Все темы: Математика профиль

Координаты и векторы

Задание 2 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Задание 2 профильного ЕГЭ — целиком про векторы на координатной плоскости: сложить, вычесть, найти длину, скалярное произведение и угол. Формул немного, и все считаются в уме. Главная ловушка одна: скалярное произведение записывают двумя разными формулами, и легко взять не ту.

Вектор и его координаты

Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места. Один и тот же вектор можно нарисовать в любой точке плоскости — он от этого не изменится. Именно поэтому вектор удобно задавать не картинкой, а парой чисел — его координатами.

Координаты вектора a⃗=(x; y)\vec{a}=(x;\,y) — это на сколько нужно сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Первое число — сдвиг по горизонтали, второе — по вертикали. Если вектор отложен от начала координат, его координаты совпадают с координатами конца.

Чаще всего вектор задают двумя точками. Чтобы получить координаты вектора AB⃗\vec{AB}, из координат конца вычитают координаты начала — именно в таком порядке:

AB⃗=(xB−xA;  yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A;\ \ y_B - y_A)

Порядок важен: AB⃗\vec{AB} и BA⃗\vec{BA} — это разные векторы, они противоположно направлены и у них противоположны знаки координат. Например, для точек A(1;2)A(1;2) и B(4;6)B(4;6) вектор AB⃗=(4−1; 6−2)=(3;4)\vec{AB}=(4-1;\,6-2)=(3;4), а BA⃗=(−3;−4)\vec{BA}=(-3;-4).

axyOxOyКоординаты вектора — это его проекции на оси Ox и Oy
Сложение двух векторов по правилу параллелограмма и правилу треугольника
Один и тот же результирующий вектор получается диагональю параллелограмма и цепочкой голова к хвосту.

Действия с векторами в координатах

Как только вектор превратился в пару чисел, все действия с ним делаются покоординатно — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Никаких чертежей для этого уже не нужно.

Сумма и разность: складываем или вычитаем соответствующие координаты.

a⃗+b⃗=(x1+x2; y1+y2),a⃗−b⃗=(x1−x2; y1−y2)\vec{a}+\vec{b} = (x_1+x_2;\ y_1+y_2), \qquad \vec{a}-\vec{b} = (x_1-x_2;\ y_1-y_2)

Умножение на число: каждую координату умножаем на это число.

ka⃗=(kx; ky)k\vec{a} = (k x;\ k y)

Разность — самое опасное место всей темы. Здесь легко потерять минус, особенно когда координаты сами отрицательные. Считай честно, со знаками: если a⃗=(7;3)\vec{a}=(7;3) и b⃗=(2;8)\vec{b}=(2;8), то a⃗−b⃗=(7−2; 3−8)=(5;−5)\vec{a}-\vec{b}=(7-2;\,3-8)=(5;-5). Вторая координата отрицательна — это нормально.

В задании 2 часто просят не сам вектор, а одну его координату у комбинации вроде 2a⃗−b⃗2\vec{a}-\vec{b}. Тогда считать весь вектор незачем — найди только нужную координату. Для a⃗=(1;−2)\vec{a}=(1;-2) и b⃗=(4;1)\vec{b}=(4;1) первая координата 2a⃗−b⃗2\vec{a}-\vec{b} равна 2⋅1−4=−22\cdot1-4=-2.

Длина вектора и расстояние между точками

Длина вектора (её ещё называют модулем) — это обычная длина отрезка от начала к концу. Координаты вектора — это катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор — его гипотенуза. Поэтому длина считается по теореме Пифагора: корень из суммы квадратов координат.

∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Квадраты убивают знаки, так что отрицательные координаты длине не мешают. Например, у вектора a⃗=(−5;12)\vec{a}=(-5;12) длина равна 25+144=169=13\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.

Расстояние между двумя точками — это просто длина вектора между ними. Сначала находим вектор AB⃗\vec{AB}, потом его длину:

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Середина отрезка тоже иногда попадается в задании 2. Её координаты — это средние арифметические координат концов:

M=(xA+xB2; yA+yB2)M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

Числа в задании 2 подобраны так, чтобы корень извлекался нацело. Держи в голове пифагоровы тройки — пары катетов, дающие целую гипотенузу: (3; 4) → 5, (6; 8) → 10, (5; 12) → 13, (8; 15) → 17. Увидел под корнем 25, 100, 169 или 289 — почти наверняка длина как раз из такой тройки.

Скалярное произведение и угол

Скалярное произведение двух векторов — это число (не вектор, отсюда и название «скалярное»). У него есть две формулы, и весь фокус задания 2 в том, чтобы выбрать правильную под данные условия.

Формула по координатам — когда векторы заданы координатами. Перемножаем первые координаты, перемножаем вторые и складываем:

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Формула через длины и угол — когда даны длины векторов и угол α\alpha между ними:

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡α\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\alpha

Обе формулы дают одно и то же число — просто одна удобна, когда есть координаты, а другая — когда есть длины и угол. Здесь чаще всего и ошибаются: даны координаты, а школьник тянется к косинусу, или наоборот. Правило простое — смотри, что дано в условии, и бери ту формулу, куда эти данные подставляются напрямую.

Если приравнять правые части двух формул, из них выражается косинус угла между векторами — это и есть способ найти угол в задании 2:

cos⁡α=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12 x22+y22\cos\alpha = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}}

Отсюда — самый частый частный случай: если скалярное произведение равно нулю, то cos⁡α=0\cos\alpha=0, а значит угол равен 90∘90^\circ. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Это готовый способ проверить перпендикулярность, не измеряя ничего: например, a⃗=(3;−2)\vec{a}=(3;-2) и b⃗=(4;6)\vec{b}=(4;6) дают 3⋅4+(−2)⋅6=12−12=03\cdot4+(-2)\cdot6=12-12=0 — значит, они перпендикулярны.

Полученный косинус сверяй с таблицей «красивых» углов: cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\tfrac12, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ=0, а тупым углам 120°, 135°, 150° отвечают те же значения со знаком минус. Отрицательный косинус — сигнал, что угол тупой.

abαКосинус угла между векторами = скалярное произведение, делённое на произведение длин

Разбор: длина, скалярное произведение и угол

Пример
Даны векторы a⃗ = (4; 3) и b⃗ = (1; 7). Найди их скалярное произведение и угол между ними.
Векторы заданы координатами — значит, для скалярного произведения берём координатную формулу a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2:a⃗⋅b⃗=4⋅1+3⋅7=4+21=25\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 1 + 3\cdot 7 = 4 + 21 = 25Чтобы найти угол, понадобятся длины обоих векторов — их считаем по теореме Пифагора:∣a⃗∣=42+32=25=5,∣b⃗∣=12+72=50=52|\vec{a}| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5, \qquad |\vec{b}| = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}Теперь подставляем всё в формулу косинуса угла:cos⁡α=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣=255⋅52=25252=12=22\cos\alpha = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}} = \dfrac{25}{25\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}Косинус получился «красивый» — сверяемся с таблицей: cos⁡α=22\cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2} отвечает углу 45°.Ответ: Скалярное произведение равно 25, угол между векторами равен 45°.

Как решать задание 2

1Посмотри, что дано. Координаты векторов — работаешь координатными формулами. Длины и угол — формулой через косинус. От этого выбора зависит всё решение.
2Нужен вектор из точек — вычитай начало из конца. Координаты вектора AB⃗\vec{AB} — это (xB−xA; yB−yA)(x_B-x_A;\,y_B-y_A), именно в таком порядке и обязательно со знаками.
3Действия делай покоординатно. Сумма, разность, умножение на число — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Просят одну координату — не считай весь вектор.
4Длина — корень из суммы квадратов координат. Не забудь сам корень: x2+y2\sqrt{x^2+y^2}, а не x2+y2x^2+y^2. Число под корнем обычно из пифагоровой тройки.
5Скалярное произведение — выбранной формулой. По координатам: x1x2+y1y2x_1x_2+y_1y_2. Через длины: ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡α|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha.
6Угол — через косинус, потом сверься с таблицей. Найди cos⁡α=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\alpha=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} и по значению определи угол. Ноль в числителе — угол 90°.

Проверь себя

Пять коротких задач ровно в формате задания 2. Считай в уме или на черновике, не подглядывая в текст.

1.Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (4; 1). Чему равно скалярное произведение a⃗ · b⃗?

Векторы в координатах, поэтому a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ = 2·4 + (−3)·1 = 8 − 3 = 5. Главное — не потерять минус у второй координаты.

2.Найди длину вектора a⃗ = (−5; 12).

Длина — корень из суммы квадратов координат: √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Знак минус под квадратом исчезает. Вариант 169 — это забыли извлечь корень.

3.Даны точки A(1; −2) и B(5; 1). Чему равна длина вектора AB⃗?

Сначала вектор: AB⃗ = (5 − 1; 1 − (−2)) = (4; 3). Его длина √(4² + 3²) = √25 = 5 — знакомая пифагорова тройка (3; 4; 5).

4.Известно, что |a⃗| = 6, |b⃗| = 3, а угол между векторами равен 120°. Чему равно a⃗ · b⃗?

Даны длины и угол — значит, формула a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α. Здесь cos 120° = −½, поэтому 6·3·(−½) = −9. Отрицательный результат закономерен: угол тупой.

5.Даны векторы a⃗ = (4; 1) и b⃗ = (−2; 5). Чему равна вторая координата вектора a⃗ − b⃗?

Разность считается покоординатно, нужна только вторая координата: y₁ − y₂ = 1 − 5 = −4. Первая координата (4 − (−2) = 6) здесь не спрашивается — считать её незачем.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Берут не ту формулу скалярного произведения. Даны координаты — работает x1x2+y1y2x_1x_2+y_1y_2; даны длины и угол — ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡α|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha. Это ловушка номер один в задании 2. Всегда смотри, что именно дано в условии.

Ошибка 2

Путают длину и скалярное произведение. Длина — это x2+y2\sqrt{x^2+y^2} одного вектора, а скалярное произведение — x1x2+y1y2x_1x_2+y_1y_2 двух векторов. Разные величины: у одной корень, у другой перемножаются координаты разных векторов.

Ошибка 3

Теряют знак при вычитании векторов. В a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} вычитается вторая координата из первой: y1−y2y_1-y_2. Когда координаты отрицательные, легко перепутать знак или порядок. Пиши разность в скобках прежде, чем считать.

Ошибка 4

Забывают извлечь корень в длине. Длина вектора — это x2+y2\sqrt{x^2+y^2}, а не x2+y2x^2+y^2. Если в ответе получилось 169 или 100 вместо 13 или 10 — забыли про корень.

Ошибка 5

Меняют местами начало и конец в векторе по точкам. Вектор AB⃗\vec{AB} — это «конец минус начало»: (xB−xA; yB−yA)(x_B-x_A;\,y_B-y_A). Вычтешь наоборот — получишь BA⃗\vec{BA} с противоположными знаками (на длину это не влияет, а на координаты и скалярное произведение — да).

Ошибка 6

Считают косинус угла, а не делят на длины. Скалярное произведение само по себе — ещё не косинус. Угол находят по cos⁡α=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\alpha=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}: сначала скалярное, потом обе длины, и только потом делят.

Запомни для ЕГЭ

1AB⃗=(xB−xA; yB−yA)\vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)
2a⃗±b⃗=(x1±x2; y1±y2)\vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2)
3∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}
4a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2
5a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡α\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha
6cos⁡α=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\alpha=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
7a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0

На экзамене

  • Задание 2 — базовое, 1 балл, и решается за 2–3 минуты без калькулятора. Всё считается в уме или в одну строчку на черновике.
  • Первым делом реши, что дано: координаты или длины с углом. Правильный выбор между двумя формулами скалярного произведения — половина успеха в этом задании.
  • Если под корнем в длине оказалось некрасивое число, а в задании 2 их не бывает, — ищи арифметическую ошибку в квадратах или знаках, а не переписывай ответ с корнем.
  • Нашёл косинус угла — сверь его с таблицей значений для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Отрицательный косинус означает тупой угол.
  • Просят одну координату вектора — не трать время на вторую. А перед тем как записать ответ в бланк, ещё раз глянь: спросили скалярное произведение, длину, координату или угол? Их легко перепутать под конец.

Словарь темы

ВекторНаправленный отрезок: величина, у которой есть и длина, и направление. Место, где его нарисовали, значения не имеет — вектор задаётся только своими координатами.
Координаты вектораПара чисел (x; y): на сколько сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Для вектора по двум точкам — это разность координат конца и начала.
Длина (модуль) вектораДлина отрезка от начала вектора к его концу. В координатах равна √(x² + y²) — по теореме Пифагора. Всегда неотрицательна.
Скалярное произведениеЧисло, равное x₁x₂ + y₁y₂ или |a⃗||b⃗|cos α. Обе формулы дают один и тот же результат; какую взять — зависит от того, что дано в условии.
Угол между векторамиУгол между направлениями двух векторов, отложенных из одной точки. Находится через cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|).
Коллинеарные векторыВекторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Их координаты пропорциональны: x₁y₂ = x₂y₁. Один такой вектор получается из другого умножением на число.
Перпендикулярные векторыВекторы под прямым углом друг к другу. Признак — скалярное произведение равно нулю: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Источники и проверка

12 источников
  • Тема соответствует коду 7.5 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня («Координаты и векторы»), задание 2 КИМ, базовый уровень, 1 балл.
  • Содержание задания 2 — операции с векторами в координатах, скалярное произведение, угол между векторами, длина вектора.
  • Главные ловушки задания 2 — смешение координатной формулы скалярного произведения и формулы через длины/косинус, а также путаница длины и скалярного произведения.
  • Реальные формулировки задания 2 из банка: скалярное произведение по координатам, длина вектора, длина вектора по двум точкам, координата суммы/разности, скалярное через длины и угол, угол между векторами, середина отрезка.
  • Координаты вектора по двум точкам: AB⃗ = (x_B − x_A; y_B − y_A); порядок «конец минус начало» существен, BA⃗ имеет противоположные знаки.
  • Действия с векторами в координатах: сумма/разность — покоординатно, умножение на число — каждая координата на число; коллинеарность ⇔ x₁y₂ = x₂y₁.
  • Длина вектора |a⃗| = √(x² + y²); расстояние между точками AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²).
  • Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов: M = ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2).
  • Скалярное произведение задаётся двумя эквивалентными формулами: a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ и a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α.
  • Косинус угла между векторами cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|); векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a⃗·b⃗ = 0.
  • Разбор примера: a⃗=(4;3), b⃗=(1;7) → a⃗·b⃗=25, |a⃗|=5, |b⃗|=5√2, cos α = 1/√2 = √2/2, угол 45°.
  • Задание 2 базового уровня, 1 балл, без калькулятора, числа подобраны на целый ответ; пифагоровы тройки (3;4;5), (6;8;10), (5;12;13), (8;15;17) типичны для длин.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты
К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике