Производная

Q: Как решать задания по теме «Производная»?

Шаги такие: 1) пойми, что спрашивают; 2) сначала упрости выражение, потом дифференцируй; 3) найди производную по таблице и правилам; 4) подставь нужную точку; 5) доведи до ответа на вопрос.

Q: Что нужно запомнить по теме «Производная»?

Главное: 1) (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹; 2) (uv)' = u'v + uv'; 3) (u/v)' = (u'v - uv')/v²; 4) (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x); 5) Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной; 6) Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t). Остальное — в разделе темы выше.

Производная — это скорость изменения функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): угловой коэффициент и тангенс угла наклона касательной, скорость по закону движения, а с 2027 года и наибольшее или наименьшее значение функции. Считать производные придётся и в новом развёрнутом задании 17 (2 балла) — моделировании реальной ситуации.

Решать задание 9 ЕГЭ

Таблица производных

Рабочий минимум для ЕГЭ: в справочных материалах экзамена этой таблицы нет
Функция	Производная
Константа C и x	C^′ = 0, x^′ = 1
Степень xⁿ	(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
Корень √x	(√x)' = 1/(2√x)
Дробь 1/x	(1/x)' = -1/x²
Экспонента eˣ	(eˣ)' = eˣ
Показательная aˣ	(aˣ)' = aˣ ln a
Логарифм ln x	(ln x)' = 1/x
Синус	(sin x)^′ = cos x
Косинус	(cos x)^′ = −sin x — со знаком минус
Тангенс	(tg x)' = 1/(cos² x)

Быстрые ответы

Что такое производная?

Производная — скорость изменения функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Она измеряет не само значение функции, а темп, с которым это значение меняется.

Как решать задания по теме «Производная»?

Шаги такие:

пойми, что спрашивают
сначала упрости выражение, потом дифференцируй
найди производную по таблице и правилам
подставь нужную точку
доведи до ответа на вопрос.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Производная»?

Считают производную произведения произведением производных. Правило другое: (uv)' = u'v + uv' — сумма из двух слагаемых. Записать u'v' — значит потерять половину ответа. То же с частным: (u/v)' = (u'v - uv')/v², а не частное производных.

Что нужно запомнить по теме «Производная»?

Главное:

(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
(uv)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной
Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t).

Остальное — в разделе темы выше.

Производная — это скорость, с которой меняется функция. За коротким определением стоят два смысла, которые на ЕГЭ путают чаще всего: геометрический — производная равна тангенсу угла наклона касательной, и механический — производная координаты по времени равна скорости. Плюс таблица производных и правила дифференцирования: на профиле их нужно знать наизусть. Это опора заданий 9 и 17.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое производная функции простыми словами?

Возьмём любую функцию и зададим вопрос: насколько быстро она меняется в данной точке? Растёт медленно или круто? Именно на этот вопрос отвечает производная. Она измеряет не само значение функции, а темп, с которым это значение меняется.

Посмотрим, как это устроено. Дадим аргументу небольшую добавку Δx и посмотрим, на сколько изменилась функция: Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀). Отношение Δy/Δx — это средняя скорость изменения на участке. Чтобы получить скорость ровно в точке, участок стягивают в точку: устремляют Δx к нулю. Предел этого отношения и называют производной:

в строку: f'(x₀) = lim_(Δx → 0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/(Δx)

Производную обозначают штрихом: f^′(x) или y^′. Саму операцию поиска производной называют дифференцированием. На ЕГЭ считать этот предел по определению почти не приходится: для всех школьных функций производные уже посчитаны и собраны в таблицу, а из готовых производных по нескольким правилам собирают любую формулу.

У одной и той же производной два прочтения, и на экзамене их постоянно путают. Если функция задаёт график, то f'(x₀) — это наклон касательной в точке (геометрический смысл). Если функция задаёт координату тела во времени, та же f'(x₀) — это скорость (механический смысл). Число считается одинаково, но означает разное — с этой развилки и начнём.

Проверь себя за 10 секунд

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x² − 3x в точке с абсциссой x = 2.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке. f'(x) = 2x − 3, значит k = f'(2) = 2·2 − 3 = 1. Вариант −2 — это значение самой функции f(2) = 4 − 6 = −2, а не производной: точку касания и наклон легко перепутать.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Касательная к графику функции и треугольник наклона рядом с Мишей — Производная в точке показывает наклон касательной к графику функции.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 9 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Функция f(x) определена на отрезке [-4; 6]. Её производная f'(x) = (x+2)(x-3). Найдите точку минимума функции f(x).

Показать ответ
Задание 2 из 2

Прямая y = -4x + b является касательной к параболе y = x^2 + 2x + 3. Найдите b.

Показать ответ

В чём геометрический смысл производной?

Проведём к графику функции касательную в точке — прямую, которая в точке касания идёт вдоль графика, повторяя его направление. Оказывается, между этой касательной и производной есть точная связь, и на ней держится половина заданий 9.

Вспомни, как устроена прямая y = kx + b. Число k называют угловым коэффициентом: оно показывает наклон прямой и равно тангенсу угла α, который прямая образует с положительным направлением оси Ox. Так вот, главный факт темы:

в строку: f'(x₀) = kкас = tgα

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке, а он равен тангенсу угла наклона. Отсюда сразу читается знак: если f'(x₀) > 0, касательная поднимается вправо (угол острый); если f'(x₀) < 0, опускается (угол тупой); если f'(x₀) = 0, касательная горизонтальна — параллельна оси Ox.

Зная производную, легко записать и саму касательную. Она проходит через точку касания (x₀; f(x₀)) с угловым коэффициентом f'(x₀), поэтому её уравнение всегда одно и то же:

в строку: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Типичные формулировки задания 9 звучат так: «найдите угловой коэффициент касательной», «найдите тангенс угла наклона касательной», «в скольких точках касательная параллельна оси абсцисс (то есть оси Ox)». Все они — про одно и то же число f'(x₀).

Касательная касается графика в точке (x₀; f(x₀)); её угловой коэффициент k = tg α равен значению производной f'(x₀)

Как через производную найти скорость и ускорение?

Второй смысл производной пришёл из физики, и на нём построены прикладные задачи. Пусть тело движется по прямой, а его координата задана как функция времени s(t). Тогда мгновенная скорость — это производная координаты по времени:

в строку: v(t) = s'(t)

Логика та же, что в определении: скорость — это темп, с которым меняется координата, а производная как раз измеряет темп изменения. А ускорение — темп изменения скорости, то есть производная от скорости, или вторая производная координаты:

в строку: a(t) = v'(t) = s''(t)

Разберём на числах. Пусть s(t) = 2t² - 3t (координата в метрах, время в секундах). Тогда скорость v(t) = s^′(t) = 4t − 3, и в момент t = 2 она равна 4·2 − 3 = 5 м/с. Ускорение a(t) = v^′(t) = 4 м/с² — постоянное.

И вот здесь главная развилка темы, на которой теряют балл. Не путай два смысла. В геометрическом производная — это наклон касательной к графику функции. В механическом — скорость изменения координаты по времени. Операция одна и та же (дифференцирование), но отвечают эти производные на разные вопросы.

Простой приём — смотреть на слова условия. Говорят про «касательную», «угол наклона», «угловой коэффициент» — это геометрия, ищешь наклон. Говорят про «координату», «скорость», «время», «ускорение» — это механика, ищешь скорость.

Какие производные основных функций нужно знать?

Чтобы дифференцировать, нужно знать производные основных функций. На профильной математике это критично: в справочных материалах экзамена таблицы производных нет (там только четыре тригонометрические формулы), а калькулятор запрещён. Значит, таблицу держим в голове. Вот рабочий минимум для ЕГЭ:

в строку: C' = 0, x' = 1, (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹

в строку: (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = -1/x²

в строку: (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a, (ln x)' = 1/x

в строку: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tg x)' = 1/(cos² x)

Обрати внимание на несколько мест, где легко ошибиться. Производная косинуса — со знаком минус, а синуса — без; их постоянно путают. Производная eˣ равна самой себе, а вот у aˣ добавляется множитель ln a. Константа при дифференцировании обращается в ноль — она ведь не меняется, а производная и есть скорость изменения.

Отдельно про степень. Формула (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ работает не только для натуральных n. Корень и дробь удобно сводить к ней: √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹. Тогда, например, (x⁻¹)' = -1 · x⁻² = -1/x² — та же табличная строчка, полученная из общего правила.

Правила дифференцирования

Таблица даёт производные простых функций. Всё остальное собирают из них по четырём правилам. Их формулировки нужно знать дословно — именно здесь чаще всего перевирают знак или порядок множителей.

Постоянный множитель выносится за знак производной, а производная суммы равна сумме производных:

в строку: (C u)' = C u', (u ± v)' = u' ± v'

Благодаря им многочлен дифференцируется почленно. Например, (3x² - 5x + 4)' = 6x - 5: каждое слагаемое отдельно, свободный член 4 даёт ноль.

Производная произведения — не произведение производных, а сумма из двух слагаемых:

в строку: (u v)' = u' v + u v'

Смотри: (x² eˣ)' = 2x · eˣ + x² · eˣ = eˣ(x² + 2x). Написать просто 2x · eˣ — грубая ошибка: пропущено второе слагаемое.

Производная частного — дробь, в числителе которой важен и порядок, и знак:

в строку: (u/v)' = (u' v - u v')/v²

В числителе первым идёт u^′v, потом минус uv^′, а внизу — квадрат знаменателя. Например, (x/(x+1))' = (1 · (x+1) - x · 1)/(x+1)² = 1/(x+1)².

Производная сложной функции (функции от функции) — цепное правило. Дифференцируем внешнюю функцию, считая внутреннюю единым аргументом, и домножаем на производную внутренней:

в строку: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Например, ((2x+1)³)' = 3(2x+1)² · 2 = 6(2x+1)², а (sin 3x)^′ = cos 3x·3 = 3 cos 3x. Забыть множитель g^′(x) (в этих примерах — двойку и тройку) — самая частая ошибка на цепном правиле.

Смыслы производной и правила дифференцирования

Формулы темы: что означает производная и как её считать
Правило	Формула	Когда применять
Геометрический смысл	f'(x₀) = kкас = tgα	В условии «касательная», «угол наклона», «угловой коэффициент»
Уравнение касательной	y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)	Касательная через точку (x₀; f(x₀))
Мгновенная скорость	v(t) = s^′(t)	В условии «координата», «скорость», «время»
Ускорение	a(t) = v^′(t) = s^′^′(t)	Темп изменения скорости
Множитель и сумма	(Cu)^′ = Cu^′, (u±v)^′ = u^′±v^′	Многочлен дифференцируют почленно
Произведение	(uv)^′ = u^′v + uv^′	Два слагаемых, а не произведение производных
Частное	(u/v)' = (u' v - u v')/v²	Важны порядок и знак в числителе
Сложная функция	(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)	Функция от функции: не забыть множитель g′(x)

Разбор: угловой коэффициент и уравнение касательной (№ 9)

Пример

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке с абсциссой x₀ = 2 и запишите уравнение этой касательной.

Находим производную — почленно, по правилу степени и суммы. Свободный член 1 даёт ноль:f'(x) = 3x² - 4xСчитаем угловой коэффициент. Он равен значению производной в точке касания: k = f'(x₀) = f'(2).k = f'(2) = 3 · 2² - 4 · 2 = 12 - 8 = 4Значит, угловой коэффициент равен 4. Это и есть тангенс угла наклона касательной — угол острый, касательная поднимается.Находим точку касания. Для уравнения нужна ещё ордината — значение самой функции в этой точке:f(2) = 2³ - 2 · 2² + 1 = 8 - 8 + 1 = 1Подставляем в уравнение касательной y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀):y = 1 + 4(x − 2) = 4x − 7Если бы в задании 9 спросили только угловой коэффициент (или тангенс угла наклона), ответом было бы одно число — 4. Уравнение касательной — это следующий шаг, когда нужна вся прямая.Ответ: Угловой коэффициент k = 4; уравнение касательной y = 4x − 7.

Как найти и применить производную

1Пойми, что спрашивают. Значение производной в точке, угловой коэффициент касательной, скорость тела — это подскажет, какой смысл производной нужен и что подставлять в конце.
2Сначала упрости выражение, потом дифференцируй. Раскрой скобки, а корень и дробь запиши степенью: √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹. Часто после этого правило произведения или частного вообще не нужно — многочлен дифференцируется почленно.
3Найди производную по таблице и правилам. Постоянный множитель выноси, сумму дифференцируй почленно, для произведения и частного — свои формулы, для функции от функции не забудь домножить на производную внутренней.
4Подставь нужную точку. Значение f'(x₀) — это и есть угловой коэффициент k = tgα в геометрии или скорость v = s'(t₀) в механике.
5Доведи до ответа на вопрос. Нужна касательная — подставь в y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Нужно число — запиши его. Проверь знак и разумность: корявый корень в ответе базового задания — сигнал ошибки.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x² − 3x в точке с абсциссой x = 2.

2.Тело движется по прямой, его координата задана функцией s(t) = t² + 4t (t — время в секундах). Найдите скорость тела в момент t = 3.

Мгновенная скорость — производная координаты по времени: v(t) = s'(t) = 2t + 4. При t = 3 получаем v(3) = 2·3 + 4 = 10 м/с. Вариант 21 — это сама координата s(3) = 9 + 12 = 21, то есть где тело находится, а не как быстро движется.

3.Найдите производную функции y = (2x + 1)³.

Это сложная функция: внешняя — куб, внутренняя — 2x + 1. По цепному правилу y' = 3(2x + 1)² · (2x + 1)' = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Вариант 3(2x + 1)² — типичная ошибка: забыли домножить на производную внутренней функции, то есть на двойку.

4.Найдите производную функции y = x · sin x.

Это произведение, работает правило (uv)' = u'v + uv'. Здесь u = x, v = sin x, поэтому y' = 1 · sin x + x · cos x = sin x + x cos x. Вариант x cos x — попытка перемножить производные (x)'·(sin x)' или взять только второе слагаемое; производная произведения так не считается.

5.Координата тела на прямой задана функцией s(t). Что физически означает значение s'(t₀)?

Производная координаты по времени — это мгновенная скорость: v = s'(t). Ускорение было бы уже второй производной a = s''(t). Здесь работает механический смысл производной, а не геометрический: речь про скорость изменения координаты, а не про наклон касательной.

6.Касательная к графику функции в точке x₀ параллельна оси абсцисс. Чему равна f'(x₀)?

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона: k = f'(x₀) = tg α. Прямая, параллельная оси Ox, образует с ней угол 0°, а tg 0° = 0. Значит, f'(x₀) = 0. Именно по условию f'(x) = 0 в задании 9 ищут точки, где касательная горизонтальна.

Какие ошибки делают при нахождении производной?

Ошибка 1

Считают производную произведения произведением производных. Правило другое: (uv)^′ = u^′v + uv^′ — сумма из двух слагаемых. Записать u^′v^′ — значит потерять половину ответа. То же с частным: (u/v)' = (u'v - uv')/v², а не частное производных.

Ошибка 2

Забывают домножить на производную внутренней функции. В (2x+1)³ внутри сидит 2x + 1, и по цепному правилу нужен множитель (2x + 1)^′ = 2: ответ 6(2x+1)², а не 3(2x+1)². Проверь: у любой функции от kx в производной вылезает множитель k.

Ошибка 3

Путают знак у косинуса. (sin x)^′ = cos x (без минуса), а (cos x)^′ = −sin x (с минусом). Их зеркалят по ошибке. Заодно помни: у aˣ производная aˣ ln a, а не просто aˣ — самого себя воспроизводит только eˣ.

Ошибка 4

Смешивают геометрический и механический смысл. Спрашивают угол наклона касательной — ищешь f'(x₀) = tgα. Спрашивают скорость по координате s(t) — ищешь v = s^′(t). Дифференцирование одно, но подставляешь и трактуешь результат по-разному. Смотри на слова условия: «касательная, угол» или «скорость, время».

Ошибка 5

Рассчитывают на таблицу производных на экзамене. На профиле в справочных материалах её нет — только четыре тригонометрические формулы. Таблицу производных и правила придётся знать наизусть, иначе задание 9 просто не с чего начать.

Ошибка 6

Путают точку касания и наклон. В точке x₀ есть два разных числа: f(x₀) — где находится график, и f'(x₀) — насколько круто он идёт. Угловой коэффициент касательной — это второе. Не подставь по инерции значение функции вместо производной.

Запомни для ЕГЭ

1(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹

2(uv)^′ = u^′v + uv^′

(u/v)' = (u'v - uv')/v²

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

5Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной

6Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t)

7Таблицы производных на профиле не выдают — знай наизусть

На экзамене

Задание 9 стоит 1 балл и решается за 3–4 минуты. Связка «производная — это наклон касательной и скорость изменения» плюс таблица и правила закрывают почти все его варианты.
Первым делом упрощай выражение: раскрой скобки, замени корень степенью, сократи дробь. Часто после этого функция становится многочленом и дифференцируется почленно — тяжёлые правила произведения и частного не понадобятся.
Определи по словам условия, какой смысл производной нужен. «Угловой коэффициент», «тангенс угла наклона», «касательная параллельна оси» — это геометрия, ответ f'(x₀). «Скорость», «координата», «ускорение» — механика, ответ s^′(t) или s^′^′(t).
Калькулятора и таблицы производных на профиле не будет. Держи в голове таблицу и четыре правила; числа в ответах базового задания всегда «хорошие» — получился корявый корень, ищи ошибку в дифференцировании.
Производная нужна и в вопросе о наибольшем и наименьшем значении — с 2027 года эта формулировка входит в задание 9: сначала находишь f^′(x), а потом по ней исследуешь функцию (точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение — это уже отдельная тема). Поэтому ошибка в самой производной тянет за собой и весь дальнейший ответ — считай её особенно аккуратно.

Словарь темы

Производная: Скорость изменения функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Обозначается f'(x) или y'.
Дифференцирование: Операция нахождения производной функции. Выполняется по таблице производных и правилам дифференцирования: для суммы, постоянного множителя, произведения, частного и сложной функции.
Касательная: Прямая, которая в точке касания идёт вдоль графика функции, повторяя его направление. Её угловой коэффициент равен значению производной в этой точке.
Угловой коэффициент: Число k в уравнении прямой y = kx + b. Показывает наклон прямой и равно тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси Ox. Для касательной k = f'(x₀).
Мгновенная скорость: Скорость тела в данный момент времени. Равна производной координаты по времени: v(t) = s'(t). Ускорение — производная скорости, то есть вторая производная координаты.
Сложная функция: Функция от функции, например (2x + 1)³ или sin 3x. Дифференцируется по цепному правилу: производная внешней функции умножается на производную внутренней.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 9 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла) Макс. 1 балл за № 9 ~4 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 4.1 «Производная функции. Производные элементарных функций». В проекте КИМ 2027 производную, касательную и наибольшее и наименьшее значение функции проверяет задание 9; начала анализа нужны и в новом задании 17.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 4.1 кодификатора ФИПИ «Производная функции. Производные элементарных функций». В проекте КИМ 2027 она проверяется заданием 9 (с 2027 года в него входит и формулировка о наибольшем и наименьшем значении функции), начала анализа нужны и в новом задании 17.
В проекте КИМ 2027 задание 9 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (краткий ответ). В задании 9 проверяют функции и производные: значение производной, касательную, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, площадь через интеграл.
Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0; обозначается f'(x) или y'; операция называется дифференцированием.
Геометрический смысл: производная f'(x₀) равна угловому коэффициенту касательной в точке x₀, а он равен тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
Механический смысл: если s(t) — координата тела, то мгновенная скорость v(t) = s'(t), а ускорение a(t) = v'(t) = s''(t).
Таблица производных для ЕГЭ: C' = 0, x' = 1, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x², (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ·ln a, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tg x)' = 1/cos²x.
Правила дифференцирования: (Cu)' = Cu', (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v², (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
Для f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке x₀ = 2 угловой коэффициент касательной k = 4, уравнение касательной y = 4x − 7.
На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)).

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.