Тела и поверхности вращения

Q: Как решать задачу на тело вращения?

Шаги такие: 1) опознай тело и выпиши, что дано; 2) реши, что именно спрашивают; 3) не хватает величины — достань её из осевого сечения; 4) проверь оговорку про π; 5) подставь числа и сверь ответ с вопросом.

Q: Что нужно запомнить по теме «Тела и поверхности вращения»?

Главное: 1) Vцил = π r² h, Sбок = 2π r h; 2) Vкон = (1/3)π r² h, Sбок = π r l; 3) l = √(r² + h²); 4) Vшар = (4/3)π R³; 5) Sсфер = 4π R²; 6) Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса.

Тело вращения — это тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. На ЕГЭ тема нужна в задании 3 (1 балл): от прямой подстановки в формулы объёма и поверхности до усложнённых комбинаций вроде сферы, описанной около конуса.

Решать задание 3 ЕГЭ

Формулы тел вращения в одной таблице

Объёмы и поверхности цилиндра, конуса, шара и усечённого конуса
Тело	Формулы	Что обозначают буквы
Цилиндр	V = π r² h, Sбок = 2π r h, Sполн = 2π r (h + r)	r — радиус основания, h — высота
Осевое сечение цилиндра	d² = (2r)² + h²	Прямоугольник 2r × h, d — его диагональ
Конус: образующая	l = √(r² + h²)	l — образующая, r — радиус, h — высота
Конус: объём	V = (1/3)π r² h	Треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой
Конус: поверхность	S_бок = πrl, S_полн = πr(l + r)	В боковую поверхность идёт образующая l, а не высота
Шар и сфера	V = (4/3)π R³, S = 4π R²	R — радиус; объём у шара, площадь у сферы
Сечение шара	√(R² - d²)	d — расстояние от центра до плоскости сечения
Усечённый конус	V = ((π h)/3)(R² + R r + r²), Sбок = π (R + r) l	R и r — радиусы оснований, l — образующая

Быстрые ответы

Что такое тело вращения?

Тело вращения — тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси, а её край описывает поверхность. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.

Как решать задачу на тело вращения?

Шаги такие:

опознай тело и выпиши, что дано
реши, что именно спрашивают
не хватает величины — достань её из осевого сечения
проверь оговорку про π
подставь числа и сверь ответ с вопросом.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тела и поверхности вращения»?

Подставляют высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса. В формуле Sбок = π r l стоит образующая l, а не высота h. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Если дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора.

Что нужно запомнить по теме «Тела и поверхности вращения»?

Главное:

Vцил = π r² h, Sбок = 2π r h
Vкон = (1/3)π r² h, Sбок = π r l
l = √(r² + h²)
Vшар = (4/3)π R³
Sсфер = 4π R²
Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса.

Цилиндр, конус и шар получаются вращением плоской фигуры вокруг оси — отсюда и «тела вращения». Их формулы объёма и поверхности нужны в задании 3 — от прямой подстановки до усложнённых комбинаций вроде сферы, описанной около конуса. Главная ловушка темы — путать высоту конуса с образующей и боковую поверхность с полной.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое тела вращения и как они получаются?

Название темы объясняет саму суть. Возьми плоскую фигуру и раскрути её вокруг прямой — этой прямой будет ось. Фигура заметёт в пространстве тело, а её край опишет поверхность. Так рождаются три главных тела темы, и запомнить, как именно, полезнее, чем зубрить формулы отдельно.

Цилиндр — это раскрученный вокруг своей стороны прямоугольник. Конус — раскрученный вокруг катета прямоугольный треугольник. Шар — раскрученный вокруг диаметра полукруг. Из этого сразу видно, почему у цилиндра два одинаковых круглых основания, у конуса — одно основание и вершина, а у шара нет ни одного плоского куска.

Важно различать два слова, которые звучат похоже. Шар — это тело, всё пространство внутри; сфера — только его поверхность, оболочка без начинки. Поэтому у шара спрашивают объём, а у сферы — площадь поверхности. Смешать эти два вопроса — типовая потеря балла на экзамене.

Ещё один инструмент, который выручает почти в любой задаче темы, — осевое сечение: разрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг. Осевое сечение переводит объёмную задачу в плоскую, где уже работают теорема Пифагора и обычная планиметрия.

Проверь себя за 10 секунд

Радиус основания конуса равен 9, а высота равна 12. Чему равна образующая конуса?

Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник: l = √(r² + h²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Ответ 21 получился бы, если сложить 9 и 12 без Пифагора — так нельзя.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Получение цилиндра, конуса и шара вращением плоских фигур — Цилиндр, конус и шар возникают при вращении прямоугольника, треугольника и полукруга вокруг оси.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 3 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Шар имеет радиус 3. Найдите площадь поверхности шара. Ответ выразите через число π и укажите числовой множитель.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Правильный тетраэдр имеет ребро длины 4. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. Ответ округлите до целого числа.

Показать ответ

Как найти объём и площадь поверхности цилиндра?

У цилиндра всё задаётся двумя числами: радиусом основания r и высотой h. Высота здесь — это и есть расстояние между основаниями, потому что боковая стенка стоит вертикально. Объём считается как «площадь основания на высоту», а основание у нас круг площадью π r²:

в строку: V = π r² h

Боковую поверхность проще всего представить, если разрезать банку по вертикали и развернуть — получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте h, другая — длине окружности основания 2πr. Отсюда площадь боковой поверхности:

в строку: Sбок = 2π r h

Если к боковой стенке добавить два круглых основания, получится полная поверхность. Каждое основание — круг площадью π r², их два:

в строку: Sполн = 2π r h + 2π r² = 2π r (h + r)

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r (это диаметр основания) и h. Если в задаче дана диагональ этого сечения, вспоминай теорему Пифагора: d² = (2r)² + h².

Цилиндр задаётся радиусом основания r и высотой h

Как найти объём и площадь поверхности конуса?

У конуса появляется третья величина, которой не было у цилиндра, — образующая l. Это отрезок от вершины до любой точки края основания, то есть боковая «стенка» конуса вдоль ската. Образующая, высота h и радиус r образуют прямоугольный треугольник — это половина осевого сечения. Значит, они связаны теоремой Пифагора:

в строку: l = √(r² + h²)

Эту связь надо чувствовать наизусть: в задаче обычно дают два числа из трёх, а третье достаёшь отсюда. Например, при r = 6 и h = 8 образующая равна √(36 + 64) = 10.

Объём конуса — ровно треть от объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой. Отсюда та самая одна третья, которую вечно теряют:

в строку: V = (1/3)π r² h

А вот в площади боковой поверхности и сидит главная ловушка темы. В формулу входит образующая l, а не высота h:

в строку: Sбок = π r l

Подставить сюда высоту вместо образующей — самая частая ошибка на задании про конус. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Полная поверхность добавляет к боковой одно круглое основание:

в строку: Sполн = π r l + π r² = π r (l + r)

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник: основание равно диаметру 2r, а две боковые стороны — это две образующие l. Высота этого треугольника равна высоте конуса h.

У конуса высота h идёт в объём, а образующая l — в боковую поверхность; связаны они теоремой Пифагора

По каким формулам считать объём шара и площадь сферы?

Шар задаётся всего одним числом — радиусом R. Две формулы, и обе надо знать наизусть: объём шара и площадь его поверхности (то есть площадь сферы).

в строку: V = (4/3)π R³, S = 4π R²

Их легко перепутать между собой, а разница принципиальная. В объёме радиус в третьей степени и стоит коэффициент 4/3; в площади радиус в квадрате и коэффициент просто 4. Подсказка от размерности: объём измеряется в кубических единицах, поэтому у него куб; площадь — в квадратных, поэтому квадрат.

Если тело или задачу задают диаметром, сначала раздели его пополам и только потом подставляй. Диаметр d = 6 означает радиус R = 3, и в формулу идёт тройка, а не шестёрка — иначе ответ вырастет в разы.

Сечение шара любой плоскостью — всегда круг. Если плоскость проходит через центр, круг самый большой, его радиус равен R. Чем дальше плоскость от центра, тем меньше круг: при расстоянии d от центра радиус сечения равен √(R² - d²) — снова прямоугольный треугольник и теорема Пифагора.

Сечение шара плоскостью — круг; через центр он наибольший, радиуса R

Усечённый конус, комбинации и число π

Если конус срезать плоскостью, параллельной основанию, получится усечённый конус — с двумя круглыми основаниями разного радиуса R и r. Он тоже относится к телам вращения. Его объём и боковую поверхность (через образующую l) находят по формулам:

в строку: V = ((π h)/3)(R² + R r + r²), Sбок = π (R + r) l

Эти две формулы в задании 3 встречаются редко, поэтому если места в голове мало — приоритет у цилиндра, конуса и шара. Но знать, что такое тело существует и как оно устроено, полезно: задачу усложняют комбинациями тел — шар, вписанный в цилиндр, конус, вписанный в шар, сфера, описанная около конуса. Даже когда в кратком ответе задания 3 просят, например, радиус сферы, описанной около конуса, такая связка разбирается всегда одинаково: рисуешь осевое сечение, находишь на нём прямоугольный треугольник и работаешь с ним по планиметрии.

Отдельно про число π. В задании 3 ответ должен быть числом, а π — иррациональное. Поэтому в условии почти всегда либо просят приблизить π≈3 и тогда ответ выходит целым, либо просят записать коэффициент при π — то есть число, на которое π умножается. Прочитай эту оговорку в условии до того, как считать: она определяет, что именно писать в бланк.

Разбор: боковая поверхность конуса

Пример

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Найди площадь боковой поверхности конуса. В ответе укажи коэффициент при π (то есть число k, если площадь равна kπ).

В формулу боковой поверхности S_бок = πrl входит образующая l, а нам дали высоту. Значит, сначала находим образующую.Образующая, высота и радиус — стороны прямоугольного треугольника, поэтому по теореме Пифагора:l = √(r² + h²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10Теперь подставляем радиус и образующую в формулу боковой поверхности:S_бок = πrl = π·6·10 = 60πВ ответ идёт коэффициент при π. Если бы вместо образующей я по невнимательности взял высоту 8, вышло бы 48π — и балл потерян ровно на этой подмене.Ответ: 60 (площадь боковой поверхности равна 60π).

Как решать задачу на тело вращения

1Опознай тело и выпиши, что дано. Цилиндр — радиус и высота. Конус — радиус, высота, образующая (любые два из трёх). Шар — только радиус. Если дан диаметр, сразу дели пополам.
2Реши, что именно спрашивают. Объём или площадь? Боковая поверхность или полная? У конуса — высота нужна или образующая? От этого зависит выбор формулы, и здесь теряют больше всего.
3Не хватает величины — достань её из осевого сечения. Образующую конуса, диагональ цилиндра, радиус сечения шара находишь по теореме Пифагора на прямоугольном треугольнике из осевого сечения.
4Проверь оговорку про π. Просят приблизить π≈3 — считаешь до целого числа. Просят коэффициент при π — оставляешь π символом и пишешь множитель.
5Подставь числа и сверь ответ с вопросом. Искал коэффициент при π, а π сократилось — перечитай условие. Искал объём, а забыл возвести радиус в нужную степень — размерность подскажет.

Проверь себя

Четыре вопроса ровно по тем местам, где на задании про тела вращения теряют балл.

1.Радиус основания конуса равен 9, а высота равна 12. Чему равна образующая конуса?

2.По какой формуле считается площадь боковой поверхности конуса?

В боковую поверхность конуса входит образующая l, а не высота h: S_бок = πrl. Формула с высотой (πrh) — самая частая ловушка темы; 2πrh — это боковая поверхность цилиндра, а πr²h — объём цилиндра.

3.Чему равна площадь поверхности сферы радиуса R?

Площадь поверхности сферы S = 4πR² — радиус в квадрате, потому что площадь измеряется в квадратных единицах. Вариант 4/3·πR³ — это объём шара, его легко перепутать с площадью.

4.Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 5. Найдите объём, приняв π ≈ 3.

V = πr²h = 3 · 2² · 5 = 3 · 4 · 5 = 60. Вариант 20 вышел бы, если по ошибке взять формулу конуса с множителем 1/3: (1/3)·3·4·5 = 20. Вариант 30 — если забыть возвести радиус в квадрат (3·2·5). У цилиндра множителя 1/3 нет, а радиус стоит в квадрате.

5.Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой?

Объём конуса V = (1/3)πr²h — это ровно треть от объёма цилиндра πr²h с теми же основанием и высотой. Именно этот множитель 1/3 чаще всего и теряют.

Какие ошибки делают в задачах на тела вращения?

Ошибка 1

Подставляют высоту вместо образующей в боковую поверхность конуса. В формуле S_бок = πrl стоит образующая l, а не высота h. Высота идёт в объём, образующая — в боковую поверхность. Если дана высота, сначала найди образующую по теореме Пифагора.

Ошибка 2

Путают боковую поверхность с полной. Спросили полную — не забудь добавить основания: у цилиндра два круга, у конуса один. Спросили боковую — наоборот, основания не считаются вовсе. Перечитай, что именно просят.

Ошибка 3

Забывают множитель 1/3 у конуса. Объём конуса втрое меньше объёма цилиндра: V = (1/3)π r² h. Пропустишь треть — ответ окажется в три раза больше нужного.

Ошибка 4

Меняют местами формулы шара. Объём V = (4/3)π R³ (радиус в кубе), площадь S = 4π R² (радиус в квадрате). Подсказка: объём — кубические единицы, значит куб; площадь — квадратные, значит квадрат.

Ошибка 5

Подставляют диаметр вместо радиуса. Если тело задали диаметром, раздели его пополам до подстановки. Диаметр 6 — это радиус 3; забудешь поделить, и в объёме ошибёшься в разы (радиус-то в степени).

Ошибка 6

Не читают оговорку про π. Просят приблизить π≈3 — ответ целое число. Просят коэффициент при π — оставь π символом и запиши множитель. Перепутаешь — правильно посчитанная задача уйдёт в неверный бланковый ответ.

Запомни для ЕГЭ

1Vцил = π r² h, Sбок = 2π r h

2Vкон = (1/3)π r² h, Sбок = π r l

3l = √(r² + h²)

4Vшар = (4/3)π R³

5Sсфер = 4π R²

6Высота — в объём, образующая — в боковую поверхность конуса

На экзамене

Задание 3 стоит 1 балл и решается прямой подстановкой в формулу — закладывай на него две-три минуты. Вся сложность не в вычислениях, а в том, чтобы взять правильную формулу и не перепутать высоту с образующей.
Прежде чем считать, отметь в условии два слова: «боковая или полная» и «объём или поверхность». Эти четыре варианта — и есть всё поле возможных ошибок в этом задании.
Если в задании про конус дали высоту, а нужна боковая поверхность (или наоборот) — первым делом достань образующую через l = √(r² + h²). Числа в задании 3 обычно подобраны так, что корень берётся нацело: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13.
Если тело вращения дают в комбинации (сфера около конуса, конус в шаре, шар в цилиндре), приём один: построй осевое сечение, найди на нём прямоугольный треугольник и дальше решай планиметрией. Так объёмная связка сводится к знакомой плоской задаче.
Держи в голове, что это профильный раздел (в кодификаторе — углублённый уровень УУ). Формулы тел вращения в справочных материалах не выдают: их придётся помнить наизусть, как и почти всю геометрию на профиле.

Словарь темы

Тело вращения: Тело, которое заметает плоская фигура при вращении вокруг оси. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.
Ось вращения: Прямая, вокруг которой вращается фигура. У цилиндра и конуса она соединяет центры оснований (с вершиной), у шара проходит через центр.
Образующая: У конуса — отрезок от вершины до края основания (боковая «стенка» вдоль ската). Связана с радиусом и высотой теоремой Пифагора: l = √(r² + h²). В формулу боковой поверхности входит именно она, а не высота.
Осевое сечение: Разрез тела плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник 2r × h, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг радиуса R. Главный инструмент темы: сводит объёмную задачу к плоской.
Шар: Тело — всё пространство, ограниченное сферой, вместе с внутренностью. У шара спрашивают объём V = 4/3·πR³.
Сфера: Поверхность шара, оболочка без внутренности. У сферы спрашивают площадь S = 4πR². Путать шар и сферу — типовая потеря балла.
Усечённый конус: Часть конуса между основанием и параллельным ему сечением. Имеет два круглых основания разного радиуса; тоже тело вращения.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 3 КИМ (1 балл), включая усложнённые комбинации тел Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 7.4 «Тела и поверхности вращения». В кодификаторе 2027 элемент отнесён к углублённому уровню. В проекте КИМ 2027 стереометрию проверяют задание 3 (1 балл) и развёрнутое задание 15 (3 балла) — бывшее задание 14.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 7.4 кодификатора ФИПИ по математике (профиль): «Тела и поверхности вращения», раздел «Геометрия», уровень УУ (углублённый).
Формулы тел вращения проверяются в задании 3 (число, 1 балл), в том числе в усложнённых комбинациях (сфера, описанная около конуса).
Цилиндр, конус и шар получаются вращением прямоугольника (вокруг стороны), прямоугольного треугольника (вокруг катета) и полукруга (вокруг диаметра) соответственно.
Объём цилиндра V = πr²h, боковая поверхность S = 2πrh, полная S = 2πr(h + r).
Образующая конуса l = √(r² + h²); объём V = ⅓πr²h; боковая поверхность S = πrl (через образующую, не высоту); полная S = πr(l + r).
Объём шара V = 4/3·πR³, площадь сферы S = 4πR².
Различие «шар — тело, сфера — поверхность»: у шара спрашивают объём, у сферы — площадь поверхности.
Сечение шара плоскостью — круг; радиус сечения на расстоянии d от центра равен √(R² − d²).
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник 2r × h (диагональ d² = (2r)² + h²); осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l, высотой h.
Усечённый конус — тело вращения с двумя основаниями радиусов R и r; объём V = πh/3·(R² + Rr + r²), боковая поверхность S = π(R + r)l.
В задании 3 π обычно либо приближают (часто π ≈ 3, ответ — целое число), либо просят коэффициент при π.
В развёрнутом задании 15 (стереометрия, повышенный уровень, 3 балла) пункт а — доказательство, пункт б — вычисление; за проверку на примере вместо доказательства балл за пункт а не ставят.
Формулы объёмов и поверхностей тел вращения в справочных материалах ЕГЭ не выдаются — их нужно знать наизусть.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.