. Выбрать А и Б — тот же результат, что Б и А. Обозначают $C_n^k$ :

C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Пример: двое дежурных из 8 человек — дежурные равноправны, порядок ни на что не влияет. $C_8^2 = \tfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$ способов.

Связь между ними видна прямо из формул: размещения — это те же сочетания, но каждый выбранный набор дополнительно расставлен по местам всеми $k!$ способами. Поэтому размещений ровно в $k!$ раз больше:

A_n^k = C_n^k \cdot k!

Практический вывод для экзамена: всегда сначала спроси себя, важен ли порядок. Роли разные, места пронумерованы, «первый-второй» — порядок важен, бери размещения. Все равноправны, просто «выбрать группу» — порядок не важен, бери сочетания.

Один вопрос решает выбор формулы: важен порядок — размещения или перестановки; не важен — сочетания

Как считать без калькулятора

Калькулятора на ЕГЭ нет, а факториалы огромные. Поэтому никогда не раскрывай $n!$ целиком — почти всё сокращается. В формуле сочетаний из $n!$ уходит $(n-k)!$ , и сверху остаётся всего $k$ множителей:

C_n^k = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}

Правило простое: сверху пишешь $k$ чисел подряд, начиная с $n$ и вниз, снизу — $k!$ . Считаем $C_7^3$ : сверху три числа $7 \cdot 6 \cdot 5$ , снизу $3! = 6$ , итого $\tfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ .

Ещё один приём экономит время — симметрия сочетаний. Выбрать $k$ предметов, которые берём, — то же самое, что выбрать $n-k$ предметов, которые оставляем:

C_n^k = C_n^{\,n-k}

Поэтому $C_{10}^8$ проще считать как $C_{10}^2 = \tfrac{10 \cdot 9}{2} = 45$ , а не перемножать восемь чисел. Крайние случаи запомни отдельно: $C_n^0 = 1$ (не взять ничего — один способ) и $C_n^n = 1$ (взять всё — тоже один).

Зачем это на задании 5. Комбинаторика там почти всегда работает не сама по себе, а как счётчик для классической вероятности $P = \tfrac{m}{n}$ : сочетаниями считают, сколько всего исходов и сколько из них благоприятных. Саму вероятность подробно разбирает соседняя тема, но выбор «сколькими способами» — это всегда шаг отсюда.

Как выбрать формулу

1Пойми, что происходит: выбираем часть предметов из большего набора или расставляем весь набор по местам. От этого зависит, какая из трёх формул нужна.

2Задай главный вопрос — важен ли порядок. Роли разные, места пронумерованы, есть «первый» и «второй» — порядок важен. Все равноправны, нужна просто группа — порядок не важен. Этот шаг решает почти всё.

3Берём все предметы и только переставляем — это перестановки,

P_n = n!

4Берём k из n, порядок важен — размещения

A_n^k = \tfrac{n!}{(n-k)!}

. Порядок не важен — сочетания

C_n^k = \tfrac{n!}{k!(n-k)!}

5Несколько этапов подряд — перемножай (правило умножения); взаимоисключающие случаи «либо-либо» — складывай (правило сложения).

6Считай, сокращая факториалы. Не раскрывай

n!

целиком: в сочетаниях сверху остаётся

k

множителей, а симметрия

C_n^k = C_n^{n-k}

часто укорачивает счёт.

Разбор: один набор, два разных ответа

Пример

В классе 7 человек. а) Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных? б) Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Сравни ответы и объясни, почему они разные.

Пункт а — дежурные. Оба дежурных равноправны: сказать «дежурят Аня и Боря» или «Боря и Аня» — одно и то же. Порядок не важен, значит это сочетания.

C_7^2 = \dfrac{7 \cdot 6}{2} = \dfrac{42}{2} = 21

Сверху два множителя (начиная с 7 вниз), снизу

2! = 2

. Получаем 21 способ.Пункт б — староста и заместитель. Теперь роли разные: «Аня — староста, Боря — зам» и «Боря — староста, Аня — зам» — это два разных распределения. Порядок важен, значит это размещения.

A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42

На место старосты годится любой из 7, на место зама — любой из оставшихся 6. Получаем 42 способа.Сравнение. Ответов ровно вдвое больше во втором случае:

42 = 21 \cdot 2

. Это и есть связь

A_n^k = C_n^k \cdot k!

при

k = 2

: каждую пару дежурных можно двумя способами распределить по ролям староста-зам. Один и тот же выбор людей, но во втором пункте важен порядок — и число удвоилось.Ответ: а) 21 способ (сочетания C₇² = 21); б) 42 способа (размещения A₇² = 42). Второй ответ вдвое больше, потому что в нём важен порядок (роли разные)..

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 5 теряют балл. Сначала реши, важен ли порядок, — потом считай.

1.Из 6 человек нужно выбрать команду из 3 для игры (все в команде равноправны). Размещения это или сочетания и сколько способов?

Команда равноправна, порядок выбора не важен — это сочетания. C(6,3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 120/6 = 20. Число 120 — это размещения A(6,3), где порядок учитывался бы; здесь он не нужен.

2.Чему равно C(5, 2)?

C(5,2) = (5·4)/(2·1) = 20/2 = 10. Сверху два множителя, начиная с 5 вниз; снизу 2! = 2. Число 20 получилось бы, если забыть поделить на 2! — это размещения A(5,2).

3.Сколькими способами можно рассадить 4 разных человека на 4 пронумерованных стула?

Расставляем всех четверых по местам — это перестановки: P(4) = 4! = 1·2·3·4 = 24. На первый стул 4 варианта, на второй 3, дальше 2 и 1; перемножаем.

4.В соревновании 8 участников. Сколькими способами могут распределиться первое и второе места?

Места разные (первое и второе), поэтому порядок важен — размещения: A(8,2) = 8·7 = 56. Число 28 — это сочетания C(8,2), они подошли бы, если бы места были равноправны, но здесь они не равноправны.

5.Чему равно 0! (ноль факториал)?

По определению 0! = 1. Это ровно один способ ничего не расставлять — пустая расстановка. Договорённость нужна, чтобы формулы размещений и сочетаний работали в крайних случаях.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Путают размещения и сочетания. Это ошибка номер один. «Выбрать команду», «выбрать группу», «взять несколько» — порядок не важен, это сочетания $C_n^k$ . «Распределить места», «староста и зам», «первый и второй» — порядок важен, это размещения $A_n^k$ . Прежде чем считать, ответь себе на один вопрос: важен ли порядок.

Ошибка 2

Складывают там, где надо умножать. Несколько этапов подряд («и то, и другое») — это правило умножения, количества перемножаются. Складывают только взаимоисключающие случаи («либо одно, либо другое»). Перепутал союз — получил в разы меньшее или большее число.

Ошибка 3

Забывают, что $0! = 1$ . Пишут $0! = 0$ и получают деление на ноль в формуле сочетаний при $k = n$ . По определению $0! = 1$ , и тогда $C_n^n = 1$ , как и должно быть.

Ошибка 4

В сочетаниях делят не на то. В знаменателе $C_n^k$ стоит $k!$ — факториал того, сколько берём, а не сколько остаётся. Считаешь $C_7^3$ — делишь на $3! = 6$ , а не на $4!$ .

Ошибка 5

Раскрывают факториал целиком и тонут в арифметике. Калькулятора нет, а $n!$ огромно. Не считай $10!$ и $8!$ по отдельности — сократи их сразу: в $A_n^k$ и $C_n^k$ почти всё уходит, остаётся $k$ множителей сверху.

Запомни для ЕГЭ

P_n = n!

A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}

C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

A_n^k = C_n^k \cdot k!

C_n^k = C_n^{\,n-k}, \quad 0! = 1

6Важен порядок — A или P. Не важен — C. С этого вопроса начинай задачу

На экзамене

Задание 5 стоит 1 балл, ответ — число или конечная дробь. Больше 3–4 минут на него не трать: впереди задания части 2 по 2–4 балла, они дороже.
Первым делом реши, важен ли порядок. Один этот вопрос отделяет размещения от сочетаний и спасает от самой частой ошибки темы. Проговори условие словами: «мне нужна просто группа» или «мне важно, кто на каком месте».
Считай, сокращая. Сверху в сочетаниях оставляй ровно $k$ множителей, а если $k$ близко к $n$ — переходи к $C_n^{n-k}$ . Так почти вся арифметика делается в уме.
Проверка здравым смыслом: сочетаний не больше, чем размещений, — при выборе от двух элементов их ровно в $k!$ раз меньше. Если у тебя сочетаний вышло больше размещений — где-то перепутал формулу.
В задании 5 комбинаторика обычно не финал, а шаг к вероятности $P = m/n$ : сочетаниями считаешь и общее число исходов, и число благоприятных. Держи в голове, что «сколькими способами» — часто лишь промежуточный ответ.

Словарь темы

ФакториалПроизведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Например, 4! = 1·2·3·4 = 24. По определению 0! = 1.

Правило умноженияЕсли выбор состоит из независимых этапов с m и n вариантами, то всего способов m·n. Работает для любого числа этапов — их количества перемножаются.

Правило сложенияЕсли варианты разбиты на непересекающиеся группы (нельзя выбрать сразу из двух), их количества складывают. Отвечает союзу «либо-либо».

ПерестановкиВсе способы расставить n различных предметов по местам. Количество Pₙ = n!. Участвуют все предметы, меняется только порядок.

РазмещенияВыбор k предметов из n, когда порядок важен (роли или места разные). Количество Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1).

СочетанияВыбор k предметов из n, когда порядок не важен (нужна просто группа). Количество Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Их не больше, чем размещений: при выборе от двух элементов — ровно в k! раз меньше.

Источники и проверка

9 источников

Тема соответствует коду 6.3 «Комбинаторика» кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня (раздел 6 «Вероятность и статистика», уровень УУ), проверяется в задании 5.
Задание 5 — повышенный уровень, часть 1, 1 балл, ответ число или конечная дробь.
Правило умножения (перемножение числа вариантов независимых этапов) и правило сложения (сложение для непересекающихся групп) — базовые принципы комбинаторики.
Факториал n! = 1·2·…·n; 0! = 1 по определению. Число перестановок Pₙ = n!.
Размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1) — выбор k из n с учётом порядка. A(8,2) = 56, A(6,3) = 120.
Сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) — выбор k из n без учёта порядка. C(5,2) = 10, C(7,3) = 35, C(8,2) = 28.
Связь Aₙᵏ = Cₙᵏ·k! (размещений в k! раз больше, чем сочетаний) и симметрия Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
На задании 5 комбинаторика используется как счётчик исходов для классической вероятности P = m/n; сама вероятность — соседняя тема (код 6.2).
Калькулятор на профильном ЕГЭ запрещён, поэтому числа в примерах подобраны для устного счёта, а факториалы сокращаются.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 5

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике