Показательные и логарифмические функции

Показательная функция — это   y = aˣ, где основание a фиксировано, а показатель x пробегает все значения. Чтобы степень aˣ имела смысл при любом x — целом, дробном, иррациональном, — на основание накладывают два условия:

При a = 1 вышла бы скучная прямая y = 1 — её из рассмотрения исключают. Три свойства графика надо знать наизусть: именно из них собирается всё задание 12.

Область определения — все действительные числа. В показатель можно поставить любое число, запретов нет.

Множество значений — только положительные числа y > 0. Положительное основание в любой степени остаётся положительным:  2¹⁰ = 1024, а   2⁻¹⁰ = 1/1024 — мало, но всё равно больше нуля. График целиком лежит выше оси Ox и никогда её не пересекает.

График всегда проходит через точку (0; 1), потому что  a⁰ = 1 при любом основании. Это точка, за которую удобно зацепиться глазом на любом графике показательной функции.

Ось Ox — горизонтальная асимптота: график подходит к прямой y = 0 сколь угодно близко, но не касается её. С одной стороны от нуля функция стремительно растёт, с другой — прижимается к оси.

Куда именно она растёт, а куда прижимается, решает основание. Если a > 1 — функция возрастает (чем больше x, тем больше y). Если 0 < a < 1 — убывает. Это и есть первая ловушка темы: при основании меньше единицы график идёт вниз слева направо, хотя по привычке его рисуют растущим.

Логарифмическая функция   y = logₐ x — это показательная, вывернутая наизнанку. Основание подчиняется тем же условиям a > 0, a≠1, а вот с аргументом всё меняется местами.

Область определения — только положительные числа x > 0. Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не существуют: под знаком log обязано стоять что-то строго больше нуля. График целиком лежит правее оси Oy.

Множество значений — все действительные числа. Логарифм спокойно бывает и большим положительным, и большим отрицательным: log₂ 1024 = 10, а  log₂ 1/1024 = -10.

График всегда проходит через точку (1; 0), потому что logₐ 1 = 0 при любом основании.

Ось Oy — вертикальная асимптота: у самого нуля график уходит вниз (при a > 1) или вверх (при 0 < a < 1) сколь угодно круто, но прямой x = 0 не достигает.

Монотонность — по тому же правилу, что у показательной: при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает. Логарифм по основанию 2 растёт, логарифм по основанию 1/2 падает.

Показательная и логарифмическая функции с одним основанием — взаимно обратные. Одна отменяет действие другой: возведёшь в степень, а потом возьмёшь логарифм по тому же основанию — вернёшься к исходному числу.

У взаимно обратных функций графики симметричны относительно прямой y = x — той самой биссектрисы первого и третьего координатных углов. Отрази график показательной функции в этой прямой, как в зеркале, — получишь график логарифмической.

Эта симметрия — не украшение, а способ не запутаться. Она объясняет, почему у функций всё переставлено местами.

Область определения одной равна множеству значений другой. У показательной область определения — вся ось, у логарифмической — только x > 0. У показательной значения только y > 0, у логарифмической — вся ось. Ровно здесь и путаются: y > 0 — это про показательную (её значения), а x > 0 — про логарифмическую (её аргумент).

Точки и асимптоты тоже меняются местами. Показательная проходит через (0; 1) — логарифмическая через (1; 0), координаты просто переставлены. Горизонтальная асимптота y = 0 превращается в вертикальную x = 0.