Координаты и векторы

Q: Как решать задание 2 по профильной математике?

Шаги такие: 1) посмотри, что дано; 2) нужен вектор из точек — вычитай начало из конца; 3) действия делай покоординатно; 4) длина — корень из суммы квадратов координат; 5) скалярное произведение — выбранной формулой; 6) угол — через косинус, потом сверься с таблицей.

Q: Что нужно запомнить по теме «Координаты и векторы»?

Главное: 1) AB⃗=(x_B-x_A; y_B-y_A); 2) a⃗±b⃗=(x₁± x₂; y₁± y₂); 3) |a⃗|=√(x²+y²); 4) a⃗ · b⃗=x₁x₂+y₁y₂; 5) a⃗ · b⃗=|a⃗||b⃗|cos α; 6) cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|); 7) a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0.

Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места, поэтому его удобно задавать парой чисел-координат. На ЕГЭ тема нужна в задании 2 (1 балл): сложить или вычесть векторы, найти длину, скалярное произведение и угол между векторами на координатной плоскости.

Решать задание 2 ЕГЭ

Формулы координат и векторов в одной таблице

Что считаем в задании 2 и по какой формуле
Что найти	Формула	Что важно помнить
Координаты вектора по двум точкам	AB⃗ = (x_B - x_A; y_B - y_A)	Конец минус начало; у BA⃗ знаки координат противоположные
Сумма и разность	a⃗±b⃗ = (x₁± x₂; y₁± y₂)	Считают покоординатно; в разности не терять минус
Умножение на число	ka⃗ = (k x; k y)	Каждую координату умножают на k
Длина вектора	\|a⃗\| = √(x² + y²)	Теорема Пифагора; знаки координат на длину не влияют
Расстояние между точками	AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²)	Это длина вектора AB⃗
Середина отрезка	M = ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2)	Средние арифметические координат концов
Скалярное произведение по координатам	a⃗ · b⃗ = x₁ x₂ + y₁ y₂	Когда векторы заданы координатами
Скалярное произведение через угол	a⃗ · b⃗ = \|a⃗\| \|b⃗\|cos α	Когда даны длины и угол α между векторами
Угол между векторами	cos α = (a⃗ · b⃗)/(\|a⃗\| \|b⃗\|)	a⃗·b⃗ = 0 — векторы перпендикулярны; отрицательный косинус — угол тупой

Быстрые ответы

Что такое вектор?

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места. Поэтому вектор удобно задавать парой чисел — координатами, которые показывают, на сколько сдвинуться вдоль осей Ox и Oy, чтобы попасть из его начала в конец.

Как решать задание 2 по профильной математике?

Шаги такие:

посмотри, что дано
нужен вектор из точек — вычитай начало из конца
действия делай покоординатно
длина — корень из суммы квадратов координат
скалярное произведение — выбранной формулой
угол — через косинус, потом сверься с таблицей.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Координаты и векторы»?

Берут не ту формулу скалярного произведения. Даны координаты — работает x₁x₂+y₁y₂; даны длины и угол — |a⃗||b⃗|cos α. Это ловушка номер один в задании 2. Всегда смотри, что именно дано в условии.

Что нужно запомнить по теме «Координаты и векторы»?

Главное:

AB⃗=(x_B-x_A; y_B-y_A)
a⃗±b⃗=(x₁± x₂; y₁± y₂)
|a⃗|=√(x²+y²)
a⃗ · b⃗=x₁x₂+y₁y₂
a⃗ · b⃗=|a⃗||b⃗|cos α
cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|)
a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0.

Задание 2 профильного ЕГЭ — целиком про векторы на координатной плоскости: сложить, вычесть, найти длину, скалярное произведение и угол. Формул немного, и все считаются в уме. Главная ловушка одна: скалярное произведение записывают двумя разными формулами, и легко взять не ту.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое вектор и как найти его координаты?

Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление, но нет закреплённого места. Один и тот же вектор можно нарисовать в любой точке плоскости — он от этого не изменится. Именно поэтому вектор удобно задавать не картинкой, а парой чисел — его координатами.

Координаты вектора a⃗=(x; y) — это на сколько нужно сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Первое число — сдвиг по горизонтали, второе — по вертикали. Если вектор отложен от начала координат, его координаты совпадают с координатами конца.

Чаще всего вектор задают двумя точками. Чтобы получить координаты вектора AB⃗, из координат конца вычитают координаты начала — именно в таком порядке:

в строку: AB⃗ = (x_B - x_A; y_B - y_A)

Порядок важен: AB⃗ и BA⃗ — это разные векторы, они противоположно направлены и у них противоположны знаки координат. Например, для точек A(1; 2) и B(4; 6) вектор AB⃗=(4-1; 6-2)=(3;4), а BA⃗=(-3;-4).

Координаты вектора — это его проекции на оси Ox и Oy

Проверь себя за 10 секунд

Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (4; 1). Чему равно скалярное произведение a⃗ · b⃗?

Векторы в координатах, поэтому a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ = 2·4 + (−3)·1 = 8 − 3 = 5. Главное — не потерять минус у второй координаты.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Сложение двух векторов по правилу параллелограмма и правилу треугольника — Один и тот же результирующий вектор получается диагональю параллелограмма и цепочкой голова к хвосту.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 2 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Даны векторы a = (5; −2) и b = (3; 7). Найдите скалярное произведение a · b.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Точки A(1; 3), B(4; 7), C(7; 3). Найдите скалярное произведение BA * BC.

Показать ответ

Как складывать, вычитать и умножать векторы на число?

Как только вектор превратился в пару чисел, все действия с ним делаются покоординатно — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Никаких чертежей для этого уже не нужно.

Сумма и разность: складываем или вычитаем соответствующие координаты.

в строку: a⃗+b⃗ = (x₁+x₂; y₁+y₂), a⃗-b⃗ = (x₁-x₂; y₁-y₂)

Умножение на число: каждую координату умножаем на это число.

в строку: ka⃗ = (k x; k y)

Разность — самое опасное место всей темы. Здесь легко потерять минус, особенно когда координаты сами отрицательные. Считай честно, со знаками: если a⃗=(7;3) и b⃗=(2;8), то a⃗-b⃗=(7-2; 3-8)=(5;-5). Вторая координата отрицательна — это нормально.

В задании 2 часто просят не сам вектор, а одну его координату у комбинации вроде 2a⃗-b⃗. Тогда считать весь вектор незачем — найди только нужную координату. Для a⃗=(1;-2) и b⃗=(4;1) первая координата 2a⃗-b⃗ равна 2·1 − 4 = −2.

Как найти длину вектора и расстояние между точками?

Длина вектора (её ещё называют модулем) — это обычная длина отрезка от начала к концу. Координаты вектора — это катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор — его гипотенуза. Поэтому длина считается по теореме Пифагора: корень из суммы квадратов координат.

в строку: |a⃗| = √(x² + y²)

Квадраты убивают знаки, так что отрицательные координаты длине не мешают. Например, у вектора a⃗=(-5;12) длина равна √(25+144)=√169=13.

Расстояние между двумя точками — это просто длина вектора между ними. Сначала находим вектор AB⃗, потом его длину:

в строку: AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²)

Середина отрезка тоже иногда попадается в задании 2. Её координаты — это средние арифметические координат концов:

в строку: M = ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2)

Числа в задании 2 подобраны так, чтобы корень извлекался нацело. Держи в голове пифагоровы тройки — пары катетов, дающие целую гипотенузу: (3; 4) → 5, (6; 8) → 10, (5; 12) → 13, (8; 15) → 17. Увидел под корнем 25, 100, 169 или 289 — почти наверняка длина как раз из такой тройки.

Как найти скалярное произведение и угол между векторами?

Скалярное произведение двух векторов — это число (не вектор, отсюда и название «скалярное»). У него есть две формулы, и весь фокус задания 2 в том, чтобы выбрать правильную под данные условия.

Формула по координатам — когда векторы заданы координатами. Перемножаем первые координаты, перемножаем вторые и складываем:

в строку: a⃗ · b⃗ = x₁ x₂ + y₁ y₂

Формула через длины и угол — когда даны длины векторов и угол α между ними:

в строку: a⃗ · b⃗ = |a⃗| |b⃗|cos α

Обе формулы дают одно и то же число — просто одна удобна, когда есть координаты, а другая — когда есть длины и угол. Здесь чаще всего и ошибаются: даны координаты, а школьник тянется к косинусу, или наоборот. Правило простое — смотри, что дано в условии, и бери ту формулу, куда эти данные подставляются напрямую.

Если приравнять правые части двух формул, из них выражается косинус угла между векторами — это и есть способ найти угол в задании 2:

в строку: cos α = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| |b⃗|) = (x₁ x₂ + y₁ y₂)/(√(x₁²+y₁²) √(x₂²+y₂²))

Отсюда — самый частый частный случай: если скалярное произведение равно нулю, то cos α = 0, а значит угол равен 90°. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Это готовый способ проверить перпендикулярность, не измеряя ничего: например, a⃗=(3;-2) и b⃗=(4;6) дают 3·4 + (−2)·6 = 12 − 12 = 0 — значит, они перпендикулярны.

Полученный косинус сверяй с таблицей «красивых» углов: cos 0°=1, cos 30°=√3/2, cos 45°=√2/2, cos 60°=1/2, cos 90°=0, а тупым углам 120°, 135°, 150° отвечают те же значения со знаком минус. Отрицательный косинус — сигнал, что угол тупой.

Косинус угла между векторами = скалярное произведение, делённое на произведение длин

Разбор: длина, скалярное произведение и угол

Пример

Даны векторы a⃗ = (4; 3) и b⃗ = (1; 7). Найди их скалярное произведение и угол между ними.

Векторы заданы координатами — значит, для скалярного произведения берём координатную формулу a⃗ · b⃗=x₁x₂+y₁y₂:a⃗ · b⃗ = 4 · 1 + 3 · 7 = 4 + 21 = 25Чтобы найти угол, понадобятся длины обоих векторов — их считаем по теореме Пифагора:|a⃗| = √(4²+3²) = √25 = 5, |b⃗| = √(1²+7²) = √50 = 5√2Теперь подставляем всё в формулу косинуса угла:

cos α = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| |b⃗|) = 25/(5 · 5√2) = 25/(25√2) = 1/(√2) = √2/2Косинус получился «красивый» — сверяемся с таблицей:

cos α=√2/2 отвечает углу 45°.Ответ: Скалярное произведение равно 25, угол между векторами равен 45°.

Как решать задание 2

1Посмотри, что дано. Координаты векторов — работаешь координатными формулами. Длины и угол — формулой через косинус. От этого выбора зависит всё решение.
2Нужен вектор из точек — вычитай начало из конца. Координаты вектора AB⃗ — это (x_B-x_A; y_B-y_A), именно в таком порядке и обязательно со знаками.
3Действия делай покоординатно. Сумма, разность, умножение на число — отдельно по первой координате, отдельно по второй. Просят одну координату — не считай весь вектор.
4Длина — корень из суммы квадратов координат. Не забудь сам корень: √(x²+y²), а не x²+y². Число под корнем обычно из пифагоровой тройки.
5Скалярное произведение — выбранной формулой. По координатам: x₁x₂+y₁y₂. Через длины: |a⃗||b⃗|cos α.
6Угол — через косинус, потом сверься с таблицей. Найди cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|) и по значению определи угол. Ноль в числителе — угол 90°.

Проверь себя

Пять коротких задач ровно в формате задания 2. Считай в уме или на черновике, не подглядывая в текст.

1.Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (4; 1). Чему равно скалярное произведение a⃗ · b⃗?

2.Найди длину вектора a⃗ = (−5; 12).

Длина — корень из суммы квадратов координат: √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Знак минус под квадратом исчезает. Вариант 169 — это забыли извлечь корень.

3.Даны точки A(1; −2) и B(5; 1). Чему равна длина вектора AB⃗?

Сначала вектор: AB⃗ = (5 − 1; 1 − (−2)) = (4; 3). Его длина √(4² + 3²) = √25 = 5 — знакомая пифагорова тройка (3; 4; 5).

4.Известно, что |a⃗| = 6, |b⃗| = 3, а угол между векторами равен 120°. Чему равно a⃗ · b⃗?

Даны длины и угол — значит, формула a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α. Здесь cos 120° = −½, поэтому 6·3·(−½) = −9. Отрицательный результат закономерен: угол тупой.

5.Даны векторы a⃗ = (4; 1) и b⃗ = (−2; 5). Чему равна вторая координата вектора a⃗ − b⃗?

Разность считается покоординатно, нужна только вторая координата: y₁ − y₂ = 1 − 5 = −4. Первая координата (4 − (−2) = 6) здесь не спрашивается — считать её незачем.

Какие ошибки делают в задачах на векторы?

Ошибка 1

Берут не ту формулу скалярного произведения. Даны координаты — работает x₁x₂+y₁y₂; даны длины и угол — |a⃗||b⃗|cos α. Это ловушка номер один в задании 2. Всегда смотри, что именно дано в условии.

Ошибка 2

Путают длину и скалярное произведение. Длина — это √(x²+y²) одного вектора, а скалярное произведение — x₁x₂+y₁y₂ двух векторов. Разные величины: у одной корень, у другой перемножаются координаты разных векторов.

Ошибка 3

Теряют знак при вычитании векторов. В a⃗-b⃗ вычитается вторая координата из первой: y₁-y₂. Когда координаты отрицательные, легко перепутать знак или порядок. Пиши разность в скобках прежде, чем считать.

Ошибка 4

Забывают извлечь корень в длине. Длина вектора — это √(x²+y²), а не x²+y². Если в ответе получилось 169 или 100 вместо 13 или 10 — забыли про корень.

Ошибка 5

Меняют местами начало и конец в векторе по точкам. Вектор AB⃗ — это «конец минус начало»: (x_B-x_A; y_B-y_A). Вычтешь наоборот — получишь BA⃗ с противоположными знаками (на длину это не влияет, а на координаты и скалярное произведение — да).

Ошибка 6

Считают косинус угла, а не делят на длины. Скалярное произведение само по себе — ещё не косинус. Угол находят по cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|): сначала скалярное, потом обе длины, и только потом делят.

Запомни для ЕГЭ

AB⃗=(x_B-x_A; y_B-y_A)

2a⃗±b⃗=(x₁± x₂; y₁± y₂)

3|a⃗|=√(x²+y²)

4a⃗ · b⃗=x₁x₂+y₁y₂

5a⃗ · b⃗=|a⃗||b⃗|cos α

6cos α=(a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|)

7a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ скалярное произведение = 0

На экзамене

Задание 2 — базовое, 1 балл, и решается за 2–3 минуты без калькулятора. Всё считается в уме или в одну строчку на черновике.
Первым делом реши, что дано: координаты или длины с углом. Правильный выбор между двумя формулами скалярного произведения — половина успеха в этом задании.
Если под корнем в длине оказалось некрасивое число, а в задании 2 их не бывает, — ищи арифметическую ошибку в квадратах или знаках, а не переписывай ответ с корнем.
Нашёл косинус угла — сверь его с таблицей значений для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Отрицательный косинус означает тупой угол.
Просят одну координату вектора — не трать время на вторую. А перед тем как записать ответ в бланк, ещё раз глянь: спросили скалярное произведение, длину, координату или угол? Их легко перепутать под конец.

Словарь темы

Вектор: Направленный отрезок: величина, у которой есть и длина, и направление. Место, где его нарисовали, значения не имеет — вектор задаётся только своими координатами.
Координаты вектора: Пара чисел (x; y): на сколько сдвинуться вдоль оси Ox и вдоль оси Oy, чтобы попасть из начала вектора в его конец. Для вектора по двум точкам — это разность координат конца и начала.
Длина (модуль) вектора: Длина отрезка от начала вектора к его концу. В координатах равна √(x² + y²) — по теореме Пифагора. Всегда неотрицательна.
Скалярное произведение: Число, равное x₁x₂ + y₁y₂ или |a⃗||b⃗|cos α. Обе формулы дают один и тот же результат; какую взять — зависит от того, что дано в условии.
Угол между векторами: Угол между направлениями двух векторов, отложенных из одной точки. Находится через cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|).
Коллинеарные векторы: Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Их координаты пропорциональны: x₁y₂ = x₂y₁. Один такой вектор получается из другого умножением на число.
Перпендикулярные векторы: Векторы под прямым углом друг к другу. Признак — скалярное произведение равно нулю: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 2 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 7.5 «Координаты и векторы». В кодификаторе 2027 элемент отнесён к углублённому уровню. В проекте КИМ 2027 векторы по-прежнему проверяет задание 2 (1 балл): операции с векторами, скалярное произведение, угол между векторами.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 7.5 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня («Координаты и векторы»), задание 2 КИМ, базовый уровень, 1 балл.
Содержание задания 2 — операции с векторами в координатах, скалярное произведение, угол между векторами, длина вектора.
Главные ловушки задания 2 — смешение координатной формулы скалярного произведения и формулы через длины/косинус, а также путаница длины и скалярного произведения.
Координаты вектора по двум точкам: AB⃗ = (x_B − x_A; y_B − y_A); порядок «конец минус начало» существен, BA⃗ имеет противоположные знаки.
Действия с векторами в координатах: сумма/разность — покоординатно, умножение на число — каждая координата на число; коллинеарность ⇔ x₁y₂ = x₂y₁.
Длина вектора |a⃗| = √(x² + y²); расстояние между точками AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²).
Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов: M = ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2).
Скалярное произведение задаётся двумя эквивалентными формулами: a⃗·b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ и a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α.
Косинус угла между векторами cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|); векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a⃗·b⃗ = 0.
Разбор примера: a⃗=(4;3), b⃗=(1;7) → a⃗·b⃗=25, |a⃗|=5, |b⃗|=5√2, cos α = 1/√2 = √2/2, угол 45°.
Задание 2 базового уровня, 1 балл, без калькулятора, числа подобраны на целый ответ; пифагоровы тройки (3;4;5), (6;8;10), (5;12;13), (8;15;17) типичны для длин.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.