Тела и поверхности вращения

Задание 3 КИМ (1 балл), включая усложнённые комбинации тел Макс. 1 балл ~3 минуты

Цилиндр, конус и шар получаются вращением плоской фигуры вокруг оси — отсюда и «тела вращения». Их формулы объёма и поверхности нужны в задании 3 — от прямой подстановки до усложнённых комбинаций вроде сферы, описанной около конуса. Главная ловушка темы — путать высоту конуса с образующей и боковую поверхность с полной.

Откуда берутся тела вращения

Название темы объясняет саму суть. Возьми плоскую фигуру и раскрути её вокруг прямой — этой прямой будет ось. Фигура заметёт в пространстве тело, а её край опишет поверхность. Так рождаются три главных тела темы, и запомнить, как именно, полезнее, чем зубрить формулы отдельно.

Цилиндр — это раскрученный вокруг своей стороны прямоугольник. Конус — раскрученный вокруг катета прямоугольный треугольник. Шар — раскрученный вокруг диаметра полукруг. Из этого сразу видно, почему у цилиндра два одинаковых круглых основания, у конуса — одно основание и вершина, а у шара нет ни одного плоского куска.

Важно различать два слова, которые звучат похоже. Шар — это тело, всё пространство внутри; сфера — только его поверхность, оболочка без начинки. Поэтому у шара спрашивают объём, а у сферы — площадь поверхности. Смешать эти два вопроса — типовая потеря балла на экзамене.

Ещё один инструмент, который выручает почти в любой задаче темы, — осевое сечение: разрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг. Осевое сечение переводит объёмную задачу в плоскую, где уже работают теорема Пифагора и обычная планиметрия.

Цилиндр

У цилиндра всё задаётся двумя числами: радиусом основания $r$ и высотой $h$ . Высота здесь — это и есть расстояние между основаниями, потому что боковая стенка стоит вертикально. Объём считается как «площадь основания на высоту», а основание у нас круг площадью $\pi r^2$ :

V = \pi r^2 h

Боковую поверхность проще всего представить, если разрезать банку по вертикали и развернуть — получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте $h$ , другая — длине окружности основания $2\pi r$ . Отсюда площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = 2\pi r h

Если к боковой стенке добавить два круглых основания, получится полная поверхность. Каждое основание — круг площадью $\pi r^2$ , их два:

S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r)

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ (это диаметр основания) и $h$ . Если в задаче дана диагональ этого сечения, вспоминай теорему Пифагора: $d^2 = (2r)^2 + h^2$ .

Цилиндр задаётся радиусом основания r и высотой h

Конус: где прячется главная ловушка

У конуса появляется третья величина, которой не было у цилиндра, — образующая $l$ . Это отрезок от вершины до любой точки края основания, то есть боковая «стенка» конуса вдоль ската. Образующая, высота $h$ и радиус $r$ образуют прямоугольный треугольник — это половина осевого сечения. Значит, они связаны теоремой Пифагора:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Эту связь надо чувствовать наизусть: в задаче обычно дают два числа из трёх, а третье достаёшь отсюда. Например, при $r = 6$ и $h = 8$ образующая равна $\sqrt{36 + 64} = 10$ .

Объём конуса — ровно треть от объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой. Отсюда та самая одна третья, которую вечно теряют:

V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h

А вот в площади боковой поверхности и сидит главная ловушка темы. В формулу входит образующая $l$ , а не высота $h$ :

S_{\text{бок}} = \pi r l

Подставить сюда высоту вместо образующей — самая частая ошибка на задании про конус. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Полная поверхность добавляет к боковой одно круглое основание:

S_{\text{полн}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник: основание равно диаметру $2r$ , а две боковые стороны — это две образующие $l$ . Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$ .

У конуса высота h идёт в объём, а образующая l — в боковую поверхность; связаны они теоремой Пифагора

Шар и сфера

Шар задаётся всего одним числом — радиусом $R$ . Две формулы, и обе надо знать наизусть: объём шара и площадь его поверхности (то есть площадь сферы).

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2

Их легко перепутать между собой, а разница принципиальная. В объёме радиус в третьей степени и стоит коэффициент $\tfrac{4}{3}$ ; в площади радиус в квадрате и коэффициент просто $4$ . Подсказка от размерности: объём измеряется в кубических единицах, поэтому у него куб; площадь — в квадратных, поэтому квадрат.

Если тело или задачу задают диаметром, сначала раздели его пополам и только потом подставляй. Диаметр $d = 6$ означает радиус $R = 3$ , и в формулу идёт тройка, а не шестёрка — иначе ответ вырастет в разы.

Сечение шара любой плоскостью — всегда круг. Если плоскость проходит через центр, круг самый большой, его радиус равен $R$ . Чем дальше плоскость от центра, тем меньше круг: при расстоянии $d$ от центра радиус сечения равен $\sqrt{R^2 - d^2}$ — снова прямоугольный треугольник и теорема Пифагора.

Сечение шара плоскостью — круг; через центр он наибольший, радиуса R

Усечённый конус, комбинации и число π

Если конус срезать плоскостью, параллельной основанию, получится усечённый конус — с двумя круглыми основаниями разного радиуса $R$ и $r$ . Он тоже относится к телам вращения. Его объём и боковую поверхность (через образующую $l$ ) находят по формулам:

V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right), \qquad S_{\text{бок}} = \pi (R + r)\, l

Эти две формулы в задании 3 встречаются редко, поэтому если места в голове мало — приоритет у цилиндра, конуса и шара. Но знать, что такое тело существует и как оно устроено, полезно: задачу усложняют комбинациями тел — шар, вписанный в цилиндр, конус, вписанный в шар, сфера, описанная около конуса. Даже когда в кратком ответе задания 3 просят, например, радиус сферы, описанной около конуса, такая связка разбирается всегда одинаково: рисуешь осевое сечение, находишь на нём прямоугольный треугольник и работаешь с ним по планиметрии.

Отдельно про число $\pi$ . В задании 3 ответ должен быть числом, а $\pi$ — иррациональное. Поэтому в условии почти всегда либо просят приблизить $\pi \approx 3$ и тогда ответ выходит целым, либо просят записать коэффициент при π — то есть число, на которое π умножается. Прочитай эту оговорку в условии до того, как считать: она определяет, что именно писать в бланк.

Разбор: боковая поверхность конуса

Пример

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Найди площадь боковой поверхности конуса. В ответе укажи коэффициент при π (то есть число k, если площадь равна kπ).

В формулу боковой поверхности

S_{\text{бок}} = \pi r l

входит образующая

l

, а нам дали высоту. Значит, сначала находим образующую.Образующая, высота и радиус — стороны прямоугольного треугольника, поэтому по теореме Пифагора:

l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Теперь подставляем радиус и образующую в формулу боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi

В ответ идёт коэффициент при π. Если бы вместо образующей я по невнимательности взял высоту 8, вышло бы 48π — и балл потерян ровно на этой подмене.Ответ: 60 (площадь боковой поверхности равна 60π).

Как решать задачу на тело вращения

1Опознай тело и выпиши, что дано. Цилиндр — радиус и высота. Конус — радиус, высота, образующая (любые два из трёх). Шар — только радиус. Если дан диаметр, сразу дели пополам.

2Реши, что именно спрашивают. Объём или площадь? Боковая поверхность или полная? У конуса — высота нужна или образующая? От этого зависит выбор формулы, и здесь теряют больше всего.

3Не хватает величины — достань её из осевого сечения. Образующую конуса, диагональ цилиндра, радиус сечения шара находишь по теореме Пифагора на прямоугольном треугольнике из осевого сечения.

4Проверь оговорку про π. Просят приблизить

\pi \approx 3

— считаешь до целого числа. Просят коэффициент при π — оставляешь π символом и пишешь множитель.

5Подставь числа и сверь ответ с вопросом. Искал коэффициент при π, а π сократилось — перечитай условие. Искал объём, а забыл возвести радиус в нужную степень — размерность подскажет.

Проверь себя

Четыре вопроса ровно по тем местам, где на задании про тела вращения теряют балл.

1.Радиус основания конуса равен 9, а высота равна 12. Чему равна образующая конуса?

Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник: l = √(r² + h²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Ответ 21 получился бы, если сложить 9 и 12 без Пифагора — так нельзя.

2.По какой формуле считается площадь боковой поверхности конуса?

В боковую поверхность конуса входит образующая l, а не высота h: S_бок = πrl. Формула с высотой (πrh) — самая частая ловушка темы; 2πrh — это боковая поверхность цилиндра, а πr²h — объём цилиндра.

3.Чему равна площадь поверхности сферы радиуса R?

Площадь поверхности сферы S = 4πR² — радиус в квадрате, потому что площадь измеряется в квадратных единицах. Вариант 4/3·πR³ — это объём шара, его легко перепутать с площадью.

4.Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 5. Найдите объём, приняв π ≈ 3.

V = πr²h = 3 · 2² · 5 = 3 · 4 · 5 = 60. Вариант 20 вышел бы, если по ошибке взять формулу конуса с множителем 1/3: (1/3)·3·4·5 = 20. Вариант 30 — если забыть возвести радиус в квадрат (3·2·5). У цилиндра множителя 1/3 нет, а радиус стоит в квадрате.

5.Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой?

Объём конуса V = (1/3)πr²h — это ровно треть от объёма цилиндра πr²h с теми же основанием и высотой. Именно этот множитель 1/3 чаще всего и теряют.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Подставляют высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса. В формуле $S_{\text{бок}} = \pi r l$ стоит образующая $l$ , а не высота $h$ . Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Если дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора.

Ошибка 2

Путают боковую поверхность с полной. Спросили полную — не забудь добавить основания: у цилиндра два круга, у конуса один. Спросили боковую — наоборот, основания не считаются вовсе. Перечитай, что именно просят.

Ошибка 3

Забывают множитель $\tfrac{1}{3}$ у конуса. Объём конуса втрое меньше объёма цилиндра: $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ . Пропустишь треть — ответ окажется в три раза больше нужного.

Ошибка 4

Меняют местами формулы шара. Объём $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ (радиус в кубе), площадь $S = 4\pi R^2$ (радиус в квадрате). Подсказка: объём — кубические единицы, значит куб; площадь — квадратные, значит квадрат.

Ошибка 5

Подставляют диаметр вместо радиуса. Если тело задали диаметром, раздели его пополам до подстановки. Диаметр 6 — это радиус 3; забудешь поделить, и в объёме ошибёшься в разы (радиус-то в степени).

Ошибка 6

Не читают оговорку про $\pi$ . Просят приблизить $\pi \approx 3$ — ответ целое число. Просят коэффициент при π — оставь π символом и запиши множитель. Перепутаешь — правильно посчитанная задача уйдёт в неверный бланковый ответ.

Запомни для ЕГЭ

V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\ \ S_{\text{бок}} = 2\pi r h

V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,\ \ S_{\text{бок}} = \pi r l

l = \sqrt{r^2 + h^2}

V_{\text{шар}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3

S_{\text{сфер}} = 4\pi R^2

6Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса

На экзамене

Задание 3 стоит 1 балл и решается прямой подстановкой в формулу — закладывай на него две-три минуты. Вся сложность не в вычислениях, а в том, чтобы взять правильную формулу и не перепутать высоту с образующей.
Прежде чем считать, отметь в условии два слова: «боковая или полная» и «объём или поверхность». Эти четыре варианта — и есть всё поле возможных ошибок в этом задании.
Если в задании про конус дали высоту, а нужна боковая поверхность (или наоборот) — первым делом достань образующую через $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . Числа в задании 3 обычно подобраны так, что корень берётся нацело: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13.
Если тело вращения дают в комбинации (сфера около конуса, конус в шаре, шар в цилиндре), приём один: построй осевое сечение, найди на нём прямоугольный треугольник и дальше решай планиметрией. Так объёмная связка сводится к знакомой плоской задаче.
Держи в голове, что это профильный раздел (в кодификаторе — углублённый уровень УУ). Формулы тел вращения в справочных материалах не выдают: их придётся помнить наизусть, как и почти всю геометрию на профиле.

Словарь темы

Тело вращенияТело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.

Ось вращенияПрямая, вокруг которой вращается фигура. У цилиндра и конуса она соединяет центры оснований (с вершиной), у шара проходит через центр.

ОбразующаяУ конуса — отрезок от вершины до края основания (боковая «стенка» вдоль ската). Связана с радиусом и высотой теоремой Пифагора: l = √(r² + h²). В формулу боковой поверхности входит именно она, а не высота.

Осевое сечениеРазрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник 2r × h, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг радиуса R. Главный инструмент темы: сводит объёмную задачу к плоской.

ШарТело — всё пространство, ограниченное сферой, вместе с внутренностью. У шара спрашивают объём V = 4/3·πR³.

СфераПоверхность шара, оболочка без внутренности. У сферы спрашивают площадь S = 4πR². Путать шар и сферу — типовая потеря балла.

Усечённый конусЧасть конуса между основанием и параллельным ему сечением. Имеет два круглых основания разного радиуса; тоже тело вращения.

Источники и проверка

13 источников

Тема соответствует коду 7.4 кодификатора ФИПИ по математике (профиль): «Тела и поверхности вращения», раздел «Геометрия», уровень УУ (углублённый).
Формулы тел вращения проверяются в задании 3 (число, 1 балл), в том числе в усложнённых комбинациях (сфера, описанная около конуса).
Цилиндр, конус и шар получаются вращением прямоугольника (вокруг стороны), прямоугольного треугольника (вокруг катета) и полукруга (вокруг диаметра) соответственно.
Объём цилиндра V = πr²h, боковая поверхность S = 2πrh, полная S = 2πr(h + r).
Образующая конуса l = √(r² + h²); объём V = ⅓πr²h; боковая поверхность S = πrl (через образующую, не высоту); полная S = πr(l + r).
Объём шара V = 4/3·πR³, площадь сферы S = 4πR².
Различие «шар — тело, сфера — поверхность»: у шара спрашивают объём, у сферы — площадь поверхности.
Сечение шара плоскостью — круг; радиус сечения на расстоянии d от центра равен √(R² − d²).
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник 2r × h (диагональ d² = (2r)² + h²); осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l, высотой h.
Усечённый конус — тело вращения с двумя основаниями радиусов R и r; объём V = πh/3·(R² + Rr + r²), боковая поверхность S = π(R + r)l.
В задании 3 π обычно либо приближают (часто π ≈ 3, ответ — целое число), либо просят коэффициент при π.
В развёрнутом задании 14 (стереометрия, повышенный уровень, 3 балла) пункт а — доказательство, пункт б — вычисление; за проверку на примере вместо доказательства балл за пункт а не ставят.
Формулы объёмов и поверхностей тел вращения в справочных материалах ЕГЭ не выдаются — их нужно знать наизусть.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 3

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике