Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задание 16 КИМ (2 балла, часть 2) Макс. 2 балла ~15 минут

Две прогрессии — два закона роста. Арифметическая каждый раз прибавляет одно и то же число, геометрическая — умножает на одно и то же. Перепутать их формулы легко, а цена высокая: именно на геометрической прогрессии держится сложный процент из задания 16 на 2 балла. Разберём обе по шагам и дойдём до финансовой задачи.

Два закона роста

Прогрессия — это числовая последовательность, у которой задан первый член и правило перехода от каждого члена к следующему. Всё различие двух прогрессий сидит в этом правиле.

Арифметическая прогрессия строится сложением: к каждому члену прибавляют одно и то же число $d$ — его называют разностью. Обозначают члены буквой $a$ с номером.

a_{n+1} = a_n + d

Геометрическая прогрессия строится умножением: каждый член умножают на одно и то же число $q$ — его называют знаменателем. Члены обозначают буквой $b$ .

b_{n+1} = b_n \cdot q

У геометрической прогрессии два запрета, без которых она разваливается: $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ . Иначе все члены с какого-то момента станут нулями и умножать будет нечего.

Как отличить одну от другой в готовом ряду чисел: посмотри на разности соседних членов и на их отношения. Постоянна разность — прогрессия арифметическая. Постоянно отношение — геометрическая. Ряд 2, 5, 8, 11 арифметический: каждый раз +3. Ряд 2, 6, 18, 54 геометрический: каждый раз ×3.

И главное, ради чего стоит их различать: арифметическая растёт по прямой, а геометрическая — всё быстрее, разгоняясь вверх. Ровно этот разгон и делает сложный процент таким мощным.

Арифметическая прогрессия растёт по прямой, геометрическая — всё круче, по кривой вверх

Сравнение арифметической прогрессии с равными шагами и геометрической прогрессии с ростом в одно и то же число раз — В арифметической прогрессии каждый шаг одинаков по величине, в геометрической — каждый следующий член получается одинаковым умножением.

Арифметическая прогрессия: член и сумма

Чтобы добраться до $a_n$ , не обязательно шагать по одному. От первого члена до $n$ -го делают ровно на один шаг меньше, чем номер: до второго один шаг, до третьего два, до $n$ -го — $n-1$ . Отсюда формула $n$ -го члена:

a_n = a_1 + (n-1)d

Вот это $(n-1)$ , а не $n$ — первая ловушка темы. Пример: $a_1 = 5$ , $d = 3$ , найдём десятый член. До него девять шагов: $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$ . Не $5 + 10 \cdot 3$ .

Сумму первых $n$ членов считают хитро, но красиво. Сложи первый член с последним, возьми половину — это среднее значение членов (среднее арифметическое первого и последнего), — и умножь на количество:

S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Если последний член ещё неизвестен, подставь вместо него формулу $a_n$ и получишь вид, где нужны только $a_1$ , $d$ и $n$ :

S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n

И полезное свойство, по которому арифметическую прогрессию узнают: каждый член, кроме первого, — это среднее арифметическое своих соседей. Оно так и называется — характеристическое.

a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Каждая следующая ступень выше предыдущей на одно и то же d

Геометрическая прогрессия: член и сумма

Логика та же, только вместо сложения — умножение. От первого члена до $n$ -го умножают на $q$ те же $n-1$ раз. Значит показатель степени — снова $n-1$ , а не $n$ :

b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}

Пример: $b_1 = 3$ , $q = 2$ , найдём пятый член. Умножаем четыре раза: $b_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ .

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии (при $q \neq 1$ ):

S_n = \dfrac{b_1 \left(q^{\,n} - 1\right)}{q - 1}

Оговорка $q \neq 1$ не придирка: при $q = 1$ знаменатель дроби обнуляется. Но и считать тогда нечего — все члены равны $b_1$ , и сумма просто $n \cdot b_1$ .

Характеристическое свойство тоже есть: квадрат каждого члена равен произведению соседей.

b_n^{\,2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}

Отдельный сюжет — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, когда $|q| < 1$ . Члены стремятся к нулю, и вся бесконечная сумма оказывается конечным числом:

S = \dfrac{b_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1

Например, $1 + \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \dots$ — это $b_1 = 1$ , $q = \tfrac12$ , и сумма равна $\dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$ . Бесконечно складываем — а больше двойки не наберём.

Каждый столбик в q раз выше предыдущего — вершины взлетают всё быстрее

Главная развилка: не перепутать формулы

Обе формулы $n$ -го члена похожи как близнецы, и на экзамене их путают чаще всего. Держи различие в одном образе: в арифметической мы шагаем, в геометрической — множим.

Арифметическая: шаг — это сложение, поэтому номер входит множителем. $a_n = a_1 + (n-1)d$ .

Геометрическая: шаг — это умножение, поэтому номер уходит в показатель степени. $b_n = b_1 q^{\,n-1}$ .

Общего у них ровно одно, зато важное: и там, и там стоит $n-1$ , а не $n$ . Первый член получают при $n = 1$ : $a_1 + 0 \cdot d = a_1$ и $b_1 \cdot q^0 = b_1$ . Подставь единицу в свою формулу — если первый член сходится, показатель выбран верно.

С суммами тот же принцип. Арифметическая: средний член на количество, $S_n = \tfrac{a_1 + a_n}{2}\,n$ . Геометрическая: через степень знаменателя, $S_n = \tfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . Спутать сумму со сложением-умножением уже труднее, если помнишь, откуда каждая формула берётся.

Сложный процент — это геометрическая прогрессия

Вот ради чего в задании 16 всплывает геометрическая прогрессия. Положим деньги в банк под $p$ процентов годовых с капитализацией — это значит, что начисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем году сами приносят проценты.

Ключевой ход: увеличить сумму на $p$ процентов — это умножить её на коэффициент $1 + \tfrac{p}{100}$ . Не прибавить, а именно умножить. Под 10% годовых деньги за год умножаются на $1{,}1$ ; под 8% — на $1{,}08$ .

А раз каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент — это в точности геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1 + \tfrac{p}{100}$ . Через $n$ лет на счёте будет:

S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}

Проверим на числах. Положили $100\,000$ ₽ под 10% с капитализацией. Через год $100\,000 \cdot 1{,}1 = 110\,000$ . Через два года $110\,000 \cdot 1{,}1 = 121\,000$ — то же самое, что $100\,000 \cdot 1{,}1^2$ . Обрати внимание: за второй год набежало 11 000, а не 10 000, потому что процент капнул уже с наросшей суммы. В этом вся сила сложного процента.

Рядом живёт простой процент — без капитализации. Тогда каждый год начисляют одни и те же $p$ процентов от первоначальной суммы, и рост идёт сложением одинаковых кусков — это уже арифметическая прогрессия:

S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p \cdot n}{100}\right)

Те же 100 000 под 10% простых за два года дадут только $100\,000 \cdot 1{,}2 = 120\,000$ — на тысячу меньше, чем сложные. На двух годах разница крохотная, на десяти — уже огромная. Поэтому в условии задачи 16 всегда ищи слово: «капитализация», «проценты начисляются на всю сумму» — сложные, геометрическая; «проценты на первоначальный вклад» — простые, арифметическая.

Разбор: член и сумма геометрической прогрессии

Пример

Геометрическая прогрессия задана первым членом b₁ = 2 и знаменателем q = 3. Найдите её шестой член и сумму первых шести членов.

Шестой член. От первого до шестого пять шагов умножения, значит показатель степени равен

6 - 1 = 5

b_6 = b_1 \cdot q^{\,6-1} = 2 \cdot 3^5

Считаем степень руками:

3^5 = 243

(это

3^4 = 81

, умноженное ещё на 3). Тогда

b_6 = 2 \cdot 243 = 486

.Сумма первых шести членов. Знаменатель не равен единице, поэтому работает формула через степень:

S_6 = \dfrac{b_1\left(q^6 - 1\right)}{q - 1} = \dfrac{2\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1}

Считаем:

3^6 = 729

(это

243 \cdot 3

), значит

3^6 - 1 = 728

. В знаменателе

3 - 1 = 2

S_6 = \dfrac{2 \cdot 728}{2} = 728

Проверить сумму можно сложением всех членов:

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486

. Складываем по два:

2+6=8

18+54=72

162+486=648

; итого

8+72+648 = 728

— сходится.Ответ: b₆ = 486; S₆ = 728.

Разбор: кредит с дифференцированными платежами (№ 16)

Пример

Кредит 600 000 ₽ взяли на 3 месяца под 2% в месяц. Долг гасят дифференцированными платежами: тело долга каждый месяц уменьшают на одну и ту же величину, а проценты начисляют на остаток. Найдите каждый месячный платёж и общую переплату по кредиту.

Тело долга. Его гасят тремя равными долями за 3 месяца, значит каждый месяц возвращают

600\,000 : 3 = 200\,000

₽ основного долга.Остаток долга перед каждым платежом убывает на 200 000: перед первым это 600 000, перед вторым 400 000, перед третьим 200 000.Проценты за месяц — это 2% от остатка. Считаем 2% как «остаток, делённый на 50»:

600\,000 \cdot 0{,}02 = 12\,000, \quad 400\,000 \cdot 0{,}02 = 8\,000, \quad 200\,000 \cdot 0{,}02 = 4\,000

Месячный платёж = доля тела долга плюс проценты за этот месяц:

200\,000 + 12\,000 = 212\,000

200\,000 + 8\,000 = 208\,000, \qquad 200\,000 + 4\,000 = 204\,000

Посмотри на платежи:

212\,000,\ 208\,000,\ 204\,000

. Они убывают на одно и то же — на 4000. Это арифметическая прогрессия с разностью

d = -4000

. Так и должно быть: тело долга одинаковое, а проценты падают равными ступеньками, потому что остаток убывает равномерно.Переплата — это все начисленные проценты, то есть сумма

12\,000 + 8\,000 + 4\,000

. Проценты тоже образуют арифметическую прогрессию, поэтому берём средний член на количество:

12\,000 + 8\,000 + 4\,000 = 24\,000

Для контроля: сумма всех платежей

212\,000 + 208\,000 + 204\,000 = 624\,000

. Вычтем тело долга:

624\,000 - 600\,000 = 24\,000

— переплата та же.Ответ: Платежи 212 000, 208 000 и 204 000 ₽; переплата 24 000 ₽.

Разбор: кредит равными платежами — аннуитет (№ 16)

Пример

Кредит 3 310 000 ₽ взяли на 3 года под 10% годовых. Долг гасят аннуитетными платежами — тремя равными ежегодными выплатами. Найдите размер платежа и общую переплату.

В чём отличие от прошлой задачи. Тут платёж каждый год один и тот же — его-то и надо найти. Каждый год на остаток долга набегает 10%, то есть остаток умножается на

q = 1{,}1

, а затем вносится платёж

x

. Подберём

x

так, чтобы после третьего платежа долг стал ровно нулём.Приём: сравним все суммы в конце срока. Если бы не платили совсем, за 3 года долг вырос бы в

q^3

раз:

3\,310\,000 \cdot 1{,}1^3 = 3\,310\,000 \cdot 1{,}331 = 4\,405\,610

Теперь платежи. Платёж первого года до конца срока успевает вырасти ещё дважды (умножается на

q^2

), платёж второго года — один раз (на

q

), платёж третьего года вносится в самом конце (на него проценты уже не набегают). Вместе накопленные платежи должны погасить выросший долг:

x q^2 + x q + x = x\left(q^2 + q + 1\right)

Вот и геометрическая прогрессия. В скобке — сумма трёх членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем

q

. Считаем её по формуле суммы:

q^2 + q + 1 = \dfrac{q^3 - 1}{q - 1} = \dfrac{1{,}331 - 1}{1{,}1 - 1} = \dfrac{0{,}331}{0{,}1} = 3{,}31

Приравниваем выросший долг и накопленные платежи — и находим платёж:

x \cdot 3{,}31 = 4\,405\,610 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4\,405\,610}{3{,}31} = 1\,331\,000

Проверка по годам. После каждого платежа считаем остаток: набежали проценты (×1,1) — вычли платёж 1 331 000.

3\,310\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 2\,310\,000

2\,310\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 1\,210\,000

1\,210\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 0

После третьего платежа долг обнулился — значит платёж найден верно.Переплата. Всего отдали банку

3 \cdot 1\,331\,000 = 3\,993\,000

₽. Вычтем тело кредита:

3\,993\,000 - 3\,310\,000 = 683\,000

Сравни с прошлой задачей: при дифференцированных платежах прогрессия была арифметическая (равные доли тела долга, убывающие проценты), а здесь равный платёж свёл дело к сумме геометрической прогрессии.Ответ: Ежегодный платёж 1 331 000 ₽; переплата 683 000 ₽.

Как решать задачу на прогрессию

1Определи тип прогрессии. Постоянна разность соседних членов — арифметическая. Постоянно их отношение — геометрическая. В финансовой задаче: увеличение на процент от текущей суммы (капитализация) — геометрическая; одинаковые куски от первоначальной суммы — арифметическая.

2Выпиши, что дано и что ищут. Для арифметической —

a_1

d

n

. Для геометрической —

b_1

q

n

. Отдельно реши: нужен один член или сумма.

3Выбери формулу и не потеряй (n − 1). Член:

a_n = a_1 + (n-1)d

или

b_n = b_1 q^{n-1}

. Сумма:

S_n = \tfrac{a_1+a_n}{2}n

или

S_n = \tfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}

4Процент переведи в множитель. Рост на

p

процентов — это умножение на

1 + p/100

. Под 10% — на 1,1; под 8% — на 1,08. Именно множитель, а не слагаемое, отличает сложный процент от простого.

5Считай без калькулятора и проверяй. Калькулятор на профиле запрещён, поэтому подбирай удобный счёт: 2% — это делить на 50, степени двойки и тройки держи в памяти. Небольшую сумму членов сложи напрямую и сверь с формулой.

6Ответь ровно на вопрос. Спрашивают член или сумму? Платёж или переплату? В задании 16 часть баллов идёт за обоснование каждого шага — записывай переходы, а не только итог.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Арифметическая прогрессия: a₁ = 4, разность d = 5. Чему равен седьмой член a₇?

От первого члена до седьмого шесть шагов, а не семь: a₇ = a₁ + (7 − 1)·d = 4 + 6·5 = 34. Ответ 39 получается, если по ошибке взять 7 шагов вместо 6 (4 + 7·5) — это и есть потеря (n − 1).

2.Какая из последовательностей — геометрическая прогрессия?

В геометрической прогрессии постоянно отношение соседних членов. В ряду 3, 6, 12, 24 каждый следующий вдвое больше: q = 2. Ряд 3, 6, 9, 12 — арифметический (постоянная разность 3), а два последних — вообще не прогрессии.

3.Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2, 4, 6, 8, ... (a₁ = 2, d = 2).

Десятый член a₁₀ = 2 + 9·2 = 20. Сумма — средний член на количество: S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 + 20)/2 · 10 = 11·10 = 110. Это сумма всех чётных чисел от 2 до 20.

4.Вклад 100 000 ₽ положили под 20% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через 2 года?

Капитализация — умножение на 1 + 20/100 = 1,2 каждый год. За два года: 100 000·1,2² = 100 000·1,44 = 144 000 ₽. Вариант 140 000 ₽ — это простой процент (без капитализации), он всегда меньше сложного.

5.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: b₁ = 8, q = 1/2. Чему равна сумма всех её членов?

При |q| < 1 бесконечная сумма конечна: S = b₁/(1 − q) = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2) = 16. Члены 8, 4, 2, 1, ... стремятся к нулю, поэтому вся бесконечная сумма — обычное число.

6.Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2. Чему равен четвёртый член b₄?

Показатель степени равен (n − 1) = 3, а не 4: b₄ = b₁·q³ = 5·2³ = 5·8 = 40. Ответ 80 выходит, если ошибочно взять q⁴ = 16 вместо q³ = 8 — это классическая потеря (n − 1) в геометрической прогрессии.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Путают формулы члена. В арифметической прогрессии номер входит множителем — $a_n = a_1 + (n-1)d$ , а в геометрической уходит в показатель — $b_n = b_1 q^{n-1}$ . Подставь $n = 1$ : если первый член сошёлся, формула выбрана верно.

Ошибка 2

Берут n вместо (n − 1). От первого члена до $n$ -го делают на один шаг меньше, чем номер. Пишут $a_1 + n \cdot d$ или $b_1 q^{n}$ — и весь ответ уезжает на один член. Это самая частая арифметическая осечка темы.

Ошибка 3

Прибавляют процент вместо умножения. Увеличить сумму на 10% — это умножить на 1,1, а не прибавить 10. Капитализация — это множитель $1 + p/100$ каждый год, то есть геометрическая прогрессия. Сложение процентов превращает задачу в неверную.

Ошибка 4

Считают сложный процент как простой. При капитализации процент во второй год капает уже с наросшей суммы: $S_0(1+p/100)^n$ . При простом проценте — всегда с первоначальной: $S_0(1 + pn/100)$ . Ищи в условии слово «капитализация» — оно решает, какая формула.

Ошибка 5

Применяют формулу суммы геометрической прогрессии при q = 1. Тогда знаменатель $q - 1$ обнуляется и делить нельзя. Но и формула не нужна: при $q = 1$ все члены равны $b_1$ , а сумма — просто $n \cdot b_1$ .

Ошибка 6

Забывают, что бесконечная сумма конечна только при |q| < 1. Формула $S = b_1/(1-q)$ работает лишь для убывающей прогрессии. При $|q| \geqslant 1$ члены не стремятся к нулю и бесконечная сумма неограниченно растёт — подставлять числа в формулу нельзя.

Запомни для ЕГЭ

a_n = a_1 + (n-1)d

S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\, n

b_n = b_1\, q^{\,n-1}

S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1},\ q \neq 1

S = \dfrac{b_1}{1 - q},\ |q| < 1

S_n = S_0\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)^{n}

7Сложный процент = ×(1 + p/100) каждый год = геометрическая прогрессия

На экзамене

Задание 16 — часть 2, 2 балла, развёрнутое решение в бланк № 2. Один балл идёт за обоснование, а не только за ответ: записывай, что долг растёт на процент, откуда берётся множитель, почему платежи образуют прогрессию. Голый верный ответ без выкладок эксперт зачесть не сможет.
Первым делом прочитай, простой процент или сложный. «Капитализация», «проценты начисляются на всю сумму на счёте» — сложный, геометрическая прогрессия. «Проценты на первоначальный вклад» — простой, арифметическая. От одного этого слова зависит вся формула.
Калькулятор запрещён, поэтому проценты считай приёмами: 10% — делить на 10, 20% — на 5, 2% — на 50, 5% — на 20. Держи в памяти степени: 1,1² = 1,21, 1,1³ = 1,331. Если число в ответе получилось «некрасивым», ищи арифметическую ошибку.
Дифференцированные платежи почти всегда дают арифметическую прогрессию (равные доли тела долга, убывающие проценты) — тогда переплата считается как сумма прогрессии. Аннуитетные (равные) платежи, наоборот, сводятся к геометрической прогрессии: приём — сравнить всё в конце срока, где выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + q + 1), а скобка и есть сумма геометрической прогрессии. Именно так решён разбор про аннуитет выше — из этого уравнения находят равный платёж x.
Проверяй ответ здравым смыслом: сумма на вкладе не может стать меньше вложенной, переплата по кредиту не может превысить сам кредит в разы при небольшой ставке. Если вышло абсурдно — где-то перепутан множитель или потерян (n − 1).

Эксперимент

Лаборатория: финансовая математика

Главное про проценты разобрано выше, в блоке «Сложный процент — это геометрическая прогрессия»: рост на p процентов — это умножение на коэффициент 1 + p/100 каждый год, поэтому вклад с капитализацией через n лет равен S₀·(1 + p/100)ⁿ. Простой процент растёт медленнее: S₀·(1 + p·n/100).

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

Арифметическая прогрессияПоследовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Растёт линейно.

Разность прогрессии (d)Число, которое прибавляют к каждому члену арифметической прогрессии, чтобы получить следующий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Может быть отрицательной — тогда прогрессия убывает.

Геометрическая прогрессияПоследовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q. Требует b₁ ≠ 0 и q ≠ 0. Растёт (или убывает) в разы.

Знаменатель прогрессии (q)Число, на которое умножают каждый член геометрической прогрессии, чтобы получить следующий: q = bₙ₊₁ / bₙ.

Характеристическое свойствоПризнак прогрессии по трём соседним членам. В арифметической средний — среднее арифметическое соседей: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. В геометрической квадрат среднего равен произведению соседей: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁.

Капитализация процентовНачисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем периоде сами приносят проценты. Приводит к сложному проценту — росту по геометрической прогрессии со знаменателем 1 + p/100.

Простой и сложный процентПростой процент каждый период начисляется на первоначальную сумму (рост по арифметической прогрессии). Сложный — на текущую сумму с учётом прошлых начислений (рост по геометрической прогрессии). Сложный при том же проценте всегда даёт больше.

Дифференцированный платёжСхема погашения кредита, при которой тело долга гасят равными долями, а проценты начисляют на убывающий остаток. Платежи убывают и образуют арифметическую прогрессию.

Аннуитетный платёжСхема погашения кредита равными выплатами: каждый период сумма платежа одна и та же. Чтобы найти платёж, все суммы приводят к концу срока — выросший долг S·qⁿ приравнивают к сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), а это сумма геометрической прогрессии.

Источники и проверка

12 источников

Тема соответствует коду 3.8 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и проверяется заданием 16.
Задание 16 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение в бланк № 2.
Формула n-го члена арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d и суммы Sₙ = (a₁ + aₙ)/2·n = (2a₁ + (n − 1)d)/2·n; характеристическое свойство aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.
Формула n-го члена геометрической прогрессии bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ и суммы Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1; характеристическое свойство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁; при q = 1 сумма равна n·b₁.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна b₁/(1 − q).
Сложный процент с капитализацией — геометрическая прогрессия: Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ. Простой процент — арифметическая: Sₙ = S₀(1 + pn/100).
В задаче № 16 с дифференцированными платежами (тело долга гасится равными долями) месячные платежи и суммы процентов образуют арифметические прогрессии; переплата — сумма этой прогрессии.
Калькулятор на профильной математике запрещён, поэтому все числовые примеры темы посчитаны вручную и дают «красивые» ответы.
Блок interactive указывает на реально существующую лабораторию «Финансовая математика» с id «financial» в наборе «math».
Значение trainerTopic «Арифметическая и геометрическая прогрессии» соответствует названию темы кодификатора.
В задаче № 16 с аннуитетными (равными) платежами выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), где скобка — сумма геометрической прогрессии; отсюда находят равный платёж.
Тема ограничена кодом 3.8 и не заходит в соседние коды кодификатора.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике