Многогранники
Многогранник — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками-гранями; их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. На ЕГЭ тема нужна в задании 3 (1 балл, объём и площадь поверхности по формуле) и служит опорой для развёрнутого задания 15 (3 балла) с сечениями и расстояниями.
Формулы многогранников в одной таблице
| Тело или величина | Формула | Что обозначают буквы |
|---|---|---|
| Объём призмы | Vпризмы = Sосн·h | S осн — площадь основания, h — высота |
| Объём пирамиды | Vпирамиды = 1/3 Sосн · h | Те же буквы; при равных основании и высоте втрое меньше призмы |
| Куб | Vкуба = a³, S = 6a², dкуба = a√3 | a — ребро, d — диагональ через всё тело; диагональ грани a√2 |
| Прямоугольный параллелепипед | V = a · b · c, d = √(a² + b² + c²) | a, b, c — рёбра, d — диагональ |
| Боковая поверхность прямой призмы | S_(бок призмы) = Pосн · h | P осн — периметр (не площадь!) основания; полная: S бок + 2·S осн |
| Боковая поверхность правильной пирамиды | S_(бок пирамиды) = 1/2 Pосн · m | m — апофема, высота боковой грани к стороне основания |
| Основание: правильный треугольник | S_(△) = √3/4 a² | a — сторона основания |
| Основание: правильный шестиугольник | S_(шест.) = 3√3/2 a² | a — сторона; шесть равносторонних треугольников |
| Правильная пирамида | l² = h² + R², m² = h² + r² | l — боковое ребро, m — апофема, R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей основания |
| Расстояние методом объёма | d = 3V/S | V — объём вспомогательной пирамиды, S — площадь нужной грани |
Быстрые ответы
Что такое многогранник?
Многогранник — тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами; тела с закруглённой поверхностью (цилиндр, конус, шар) многогранниками не являются.
Как решать задание 3 на многогранники?
Шаги такие:
- опознай фигуру
- найди площадь основания отдельно
- реши, что спрашивают: объём или поверхность
- для диагонали параллелепипеда бери три ребра
- считай руками и проверь красоту ответа.
Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Многогранники»?
Теряют коэффициент одна треть у пирамиды (или лишний раз ставят его у призмы). У пирамиды V = (1/3) S h, у призмы, параллелепипеда и куба просто V = S h. Прежде чем считать объём, вслух назови фигуру — призма это или пирамида.
Что нужно запомнить по теме «Многогранники»?
Главное:
- Vпризмы = S · h
- Vпирамиды = (1/3) S · h
- Vкуба = a³, S = 6a², d = a√3
- d_(парал.) = √(a² + b² + c²)
- S_(бок призмы) = P · h, S_(бок пир.) = (1/2) P m
- S_(△) = (√3/4)a², Sшест = (3√3/2)a²
- d(точка;плоск.) = 3V/S.
Многогранники — это призмы, пирамиды и параллелепипеды: тела, у которых все грани плоские. В задании 3 их объём и поверхность находят прямой подстановкой в формулу, а в задании 15 по ним строят сечения, ищут расстояния и доказывают перпендикулярность. Главная ловушка темы — коэффициент одна треть: он есть у пирамиды и его нет у призмы.
Чем призма отличается от пирамиды?
Многогранник — это тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки, где рёбра сходятся, — вершинами.
Слово «плоскими» здесь ключевое: как только появляется закруглённая поверхность — цилиндр, конус, шар, — это уже не многогранник, а тело вращения, и живёт оно в отдельной теме со своими формулами. Здесь их не будет.
На экзамене всё сводится к трём фигурам, и различать их надо мгновенно.
Призма — два одинаковых основания в параллельных плоскостях, соединённых боковыми гранями. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой, а если в основании ещё и правильный многоугольник — правильной.
Частный случай призмы — параллелепипед: у него в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — это «коробка» с прямыми углами, а куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.
Пирамида — одно основание-многоугольник и одна общая вершина, к которой сходятся все боковые грани-треугольники. Пирамида называется правильной, если в основании правильный многоугольник, а вершина стоит ровно над его центром. Тогда высота падает точно в центр основания — это свойство мы будем использовать в каждой задаче части 2.
Запомни главное различие ещё до формул: у призмы «крыша» такая же, как «пол», а у пирамиды она сходится в одну точку. Из-за этого их объёмы отличаются в три раза — и именно путаница с этой тройкой стоит балла в задании 3.
Проверь себя за 10 секунд
У призмы и у пирамиды одинаковые основание и одинаковая высота. Во сколько раз объём призмы больше объёма пирамиды?
Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h. При одинаковых S и h призма ровно втрое больше. Именно этот коэффициент одна треть — главная ловушка задания 3.
Задача ЕГЭ по теме
Два задания 3 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.
-
Задание 1 из 2
Площадь основания цилиндра равна 25*pi. Высота цилиндра равна 7. Найдите объём цилиндра. Ответ выразите через pi и укажите числовой множитель.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Правильный тетраэдр имеет ребро длины 4. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. Ответ округлите до целого числа.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Как найти объём призмы и пирамиды?
Всего две формулы объёма, но перепутать их — классическая потеря балла.
Объём призмы (и параллелепипеда, и куба — это её частные случаи) равен площади основания на высоту:
Объём пирамиды — та же площадь основания на высоту, но с коэффициентом одна треть:
Смысл тройки простой: если у пирамиды и призмы одинаковые основание и высота, в призму помещается ровно три такие пирамиды. Поэтому у пирамиды объём втрое меньше. Не «на треть меньше», а в три раза — это разные вещи.
Для самых частых тел формулы удобно держать наизусть отдельно. Куб с ребром a и прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c:
Отдельно — диагональ прямоугольного параллелепипеда, отрезок между двумя его противоположными вершинами. Она находится по «трёхмерной теореме Пифагора»:
Не путай эту диагональ с диагональю грани: диагональ квадратной грани куба равна a√2, а вот через всё тело — уже a√3. В задании 3 регулярно спрашивают именно вторую, а рука по привычке пишет первую.
Как найти площадь боковой и полной поверхности?
Кроме объёма, в задании 3 спрашивают площадь поверхности. Различай два слова: боковая поверхность — только боковые грани, полная — боковые плюс основания.
У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники высотой h, а их суммарная ширина — это периметр основания. Поэтому боковая поверхность считается на удивление просто:
Здесь Pосн — периметр основания, а не его площадь. Это первая ловушка: под боковую поверхность идёт именно периметр. Полная поверхность добавляет два основания: Sполн = Sбок + 2Sосн.
У правильной пирамиды боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания, называется апофемой (обозначим её m). Через неё боковая поверхность записывается так:
Не путай апофему с высотой пирамиды и с боковым ребром: апофема идёт в середину стороны основания, высота — в центр основания, а боковое ребро — в вершину основания. Это три разных отрезка, и их подмена — одна из самых частых причин неверного ответа.
Куб держим отдельно: у него шесть одинаковых квадратных граней, поэтому полная поверхность равна 6a².
Что подставлять под S основания
Формула V = S·h бесполезна, пока не знаешь S самого основания. В задании 3 основанием бывает не только квадрат, но и правильный треугольник или шестиугольник, а их площади нужно знать наизусть — в справочных материалах профиля их нет.
Квадрат со стороной a: площадь a². Правильный (равносторонний) треугольник и правильный шестиугольник со стороной a:
Шестиугольник легко не запоминать отдельно, а собрать: он режется на шесть равносторонних треугольников со стороной a, отсюда 6 · (√3/4)a² = (3√3/2)a². Главное — не потерять множитель √3: без него объём призмы или пирамиды выйдет неверным.
Для части 2 пригодятся ещё два расстояния в правильном основании — от центра до вершины и от центра до середины стороны. Для квадрата со стороной a они равны a√2/2 (половина диагонали) и a/2. Именно они превращают высоту пирамиды, апофему и боковое ребро в стороны прямоугольных треугольников — этим мы и займёмся дальше.
Задание 15: доказать и вычислить
Задание 15 стоит 3 балла и почти всегда состоит из двух пунктов: а) что-то доказать, б) что-то вычислить. За пункт «а» балл дают только за доказательство в общем виде — рассуждение, которое годится при любых числах. Подстановка конкретных длин и проверка «сходится» доказательством не считается: за неё балл не начислят. Это самая обидная и самая частая потеря в этой задаче.
Три приёма закрывают почти весь пункт «б».
1. Высота правильной пирамиды — через прямоугольный треугольник. Высота, отрезок от центра основания до вершины основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник (высота перпендикулярна основанию). Поэтому боковое ребро l связано с высотой h и радиусом описанной около основания окружности R так: l² = h² + R².
Например, в правильной четырёхугольной пирамиде со стороной 4 и боковым ребром 6 половина диагонали основания R = 2√2, значит h = √(6² - (2√2)²) = √(36 - 8) = √28 = 2√7.
Точно так же апофема связана с высотой и радиусом вписанной в основание окружности: m² = h² + r².
2. Расстояние от точки до плоскости — методом объёма. Когда опустить перпендикуляр напрямую трудно, берут вспомогательную пирамиду, для которой искомое расстояние — это высота. Её объём считают двумя способами: удобным (через другое основание) и через нужную грань. Приравняв, получают:
Здесь V — объём вспомогательной пирамиды, S — площадь той грани, до плоскости которой ищем расстояние. Приём выручает в задачах вида «найдите расстояние от вершины до плоскости», которые в задании 15 встречаются постоянно.
3. Сечение — это многоугольник, по которому секущая плоскость режет многогранник. Строят его по опорному правилу: если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, соединяем их отрезком прямо в этой грани. Помогает и параллельность: плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.
Невидимые рёбра на чертеже проводят пунктиром. Это часть аккуратного оформления: за небрежно построенное сечение в пункте «б» снимают баллы.
Разбор: правильная четырёхугольная пирамида
Как решать задание 3 на многогранники?
- 1Опознай фигуру. Призма, параллелепипед, куб — объём без коэффициента, V = S·h. Пирамида — с коэффициентом одна треть. Ошибка на этом шаге тянет за собой весь ответ.
- 2Найди площадь основания отдельно. Квадрат — a², правильный треугольник — (√3/4)a², шестиугольник — (3√3/2)a². Не теряй √3.
- 3Реши, что спрашивают: объём или поверхность. Для поверхности уточни — боковая или полная. Под боковую поверхность призмы идёт периметр, а не площадь основания.
- 4Для диагонали параллелепипеда бери три ребра. d = √(a²+b²+c²), у куба a√3. Не путай с диагональю грани a√2.
- 5Считай руками и проверь красоту ответа. Калькулятора нет. Числа в задании 3 подобраны так, чтобы корни извлекались, а дроби сокращались. Некрасивый ответ — сигнал вернуться и проверить.
Проверь себя
Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл в задании 3. Отвечай, не подглядывая в текст выше.
1.У призмы и у пирамиды одинаковые основание и одинаковая высота. Во сколько раз объём призмы больше объёма пирамиды?
Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h. При одинаковых S и h призма ровно втрое больше. Именно этот коэффициент одна треть — главная ловушка задания 3.
2.Ребро куба равно 2. Чему равна диагональ куба — отрезок между двумя противоположными вершинами?
Пространственная диагональ куба d = a√3 = 2√3. Значение 2√2 — это диагональ грани (a√2), она короче и проходит по одной стороне куба, а не сквозь его тело.
3.Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5.
Основание — квадрат: S = 3² = 9. Пирамида, поэтому V = ⅓·9·5 = 15. Ответ 45 получается, если забыть про коэффициент одна треть.
4.Все рёбра куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз вырос его объём?
Объём куба V = a³, ребро входит в третьей степени. Увеличение ребра втрое даёт 3³ = 27 раз. Ответ «в 9 раз» — это про площадь поверхности (a² входит во второй степени), а не про объём.
5.В правильной треугольной призме сторона основания равна 4, а высота 10. Чему равна площадь боковой поверхности?
Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высота. Периметр треугольника 3·4 = 12, значит S = 12·10 = 120. Площадь самого треугольного основания (с множителем √3) в боковую поверхность не входит — это дистрактор 40√3.
Какие ошибки делают в задачах на многогранники?
Теряют коэффициент одна треть у пирамиды (или лишний раз ставят его у призмы). У пирамиды V = (1/3) S h, у призмы, параллелепипеда и куба просто V = Sh. Прежде чем считать объём, вслух назови фигуру — призма это или пирамида.
Путают диагональ куба с диагональю грани. Диагональ грани равна a√2, а пространственная диагональ куба — a√3 = √(a²+a²+a²). В задании 3 чаще спрашивают вторую.
В боковую поверхность призмы подставляют площадь основания вместо периметра. Боковая поверхность прямой призмы — это Pосн·h, где P — периметр. Площадь основания идёт только в объём и в полную поверхность.
Считают боковое ребро пирамиды её высотой. Высота падает в центр основания перпендикулярно, а боковое ребро идёт в вершину основания под наклоном — это разные отрезки, и ребро всегда длиннее. Связь: l² = h² + R², где R — расстояние от центра до вершины основания.
Забывают множитель √3 в площади правильного треугольника и шестиугольника. S_(△) = (√3/4)a², Sшест = (3√3/2)a². Без √3 объём призмы или пирамиды с таким основанием сразу неверный.
В пункте «а» задания 15 проверяют утверждение на конкретных числах. Подстановка длин и слова «сходится» — это не доказательство, и балл за пункт «а» за них не дают. Доказывать нужно в общем виде: рассуждением, которое верно при любых данных.
Запомни для ЕГЭ
На экзамене
- Задание 3 стоит 1 балл — трать на него 3–4 минуты. Формулы объёма и поверхности держи наизусть: в справочных материалах профиля есть только четыре тригонометрические формулы, ни одной стереометрической.
- Первым делом называй фигуру. Пирамида — значит коэффициент одна треть; призма, параллелепипед, куб — без него. Определение фигуры — первая и самая частая причина потери балла в задании 3.
- Цилиндр, конус и шар — это тела вращения, отдельная тема. У многогранников все грани плоские, и формул с числом π здесь не бывает. Если в ответ полезло π — ты перепутал тему.
- Задание 15 даёт 3 балла и делится на «а) доказать» и «б) вычислить». Пункт «а» доказывай в общем виде — проверка на примере балла не приносит. Рисуй чертёж крупно и подписывай, где высота, где апофема, где боковое ребро.
- Если в задании 15 нужно расстояние от точки до плоскости, а перпендикуляр строится тяжело, посчитай его методом объёма: d = 3V/S. Часто это короче, чем искать основание перпендикуляра.
Лаборатория: разверни многогранник
Главное про три тела разобрано выше: у куба, призмы и пирамиды все грани плоские; объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h, диагональ куба d = a√3. Повращай фигуры мысленно по чертежам в блоках «Объём» и «Поверхность».
Открыть лабораторию в веб-кабинетеСловарь темы
- Многогранник
- Тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Их стороны называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. Тела с закруглённой поверхностью (цилиндр, конус, шар) многогранниками не являются.
- Призма
- Многогранник с двумя равными основаниями в параллельных плоскостях и боковыми гранями между ними. Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям; правильная — в основании ещё и правильный многоугольник.
- Параллелепипед
- Призма, у которой в основании параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — «коробка» с прямыми углами; куб — прямоугольный параллелепипед со всеми равными рёбрами.
- Пирамида
- Многогранник с одним основанием-многоугольником и общей вершиной, к которой сходятся боковые грани-треугольники. Правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а вершина стоит над его центром.
- Высота пирамиды
- Перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. У правильной пирамиды его основание попадает точно в центр основания.
- Апофема
- Высота боковой грани правильной пирамиды — отрезок из вершины пирамиды в середину стороны основания. Не путать с высотой пирамиды (в центр) и боковым ребром (в вершину основания).
- Диагональ параллелепипеда
- Отрезок между двумя противоположными вершинами, проходящий сквозь тело. Для прямоугольного параллелепипеда d = √(a²+b²+c²), для куба d = a√3. Отличается от диагонали грани.
- Сечение многогранника
- Многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает многогранник. Строится по точкам: две точки плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.
- Двугранный угол
- Угол между двумя гранями, сходящимися к общему ребру. Его величину измеряют линейным углом — углом между перпендикулярами к ребру, проведёнными в каждой грани из одной точки ребра.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram
Источники и проверка
4 документа
- Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
- ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено ): 7.3 «Многогранники». В проекте КИМ 2027 многогранники проверяют задание 3 (1 балл) и развёрнутое задание 15 (3 балла) — бывшее задание 14.
Что сверено по документам
- Тема соответствует коду 7.3 «Многогранники» кодификатора ФИПИ по математике профиля и проверяется в заданиях 3 (базовое) и 15 (развёрнутое).
- Задание 3 базового уровня — прямая подстановка в формулы объёма и площади поверхности многогранников (куб, параллелепипед, призма, пирамида).
- Объём призмы V = S·h, объём пирамиды V = ⅓·S·h; из-за коэффициента одна треть при равных основании и высоте призма втрое больше пирамиды.
- Куб: V = a³, S = 6a², пространственная диагональ d = a√3; диагональ грани a√2. Прямоугольный параллелепипед: V = abc, d = √(a²+b²+c²).
- Боковая поверхность прямой призмы = периметр основания × высоту; полная = боковая + 2·основания. Боковая поверхность правильной пирамиды = ½·периметр основания·апофема.
- Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна (√3/4)a², правильного шестиугольника — (3√3/2)a².
- Высота правильной пирамиды, радиус описанной около основания окружности и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: l² = h² + R²; для квадрата R = a√2/2, r = a/2.
- Расстояние от точки до плоскости в задании 15 удобно искать методом объёма: d = 3V/S.
- Задание 15 состоит из пунктов «а) доказать» и «б) вычислить»; за пункт «а» балл даётся только за доказательство в общем виде, не за проверку на числах.
- Сечение многогранника строится по опорному правилу: две точки секущей плоскости в одной грани соединяют отрезком; параллельные грани режутся параллельными отрезками.
- На профиле в справочных материалах КИМ выдаются только тригонометрические формулы, стереометрические формулы нужно знать наизусть; калькулятор запрещён.
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено . Как мы готовим материалы.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
