Прямые и плоскости в пространстве
Пространство — не плоскость: две прямые здесь могут не пересекаться и при этом не быть параллельными. Эта тема учит видеть взаимное расположение прямых и плоскостей и правильно считать углы и расстояния между ними — то, на чём стоит всё задание 14 (3 балла), а в задании 3 она появляется лишь эпизодически. Главная опора — теорема о трёх перпендикулярах и грамотно построенный угол.
Три случая для прямых, а не два
На плоскости две несовпадающие прямые либо пересекаются, либо параллельны — третьего не дано. В пространстве появляется третий случай, и именно он даёт больше всего ошибок. Для двух прямых в пространстве есть три варианта. Пересекаются — лежат в одной плоскости и имеют общую точку. Параллельны — лежат в одной плоскости, но общих точек нет. Скрещиваются — не лежат ни в одной общей плоскости и общих точек не имеют.
Ключевые слова в определении параллельности — «в одной плоскости». Если две прямые не пересекаются, это ещё не значит, что они параллельны: сначала проверь, лежат ли они в одной плоскости. Возьми куб: ребро и ребро не пересекаются, но никакая плоскость не содержит их обоих — они скрещиваются.
У прямой и плоскости тоже три возможности: прямая лежит в плоскости, параллельна ей (общих точек нет) или пересекает её ровно в одной точке. С двумя плоскостями проще: они либо параллельны, либо пересекаются по прямой. Одной общей точки у двух плоскостей не бывает — если пересеклись, то сразу по целой линии.
Зачем это на экзамене: почти каждый пункт задания 14 начинается с того, что ты определяешь, как расположены нужные прямые и плоскости. Ошибёшься здесь — весь дальнейший счёт пойдёт не туда.
Параллельность: признаки, которые реально нужны
Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, не надо перебирать все прямые в этой плоскости. Работает признак: если прямая не лежит в плоскости и параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Нашёл в плоскости одну прямую-двойника — параллельность доказана.
Для двух плоскостей похоже: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Слово «пересекающиеся» здесь обязательно — по одной паре параллельных прямых судить о плоскостях нельзя.
И ещё одно свойство, без которого не обойтись в пункте с построением сечения: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны между собой. Поэтому если секущая плоскость проходит через две противоположные грани параллелепипеда, отрезки, которые она отсекает на этих гранях, окажутся параллельны.
Перпендикулярность и теорема о трёх перпендикулярах
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Проверять «каждую» невозможно, поэтому работает признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Две — и обязательно пересекающиеся: одной прямой мало, а двух параллельных недостаточно — они задают лишь одно направление, и перпендикулярность им равносильна перпендикулярности одной прямой.
Как только доказал, что прямая перпендикулярна плоскости, ты бесплатно получаешь её перпендикулярность любой прямой, лежащей в этой плоскости, — это и есть определение. На этом шаге строится половина доказательств в пункте а задания 14.
Перпендикуляр, наклонная, проекция. Опусти из точки перпендикуляр на плоскость — точка станет его основанием. Любой другой отрезок из в плоскость называют наклонной, а отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной — её проекцией. Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, поэтому именно его длина и есть кратчайшее расстояние от точки до плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной. Проще говоря: чтобы проверить перпендикулярность прямой в плоскости и наклонной, достаточно проверить её перпендикулярность проекции — а это уже видно на плоском чертеже. Теорема работает в обе стороны и служит главным инструментом, когда нужно построить линейный угол двугранного угла или добраться до расстояния.
Углы: между прямыми и между прямой и плоскостью
Угол между прямыми в пространстве всегда берут острым или прямым — от 0° до 90°. Для пересекающихся прямых это просто угол между ними. Для скрещивающихся приём такой: через любую удобную точку проводим прямые, параллельные данным, — получаются две пересекающиеся прямые, и угол между ними и есть искомый. От выбора точки ответ не зависит.
На кубе это делается почти в уме: чтобы найти угол между скрещивающимися и , замечаешь, что параллельно , и считаешь угол между и уже в обычном треугольнике — полный разбор в примере ниже.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Он же оказывается наименьшим из всех углов, которые прямая образует с прямыми плоскости. Чтобы его найти, опусти из точки прямой перпендикуляр на плоскость, соедини основание перпендикуляра с точкой, где прямая протыкает плоскость, — и работай в получившемся прямоугольном треугольнике.
Крайние случаи стоит помнить отдельно: если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, угол равен 0°; если перпендикулярна плоскости — угол считают равным 90°. Быстрый пример на кубе с ребром : диагональ грани и плоскость основания. Проекция на основание — это ребро , а , поэтому и угол равен 45°.
Угол между плоскостями и двугранный угол
Двугранный угол образован двумя полуплоскостями, выходящими из общей прямой — ребра. Чтобы его измерить, строят линейный угол: на ребре берут точку и из неё в каждой грани проводят луч, перпендикулярный ребру. Угол между этими двумя лучами и есть величина двугранного угла. «Перпендикулярный ребру» — не украшение: луч, проведённый под другим углом, даст неверное число.
Строить линейный угол помогает теорема о трёх перпендикулярах. Типичный ход в четыре шага: 1) опусти перпендикуляр из точки одной грани на плоскость другой; 2) из его основания опусти перпендикуляр на ребро; 3) проекция и наклонная сами достраивают линейный угол; 4) считай его в получившемся прямоугольном треугольнике.
Тонкость, на которой теряют баллы. Двугранный угол может быть тупым — он измеряется от 0° до 180°. А вот угол между двумя плоскостями по определению острый или прямой — от 0° до 90°. Если в задании 14 просят «двугранный угол при ребре», считай честный угол, он вполне может оказаться больше 90°. Если просят «угол между плоскостями» — бери острый. Разница в одном слове меняет ответ, поэтому читай условие дословно.
Расстояния: до плоскости и между скрещивающимися
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Не наклонной, а именно перпендикуляра: он самый короткий. Найти его можно двумя путями — построить перпендикуляр напрямую, если видно, куда он падает, либо через объём: если точка и плоскость служат вершиной и гранью пирамиды, то из высота и есть искомое расстояние.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, перпендикулярного сразу обеим. Такой отрезок всегда существует и единственен. На практике удобнее другое: заключить две скрещивающиеся прямые в две параллельные плоскости — расстояние между этими плоскостями и равно расстоянию между прямыми.
Оба расстояния почти всегда сводятся к плоскому прямоугольному треугольнику или к уравнению для объёма. Никакой особой «пространственной» формулы зубрить не нужно: нужен аккуратный чертёж и умение опустить перпендикуляр в правильном месте.
Разбор: угол между скрещивающимися прямыми
Как подступиться к стереометрии задания 14
Проверь себя
Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.
1.На плоскости две несовпадающие прямые либо пересекаются, либо параллельны. Какой третий случай добавляется в пространстве?
В пространстве две прямые могут не пересекаться и при этом не лежать в одной плоскости — тогда они скрещиваются. Совпадение и перпендикулярность сюда не относятся: перпендикулярные прямые всё равно либо пересекаются, либо скрещиваются.
2.Прямая перпендикулярна одной прямой, лежащей в плоскости. Следует ли отсюда, что она перпендикулярна всей плоскости?
Признак перпендикулярности требует перпендикулярности двум пересекающимся прямым плоскости. Одной мало: прямая может быть перпендикулярна какой-то прямой плоскости, но к самой плоскости идти под наклоном.
3.В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотрим прямые AA₁ и BC. Как они расположены и каков угол между ними?
AA₁ и BC не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости — скрещиваются. AA₁ вертикально, BC горизонтально, их направления перпендикулярны, поэтому угол между этими скрещивающимися прямыми равен 90°. Скрещивающиеся прямые вполне могут быть перпендикулярны.
4.Чем по определению является угол между прямой и плоскостью?
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, он же наименьший из углов с прямыми плоскости. Угол с перпендикуляром к плоскости дополняет его до 90° — это самая частая подмена.
5.Расстояние от точки до плоскости — это длина...
Кратчайший путь от точки до плоскости — перпендикуляр, его длина и есть расстояние. Любая наклонная длиннее перпендикуляра, поэтому «самой короткой наклонной» не существует: короче перпендикуляра ничего нет.
Типичные ошибки на ЕГЭ
Забывают про скрещивающиеся прямые. Рассуждают по-плоскостному: раз прямые не пересекаются — значит, параллельны. В пространстве это неверно. Прежде чем назвать прямые параллельными, убедись, что они лежат в одной плоскости.
Берут угол между скрещивающимися прямыми «как нарисовалось». Пока прямые не сведены к общей точке параллельным переносом, никакого угла между ними на чертеже просто нет. И берут его острым: тупой угол между прямыми — уже ошибка.
Путают угол прямой с плоскостью и угол с перпендикуляром к ней. Нужен угол с проекцией на плоскость, а не с нормалью (перпендикуляром к плоскости). Эти два угла в сумме дают 90°, поэтому подмена мгновенно уводит ответ в сторону.
Считают, что перпендикулярности одной прямой хватает. Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Одна прямая — ещё не доказательство.
Строят линейный угол двугранного не перпендикулярно ребру. Оба луча в гранях обязаны быть перпендикулярны ребру и выходить из одной его точки. Луч под произвольным углом даёт неверное значение двугранного угла.
В пункте а задания 14 пишут «из рисунка видно». Пункт а стоит балла именно за доказательство — со ссылкой на признак, теорему о трёх перпендикулярах или на координатный расчёт. Ссылка на очевидность балла не приносит.
Запомни для ЕГЭ
На экзамене
- Задание 14 стоит 3 балла и делится на два пункта: а — доказательство, б — вычисление. Пункт а часто проще, чем кажется, и приносит целый балл за аккуратную ссылку на признак или теорему. Не пропускай его, даже если пункт б не берёшь.
- У стереометрии задания 14 два честных подхода. Синтетический — перпендикуляры, проекции, теорема о трёх перпендикулярах — и координатный, когда фигуру удобно посадить в оси (куб, прямая призма, прямоугольный параллелепипед). Координатный метод разбирается в теме «Координаты и векторы»; держи оба в запасе и выбирай по фигуре.
- В задании 3 из этой темы по существу встречается только длина диагонали прямоугольного параллелепипеда — следствие того, что рёбра попарно перпендикулярны, обычная теорема Пифагора, только в пространстве. Основная часть задания 3 — объёмы и площади поверхности тел, а это уже соседние темы кодификатора.
- Перед вычислением проговори, что именно спрашивают: угол между прямыми, угол с плоскостью или двугранный угол — считаются они по-разному, а перепутать легко. И помни про диапазон: угол между прямыми и угол с плоскостью тупыми не бывают.
- Заложи на задание 14 порядка 20–25 минут и обязательно оставь время на пункт а. Доказательство без вычислений часто и есть самый доступный балл во второй части геометрии.
Словарь темы
Источники и проверка
14 источников
- Тема соответствует коду 7.2 кодификатора ФИПИ по математике (профиль): прямые и плоскости в пространстве. В неё не входят объёмы конкретных тел, тела вращения и координатно-векторный метод — это соседние коды.
- Задание 14 — развёрнутая стереометрия, 3 балла, два пункта: а (доказательство) и б (вычисление); задание 3 — базовый уровень, 1 балл.
- Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; параллельные прямые обязаны лежать в одной плоскости, скрещивающиеся — не лежат ни в одной общей плоскости.
- Признак параллельности прямой и плоскости и признак параллельности плоскостей (через две пересекающиеся прямые), свойство линий пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью.
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости: перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости влечёт перпендикулярность всей плоскости и любой прямой в ней.
- Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной. Перпендикуляр из точки на плоскость — кратчайшее расстояние, короче любой наклонной.
- Угол между скрещивающимися прямыми находят параллельным переносом одной из них к общей точке; угол берут в пределах 0°–90° и он не зависит от выбора точки.
- Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость; он наименьший из углов прямой с прямыми плоскости; для прямой, перпендикулярной плоскости, считают равным 90°.
- Двугранный угол измеряется линейным углом (лучи в гранях, перпендикулярные ребру, из одной точки ребра) и может быть тупым (0°–180°); угол между плоскостями берут острым или прямым (0°–90°).
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра (в том числе через объём пирамиды); расстояние между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра, равная расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
- В кубе с ребром a угол между скрещивающимися диагоналями граней AB₁ и BC₁ равен 60°, потому что BC₁ ∥ AD₁, а треугольник AB₁D₁ равносторонний со стороной a√2.
- Угол между диагональю грани куба AB₁ и плоскостью основания равен 45°, так как проекция AB₁ на основание — ребро AB, а BB₁ = AB = a, откуда tan φ = 1.
- В задании 14 пункт а оценивается за доказательство, а не за проверку на примере; координатный метод — полноценное доказательство. Фигура задания 3 из этой темы — диагональ прямоугольного параллелепипеда d = √(a²+b²+c²) как пространственная теорема Пифагора.
- Углы между прямыми и между прямой и плоскостью не зависят от масштаба фигуры (в примере ребро a сокращается).
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
