Производная

Задание 8 КИМ (1 балл); также в 12 (1 балл) Макс. 1 балл за № 8 ~4 минуты

Производная — это скорость, с которой меняется функция. За коротким определением стоят два смысла, которые на ЕГЭ путают чаще всего: геометрический — производная равна тангенсу угла наклона касательной, и механический — производная координаты по времени равна скорости. Плюс таблица производных и правила дифференцирования: на профиле их нужно знать наизусть. Это опора заданий 8 и 12.

Производная — это скорость изменения функции

Возьмём любую функцию и зададим вопрос: насколько быстро она меняется в данной точке? Растёт медленно или круто? Именно на этот вопрос отвечает производная. Она измеряет не само значение функции, а темп, с которым это значение меняется.

Посмотрим, как это устроено. Дадим аргументу небольшую добавку $\Delta x$ и посмотрим, на сколько изменилась функция: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ . Отношение $\Delta y / \Delta x$ — это средняя скорость изменения на участке. Чтобы получить скорость ровно в точке, участок стягивают в точку: устремляют $\Delta x$ к нулю. Предел этого отношения и называют производной:

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Производную обозначают штрихом: $f'(x)$ или $y'$ . Саму операцию поиска производной называют дифференцированием. На ЕГЭ считать этот предел по определению почти не приходится: для всех школьных функций производные уже посчитаны и собраны в таблицу, а из готовых производных по нескольким правилам собирают любую формулу.

У одной и той же производной два прочтения, и на экзамене их постоянно путают. Если функция задаёт график, то $f'(x_0)$ — это наклон касательной в точке (геометрический смысл). Если функция задаёт координату тела во времени, та же $f'(x_0)$ — это скорость (механический смысл). Число считается одинаково, но означает разное — с этой развилки и начнём.

Касательная к графику функции и треугольник наклона рядом с Мишей — Производная в точке показывает наклон касательной к графику функции.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной

Проведём к графику функции касательную в точке — прямую, которая в точке касания идёт вдоль графика, повторяя его направление. Оказывается, между этой касательной и производной есть точная связь, и на ней держится половина заданий 8.

Вспомни, как устроена прямая $y = kx + b$ . Число $k$ называют угловым коэффициентом: оно показывает наклон прямой и равно тангенсу угла $\alpha$ , который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$ . Так вот, главный факт темы:

f'(x_0) = k_{\text{кас}} = \operatorname{tg}\alpha

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке, а он равен тангенсу угла наклона. Отсюда сразу читается знак: если $f'(x_0) > 0$ , касательная поднимается вправо (угол острый); если $f'(x_0) < 0$ , опускается (угол тупой); если $f'(x_0) = 0$ , касательная горизонтальна — параллельна оси $Ox$ .

Зная производную, легко записать и саму касательную. Она проходит через точку касания $(x_0;\ f(x_0))$ с угловым коэффициентом $f'(x_0)$ , поэтому её уравнение всегда одно и то же:

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Типичные формулировки задания 8 звучат так: «найдите угловой коэффициент касательной», «найдите тангенс угла наклона касательной», «в скольких точках касательная параллельна оси абсцисс (то есть оси Ox)». Все они — про одно и то же число $f'(x_0)$ .

Касательная касается графика в точке (x₀; f(x₀)); её угловой коэффициент k = tg α равен значению производной f'(x₀)

Механический смысл: скорость и ускорение

Второй смысл производной пришёл из физики, и на нём построены прикладные задачи. Пусть тело движется по прямой, а его координата задана как функция времени $s(t)$ . Тогда мгновенная скорость — это производная координаты по времени:

v(t) = s'(t)

Логика та же, что в определении: скорость — это темп, с которым меняется координата, а производная как раз измеряет темп изменения. А ускорение — темп изменения скорости, то есть производная от скорости, или вторая производная координаты:

a(t) = v'(t) = s''(t)

Разберём на числах. Пусть $s(t) = 2t^2 - 3t$ (координата в метрах, время в секундах). Тогда скорость $v(t) = s'(t) = 4t - 3$ , и в момент $t = 2$ она равна $4 \cdot 2 - 3 = 5$ м/с. Ускорение $a(t) = v'(t) = 4$ м/с² — постоянное.

И вот здесь главная развилка темы, на которой теряют балл. Не путай два смысла. В геометрическом производная — это наклон касательной к графику функции. В механическом — скорость изменения координаты по времени. Операция одна и та же (дифференцирование), но отвечают эти производные на разные вопросы.

Простой приём — смотреть на слова условия. Говорят про «касательную», «угол наклона», «угловой коэффициент» — это геометрия, ищешь наклон. Говорят про «координату», «скорость», «время», «ускорение» — это механика, ищешь скорость.

Таблица производных

Чтобы дифференцировать, нужно знать производные основных функций. На профильной математике это критично: в справочных материалах экзамена таблицы производных нет (там только четыре тригонометрические формулы), а калькулятор запрещён. Значит, таблицу держим в голове. Вот рабочий минимум для ЕГЭ:

C' = 0, \qquad x' = 1, \qquad (x^n)' = n x^{n-1}

\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}

(e^x)' = e^x, \qquad (a^x)' = a^x \ln a, \qquad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}

Обрати внимание на несколько мест, где легко ошибиться. Производная косинуса — со знаком минус, а синуса — без; их постоянно путают. Производная $e^x$ равна самой себе, а вот у $a^x$ добавляется множитель $\ln a$ . Константа при дифференцировании обращается в ноль — она ведь не меняется, а производная и есть скорость изменения.

Отдельно про степень. Формула $(x^n)' = n x^{n-1}$ работает не только для натуральных $n$ . Корень и дробь удобно сводить к ней: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $1/x = x^{-1}$ . Тогда, например, $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -1/x^2$ — та же табличная строчка, полученная из общего правила.

Правила дифференцирования

Таблица даёт производные простых функций. Всё остальное собирают из них по четырём правилам. Их формулировки нужно знать дословно — именно здесь чаще всего перевирают знак или порядок множителей.

Постоянный множитель выносится за знак производной, а производная суммы равна сумме производных:

(C u)' = C u', \qquad (u \pm v)' = u' \pm v'

Благодаря им многочлен дифференцируется почленно. Например, $(3x^2 - 5x + 4)' = 6x - 5$ : каждое слагаемое отдельно, свободный член 4 даёт ноль.

Производная произведения — не произведение производных, а сумма из двух слагаемых:

(u v)' = u' v + u v'

Смотри: $(x^2 e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(x^2 + 2x)$ . Написать просто $2x \cdot e^x$ — грубая ошибка: пропущено второе слагаемое.

Производная частного — дробь, в числителе которой важен и порядок, и знак:

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}

В числителе первым идёт $u' v$ , потом минус $u v'$ , а внизу — квадрат знаменателя. Например, $\left(\dfrac{x}{x+1}\right)' = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ .

Производная сложной функции (функции от функции) — цепное правило. Дифференцируем внешнюю функцию, считая внутреннюю единым аргументом, и домножаем на производную внутренней:

\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Например, $\bigl((2x+1)^3\bigr)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$ , а $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$ . Забыть множитель $g'(x)$ (в этих примерах — двойку и тройку) — самая частая ошибка на цепном правиле.

Разбор: угловой коэффициент и уравнение касательной (№ 8)

Пример

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке с абсциссой x₀ = 2 и запишите уравнение этой касательной.

Находим производную — почленно, по правилу степени и суммы. Свободный член 1 даёт ноль:

f'(x) = 3x^2 - 4x

Считаем угловой коэффициент. Он равен значению производной в точке касания:

k = f'(x_0) = f'(2)

k = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4

Значит, угловой коэффициент равен 4. Это и есть тангенс угла наклона касательной — угол острый, касательная поднимается.Находим точку касания. Для уравнения нужна ещё ордината — значение самой функции в этой точке:

f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

Подставляем в уравнение касательной

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

y = 1 + 4(x - 2) = 4x - 7

Если бы в задании 8 спросили только угловой коэффициент (или тангенс угла наклона), ответом было бы одно число — 4. Уравнение касательной — это следующий шаг, когда нужна вся прямая.Ответ: Угловой коэффициент k = 4; уравнение касательной y = 4x − 7.

Как найти и применить производную

1Пойми, что спрашивают. Значение производной в точке, угловой коэффициент касательной, скорость тела — это подскажет, какой смысл производной нужен и что подставлять в конце.

2Сначала упрости выражение, потом дифференцируй. Раскрой скобки, а корень и дробь запиши степенью:

\sqrt{x} = x^{1/2}

1/x = x^{-1}

. Часто после этого правило произведения или частного вообще не нужно — многочлен дифференцируется почленно.

3Найди производную по таблице и правилам. Постоянный множитель выноси, сумму дифференцируй почленно, для произведения и частного — свои формулы, для функции от функции не забудь домножить на производную внутренней.

4Подставь нужную точку. Значение

f'(x_0)

— это и есть угловой коэффициент

k = \operatorname{tg}\alpha

в геометрии или скорость

v = s'(t_0)

в механике.

5Доведи до ответа на вопрос. Нужна касательная — подставь в

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

. Нужно число — запиши его. Проверь знак и разумность: корявый корень в ответе базового задания — сигнал ошибки.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x² − 3x в точке с абсциссой x = 2.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке. f'(x) = 2x − 3, значит k = f'(2) = 2·2 − 3 = 1. Вариант −2 — это значение самой функции f(2) = 4 − 6 = −2, а не производной: точку касания и наклон легко перепутать.

2.Тело движется по прямой, его координата задана функцией s(t) = t² + 4t (t — время в секундах). Найдите скорость тела в момент t = 3.

Мгновенная скорость — производная координаты по времени: v(t) = s'(t) = 2t + 4. При t = 3 получаем v(3) = 2·3 + 4 = 10 м/с. Вариант 21 — это сама координата s(3) = 9 + 12 = 21, то есть где тело находится, а не как быстро движется.

3.Найдите производную функции y = (2x + 1)³.

Это сложная функция: внешняя — куб, внутренняя — 2x + 1. По цепному правилу y' = 3(2x + 1)² · (2x + 1)' = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Вариант 3(2x + 1)² — типичная ошибка: забыли домножить на производную внутренней функции, то есть на двойку.

4.Найдите производную функции y = x · sin x.

Это произведение, работает правило (uv)' = u'v + uv'. Здесь u = x, v = sin x, поэтому y' = 1 · sin x + x · cos x = sin x + x cos x. Вариант x cos x — попытка перемножить производные (x)'·(sin x)' или взять только второе слагаемое; производная произведения так не считается.

5.Координата тела на прямой задана функцией s(t). Что физически означает значение s'(t₀)?

Производная координаты по времени — это мгновенная скорость: v = s'(t). Ускорение было бы уже второй производной a = s''(t). Здесь работает механический смысл производной, а не геометрический: речь про скорость изменения координаты, а не про наклон касательной.

6.Касательная к графику функции в точке x₀ параллельна оси абсцисс. Чему равна f'(x₀)?

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона: k = f'(x₀) = tg α. Прямая, параллельная оси Ox, образует с ней угол 0°, а tg 0° = 0. Значит, f'(x₀) = 0. Именно по условию f'(x) = 0 в задании 8 ищут точки, где касательная горизонтальна.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Считают производную произведения произведением производных. Правило другое: $(uv)' = u'v + uv'$ — сумма из двух слагаемых. Записать $u'v'$ — значит потерять половину ответа. То же с частным: $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ , а не частное производных.

Ошибка 2

Забывают домножить на производную внутренней функции. В $(2x+1)^3$ внутри сидит $2x+1$ , и по цепному правилу нужен множитель $(2x+1)' = 2$ : ответ $6(2x+1)^2$ , а не $3(2x+1)^2$ . Проверь: у любой функции от $kx$ в производной вылезает множитель $k$ .

Ошибка 3

Путают знак у косинуса. $(\sin x)' = \cos x$ (без минуса), а $(\cos x)' = -\sin x$ (с минусом). Их зеркалят по ошибке. Заодно помни: у $a^x$ производная $a^x \ln a$ , а не просто $a^x$ — самого себя воспроизводит только $e^x$ .

Ошибка 4

Смешивают геометрический и механический смысл. Спрашивают угол наклона касательной — ищешь $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$ . Спрашивают скорость по координате $s(t)$ — ищешь $v = s'(t)$ . Дифференцирование одно, но подставляешь и трактуешь результат по-разному. Смотри на слова условия: «касательная, угол» или «скорость, время».

Ошибка 5

Рассчитывают на таблицу производных на экзамене. На профиле в справочных материалах её нет — только четыре тригонометрические формулы. Таблицу производных и правила придётся знать наизусть, иначе задание 8 просто не с чего начать.

Ошибка 6

Путают точку касания и наклон. В точке $x_0$ есть два разных числа: $f(x_0)$ — где находится график, и $f'(x_0)$ — насколько круто он идёт. Угловой коэффициент касательной — это второе. Не подставь по инерции значение функции вместо производной.

Запомни для ЕГЭ

(x^n)' = n x^{n-1}

(uv)' = u'v + uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

5Геометрический смысл: f'(x₀) = tg α = k касательной

6Механический смысл: v = s'(t), a = v'(t)

7Таблицы производных на профиле не выдают — знай наизусть

На экзамене

Задание 8 стоит 1 балл и решается за 3–4 минуты. Связка «производная — это наклон касательной и скорость изменения» плюс таблица и правила закрывают почти все его варианты.
Первым делом упрощай выражение: раскрой скобки, замени корень степенью, сократи дробь. Часто после этого функция становится многочленом и дифференцируется почленно — тяжёлые правила произведения и частного не понадобятся.
Определи по словам условия, какой смысл производной нужен. «Угловой коэффициент», «тангенс угла наклона», «касательная параллельна оси» — это геометрия, ответ $f'(x_0)$ . «Скорость», «координата», «ускорение» — механика, ответ $s'(t)$ или $s''(t)$ .
Калькулятора и таблицы производных на профиле не будет. Держи в голове таблицу и четыре правила; числа в ответах базового задания всегда «хорошие» — получился корявый корень, ищи ошибку в дифференцировании.
Производная нужна и в задании 12: сначала находишь $f'(x)$ , а потом по ней исследуешь функцию (точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение — это уже отдельная тема). Поэтому ошибка в самой производной тянет за собой и весь дальнейший ответ — считай её особенно аккуратно.

Словарь темы

ПроизводнаяСкорость изменения функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Обозначается f'(x) или y'.

ДифференцированиеОперация нахождения производной функции. Выполняется по таблице производных и правилам дифференцирования: для суммы, постоянного множителя, произведения, частного и сложной функции.

КасательнаяПрямая, которая в точке касания идёт вдоль графика функции, повторяя его направление. Её угловой коэффициент равен значению производной в этой точке.

Угловой коэффициентЧисло k в уравнении прямой y = kx + b. Показывает наклон прямой и равно тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси Ox. Для касательной k = f'(x₀).

Мгновенная скоростьСкорость тела в данный момент времени. Равна производной координаты по времени: v(t) = s'(t). Ускорение — производная скорости, то есть вторая производная координаты.

Сложная функцияФункция от функции, например (2x + 1)³ или sin 3x. Дифференцируется по цепному правилу: производная внешней функции умножается на производную внутренней.

Источники и проверка

13 источников

Тема соответствует коду 4.1 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Производная (в том числе механический/геометрический смысл)» и проверяется заданиями 8 и 12.
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (краткий ответ). В задании 8 проверяют функции и производные: значение производной, касательную, экстремумы, площадь через интеграл.
Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0; обозначается f'(x) или y'; операция называется дифференцированием.
Геометрический смысл: производная f'(x₀) равна угловому коэффициенту касательной в точке x₀, а он равен тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
Механический смысл: если s(t) — координата тела, то мгновенная скорость v(t) = s'(t), а ускорение a(t) = v'(t) = s''(t).
Таблица производных для ЕГЭ: C' = 0, x' = 1, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x², (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ·ln a, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tg x)' = 1/cos²x.
Правила дифференцирования: (Cu)' = Cu', (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v², (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
Разбор примера просчитан: для f(x) = x³ − 2x² + 1 в точке x₀ = 2 угловой коэффициент касательной k = 4, уравнение касательной y = 4x − 7.
Проверочные вопросы просчитаны независимо и по формулировкам совпадают с типами заданий банка, но с собственными числами.
На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)).
Вычисление производной относится к теме кода 4.1, а исследование функции по производной (экстремумы, наибольшее/наименьшее значение) — к кодам 3.3 и 4.2; поэтому здесь производную только считают и трактуют, а не применяют к поиску экстремумов.
Блок interactive в теме отсутствует, потому что подходящей лаборатории нет.
Значение trainerTopic «Функции и производная» существует в банке тренажёра.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 8

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике