Арифметическая и геометрическая прогрессии
Прогрессия — это числовая последовательность с заданным первым членом и правилом перехода: в арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической умножают его на одно и то же число q. На ЕГЭ тема нужна в задании 13 (1 балл, часть 1): в проекте КИМ 2027 это задачи о личных финансах с кратким ответом, и сложный процент в них держится на геометрической прогрессии.
Две прогрессии в одной таблице
| Что нужно | Арифметическая | Геометрическая |
|---|---|---|
| Правило перехода | aₙ₊₁ = aₙ + d, d — разность | bₙ₊₁ = bₙ · q, q — знаменатель; b₁ ≠ 0, q≠0 |
| n-й член | aₙ = a₁ + (n-1)d | bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Сумма первых n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n или Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)/2 · n | Sₙ = (b₁ (qⁿ - 1))/(q - 1) при q ≠ 1; при q = 1 сумма равна n·b₁ |
| Характеристическое свойство | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ |
| Бесконечная сумма | — | S = b₁/(1 - q) при |q| < 1 |
| Как узнать в ряду чисел | Постоянна разность соседних членов: 2, 5, 8, 11 | Постоянно отношение соседних членов: 2, 6, 18, 54 |
| Проценты | Простой: Sₙ = S₀ (1 + (p · n)/100) | Сложный, с капитализацией: Sₙ = S₀ (1 + p/100)ⁿ |
Быстрые ответы
Что такое прогрессия?
Прогрессия — числовая последовательность, у которой задан первый член и правило перехода от каждого члена к следующему. В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической — умножают его на одно и то же число q.
Как решать задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?
Шаги такие:
- определи тип прогрессии
- выпиши, что дано и что ищут
- выбери формулу и не потеряй (n − 1)
- процент переведи в множитель
- считай без калькулятора и проверяй
- ответь ровно на вопрос.
Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?
Путают формулы члена. В арифметической прогрессии номер входит множителем — aₙ = a₁ + (n-1)d, а в геометрической уходит в показатель — bₙ = b₁ qⁿ⁻¹. Подставь n = 1: если первый член сошёлся, формула выбрана верно.
Что нужно запомнить по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?
Главное:
- aₙ = a₁ + (n-1)d
- Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 n
- bₙ = b₁ qⁿ⁻¹
- Sₙ = (b₁(qⁿ - 1))/(q - 1), q ≠ 1
- S = b₁/(1 - q), |q| < 1
- Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ
- Сложный процент = ×(1 + p/100) каждый год = геометрическая прогрессия.
Две прогрессии — два закона роста. Арифметическая каждый раз прибавляет одно и то же число, геометрическая — умножает на одно и то же. Перепутать их формулы легко, а цена высокая: именно на геометрической прогрессии держится сложный процент в задачах о вкладах и кредитах — в проекте КИМ 2027 это задание 13 с кратким ответом. Разберём обе по шагам и дойдём до финансовой задачи.
Что такое арифметическая и геометрическая прогрессии?
Прогрессия — это числовая последовательность, у которой задан первый член и правило перехода от каждого члена к следующему. Всё различие двух прогрессий сидит в этом правиле.
Арифметическая прогрессия строится сложением: к каждому члену прибавляют одно и то же число d — его называют разностью. Обозначают члены буквой a с номером.
Геометрическая прогрессия строится умножением: каждый член умножают на одно и то же число q — его называют знаменателем. Члены обозначают буквой b.
У геометрической прогрессии два запрета, без которых она разваливается: b₁ ≠ 0 и q≠0. Иначе все члены с какого-то момента станут нулями и умножать будет нечего.
Как отличить одну от другой в готовом ряду чисел: посмотри на разности соседних членов и на их отношения. Постоянна разность — прогрессия арифметическая. Постоянно отношение — геометрическая. Ряд 2, 5, 8, 11 арифметический: каждый раз +3. Ряд 2, 6, 18, 54 геометрический: каждый раз ×3.
И главное, ради чего стоит их различать: арифметическая растёт по прямой, а геометрическая — всё быстрее, разгоняясь вверх. Ровно этот разгон и делает сложный процент таким мощным.
Проверь себя за 10 секунд
Арифметическая прогрессия: a₁ = 4, разность d = 5. Чему равен седьмой член a₇?
От первого члена до седьмого шесть шагов, а не семь: a₇ = a₁ + (7 − 1)·d = 4 + 6·5 = 34. Ответ 39 получается, если по ошибке взять 7 шагов вместо 6 (4 + 7·5) — это и есть потеря (n − 1).
Задача ЕГЭ по теме
Два задания 13 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.
-
Задание 1 из 2
В сплав меди и олова массой 16 кг содержится 75% меди. Сколько кг олова нужно добавить, чтобы процент меди стал 60%?
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Банк начисляет на вклад 10% годовых. Вкладчик положил 100 000 рублей. Через сколько полных лет сумма вклада впервые превысит 150 000 рублей?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Как найти n-й член и сумму арифметической прогрессии?
Чтобы добраться до aₙ, не обязательно шагать по одному. От первого члена до n-го делают ровно на один шаг меньше, чем номер: до второго один шаг, до третьего два, до n-го — n − 1. Отсюда формула n-го члена:
Вот это (n − 1), а не n — первая ловушка темы. Пример: a₁ = 5, d = 3, найдём десятый член. До него девять шагов: a₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32. Не 5 + 10·3.
Сумму первых n членов считают хитро, но красиво. Сложи первый член с последним, возьми половину — это среднее значение членов (среднее арифметическое первого и последнего), — и умножь на количество:
Если последний член ещё неизвестен, подставь вместо него формулу aₙ и получишь вид, где нужны только a₁, d и n:
И полезное свойство, по которому арифметическую прогрессию узнают: каждый член, кроме первого, — это среднее арифметическое своих соседей. Оно так и называется — характеристическое.
Как найти n-й член и сумму геометрической прогрессии?
Логика та же, только вместо сложения — умножение. От первого члена до n-го умножают на q те же n − 1 раз. Значит показатель степени — снова n − 1, а не n:
Пример: b₁ = 3, q = 2, найдём пятый член. Умножаем четыре раза: b₅ = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии (при q≠1):
Оговорка q≠1 не придирка: при q = 1 знаменатель дроби обнуляется. Но и считать тогда нечего — все члены равны b₁, и сумма просто n · b₁.
Характеристическое свойство тоже есть: квадрат каждого члена равен произведению соседей.
Отдельный сюжет — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, когда |q| < 1. Члены стремятся к нулю, и вся бесконечная сумма оказывается конечным числом:
Например, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … — это b₁ = 1, q = 1/2, и сумма равна 1/(1 - 1/2) = 2. Бесконечно складываем — а больше двойки не наберём.
Главная развилка: не перепутать формулы
Обе формулы n-го члена похожи как близнецы, и на экзамене их путают чаще всего. Держи различие в одном образе: в арифметической мы шагаем, в геометрической — множим.
Арифметическая: шаг — это сложение, поэтому номер входит множителем. aₙ = a₁ + (n-1)d.
Геометрическая: шаг — это умножение, поэтому номер уходит в показатель степени. bₙ = b₁ qⁿ⁻¹.
Общего у них ровно одно, зато важное: и там, и там стоит n − 1, а не n. Первый член получают при n = 1: a₁ + 0 · d = a₁ и b₁ · q⁰ = b₁. Подставь единицу в свою формулу — если первый член сходится, показатель выбран верно.
С суммами тот же принцип. Арифметическая: средний член на количество, Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 n. Геометрическая: через степень знаменателя, Sₙ = (b₁(qⁿ - 1))/(q - 1). Спутать сумму со сложением-умножением уже труднее, если помнишь, откуда каждая формула берётся.
Сложный процент — это геометрическая прогрессия
Вот ради чего в финансовой задаче — задании 13 — всплывает геометрическая прогрессия. Положим деньги в банк под p процентов годовых с капитализацией — это значит, что начисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем году сами приносят проценты.
Ключевой ход: увеличить сумму на p процентов — это умножить её на коэффициент 1 + p/100. Не прибавить, а именно умножить. Под 10% годовых деньги за год умножаются на 1,1; под 8% — на 1,08.
А раз каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент — это в точности геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1 + p/100. Через n лет на счёте будет:
Проверим на числах. Положили 100 000 ₽ под 10% с капитализацией. Через год 100 000·1,1 = 110 000. Через два года 110 000·1,1 = 121 000 — то же самое, что 100 000 · 1,1². Обрати внимание: за второй год набежало 11 000, а не 10 000, потому что процент капнул уже с наросшей суммы. В этом вся сила сложного процента.
Рядом живёт простой процент — без капитализации. Тогда каждый год начисляют одни и те же p процентов от первоначальной суммы, и рост идёт сложением одинаковых кусков — это уже арифметическая прогрессия:
Те же 100 000 под 10% простых за два года дадут только 100 000·1,2 = 120 000 — на тысячу меньше, чем сложные. На двух годах разница крохотная, на десяти — уже огромная. Поэтому в условии финансовой задачи всегда ищи слово: «капитализация», «проценты начисляются на всю сумму» — сложные, геометрическая; «проценты на первоначальный вклад» — простые, арифметическая.
Разбор: член и сумма геометрической прогрессии
Разбор: кредит с дифференцированными платежами (№ 13)
Разбор: кредит равными платежами — аннуитет (№ 13)
Как решать задачу на прогрессию?
- 1Определи тип прогрессии. Постоянна разность соседних членов — арифметическая. Постоянно их отношение — геометрическая. В финансовой задаче: увеличение на процент от текущей суммы (капитализация) — геометрическая; одинаковые куски от первоначальной суммы — арифметическая.
- 2Выпиши, что дано и что ищут. Для арифметической — a₁, d, n. Для геометрической — b₁, q, n. Отдельно реши: нужен один член или сумма.
- 3Выбери формулу и не потеряй (n − 1). Член: aₙ = a₁ + (n-1)d или bₙ = b₁ qⁿ⁻¹. Сумма: Sₙ = ((a₁+aₙ)/2)n или Sₙ = (b₁(qⁿ-1))/(q-1).
- 4Процент переведи в множитель. Рост на p процентов — это умножение на 1 + p/100. Под 10% — на 1,1; под 8% — на 1,08. Именно множитель, а не слагаемое, отличает сложный процент от простого.
- 5Считай без калькулятора и проверяй. Калькулятор на профиле запрещён, поэтому подбирай удобный счёт: 2% — это делить на 50, степени двойки и тройки держи в памяти. Небольшую сумму членов сложи напрямую и сверь с формулой.
- 6Ответь ровно на вопрос. Спрашивают член или сумму? Платёж или переплату? В задании 13 ответ краткий: засчитывают только число в бланке, поэтому проверь, что записываешь именно искомую величину и в тех единицах, в которых её спрашивают.
Проверь себя
Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.
1.Арифметическая прогрессия: a₁ = 4, разность d = 5. Чему равен седьмой член a₇?
От первого члена до седьмого шесть шагов, а не семь: a₇ = a₁ + (7 − 1)·d = 4 + 6·5 = 34. Ответ 39 получается, если по ошибке взять 7 шагов вместо 6 (4 + 7·5) — это и есть потеря (n − 1).
2.Какая из последовательностей — геометрическая прогрессия?
В геометрической прогрессии постоянно отношение соседних членов. В ряду 3, 6, 12, 24 каждый следующий вдвое больше: q = 2. Ряд 3, 6, 9, 12 — арифметический (постоянная разность 3), а два последних — вообще не прогрессии.
3.Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2, 4, 6, 8, ... (a₁ = 2, d = 2).
Десятый член a₁₀ = 2 + 9·2 = 20. Сумма — средний член на количество: S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 + 20)/2 · 10 = 11·10 = 110. Это сумма всех чётных чисел от 2 до 20.
4.Вклад 100 000 ₽ положили под 20% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через 2 года?
Капитализация — умножение на 1 + 20/100 = 1,2 каждый год. За два года: 100 000·1,2² = 100 000·1,44 = 144 000 ₽. Вариант 140 000 ₽ — это простой процент (без капитализации), он всегда меньше сложного.
5.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: b₁ = 8, q = 1/2. Чему равна сумма всех её членов?
При |q| < 1 бесконечная сумма конечна: S = b₁/(1 − q) = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2) = 16. Члены 8, 4, 2, 1, ... стремятся к нулю, поэтому вся бесконечная сумма — обычное число.
6.Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2. Чему равен четвёртый член b₄?
Показатель степени равен (n − 1) = 3, а не 4: b₄ = b₁·q³ = 5·2³ = 5·8 = 40. Ответ 80 выходит, если ошибочно взять q⁴ = 16 вместо q³ = 8 — это классическая потеря (n − 1) в геометрической прогрессии.
Какие ошибки делают в задачах на прогрессии?
Путают формулы члена. В арифметической прогрессии номер входит множителем — aₙ = a₁ + (n-1)d, а в геометрической уходит в показатель — bₙ = b₁ qⁿ⁻¹. Подставь n = 1: если первый член сошёлся, формула выбрана верно.
Берут n вместо (n − 1). От первого члена до n-го делают на один шаг меньше, чем номер. Пишут a₁ + n · d или b₁ qⁿ — и весь ответ уезжает на один член. Это самая частая арифметическая осечка темы.
Прибавляют процент вместо умножения. Увеличить сумму на 10% — это умножить на 1,1, а не прибавить 10. Капитализация — это множитель 1 + p/100 каждый год, то есть геометрическая прогрессия. Сложение процентов превращает задачу в неверную.
Считают сложный процент как простой. При капитализации процент во второй год капает уже с наросшей суммы: S₀(1+p/100)ⁿ. При простом проценте — всегда с первоначальной: S₀(1 + pn/100). Ищи в условии слово «капитализация» — оно решает, какая формула.
Применяют формулу суммы геометрической прогрессии при q = 1. Тогда знаменатель q − 1 обнуляется и делить нельзя. Но и формула не нужна: при q = 1 все члены равны b₁, а сумма — просто n · b₁.
Забывают, что бесконечная сумма конечна только при |q| < 1. Формула S = b₁/(1-q) работает лишь для убывающей прогрессии. При |q|≥1 члены не стремятся к нулю и бесконечная сумма неограниченно растёт — подставлять числа в формулу нельзя.
Запомни для ЕГЭ
На экзамене
- В проекте КИМ 2027 финансовая задача — задание 13: часть 1, 1 балл, краткий ответ. Решение никто не проверяет, засчитывают только число, поэтому черновик веди аккуратно: записывай, на что умножается долг и почему платежи образуют прогрессию, — так легче поймать ошибку до ответа. До 2027 года такая задача стояла в части 2 под номером 16 и стоила 2 балла с развёрнутым решением — в старых сборниках она встретится именно в этом виде.
- Первым делом прочитай, простой процент или сложный. «Капитализация», «проценты начисляются на всю сумму на счёте» — сложный, геометрическая прогрессия. «Проценты на первоначальный вклад» — простой, арифметическая. От одного этого слова зависит вся формула.
- Калькулятор запрещён, поэтому проценты считай приёмами: 10% — делить на 10, 20% — на 5, 2% — на 50, 5% — на 20. Держи в памяти степени: 1,1² = 1,21, 1,1³ = 1,331. Если число в ответе получилось «некрасивым», ищи арифметическую ошибку.
- Дифференцированные платежи почти всегда дают арифметическую прогрессию (равные доли тела долга, убывающие проценты) — тогда переплата считается как сумма прогрессии. Аннуитетные (равные) платежи, наоборот, сводятся к геометрической прогрессии: приём — сравнить всё в конце срока, где выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + q + 1), а скобка и есть сумма геометрической прогрессии. Именно так решён разбор про аннуитет выше — из этого уравнения находят равный платёж x.
- Проверяй ответ здравым смыслом: сумма на вкладе не может стать меньше вложенной, переплата по кредиту не может превысить сам кредит в разы при небольшой ставке. Если вышло абсурдно — где-то перепутан множитель или потерян (n − 1).
Лаборатория: финансовая математика
Главное про проценты разобрано выше, в блоке «Сложный процент — это геометрическая прогрессия»: рост на p процентов — это умножение на коэффициент 1 + p/100 каждый год, поэтому вклад с капитализацией через n лет равен S₀·(1 + p/100)ⁿ. Простой процент растёт медленнее: S₀·(1 + p·n/100).
Открыть лабораторию в веб-кабинетеСловарь темы
- Арифметическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Растёт линейно.
- Разность прогрессии (d)
- Число, которое прибавляют к каждому члену арифметической прогрессии, чтобы получить следующий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Может быть отрицательной — тогда прогрессия убывает.
- Геометрическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q. Требует b₁ ≠ 0 и q ≠ 0. Растёт (или убывает) в разы.
- Знаменатель прогрессии (q)
- Число, на которое умножают каждый член геометрической прогрессии, чтобы получить следующий: q = bₙ₊₁ / bₙ.
- Характеристическое свойство
- Признак прогрессии по трём соседним членам. В арифметической средний — среднее арифметическое соседей: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. В геометрической квадрат среднего равен произведению соседей: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁.
- Капитализация процентов
- Начисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем периоде сами приносят проценты. Приводит к сложному проценту — росту по геометрической прогрессии со знаменателем 1 + p/100.
- Простой и сложный процент
- Простой процент каждый период начисляется на первоначальную сумму (рост по арифметической прогрессии). Сложный — на текущую сумму с учётом прошлых начислений (рост по геометрической прогрессии). Сложный при том же проценте всегда даёт больше.
- Дифференцированный платёж
- Схема погашения кредита, при которой тело долга гасят равными долями, а проценты начисляют на убывающий остаток. Платежи убывают и образуют арифметическую прогрессию.
- Аннуитетный платёж
- Схема погашения кредита равными выплатами: каждый период сумма платежа одна и та же. Чтобы найти платёж, все суммы приводят к концу срока — выросший долг S·qⁿ приравнивают к сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), а это сумма геометрической прогрессии.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram
Источники и проверка
4 документа
- Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
- ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено ): 3.8 «Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов». В проекте КИМ 2027 отдельной финансовой задачи с развёрнутым ответом нет: задачи об управлении личными и семейными финансами проверяет новое задание 13 с кратким ответом, а моделирование реальных ситуаций — новое задание 17 (2 балла).
Что сверено по документам
- Тема соответствует коду 3.8 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и в проекте КИМ 2027 проверяется заданием 13.
- В проекте КИМ 2027 задание 13 — часть 1, повышенный уровень, 1 балл, краткий ответ; до 2027 года финансовая задача была заданием 16 части 2 за 2 балла с развёрнутым решением.
- Формула n-го члена арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d и суммы Sₙ = (a₁ + aₙ)/2·n = (2a₁ + (n − 1)d)/2·n; характеристическое свойство aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.
- Формула n-го члена геометрической прогрессии bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ и суммы Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1; характеристическое свойство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁; при q = 1 сумма равна n·b₁.
- Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна b₁/(1 − q).
- Сложный процент с капитализацией — геометрическая прогрессия: Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ. Простой процент — арифметическая: Sₙ = S₀(1 + pn/100).
- В финансовой задаче (в проекте КИМ 2027 — № 13) с дифференцированными платежами (тело долга гасится равными долями) месячные платежи и суммы процентов образуют арифметические прогрессии; переплата — сумма этой прогрессии.
- В финансовой задаче (в проекте КИМ 2027 — № 13) с аннуитетными (равными) платежами выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), где скобка — сумма геометрической прогрессии; отсюда находят равный платёж.
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено . Как мы готовим материалы.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
