Фигуры на плоскости

Задания 1 (1 балл) и 17 (3 балла) КИМ 1 балл (№1) и 3 балла (№17) ~3 минуты (№1), развёрнуто (№17)

Планиметрия кормит сразу два задания профиля. Короткое задание 1 просит вычислить площадь, сторону или угол без доказательства, а развёрнутое задание 17 на 3 балла требует сначала доказать, а потом посчитать. Формулы у них общие, и почти все их нужно помнить наизусть: планиметрии в справочных материалах нет.

Одна тема — два этажа

Планиметрия на профиле работает на двух этажах, и путать их нельзя. Задание 1 — базовое, 1 балл. Дали фигуру и числа, найди площадь, сторону, угол или радиус. Доказывать ничего не нужно, ответ — одно число.

Задание 17 — повышенное, 3 балла, и это та же планиметрия, только развёрнуто и в два пункта. Пункт а — доказать факт: равенство отрезков, отношение, что треугольник прямоугольный, что четырёхугольник — параллелограмм. Пункт б — вычислить: длину, площадь, радиус. Пункты оцениваются раздельно, поэтому балл за б можно получить, даже если а не вышло.

Ключевое отличие: балл за пункт а дают только за доказательство в общем виде. Подстановка конкретных чисел и проверка «сошлось» доказательством не считаются — это самая частая потеря балла в задании 17.

И ещё одно, что определяет всю подготовку по этой теме: справочные материалы на профиле содержат только 4 тригонометрические формулы. Ни одной планиметрической формулы там нет — площади, теоремы синусов и косинусов, свойства линий треугольника нужно знать наизусть.

Треугольник с высотой, окружность с радиусом и хордой, четырёхугольник с диагональю — Основные планиметрические фигуры и их ключевые элементы, на которые указывает Миша.

Треугольник: пять формул площади

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ — с этого начинается половина задач на углы. А площадь треугольника можно посчитать пятью способами, и выбираешь ты тот, под который есть данные. Это главный навык темы: не выучить одну формулу, а узнавать, какая подходит.

Сторона и высота к ней — половина их произведения:

S = \dfrac{1}{2} a h_a

Две стороны и угол между ними — через синус этого угла:

S = \dfrac{1}{2} a b \sin C

Три стороны — формула Герона, где $p$ — полупериметр, то есть половина суммы сторон:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \dfrac{a+b+c}{2}

Через радиусы окружностей — две отдельные формулы: с радиусом вписанной окружности $r$ и с радиусом описанной $R$ :

S = p r, \qquad S = \dfrac{abc}{4R}

Прямоугольный треугольник — частный случай, который упрощает жизнь. Угол между катетами (сторонами, образующими прямой угол) равен $90^\circ$ , а $\sin 90^\circ = 1$ , поэтому формула площади сворачивается до половины произведения катетов. А стороны связывает теорема Пифагора, где $c$ — гипотенуза:

S = \dfrac{1}{2} a b, \qquad c^2 = a^2 + b^2

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию

Теоремы синусов и косинусов, два радиуса

Когда прямого угла нет, стороны и углы связывают две теоремы. Теорема косинусов — обобщение Пифагора на любой угол:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Она ищет третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а если известны все три стороны — находит любой угол. Проверь себя на предельном случае: при $C = 90^\circ$ косинус обращается в ноль, и остаётся чистая теорема Пифагора. Значит, формула запомнена верно.

Теорема синусов связывает стороны с синусами противолежащих углов и сразу выдаёт радиус описанной окружности:

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

Обрати внимание: всё отношение равно двум радиусам, а не одному. Потеря двойки — типичная ошибка, из-за которой описанная окружность выходит вдвое меньше настоящей.

Дальше — то, что путают чаще всего на всём экзамене: вписанная и описанная окружности. Вписанная лежит внутри и касается всех сторон; её центр — точка пересечения биссектрис, а радиус связан с площадью и полупериметром через $S = pr$ , откуда $r = S/p$ . Описанная проходит через все вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров (линий через середину каждой стороны под прямым углом к ней), а радиус $R = abc/(4S)$ . Разные окружности, разные формулы — реши, какая нужна, до того как подставишь числа.

У прямоугольного треугольника оба радиуса считаются мгновенно. Гипотенуза — это диаметр описанной окружности (вписанный угол в $90^\circ$ опирается на диаметр), поэтому $R = c/2$ . А радиус вписанной равен $r = (a+b-c)/2$ , где $a, b$ — катеты.

Замечательные линии треугольника

Задание 17 почти всегда про них, поэтому свойства нужно знать не «примерно», а точно. Биссектриса делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении прилежащих сторон. Для биссектрисы из вершины B к стороне AC точка деления L даёт:

\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}

Ключевое слово — прилежащие: отрезок AL прилежит к вершине A, поэтому в его «пару» идёт сторона AB, тоже выходящая из A. Это и есть самый частый пункт а в задании 17.

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Она делит треугольник на два равновеликих — с равными площадями, потому что у них равные основания и общая высота. Три медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую в отношении $2:1$ , считая от вершины. Длину медианы к стороне $a$ даёт формула:

m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}

Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике основание высоты может оказаться на продолжении стороны — это нормально.

Средняя линия соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине — отсюда её постоянно используют, чтобы «перенести» отношения и параллельность в нужное место чертежа.

Четырёхугольники и их площади

У каждого четырёхугольника — своя формула площади, и знать нужно все: в задании 1 фигуру не выбираешь.

Параллелограмм: площадь равна произведению стороны на высоту к ней или произведению сторон на синус угла между ними. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

S = a h_a = a b \sin\alpha

Прямоугольник: площадь $S = ab$ , диагонали равны, а длину диагонали даёт Пифагор:

d = \sqrt{a^2 + b^2}

Ромб: диагонали перпендикулярны, поэтому площадь удобно считать через них; можно и через сторону с углом:

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \sin\alpha

Квадрат — и прямоугольник, и ромб сразу: $S = a^2$ , диагональ $d = a\sqrt{2}$ .

Трапеция: площадь — полусумма оснований на высоту. Средняя линия трапеции (отрезок между серединами боковых сторон) равна той же полусумме оснований и параллельна им:

S = \dfrac{a+b}{2}\, h, \qquad m = \dfrac{a+b}{2}

И общий приём: у любого четырёхугольника площадь можно найти через его диагонали и угол $\varphi$ между ними — $S = \tfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ . Для ромба угол прямой, синус равен единице, и формула превращается в знакомую половину произведения диагоналей.

Окружность и углы в ней

Длина окружности и площадь круга — базовые формулы задания 1, где $R$ — радиус:

L = 2\pi R, \qquad S = \pi R^2

Если нужна не вся окружность, а дуга или сектор в $n$ градусов, бери ту же формулу с долей $n/360$ : длина дуги $2\pi R \cdot \tfrac{n}{360}$ , площадь сектора $\pi R^2 \cdot \tfrac{n}{360}$ .

Главное про углы: центральный угол (вершина в центре) равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол (вершина на окружности) опирается на ту же дугу и вдвое меньше центрального:

\angle_{\text{впис}} = \dfrac{1}{2}\,\angle_{\text{центр}}

Отсюда два следствия, которые решают задачи почти без вычислений. Первое: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Второе: угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой — на этом держится множество задач про прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.

И ещё одно свойство, без которого не обойтись: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Увидел касательную — сразу отмечай прямой угол.

Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Многоугольники и правильные фигуры

Сумма внутренних углов выпуклого $n$ -угольника не зависит от его формы:

(n-2)\cdot 180^\circ

У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый угол — это вся сумма, делённая на число вершин: $(n-2)\cdot 180^\circ / n$ . Для шестиугольника получается $120^\circ$ .

Число диагоналей многоугольника — тоже готовая формула. Из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали (нельзя к самой себе и к двум соседям), а деление на 2 убирает двойной счёт:

D = \dfrac{n(n-3)}{2}

Два правильных многоугольника встречаются особенно часто. Правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$ : высота равна $a\sqrt{3}/2$ , а площадь — $a^2\sqrt{3}/4$ . Правильный шестиугольник устроен красиво: он состоит из шести равносторонних треугольников со стороной, равной радиусу описанной окружности. Поэтому его сторона равна этому радиусу, а площадь — шесть площадей такого треугольника:

S_{6} = 6\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2

Разбор: задание 17 про биссектрису

Пример

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 4, AC = 5. Из вершины B провели биссектрису BL к стороне AC. а) Докажи, что AL : LC = 3 : 2. б) Найди длину биссектрисы BL.

Пункт а. Нужно именно доказательство, а не проверка на числах. Докажем общее свойство: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.Биссектриса BL разбивает треугольник на два — ABL и CBL. У них общая высота, опущенная из вершины B на прямую AC, поэтому площади относятся как основания:

\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AL}{LC}

С другой стороны, точка L лежит на биссектрисе угла B, а значит равноудалена от его сторон AB и BC. Тогда у тех же треугольников равны высоты, опущенные из L на AB и BC, и площади относятся как эти стороны:

\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AB}{BC}

Левые части одинаковы, значит равны и правые:

AL/LC = AB/BC = 6/4 = 3/2

. Свойство доказано в общем виде — это и есть пункт а. Теперь можно подставить числа: сторона AC = 5 делится в отношении 3 : 2, поэтому AL = 3, LC = 2.Пункт б. Длину биссектрисы даёт следствие теоремы Стюарта для биссектрисы: квадрат биссектрисы равен произведению прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые она рассекла третью сторону.

BL^2 = AB\cdot BC - AL\cdot LC = 6\cdot 4 - 3\cdot 2 = 24 - 6 = 18

Осталось извлечь корень. Считаем без калькулятора: 18 = 9·2, а корень из 9 выносится за знак.

BL = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Ответ: а) AL : LC = 3 : 2 (доказано через отношение площадей треугольников ABL и CBL); б) BL = 3√2..

Как подступиться к задаче по планиметрии

1Опознай фигуру и выпиши данные. Треугольник, четырёхугольник, окружность — у каждой свой набор формул. Сразу отметь на чертеже, что дано, и что просят найти.

2Подбирай формулу площади по тому, что дано. Две стороны и угол между ними —

S = \tfrac12 ab\sin C

. Три стороны — Герон или теорема косинусов. Сторона и высота к ней —

S = \tfrac12 a h

3Не путай вписанную и описанную окружность. Вписанная касается сторон изнутри,

r = S/p

. Описанная проходит через вершины,

R = abc/(4S)

. Определись, какая в задаче, до подстановки чисел.

4В задании 17 раздели пункты. Пункт а — общее доказательство через свойство, теорему или признак, без конкретных чисел. Пункт б — вычисление, где числа уже к месту. Балл за а дают только за доказательство.

5Сделай аккуратный чертёж. Отметь равные стороны и углы, прямые углы, точки касания. В задании 17 половина идей видна прямо на рисунке, если он не «на глаз», а по данным.

6Проверь, что нашёл именно то, что спросили. Площадь или периметр? Радиус или диаметр? Сторона или её проекция? На этом шаге теряют больше, чем на самих формулах.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Чему равна его площадь?

Угол между катетами равен 90°, а sin 90° = 1, поэтому S = ½·6·8 = 24. Число 10 — это гипотенуза (√(36 + 64)), её иногда пишут по ошибке; 48 получается, если забыть множитель ½.

2.В треугольнике две стороны равны 10 и 6, а угол между ними равен 30°. Найди площадь треугольника.

Площадь по двум сторонам и углу между ними: S = ½·a·b·sin C = ½·10·6·sin 30° = ½·60·0,5 = 15. Значение sin 30° = 0,5 нужно помнить наизусть — в справочных материалах его нет.

3.Периметр треугольника равен 24, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найди площадь треугольника.

Площадь через вписанную окружность: S = p·r, где p — полупериметр, то есть половина от 24, значит p = 12. Тогда S = 12·3 = 36. Если по ошибке подставить весь периметр, выйдет вдвое больше — 72.

4.Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AB = 10, AC = 15. В каком отношении точка K делит сторону BC, считая от вершины B?

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: BK : KC = AB : AC = 10 : 15 = 2 : 3. Отрезок BK прилежит к вершине B, а из B выходит сторона AB — поэтому в числителе именно AB.

5.Центральный угол окружности, опирающийся на некоторую дугу, равен 80°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?

Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу: 80° / 2 = 40°. Ответ 160° получился бы, если перепутать и удвоить угол вместо деления пополам.

6.Сколько диагоналей у выпуклого восьмиугольника?

Число диагоналей n-угольника равно n(n − 3)/2. Для n = 8: 8·5/2 = 20. Из каждой вершины выходит n − 3 = 5 диагоналей, но так каждая посчитана дважды, отсюда деление на 2. Без деления вышло бы 40.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Не различают радиус окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной вокруг него. Вписанная касается сторон изнутри — $r = S/p$ ; описанная проходит через вершины — $R = abc/(4S)$ . Реши, какая нужна, и выпиши обе формулы на черновик до счёта — это самая частая потеря балла во всей геометрии.

Ошибка 2

Забывают, что $p$ — это полупериметр. И в формуле Герона, и в $S = pr$ буква $p$ означает $(a+b+c)/2$ , а не весь периметр. Подставил периметр целиком — ответ вырос вдвое.

Ошибка 3

Теряют двойку в теореме синусов. Верно $a/\sin A = 2R$ , а не $R$ . Если написать без двойки, радиус описанной окружности выйдет ровно вдвое меньше настоящего.

Ошибка 4

Берут не тот угол в $S = \tfrac12 ab\sin C$ . Синус нужен именно того угла, который заключён между сторонами a и b. Угол при другой вершине сюда не подставляют.

Ошибка 5

Путают, в каком отношении делит биссектриса. Она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $AL/LC = AB/BC$ . Ошибка — взять отношение «наоборот» или привязать не к тем сторонам.

Ошибка 6

В пункте а задания 17 «доказывают» проверкой на числах. Подставить конкретные значения и увидеть, что сошлось, — это не доказательство. Балл за пункт а дают только за общее рассуждение: свойство, теорему, признак. Числа уместны в пункте б.

Ошибка 7

При подобии считают площади как коэффициент, а не как его квадрат. Если стороны увеличили в 3 раза, площадь вырастет в 3² = 9 раз, а не в 3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Запомни для ЕГЭ

1Сумма углов треугольника 180°; выпуклого n-угольника — (n − 2)·180°

S = \tfrac12 a h = \tfrac12 ab\sin C = pr = \dfrac{abc}{4R}

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ \ p=\tfrac{a+b+c}{2}

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

\dfrac{a}{\sin A} = 2R

6Прямоугольный: R = c/2, r = (a + b − c)/2

\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}\ \ (\text{биссектриса из } B)

8Вписанный угол = ½ центрального; на диаметр — 90°

S_{\text{трап}} = \dfrac{a+b}{2}\,h,\quad D_n = \dfrac{n(n-3)}{2}

На экзамене

Задание 1 стоит 1 балл — закладывай на него 2–3 минуты. Опознай фигуру, выпиши данные, подбери формулу под них. Ответ — число, доказывать ничего не нужно.
Задание 17 даёт 3 балла и состоит из двух пунктов, которые оцениваются раздельно. Можно получить балл за пункт б (вычисление), даже если пункт а (доказательство) не вышел, и наоборот. Поэтому не бросай задачу целиком, если застрял на доказательстве — переходи к вычислению.
Балл за пункт а дают только за доказательство в общем виде. Проверка «подставил числа — сошлось» баллом не считается. Формулируй свойство, признак или теорему и веди рассуждение буквами.
Сделай крупный аккуратный чертёж по данным, а не «на глаз». Отметь равные стороны и углы, прямые углы, точки касания. В задании 17 половина идей видна прямо на рисунке.
Держи под рукой пять формул площади треугольника: почти любое вычисление в заданиях 1 и 17 сводится к тому, чтобы выбрать формулу, под которую есть данные.
Перед счётом выпиши на черновик обе формулы радиусов — вписанной r = S/p и описанной R = abc/(4S). Их путают чаще всего, а разделив их заранее, ты убираешь самую дорогую геометрическую ошибку.

Эксперимент

Лаборатория: фигуры на плоскости

Главное про площади разобрано выше: у треугольника есть пять формул площади (через высоту, через две стороны и угол, Герона, через r и через R), у прямоугольника S = ab и диагональ √(a² + b²), у круга S = πR² и длина 2πR. Двигай стороны фигуры мысленно и следи, как меняется площадь.

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

МедианаОтрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Делит треугольник на два равновеликих; три медианы пересекаются в центроиде, который делит каждую в отношении 2 : 1 от вершины.

БиссектрисаОтрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны. Делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении прилежащих сторон.

ВысотаПерпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать на продолжении стороны.

Средняя линия треугольникаОтрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллелен третьей стороне и равен её половине.

Вписанная окружностьОкружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри. Для треугольника её центр — точка пересечения биссектрис, радиус r = S/p.

Описанная окружностьОкружность, проходящая через все вершины многоугольника. Для треугольника её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров, радиус R = abc/(4S).

Центральный уголУгол с вершиной в центре окружности. Равен дуге, на которую опирается (в градусной мере).

Вписанный уголУгол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды (отрезки, соединяющие две точки окружности). Равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ПолупериметрПоловина суммы сторон фигуры: p = (a + b + c)/2 для треугольника. Входит в формулу Герона и в S = pr.

Источники и проверка

18 источников

Тема соответствует коду 7.1 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Фигуры на плоскости (планиметрия)», проверяется заданиями 1 и 17.
Задание 1 — базовое (1 балл, вычисление без доказательства), задание 17 — повышенное (3 балла, два пункта: а — доказательство, б — вычисление); балл за пункт а даётся только за доказательство.
Справочные материалы на профиле содержат только 4 тригонометрические формулы; планиметрических формул там нет, их надо знать наизусть.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пять формул площади треугольника: S = ½·a·h; S = ½·ab·sin C; формула Герона √(p(p−a)(p−b)(p−c)); S = pr; S = abc/(4R).
В прямоугольном треугольнике S = ½·(катет)·(катет), теорема Пифагора c² = a² + b², радиус описанной R = c/2, радиус вписанной r = (a + b − c)/2.
Теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C; при C = 90° сводится к теореме Пифагора. Теорема синусов a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Радиус вписанной окружности r = S/p (центр — пересечение биссектрис), радиус описанной R = abc/(4S) (центр — пересечение серединных перпендикуляров); их нельзя путать.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: для биссектрисы из B к AC точка L даёт AL/LC = AB/BC.
Медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы пересекаются в центроиде, делящем каждую в отношении 2:1 от вершины; длина медианы m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Площади: параллелограмм S = a·h = ab·sin α; прямоугольник S = ab, диагональ √(a²+b²); ромб S = ½·d₁·d₂ = a²·sin α; квадрат S = a², диагональ a√2; трапеция S = ½(a+b)·h, средняя линия (a+b)/2; любой четырёхугольник S = ½·d₁·d₂·sin φ.
Длина окружности L = 2πR, площадь круга S = πR²; длина дуги в n° равна 2πR·(n/360), площадь сектора πR²·(n/360).
Центральный угол равен дуге, на которую опирается; вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой; вписанные углы на одну дугу равны; касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Сумма углов выпуклого n-угольника (n−2)·180°; угол правильного n-угольника (n−2)·180°/n (для шестиугольника 120°); число диагоналей n(n−3)/2; правильный треугольник: высота a√3/2, площадь a²√3/4; правильный шестиугольник: сторона равна радиусу описанной окружности, площадь (3√3/2)·a².
В разобранном примере (AB=6, BC=4, AC=5, биссектриса BL): AL:LC = 3:2, BL² = AB·BC − AL·LC = 24 − 6 = 18, BL = 3√2.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Лаборатория «Планиметрия» существует в вебе с id «geometry» в наборе «math» — блок interactive адресует существующий модуль.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике