Многогранники

Задание 3 КИМ (1 балл); также опора для задания 14 (развёрнутое, 3 балла) Задание 3 — 1 балл, задание 14 — 3 балла ~7 минут

Многогранники — это призмы, пирамиды и параллелепипеды: тела, у которых все грани плоские. В задании 3 их объём и поверхность находят прямой подстановкой в формулу, а в задании 14 по ним строят сечения, ищут расстояния и доказывают перпендикулярность. Главная ловушка темы — коэффициент одна треть: он есть у пирамиды и его нет у призмы.

Призма и пирамида: в чём разница

Многогранник — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки, где рёбра сходятся, — вершинами.

Слово «плоскими» здесь ключевое: как только появляется закруглённая поверхность — цилиндр, конус, шар, — это уже не многогранник, а тело вращения, и живёт оно в отдельной теме со своими формулами. Здесь их не будет.

На экзамене всё сводится к трём фигурам, и различать их надо мгновенно.

Призма — два одинаковых основания в параллельных плоскостях, соединённых боковыми гранями. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой, а если в основании ещё и правильный многоугольник — правильной.

Частный случай призмы — параллелепипед: у него в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — это «коробка» с прямыми углами, а куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

Пирамида — одно основание-многоугольник и одна общая вершина, к которой сходятся все боковые грани-треугольники. Пирамида называется правильной, если в основании правильный многоугольник, а вершина стоит ровно над его центром. Тогда высота падает точно в центр основания — это свойство мы будем использовать в каждой задаче части 2.

Запомни главное различие ещё до формул: у призмы «крыша» такая же, как «пол», а у пирамиды она сходится в одну точку. Из-за этого их объёмы отличаются в три раза — и именно путаница с этой тройкой стоит балла в задании 3.

Объём: где живёт коэффициент одна треть

Всего две формулы объёма, но перепутать их — классическая потеря балла.

Объём призмы (и параллелепипеда, и куба — это её частные случаи) равен площади основания на высоту:

V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h

Объём пирамиды — та же площадь основания на высоту, но с коэффициентом одна треть:

V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}\, S_{\text{осн}} \cdot h

Смысл тройки простой: если у пирамиды и призмы одинаковые основание и высота, в призму помещается ровно три такие пирамиды. Поэтому у пирамиды объём втрое меньше. Не «на треть меньше», а в три раза — это разные вещи.

Для самых частых тел формулы удобно держать наизусть отдельно. Куб с ребром $a$ и прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a, b, c$ :

V_{\text{куба}} = a^3, \qquad V_{\text{парал.}} = a \cdot b \cdot c

Отдельно — диагональ прямоугольного параллелепипеда, отрезок между двумя его противоположными вершинами. Она находится по «трёхмерной теореме Пифагора»:

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}, \qquad d_{\text{куба}} = a\sqrt{3}

Не путай эту диагональ с диагональю грани: диагональ квадратной грани куба равна $a\sqrt{2}$ , а вот через всё тело — уже $a\sqrt{3}$ . В задании 3 регулярно спрашивают именно вторую, а рука по привычке пишет первую.

Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c; оранжевым пунктиром — пространственная диагональ d

Призма и пирамида с выделенными основаниями и высотами, Миша держит модель пирамиды — При одинаковых основании и высоте объём пирамиды втрое меньше объёма призмы.

Поверхность: боковая и полная

Кроме объёма, в задании 3 спрашивают площадь поверхности. Различай два слова: боковая поверхность — только боковые грани, полная — боковые плюс основания.

У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники высотой $h$ , а их суммарная ширина — это периметр основания. Поэтому боковая поверхность считается на удивление просто:

S_{\text{бок призмы}} = P_{\text{осн}} \cdot h

Здесь $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, а не его площадь. Это первая ловушка: под боковую поверхность идёт именно периметр. Полная поверхность добавляет два основания: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 S_{\text{осн}}$ .

У правильной пирамиды боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания, называется апофемой (обозначим её $m$ ). Через неё боковая поверхность записывается так:

S_{\text{бок пирамиды}} = \dfrac{1}{2}\, P_{\text{осн}} \cdot m

Не путай апофему с высотой пирамиды и с боковым ребром: апофема идёт в середину стороны основания, высота — в центр основания, а боковое ребро — в вершину основания. Это три разных отрезка, и их подмена — одна из самых частых причин неверного ответа.

Куб держим отдельно: у него шесть одинаковых квадратных граней, поэтому полная поверхность равна $6a^2$ .

Правильная четырёхугольная пирамида: зелёная высота h идёт в центр, оранжевая апофема m — в середину стороны, боковое ребро — в угол основания

Что подставлять под S основания

Формула $V = S \cdot h$ бесполезна, пока не знаешь $S$ самого основания. В задании 3 основанием бывает не только квадрат, но и правильный треугольник или шестиугольник, а их площади нужно знать наизусть — в справочных материалах профиля их нет.

Квадрат со стороной $a$ : площадь $a^2$ . Правильный (равносторонний) треугольник и правильный шестиугольник со стороной $a$ :

S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\, a^2, \qquad S_{\text{шест.}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, a^2

Шестиугольник легко не запоминать отдельно, а собрать: он режется на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$ , отсюда $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ . Главное — не потерять множитель $\sqrt{3}$ : без него объём призмы или пирамиды выйдет неверным.

Для части 2 пригодятся ещё два расстояния в правильном основании — от центра до вершины и от центра до середины стороны. Для квадрата со стороной $a$ они равны $\tfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина диагонали) и $\tfrac{a}{2}$ . Именно они превращают высоту пирамиды, апофему и боковое ребро в стороны прямоугольных треугольников — этим мы и займёмся дальше.

Задание 14: доказать и вычислить

Задание 14 стоит 3 балла и почти всегда состоит из двух пунктов: а) что-то доказать, б) что-то вычислить. За пункт «а» балл дают только за доказательство в общем виде — рассуждение, которое годится при любых числах. Подстановка конкретных длин и проверка «сходится» доказательством не считается: за неё балл не начислят. Это самая обидная и самая частая потеря в этой задаче.

Три приёма закрывают почти весь пункт «б».

1. Высота правильной пирамиды — через прямоугольный треугольник. Высота, отрезок от центра основания до вершины основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник (высота перпендикулярна основанию). Поэтому боковое ребро $l$ связано с высотой $h$ и радиусом описанной около основания окружности $R$ так: $l^2 = h^2 + R^2$ .

Например, в правильной четырёхугольной пирамиде со стороной 4 и боковым ребром 6 половина диагонали основания $R = 2\sqrt{2}$ , значит $h = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ .

Точно так же апофема связана с высотой и радиусом вписанной в основание окружности: $m^2 = h^2 + r^2$ .

2. Расстояние от точки до плоскости — методом объёма. Когда опустить перпендикуляр напрямую трудно, берут вспомогательную пирамиду, для которой искомое расстояние — это высота. Её объём считают двумя способами: удобным (через другое основание) и через нужную грань. Приравняв, получают:

d = \dfrac{3V}{S}

Здесь $V$ — объём вспомогательной пирамиды, $S$ — площадь той грани, до плоскости которой ищем расстояние. Приём выручает в задачах вида «найдите расстояние от вершины до плоскости», которые в задании 14 встречаются постоянно.

3. Сечение — это многоугольник, по которому секущая плоскость режет многогранник. Строят его по опорному правилу: если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, соединяем их отрезком прямо в этой грани. Помогает и параллельность: плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.

Невидимые рёбра на чертеже проводят пунктиром. Это часть аккуратного оформления: за небрежно построенное сечение в пункте «б» снимают баллы.

Разбор: правильная четырёхугольная пирамида

Пример

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота равна 4. Найди: а) объём пирамиды; б) апофему и площадь полной поверхности.

В основании квадрат со стороной 6, значит

S_{\text{осн}} = 6^2 = 36

. Пирамида, поэтому в объёме обязателен коэффициент одна треть:

V = \dfrac{1}{3}\, S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot 36 \cdot 4 = 48

Апофема. Она идёт из вершины в середину стороны основания, поэтому опирается на радиус вписанной в квадрат окружности

r = \tfrac{a}{2} = 3

. Вместе с высотой они дают прямоугольный треугольник:

m = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5

Боковая поверхность. Периметр основания

P = 4 \cdot 6 = 24

, апофема 5:

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}\, P \cdot m = \dfrac{1}{2}\cdot 24 \cdot 5 = 60

Полная поверхность добавляет одно основание (у пирамиды оно одно):

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 60 + 36 = 96

Обрати внимание, где всплывала тройка: в объёме — как множитель одна треть, а в апофеме — совсем из другого места, из радиуса 3 = 6/2. Смешивать эти «тройки» нельзя.Ответ: а) V = 48; б) апофема m = 5, полная поверхность S = 96.

Как решать задание 3 на многогранник

1Опознай фигуру. Призма, параллелепипед, куб — объём без коэффициента,

V = S \cdot h

. Пирамида — с коэффициентом одна треть. Ошибка на этом шаге тянет за собой весь ответ.

2Найди площадь основания отдельно. Квадрат —

a^2

, правильный треугольник —

\tfrac{\sqrt3}{4}a^2

, шестиугольник —

\tfrac{3\sqrt3}{2}a^2

. Не теряй

\sqrt3

3Реши, что спрашивают: объём или поверхность. Для поверхности уточни — боковая или полная. Под боковую поверхность призмы идёт периметр, а не площадь основания.

4Для диагонали параллелепипеда бери три ребра.

d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

, у куба

a\sqrt3

. Не путай с диагональю грани

a\sqrt2

5Считай руками и проверь красоту ответа. Калькулятора нет. Числа в задании 3 подобраны так, чтобы корни извлекались, а дроби сокращались. Некрасивый ответ — сигнал вернуться и проверить.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл в задании 3. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.У призмы и у пирамиды одинаковые основание и одинаковая высота. Во сколько раз объём призмы больше объёма пирамиды?

Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h. При одинаковых S и h призма ровно втрое больше. Именно этот коэффициент одна треть — главная ловушка задания 3.

2.Ребро куба равно 2. Чему равна диагональ куба — отрезок между двумя противоположными вершинами?

Пространственная диагональ куба d = a√3 = 2√3. Значение 2√2 — это диагональ грани (a√2), она короче и проходит по одной стороне куба, а не сквозь его тело.

3.Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5.

Основание — квадрат: S = 3² = 9. Пирамида, поэтому V = ⅓·9·5 = 15. Ответ 45 получается, если забыть про коэффициент одна треть.

4.Все рёбра куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз вырос его объём?

Объём куба V = a³, ребро входит в третьей степени. Увеличение ребра втрое даёт 3³ = 27 раз. Ответ «в 9 раз» — это про площадь поверхности (a² входит во второй степени), а не про объём.

5.В правильной треугольной призме сторона основания равна 4, а высота 10. Чему равна площадь боковой поверхности?

Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высота. Периметр треугольника 3·4 = 12, значит S = 12·10 = 120. Площадь самого треугольного основания (с множителем √3) в боковую поверхность не входит — это дистрактор 40√3.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Теряют коэффициент одна треть у пирамиды (или лишний раз ставят его у призмы). У пирамиды $V = \tfrac13 S h$ , у призмы, параллелепипеда и куба просто $V = S h$ . Прежде чем считать объём, вслух назови фигуру — призма это или пирамида.

Ошибка 2

Путают диагональ куба с диагональю грани. Диагональ грани равна $a\sqrt2$ , а пространственная диагональ куба — $a\sqrt3 = \sqrt{a^2+a^2+a^2}$ . В задании 3 чаще спрашивают вторую.

Ошибка 3

В боковую поверхность призмы подставляют площадь основания вместо периметра. Боковая поверхность прямой призмы — это $P_{\text{осн}} \cdot h$ , где P — периметр. Площадь основания идёт только в объём и в полную поверхность.

Ошибка 4

Считают боковое ребро пирамиды её высотой. Высота падает в центр основания перпендикулярно, а боковое ребро идёт в вершину основания под наклоном — это разные отрезки, и ребро всегда длиннее. Связь: $l^2 = h^2 + R^2$ , где R — расстояние от центра до вершины основания.

Ошибка 5

Забывают множитель √3 в площади правильного треугольника и шестиугольника. $S_\triangle = \tfrac{\sqrt3}{4}a^2$ , $S_{\text{шест}} = \tfrac{3\sqrt3}{2}a^2$ . Без √3 объём призмы или пирамиды с таким основанием сразу неверный.

Ошибка 6

В пункте «а» задания 14 проверяют утверждение на конкретных числах. Подстановка длин и слова «сходится» — это не доказательство, и балл за пункт «а» за них не дают. Доказывать нужно в общем виде: рассуждением, которое верно при любых данных.

Запомни для ЕГЭ

V_{\text{призмы}} = S \cdot h

V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3} S \cdot h

V_{\text{куба}} = a^3,\ \ S = 6a^2,\ \ d = a\sqrt3

d_{\text{парал.}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

S_{\text{бок призмы}} = P \cdot h,\quad S_{\text{бок пир.}} = \tfrac12 P m

S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2,\quad S_{\text{шест}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2

d(\text{точка};\text{плоск.}) = \dfrac{3V}{S}

На экзамене

Задание 3 стоит 1 балл — трать на него 3–4 минуты. Формулы объёма и поверхности держи наизусть: в справочных материалах профиля есть только четыре тригонометрические формулы, ни одной стереометрической.
Первым делом называй фигуру. Пирамида — значит коэффициент одна треть; призма, параллелепипед, куб — без него. Определение фигуры — первая и самая частая причина потери балла в задании 3.
Цилиндр, конус и шар — это тела вращения, отдельная тема. У многогранников все грани плоские, и формул с числом π здесь не бывает. Если в ответ полезло π — ты перепутал тему.
Задание 14 даёт 3 балла и делится на «а) доказать» и «б) вычислить». Пункт «а» доказывай в общем виде — проверка на примере балла не приносит. Рисуй чертёж крупно и подписывай, где высота, где апофема, где боковое ребро.
Если в задании 14 нужно расстояние от точки до плоскости, а перпендикуляр строится тяжело, посчитай его методом объёма: $d = 3V/S$ . Часто это короче, чем искать основание перпендикуляра.

Эксперимент

Лаборатория: разверни многогранник

Главное про три тела разобрано выше: у куба, призмы и пирамиды все грани плоские; объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h, диагональ куба d = a√3. Повращай фигуры мысленно по чертежам в блоках «Объём» и «Поверхность».

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

МногогранникТело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. Тела с закруглённой поверхностью (цилиндр, конус, шар) многогранниками не являются.

ПризмаМногогранник с двумя равными основаниями в параллельных плоскостях и боковыми гранями между ними. Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям; правильная — в основании ещё и правильный многоугольник.

ПараллелепипедПризма, у которой в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — «коробка» с прямыми углами; куб — прямоугольный параллелепипед со всеми равными рёбрами.

ПирамидаМногогранник с одним основанием-многоугольником и общей вершиной, к которой сходятся боковые грани-треугольники. Правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а вершина стоит над его центром.

Высота пирамидыПерпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. У правильной пирамиды его основание попадает точно в центр основания.

АпофемаВысота боковой грани правильной пирамиды — отрезок из вершины пирамиды в середину стороны основания. Не путать с высотой пирамиды (в центр) и боковым ребром (в вершину основания).

Диагональ параллелепипедаОтрезок между двумя противоположными вершинами, проходящий сквозь тело. Для прямоугольного параллелепипеда d = √(a²+b²+c²), для куба d = a√3. Отличается от диагонали грани.

Сечение многогранникаМногоугольник, по которому секущая плоскость пересекает многогранник. Строится по точкам: две точки плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.

Двугранный уголУгол между двумя гранями, сходящимися к общему ребру. Его величину измеряют линейным углом — углом между перпендикулярами к ребру, проведёнными в каждой грани из одной точки ребра.

Источники и проверка

13 источников

Тема соответствует коду 7.3 «Многогранники» кодификатора ФИПИ по математике профиля и проверяется в заданиях 3 (базовое) и 14 (развёрнутое).
Задание 3 базового уровня — прямая подстановка в формулы объёма и площади поверхности многогранников (куб, параллелепипед, призма, пирамида).
Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h; из-за коэффициента одна треть при равных основании и высоте призма втрое больше пирамиды.
Куб: V = a³, S = 6a², пространственная диагональ d = a√3; диагональ грани a√2. Прямоугольный параллелепипед: V = abc, d = √(a²+b²+c²).
Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высоту; полная = боковая + 2·основания. Боковая поверхность правильной пирамиды = ½·периметр основания·апофема.
Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна (√3/4)a², правильного шестиугольника — (3√3/2)a².
Высота правильной пирамиды, радиус описанной около основания окружности и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: l² = h² + R²; для квадрата R = a√2/2, r = a/2.
Расстояние от точки до плоскости в задании 14 удобно искать методом объёма: d = 3V/S.
Задание 14 состоит из пунктов «а) доказать» и «б) вычислить»; за пункт «а» балл даётся только за доказательство в общем виде, не за проверку на числах.
Сечение многогранника строится по опорному правилу: две точки секущей плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.
Тела вращения (цилиндр, конус, шар) не относятся к коду 7.3 — это отдельная тема, поэтому формул с π в теме о многогранниках нет.
Интерактивная лаборатория stereometry реально существует и покрывает куб, пирамиду и призму — блок interactive указывает на существующий модуль.
На профиле в справочных материалах КИМ выдаются только тригонометрические формулы, стереометрические формулы нужно знать наизусть; калькулятор запрещён.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 3

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике