Показательные и логарифмические функции

Показательная функция — это $y = a^x$, где основание $a$ фиксировано, а показатель $x$ пробегает все значения. Чтобы степень $a^x$ имела смысл при любом $x$ — целом, дробном, иррациональном, — на основание накладывают два условия:

При $a = 1$ вышла бы скучная прямая $y = 1$ — её из рассмотрения исключают. Три свойства графика надо знать наизусть: именно из них собирается всё задание 11.

Область определения — все действительные числа. В показатель можно поставить любое число, запретов нет.

Множество значений — только положительные числа $y > 0$. Положительное основание в любой степени остаётся положительным: $2^{10} = 1024$, а $2^{-10} = \tfrac{1}{1024}$ — мало, но всё равно больше нуля. График целиком лежит выше оси Ox и никогда её не пересекает.

График всегда проходит через точку $(0;\,1)$, потому что $a^0 = 1$ при любом основании. Это точка, за которую удобно зацепиться глазом на любом графике показательной функции.

Ось Ox — горизонтальная асимптота: график подходит к прямой $y = 0$ сколь угодно близко, но не касается её. С одной стороны от нуля функция стремительно растёт, с другой — прижимается к оси.

Куда именно она растёт, а куда прижимается, решает основание. Если $a > 1$ — функция возрастает (чем больше $x$, тем больше $y$). Если $0 < a < 1$ — убывает. Это и есть первая ловушка темы: при основании меньше единицы график идёт вниз слева направо, хотя по привычке его рисуют растущим.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ — это показательная, вывернутая наизнанку. Основание подчиняется тем же условиям $a > 0,\ a \neq 1$, а вот с аргументом всё меняется местами.

Область определения — только положительные числа $x > 0$. Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не существуют: под знаком $\log$ обязано стоять что-то строго больше нуля. График целиком лежит правее оси Oy.

Множество значений — все действительные числа. Логарифм спокойно бывает и большим положительным, и большим отрицательным: $\log_2 1024 = 10$, а $\log_2 \tfrac{1}{1024} = -10$.

График всегда проходит через точку $(1;\,0)$, потому что $\log_a 1 = 0$ при любом основании.

Ось Oy — вертикальная асимптота: у самого нуля график уходит вниз (при $a > 1$) или вверх (при $0 < a < 1$) сколь угодно круто, но прямой $x = 0$ не достигает.

Монотонность — по тому же правилу, что у показательной: при $a > 1$ возрастает, при $0 < a < 1$ убывает. Логарифм по основанию 2 растёт, логарифм по основанию $\tfrac{1}{2}$ падает.

Показательная и логарифмическая функции с одним основанием — взаимно обратные. Одна отменяет действие другой: возведёшь в степень, а потом возьмёшь логарифм по тому же основанию — вернёшься к исходному числу.

У взаимно обратных функций графики симметричны относительно прямой $y = x$ — той самой биссектрисы первого и третьего координатных углов. Отрази график показательной функции в этой прямой, как в зеркале, — получишь график логарифмической.

Эта симметрия — не украшение, а способ не запутаться. Она объясняет, почему у функций всё переставлено местами.

Область определения одной равна множеству значений другой. У показательной область определения — вся ось, у логарифмической — только $x > 0$. У показательной значения только $y > 0$, у логарифмической — вся ось. Ровно здесь и путаются: $y > 0$ — это про показательную (её значения), а $x > 0$ — про логарифмическую (её аргумент).

Точки и асимптоты тоже меняются местами. Показательная проходит через $(0;\,1)$ — логарифмическая через $(1;\,0)$, координаты просто переставлены. Горизонтальная асимптота $y = 0$ превращается в вертикальную $x = 0$.